PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SUMATORIA 𝑛 𝑛 Parte 1° ∑ 𝐶 𝑎𝑖 = 𝐶 ∑ 𝑎𝑖 𝑖=1 𝑥 𝑑 ⌈∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡⌉ = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑛 ∑(𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖 ) = ∑ 𝑎𝑖 ± ∑ 𝑏𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑚 𝑖=1 𝑢(𝑥) 𝑑 [∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡] = 𝑓(𝑢(𝑥)) ∗ 𝑢𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 𝑖=1 Parte 2° 𝑛 ∑ 𝑎𝑖 = ∑ 𝑎𝑖 + ∑ 𝑎𝑖 𝑖=1 𝒎<𝒏 𝑖=𝑚+1 𝑛 ∑ 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑥 = 𝐶𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖=1 ∑𝑖 = 𝑖=1 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)]𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 FÓRMULAS DE SUMATORIAS ESPECIALES 𝑛 TEOREMA FUNDAMENTAL DE CÁLCULO 𝑛(𝑛 + 1) 2 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Límites de Integración 𝑎 i) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 ii) ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑏 Propiedades de la Integral Definida 𝑛 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) ∑𝑖 = 6 2 𝑏 𝑏 i) ∫𝑎 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ii) ∫𝑎 [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑏 𝑏 𝑖=1 Propiedad Aditiva del Intervalo 𝑛 ∑ 𝑖3 = 𝑖=1 𝑏 𝑛2 (𝑛 + 1)2 4 𝑐 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑐 SUMAS DE RIEMANN ∆𝑥 = Integral Definida de una Constante 𝑏−𝑎 𝑛 𝑏 𝑏 ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑘(𝑏 − 𝑎) 𝑎 𝑎 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 Propiedades de Comparación 𝑛 𝑛 𝐴 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ∗ ∆𝑥 = ∆𝑥 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑖=1 𝑖=1 1° Si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para toda 𝑥 en el intervalo, entonces: 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑛 𝐴 = lim ∑ 𝑓(𝑥1 )∆𝑥 𝑛→∞ 𝑖=1 𝑎 2° Si 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥)𝑀 para toda 𝑥 en el intervalo, entonces: 𝑏 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) 𝑎