PC8-BMA03(2019-2)-PD3

Universidad Nacional de Ingenierı́a
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matemática
Ciclo 2019−II
PRÁCTICA DIRIGIDA 5 DE ÁLGEBRA LINEAL
1. La posición de una partı́cula viene descrito por la siguiente función:
Z t2 +t
1
√
G(t) = √
dx.
3
2 + x2
t
Determine la velocidad instantánea de la partı́cula.
Solución:
Por definición, piden calcular G0 (t). Del problema se observa que t ≥ 0. Luego:
Z t2 +t
Z √t
Z t2 +t
1
1
1
√
√
√
dx =
dx −
dx
G(t) = √
3
3
3
2 + x2
2 + x2
2 + x2
0
0
t
Se definen las funciones:
Z
t
F (t) =
0
2+
1
√
3
x2
dx,
g(t) =
√
t,
h(t) = t2 + t
ası́ se obtiene:
G(t) = F (h(t)) − F (g(t)) = (F ◦ h)(t) − (F ◦ g)(t)
entonces:
G0 (t) = F 0 (h(t))h0 (t) − F 0 (g(t))g 0 (t)
calculando las derivadas respectivas:
F 0 (t) =
1
√
dx,
3
2 + t2
1
g 0 (t) = √ ,
2 t
h0 (t) = 2t + 1,
reemplazando resula:
G0 (t) =
2+
√
3
2t + 1
1
√ .
− √
4
3
2
2 x(2 + 3 x)
x + 2x + x
2. Calcula el lı́mite de la siguiente sucesión usando integrales.
1/n
(2n)!
xn =
.
n!nn
Solución:
Tomando logaritmos se obtiene:
log(xn )
=
=
=
1
1
(log((2n)!) − log(n!nn )) = (log(n!(n + 1) . . . (2n)) − n log(n) − log(n!))
n
n
n
1X
n+k
1
(log(n + 1) + log(n + 2) + . . . + log(2n) − n log(n)) =
log
n
n
n
k=1
n
X
1
k
log 1 +
.
n
n
k=0
por tanto, la sucesión yn = log(xn ) es una suma de Riemann de la función log(1 + x) para la partición del
intervalo [0, 1] dada por los puntos xk = k/n (k = 0, 1, . . . , n). Luego:
Z 1
lı́m yn =
log(1 + x) dx = 2 log(2) − 1
n→∞
0
de donde resulta:
lı́m xn =
n→∞
4
.
e
El profesor1
Lima, 13 de Diciembre del 2021.
1 Hecho
en LATEX