I. Encontrar todas las derivadas de: 1. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 7 − 2𝑥 3 + 2𝑥 2 − 10 Solución: 𝑓 , (𝑥) = 7(3𝑥 7−1 ) − 3(2𝑥 3−1 ) + 2(2𝑥 2−1 ) − 0 𝑓 , (𝑥) = 21𝑥 6 − 6𝑥 2 ) + 4𝑥 Por lo cual 𝑓 , (𝑥) = 21𝑥 6 − 6𝑥 2 ) + 4𝑥 1 2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 5 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 3 Solución: 1 𝑓 , (𝑥) = 5(3𝑥 5−1 ) + 3( 𝑥 3−1 ) + 2(𝑥 2−1 ) + 2 + 0 3 𝑓 , (𝑥) = 15𝑥 4 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 Entonces, 𝑓 , (𝑥) = 15𝑥 4 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 II. Encontrar 𝑑𝑦⁄ 𝑑𝑥 en: 1. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 Solución: Para encontrar 𝑑𝑦⁄ , 𝑑𝑥 debemos derivar implícitamente la función anterior, y despejar 𝑦 , es decir: 2𝑥 + 2𝑦𝑦 , = 0 ⇔ 2𝑦𝑦 , = −2𝑥 −2𝑥 2𝑦 𝑥 ⇔ 𝑦, = − 𝑦 ⇔ 𝑦, = Por tanto 𝑑𝑦 𝑥 =− 𝑑𝑥 𝑦 2. 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 + 𝑥 = 8𝑦 − 2𝑥 2 Solución: 2𝑥𝑦 + 𝑥 2 𝑦 , + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦𝑦 , + 1 = 8𝑦 , − 4𝑥 ⇔ 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 1 + 𝑥 2 𝑦 , + 2𝑥𝑦𝑦 , = 8𝑦 , − 4𝑥 ⇔ 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 1 + (𝑥 2 + 2𝑥𝑦)𝑦 , = 8𝑦 , − 4𝑥 ⇔ (𝑥 2 + 2𝑥𝑦)𝑦 , − 8𝑦 , = −4𝑥 − (2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 1) ⇔ (𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 8)𝑦 , = −(4𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 1) ⇔ 𝑦, = −(4𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 1) (𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 8) (1 + 4𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) ⇔𝑦 =− (𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 8) , Por lo cual 𝑑𝑦 (1 + 4𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) =− (𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 8) 𝑑𝑥 3. 𝑥 3 𝑦 + 5𝑥 2 𝑦 3 − 2𝑥𝑦 = 7𝑥 2 − 3𝑦 2 Solución: 3𝑥 2 𝑦 + 𝑥 3 𝑦 , + 10𝑥𝑦 3 + 15𝑥 2 𝑦 2 𝑦 , − 2𝑦 − 2𝑥𝑦 , = 14𝑥 − 6𝑦𝑦 , ⇔ 𝑥 3 𝑦 , + 15𝑥 2 𝑦 2 𝑦 , − 2𝑥𝑦 , − 2𝑦 + 3𝑥 2 𝑦 + 10𝑥𝑦 3 = 14𝑥 − 6𝑦𝑦 , ⇔ 𝑥 3 𝑦 , + 15𝑥 2 𝑦 2 𝑦 , − 2𝑥𝑦 , + 6𝑦𝑦 , = 14𝑥 − (−2𝑦 + 3𝑥 2 𝑦 + 10𝑥𝑦 3 ) ⇔ 𝑥 3 𝑦 , + 15𝑥 2 𝑦 2 𝑦 , − 2𝑥𝑦 , + 6𝑦𝑦 , = 14𝑥 + 2𝑦 − 3𝑥 2 𝑦 − 10𝑥𝑦 3 ⇔ (𝑥 3 + 15𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 + 6𝑦)𝑦 , = 14𝑥 + 2𝑦 − 3𝑥 2 𝑦 − 10𝑥𝑦 3 ⇔ 𝑦, = III. 14𝑥 + 2𝑦 − 3𝑥 2 𝑦 − 10𝑥𝑦 3 𝑥 3 + 15𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 + 6𝑦 Encuentre los extremos relativos de la función dad y bosqueje la gráfica utilizando GeoGebra. 1 1. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)3 Solución: Primeramente, encontremos la primera derivada de la función 𝑓(𝑥), esto es: 2 1 𝑓 , (𝑥) = (𝑥 + 1)−3 = 3 1 2 3(𝑥 + 1)3 Ahora, veamos que 𝑓 , (𝑥) no está definida para 𝑥 = −1, pero 𝑓(𝑥) sí lo está para este valor. Sustituyendo 𝑥 = −1 en 𝑓(𝑥) tenemos: 1 𝑓(−1) = (−1 + 1)3 = 0 por lo cual (−1,0) es un punto crítico, veamos ahora si (−1,0) es un extremo relativo, para ello analizamos la monotonía de la función. Intervalo N° evaluar 𝑓(𝑥) Monotonía (−∞, −1) −2 −1 < 0 Decreciente 0 1>0 Creciente (−1, ∞) De la tabla anterior y de las definiciones de máximo relativo y mínimo relativo, podemos ver que la función 𝑓(𝑥) no tiene extremos relativos. La grafica de la función 𝑓(𝑥) y de su derivada se ilustran a continuación. 1 Gráfica de 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)3 Gráfica de 𝑓(𝑥) y 𝑓 , (𝑥) 2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 Solución: Calculemos la derivada de la función 𝑓(𝑥). 𝑓 , (𝑥) = 2𝑥 + 6 Haciendo 𝑓 , (𝑥) = 0, para encontrar los números críticos. 2𝑥 + 6 = 0 2𝑥 = −6 𝑥= −6 2 𝑥 = −3 Así, 𝑥 = −3 es un numero crítico, luego valuando este número en 𝑓(𝑥). 𝑓(−3) = (−3)2 + 6(−3) + 8 = 9 − 18 + 8 = −1 Por lo cual (−3, −1) es el único punto crítico de 𝑓(𝑥). Veamos si dicho punto es un extremo relativo para la función, para ello usemos el criterio de la primera derivada. Intervalo Valor de prueba (−∞, −3) −4 𝑓 , (𝑥) Conclusión −2 < 0 Decreciente Mínimo relativo (−3, −1) (−3, ∞) −2 2>0 Creciente Luego, de acuerdo al criterio de la primera derivada, se concluye que (−3, −1) es un mínimo relativo para la función 𝑓(𝑥). Grafica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 5 3. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 + 5)2 Solución: Encontremos primeramente la derivada de la función 𝑓(𝑥). 3 5 𝑓 , (𝑥) = (2𝑥 2 + 5)2 (4𝑥) 2 3 𝑓 , (𝑥) = 10𝑥(2𝑥 2 + 5)2 Ahora, haciendo 𝑓 , (𝑥) = 0 para encontrar los números críticos. 3 10𝑥(2𝑥 2 + 5)2 = 0 3 Luego, 10𝑥 = 0 o bien (2𝑥 2 + 5)2 = 0 Resolviendo cada ecuación por separado. Primera ecuación 10𝑥 = 0 𝑥= 0 10 𝑥=0 Segunda ecuación 3 (2𝑥 2 + 5)2 = 0 √(2𝑥 2 + 5)3 = 0 Elevando ambos miembros al cuadrado, tenemos: (2𝑥 2 + 5)3 = 0 Extrayendo raíz cubica en ambos miembros, resulta: 2𝑥 2 + 5 = 0 2𝑥 2 = −5 𝑥2 = −5 2 Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: −5 2 𝑥=√ De las soluciones anteriores, la única que se admite es 𝑥 = 0, de esta forma, 𝑥 = 0 es el numero crítico para 𝑓(𝑥). Ahora, evaluando 𝑥 = 0 en 𝑓(𝑥) tenemos: 5 5 𝑓(0) = (2(0)2 + 5)2 = (5)2 = 55.9 por lo cual (0,55.9) es el único punto crítico de 𝑓(𝑥). Veamos si es un extremo relativo para la función, para ello usamos el criterio de la primera derivada. Intervalo Valor de prueba (−∞, 0) −1 𝑓 , (𝑥) -185.2<0 Decreciente Mínimo relativo (0,55.9) (0, ∞) Conclusión 1 185.2>0 Creciente De acuerdo al criterio de la primera derivada, la función 𝑓(𝑥) tiene un mínimo relativo en el punto (0,55.9). 5 4. Grafica de 𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 + 5)2 IV. Encuentre los puntos de inflexión y discuta la concavidad de la función. Bosqueje la gráfica utilizando GeoGebra. 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥 3 Solución: Encontremos primeramente 𝑓 , (𝑥) y 𝑓 ,, (𝑥) en la función dada. 𝑓 , (𝑥) = 4x 3 − 9𝑥 2 𝑓 ,, (𝑥) = 12𝑥 2 − 18𝑥 Veamos que 𝑓 ,, (𝑥) existe para cualquier valor de 𝑥, por lo cual, los puntos de inflexión pueden ocurrir donde 𝑓 ,, (𝑥) = 0. Esto es: 12𝑥 2 − 18𝑥 = 0 Resolviendo la ecuación anterior. (12𝑥 − 18)𝑥 = 0 Luego, se debe cumplir que (12𝑥 − 18) = 0 o bien 𝑥 = 0 Resolviendo 12𝑥 − 18 = 0. 12𝑥 = 18 𝑥= 18 12 𝑥= 3 2 3 Ahora, sustituyendo si 𝑥 = 0 y 𝑥 = en 𝑓(𝑥). 2 Para 𝑥 = 0 tenemos 𝑓(0) = (0)4 − 3(0)3 = 0 Para 𝑥 = 3 2 3 3 3 3 2 2 2 tenemos 𝑓 ( ) = ( )4 − 3 ( ) = −5.01 3 81 2 16 Por tanto, los posibles puntos de inflexión pueden ocurrir en (0,0) y (( , − ). Intervalo Valor de prueba 𝑓(𝑥) 𝑓 ,, (𝑥) (−∞, 0) −1 30 > 0 𝑥=0 0 3 1 −6 < 0 (0, ) 2 3 −5.01 𝑥= 2 3 2 12 > 0 ( , ∞) 2 3 81 2 16 Conclusión La grafica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba Punto de inflexión. La grafica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia abajo Punto de inflexión. La grafica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba Por tanto, 𝑓(𝑥) tiene puntos de inflexión en (0,0) y (( , − ). Grafica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥 3 2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 𝑥 2 Solución: Encontremos primeramente 𝑓 , (𝑥) y 𝑓 ,, (𝑥) en la función dada. 𝑓 , (𝑥) = 6x 2 − 2𝑥 𝑓 ,, (𝑥) = 12𝑥 − 2 Veamos que 𝑓 ,, (𝑥) existe para cualquier valor de 𝑥, por lo cual, los puntos de inflexión pueden ocurrir donde 𝑓 ,, (𝑥) = 0. Esto es: 12𝑥 − 2 = 0 12𝑥 = 2 𝑥= 2 12 𝑥= 1 6 Evaluando dicho valor en 𝑓(𝑥) tenemos: 2 1 12 54 De esta forma ( , − 1 1 3 1 2 1 𝑓( ) = 2( ) − ( ) = − 6 6 6 54 ) es un posible punto de inflexión. Intervalo Valor de prueba 𝑓(𝑥) 𝑓 ,, (𝑥) 1 0 −2 < 0 (−∞, ) 6 2 1 𝑥= = 12 54 1 2 22 > 0 ( , ∞) 6 2 1 12 54 Por lo cual, la gráfica tiene un punto de inflexión en ( , − Conclusión La grafica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia abajo. Punto de inflexión. La grafica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba ). Grafica de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 𝑥 2 3. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 𝑥 3 Solución: Encontremos la primera y segunda derivada de 𝑓(𝑥). 𝑓 , (𝑥) = 12𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑓 ,, (𝑥) = 36𝑥 2 + 6𝑥 Dado que 𝑓 ,, (𝑥) es continua en todo punto, entonces los puntos de inflexión ocurren en aquellos números donde 𝑓 ,, (𝑥) = 0. Esto eso: 36𝑥 2 + 6𝑥 = 0 (36𝑥 + 6)𝑥 = 0 Donde 𝑥 = 0 o bien 36𝑥 + 6 = 0 Resolviendo 36𝑥 + 6 = 0 tenemos: 36𝑥 + 6 = 0 36𝑥 = −6 𝑥=− 6 36 1 6 𝑥=− Evaluando 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1 6 en 𝑓(𝑥) tenemos: Para 𝑥 = 0 resulta 𝑓(0) = 3(0)4 + (0)3 = 0 Para 𝑥 = 1 6 resulta 𝑓 (− 1 6 ) = 3 (− 1 6 4 ) + (− 1 6 3 ) =− 1 432 1 1 6 432 Por lo cual, los posibles puntos de inflexión son (0,0) y ( , − Intervalo 1 (−∞, − ) 6 1 𝑥=− 6 1 (− , 0) 6 𝑥=0 (0, ∞) Valor de prueba −1 𝑓(𝑥) 30 > 0 − −0.1 𝑓 ,, (𝑥) 1 432 Conclusión La grafica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba Punto de inflexión. −0.24 < 0 La grafica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia abajo 42 > 0 Punto de inflexión. La grafica de 𝑓(𝑥) es cóncava hacia arriba 0 1 ). Grafica de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 𝑥 3
