PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SUMATORIA
𝑛
𝑛
Parte 1°
∑ 𝐶 𝑎𝑖 = 𝐶 ∑ 𝑎𝑖
𝑖=1
𝑥
𝑑
⌈∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡⌉ = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 𝑎
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑛
∑(𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖 ) = ∑ 𝑎𝑖 ± ∑ 𝑏𝑖
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
𝑚
𝑖=1
𝑢(𝑥)
𝑑
[∫
𝑓(𝑡)𝑑𝑡] = 𝑓(𝑢(𝑥)) ∗ 𝑢𝑛 (𝑥)
𝑑𝑥 𝑎
𝑖=1
Parte 2°
𝑛
∑ 𝑎𝑖 = ∑ 𝑎𝑖 + ∑ 𝑎𝑖
𝑖=1
𝒎<𝒏
𝑖=𝑚+1
𝑛
∑ 𝑥 = 𝑛𝑥
𝑥 = 𝐶𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑖=1
∑𝑖 =
𝑖=1
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)]𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎
FÓRMULAS DE SUMATORIAS ESPECIALES
𝑛
TEOREMA FUNDAMENTAL DE CÁLCULO
𝑛(𝑛 + 1)
2
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Límites de Integración
𝑎
i)
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
ii)
∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
Propiedades de la Integral Definida
𝑛
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
∑𝑖 =
6
2
𝑏
𝑏
i)
∫𝑎 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
ii)
∫𝑎 [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑏
𝑏
𝑖=1
Propiedad Aditiva del Intervalo
𝑛
∑ 𝑖3 =
𝑖=1
𝑏
𝑛2 (𝑛 + 1)2
4
𝑐
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑐
SUMAS DE RIEMANN
∆𝑥 =
Integral Definida de una Constante
𝑏−𝑎
𝑛
𝑏
𝑏
∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑘(𝑏 − 𝑎)
𝑎
𝑎
𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥
Propiedades de Comparación
𝑛
𝑛
𝐴 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗ ∆𝑥 = ∆𝑥 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )
𝑖=1
𝑖=1
1° Si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para toda 𝑥 en el intervalo, entonces:
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑛
𝐴 = lim ∑ 𝑓(𝑥1 )∆𝑥
𝑛→∞
𝑖=1
𝑎
2° Si 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥)𝑀 para toda 𝑥 en el intervalo, entonces:
𝑏
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
𝑎
