Relaciones y Funciones

Relaciones y Funciones
Autor: Victor Manuel Castro González
Carrera: Ingeniería Industrial
Instituto: Univa Zamora
Fecha:06/Febrero/2008
Victor Manuel Castro González
Relaciones y Funciones

El concepto de Relación-Función es uno de los
más
importantes
en
Matemáticas.
Comprenderlo y aplicarlo se verá retribuido
muchas veces.
Victor Manuel Castro González
Correspondencia

La noción de correspondencia desempeña
un papel fundamental en el concepto de
Relación – Función.

En nuestra vida cotidiana frecuentemente
hemos
tenido
experiencia
con
correspondencias o RELACIONES.
Victor Manuel Castro González
Ejemplos de Correspondencias
o RELACIONES

En un almacén, a
corresponde un precio.
cada
artículo

A cada nombre del directorio telefónico le
corresponde uno o varios números.

A cada número le corresponde una segunda
potencia.

A cada estudiante le
promedio de calificaciones
corresponde
le
un
Victor Manuel Castro González
Definición de Relación y de
Función

Relación es la correspondencia de un primer
conjunto, llamado Dominio, con un segundo
conjunto, llamado Rango, de manera que a cada
elemento del Dominio le corresponde uno o más
elemento del Recorrido o Rango.

Una Función es una relación a la que se añade la
restricción de que a cada valor del Dominio le
corresponde uno y sólo un valor del recorrido.

(Todas las funciones son relaciones, pero no todas
las relaciones son funciones)
Victor Manuel Castro González
Ejemplos de Correspondencia
(Relaciones – Funciones)
Victor Manuel Castro González
Toda ecuación es una Relación,
pero no toda ecuación es una
Función

Esta afirmación la podemos ilustrar
mediante la siguiente animación
¿Por qué se produjo el error?
Victor Manuel Castro González
Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas
en el recuadro de la derecha, las que Ud.
considere que son funciones.
¿Por qué
algunas de las
ecuaciones
son
Funciones?
Victor Manuel Castro González
Todas las Relaciones pueden ser
graficadas en el Plano Cartesiano
Victor Manuel Castro González
valor absoluto

La función valor absoluto f(x)=½x½, asocia
a cada número su valor absoluto, es decir,
su valor sin tener en cuenta el signo.

De acuerdo con la definición, x puede ser
cualquier número real, por lo tanto, el
dominio está representado por los números
reales. Las imágenes de x, corresponden a
los no negativos, por lo que el rango está
determinado por todos reales no negativos.
Victor Manuel Castro González
Función Constante
y
F(x) = a
a
x
Se llama función constante a la que no depende
de ninguna variable, y la podemos representar
como una función matemática
Función Polinomial

Ejemplos particulares de la función polinomial
son, la función lineal (función polinomial de
grado uno), la función cuadrática (función
polinomial de segundo grado), función cúbica
(función polinomial de tercer grado).
Función Polinomial
(Lineal)
y
F(x) = ax + b
b
- b/a
x
es la expresión algebraica que representa a las
líneas rectas.
Victor Manuel Castro González
Función Polinomial
(Cuadrática)
Victor Manuel Castro González
Función Polinomial
(Cúbica)
representa el volumen de un cubo cuyo lado mide
igual a la función que se está elevando.
Por ejemplo. En la función (x+4)^3, cada lado del
cubo
mediría
x+4.
Desde el punto de vista algebraico, la función
cúbica representa el producto de multiplicar el
elemento por si mismo 2 veces.
F(x) =ax3+bx2+cx+d
Función Polinomial
(Racional)

son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro
polinomio no idénticamente nulo. Para una única variable
x una función racional se puede escribir como:
P(x)/Q(x)

donde P y Q son polinomios y x es una variable
indeterminada siendo Q un polinomio no nulo. Existe la
posibilidad de encontrar valores de x tales que Q(x) sea
nulo. Por este motivo las funciones racionales están
definidas en todos los números que no anulan el polinomio
denominador, es decir, en el cuerpo de coeficientes menos
una cantidad finita, que será igual al número de raíces
reales del polinomio denominador
Función Trascendente

Las funciones que no son algebraicas se llaman funciones
trascendentes.
Son funciones trascendentales elementales

Función exponencial:
f(x)=ax; a > 0, a ¹ 1.

Función logarítmica: f(x)=loga(x);
Es inversa de la exponencial.

Funciones trigonométricas: También llamadas circulares.
f(x)=sen(x); f(x)=cos(x); f(x)=tg(x);
f(x)=cosec(x);f(x)=sec(x) y f(x)=cotg(x)
a
>
0,
a
¹
1.
Función Explicita

La fórmula explícita de una función permite calcular la
variable dependiente (usualmente "y") cuando se
conoce el valor de la variable independiente
(usualmente x).
Por ejemplo la fórmula y=x3-x
Función Implícita

Una función y(t) se llama implícita cuando está definida
de la forma f(y,t)=0 en lugar de la habitual y= f(t).

En ocasiones, sobre todo al resolver ecuaciones
diferenciales, la función estará expresada de esta manera
porque no hay forma posible de despejar la y.

Por ejemplo, y+arctg(x+yex)=0 es una función implícita
de la cual no es posible despejar la y.
Función Continua

Intuitivamente una función es continua en un
punto cuando a incrementos muy pequeños de la
variable independiente, x, le corresponden
incrementos muy pequeños de la variable
dependiente, y. Dicho de otra forma, no se
necesita levantar el lápiz del papel para dibujar la
gráfica de la función.
Función Discontinúa
Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si
existe
y éste es finito.
Una discontinuidad es inevitable o de primera
especie si existen los límites laterales en x = a,
pero son distintos.
Una discontinuidad es esencial o de segunda
especie si no existe alguno de los límites laterales
en x = a.
Con lo expuesto ya podemos saber
que es una función y una relación, y
diferenciar entre ambas