DISEÑO DE EXPERIMENTOS ANÁLISIS DE VARIANZA

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DISEÑO DE EXPERIMENTOS ANÁLISIS DE VARIANZA
ANOVA DISEÑO DE EXPERIMENTOS
:
EXPERIMENTOS COMPARATIVOS SIMPLES
Caso 1
Se realiza un estudio para comparar dos tratamientos que se aplicaran a fríjoles crudos, con el objetivo de reducir
el tiempo de coccion. Un tratamiento (T1) es a base de bicarbonato de sodio; el otro, T2, es a base de cloruro de
sodio o sal comun. La variable de respuesta es el tiempo de coccion en minutos. Se hacen siete replicas. Los datos
se muestran en la siguiente tabla:
a) Formule y pruebe la hipotesis para probar la igualdad de medias de los tratamientos.
b) Explique como se haya el valor-p de la prueba anterior.
c) Formule y pruebe la hipotesis de igualdad de varianzas entre tratamientos.
d) De acuerdo a su analisis, ¿hay algun tratamiento mejor?
Rta/
a)
Si se cree que en el experimento , los tiempos promedio de coccion son iguales , se puede enunciar una hipotesis
así:
Siendo Ho la hipotesis nula y H1 La hipotesis alternativa.
La hipotesis alternativa sería de dos colas, siendo verdadera en el caso que µ1< µ2 o que µ1> µ2.
El analisis se hara considerando un nivel de confianza (α)=0.05
1
Para los datos de la tabla anterior se encuentra que
Promedio
Varianza
Desviacion est
y1(prom)
y2(prom)
79
61
S1^2
S2^2
17,476
17,286
S1
S2
4,180
4,158
n1
n2
7
7
= 17,381
Sp= 4,169
= 7,821
La hipotesis nula se rechazara en caso que se cumpla alguna de las siguientes comparaciones
o
Los valores para t(0,025, 12) en la tabla de distribucion t es :
2
t(0,025, 12) = 2.179, se cumple entonces uno de los criterios 7,821>2,179 se concluye que la hipotesis nula
es falsa por consiguiente que los tiempos promedio de coccion para los dos tratamientos son diferentes.
b)
No es sencillo calcular el valor de P de una prueba , por tal motivo se indicara una aproximacion del valor de P
para el experimento, para una distribucion t con v=n1+n2-2=12 grados de libertad y probabilidad de 0,0005 ,
para lo cual se obtiene un valor de t(0,0005, 12) = 4,318 . se cumple que to> t(0,0005, 12) ,
ya que la
hipotesis nula es de dos colas el valor de P debe ser menor que α=2* 0.0005= 0.001 , es decir que la hipotesis
nula sera rechazada para cualquier α > 0.001, usando la aproximacion.
Con el uso de software StatGraphics se obtiene el valor de P = 0.00000473684
Se cumple que
cualquier
α
P< α
(se rechaza la hipotesis nula), es decir que la hipotesis nula sera rechazada para
> 0.00000473684.
La estimacion del intervalo de confianza para la diferencia de las medias, del 95% para el experimento esta
dado por
12,575
22,284
Es decir la diferencia entre las temperaturas promedio es de 17,428 +/- 4,855
c)
Se cree que en el experimento la varianza asociada al Tratamiento 1
Tratamiento 2.
es mayor que la asociada al
Al tratarse de una prueba de igualdad de varianza de dos (2) poblaciones normales se considere que el
estadístico de comparacion en este caso es:
3
= 17,476/17,286 = 1,011
La hipotesis nula sera rechazada en caso que se cumpla
En la tabla “puntos porcentuales de la distribucion F” para F(0.05, 6,6) = 4,28
La comparacion
no es cierta, es decir que no puede rechazarse la Ho, por no encontrar
pruebas estadísticas suficientes para afirmar que la varianza en los tiempos del Tratamiento 1 sea mayor que la
varianza en los tiempos del Tratamiento 2.
d) El mejor tratamiento puede considerarse
el tratamiento (II) a base de Cloruro de Sodio se logran los
promedios de tiempos de coccion menores. Como puede verde en el diagrama de cajas y bigotes.
Caso 2
En una prueba de dureza, una bola de acero se presiona contra el material al que se mide la dureza. El diametro
de la depresion del material es la medida de su dureza. Se dispone de dos tipos de bolas de acero y se quiere
estudiar su desempeno. Para ello, se prueban ambas bolas con los mismos 10 especímenes elegidos de manera
aleatoria y los resultados son:
4
a) Formule y pruebe la hipotesis de que ambas bolas dan las mismas mediciones de dureza considerando que
estan pareadas.
b) Encuentre el intervalo para la diferencia de medias usando la desviacion estandar de las diferencias.
c) Pruebe la igualdad de las bolas sin considerar que estan pareadas. Compare los resultados con los obtenidos
en el inciso a).
d) Determine un intervalo de confianza para la diferencia de medias suponiendo muestras independientes.
Compare con el inciso b).
e) Explique en que consiste el apareamiento en este ejercicio.
Rta/
a) Considerar
es equivalente a decir que
El estadístico de prueba para la hipotesis es
donde
donde
La media muestral de las diferencias es
y
La desviacion muestral estandar de las diferencias es
5
6
Conclusion basada en diseno por comparaciones pareadas
La hipotesis nula no se rechaza ya que no hay evidencia que indique que la medicion de dureza con las dos
bolas produce promedios de lecturas diferentes
b) Utilizando los datos pareados , un intervalo de confianza
para este caso
de 95% para
(5 +/- 11,335)
es
unidades de Dureza
c) Pruebe la igualdad de las bolas sin considerar que estan pareadas. Compare los resultados con los obtenidos
en el inciso a).
Si se cree que en el experimento, los tiempos promedio de coccion son iguales, se puede enunciar una hipotesis
así:
Siendo Ho la hipotesis nula y H1 La hipotesis alternativas
La hipotesis alternativa sería de dos colas porque sería verdadera en el caso que µ1< µ2 o que µ2> µ2.
El analisis de hara considerando un nivel de confianza (α)=0.05
Para los datos de la tabla anterior se encuentra que
Promedio
Varianza
y1(prom)
y2(prom)
52,70
47,70
S1^2
S2^2
188,011
67,122
7
Desviacion est
S1
S2
13,712
8,193
n1
n2
10
10
= 127,567
Sp= 11,295
= 0,9899
La hipotesis nula se rechazara en caso que se cumpla alguna de las siguientes comparaciones
o
Los valores para t(0,025, 18) en la tabla de distribucion t es :
t(0,025, 18) = 2,101
Ninguna de las dos comparaciones (criterios) anteriores se cumple por lo tanto no se puede rechazar la hipotesis
nula, se concluye que los tiempos promedio de coccion para los dos tratamientos se pueden considerar iguales.
Se obtiene la misma conclusion que en el analisis con mediciones pareadas
d) La
estimacion del intervalo de confianza del 95% para el experimento considerando un diseno por
tratamientos independientes, esta dado por
8
-5,61193
15,6119
Es decir la diferencia entre las temperaturas promedio es de
(5,0 +/- 10,619) unidades de Dureza
Se obtiene el mismo resultado que en el que en el analisis con mediciones pareadas
e) El apareamiento consiste en aplicar a una misma unidad experimental (pieza de metal) ambos tratamientos
dandole así un manejo de bloques, tratando de aislar la respuesta del experimento de variables ajenas, como
por ejemplo (piezas tratadas a diferentes temperaturas etc) que harían crecer el error experimental.
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