Curso: Optimización Auxiliar: Jorge Pontigo Preparación Examen de Grado 1-2015 Guía 2: Problemas con y sin restricciones Temario de la clase: • • • • I. Convexidad. Modelos irrestrictos: criterios de optimalidad. Existencia de soluciones: Teorema de B-W. Modelos con restricciones: resolución con curvas de nivel y propiedades de su gradiente. Convexidad: Para determinar la convexidad de una función se debe determinar como está definida la segunda derivada del gradiente (hessiana) de dicha función: Definda positiva: estrictamente convexa, existe un mínimo y es único. Semi-definda positiva: convexa, existe un mínimo. Definda negativa: estrictamente cóncava, existe un máximo y es único. Semi-definda negativa: cóncava, existe un máximo. Indefinida: existe un punto silla. Para determinar lo anterior existen 2 métodos: i) ii) II. Menores principales de la hessiana. Autovalores o valores propios. Modelos sin restricciones (irrestrictos): Para desarrollar un problema así se deben aplicar los criterios de optimalidad (o condiciones): i) ii) III. Condición necesaria: ∇𝑓 = 0, obtención de puntos estacionarios (candidatos o críticos). Condición suficiente: convexidad sobre la hessiana de la función. Existencia de soluciones: Para determinar sin un modelo admite solución óptima se debe aplicar el teorema del valor extremo o teorema de Bolzano – Weierstrass. El teorema indica cumplir lo siguiente: i) ii) iii) La función objetivo debe ser continua en su dominio. El dominio debe ser distinto a vacío. El dominio debe ser cerrado y acotado. Si un modelo cumple cada paso anterior se dice que admite solución, el paso que suele siempre no cumplirse es el iii) pero existen formas de corregir para la existencia de soluciones. IV. Modelos con restricciones: Para desarrollar problemas de este tipo se debe graficar el dominio y trazar las curvas de nivel de la función objetivo sobre este, apoyadas de las propiedades de gradiente, el cual es hortogonal a las curvas e indica donde crece o decrece la función (min o max). Curso: Optimización Auxiliar: Jorge Pontigo Preparación Examen de Grado 1-2015 Problema 1: Resolución gráfica (fácil) Resuelva gráficamente usando las propiedades de gradiente, puede apoyarse trazando curvas de nivel sobre el dominio: a) max 𝑥AB + 𝑥BB 𝑠. 𝑎 −1 ≤ 𝑥A ≤ 1 0 ≤ 𝑥B ≤ 1 b) c) min −𝑥A 𝑠. 𝑎 (𝑥A − 2)B + 𝑥BB ≤ 4 (𝑥A − 1)B + 𝑥BB ≥ 1 (𝑥A − 3)B + 𝑥BB ≥ 1 min 𝑠. 𝑎 a) b) 𝑥+2 B + 𝑦−4 𝑦 ≥ 𝑥B −𝑥 + 𝑦 ≤ 3 𝑥≥0 B Curso: Optimización Auxiliar: Jorge Pontigo Preparación Examen de Grado 1-2015 c). Curso: Optimización Auxiliar: Jorge Pontigo Preparación Examen de Grado 1-2015 Problema 2: Resolución gráfica (intermedio) (a) Demuestre de manera analítica que el conjunto admite solución óptima: 𝑆= 𝑥A , 𝑥B ∈ ℝB 2𝑥A + 3𝑥B ≥ 6, 3𝑥A + 2𝑥B ≤ 12, 𝑥A ≥ 0, 𝑥B ≥ 0} 𝑓 𝑥A , 𝑥B = 𝑥BB − 𝑥A Encuentre gráficamente (trazando curvas de nivel de la función 𝑓 y utilizando propiedades de su gradiente) el punto de máximo global y el de mínimo global de la función, sobre el conjunto 𝑆 ⊂ ℝB . Graficando S, y trazando las curvas de nivel de f, donde k es el valor de las curvas, 𝑘 = 𝑥B B − 𝑥A , en gris se observa la región factible: 𝑥2 Mínimo 6 K=1 K=-4 K=-5 2 -1 3 4 5 𝑥1 Se puede observar que para K=-5, la curva no es factible, ya que no esta dentro de la región. Para el caso donde K=-4, y K=1, están dentro de la región, pero en -4 K es menor, por lo tanto es el mínimo, el primero que topa, y minimiza la función. (b) Dado el modelo P) indique si admite solución óptima y luego encuentre gráficamente el mínimo. P) Min 𝑥AB + (𝑥B + 2)B 3𝑥A + 4 ≤ 𝑥B 𝑥AB ≤ 𝑥B (c) Ahora de P) modifique la función objetivo en MAX y comente que sucede. (d) Si el sentido de desigualdad de la primera restricción comente como queda el dominio y pruebe los resultados para MIN y MAX. Comente. Curso: Optimización Auxiliar: Jorge Pontigo Preparación Examen de Grado 1-2015 b) c) no admite solución d) Problema 3: Dado el siguiente problema de optimización: min − 𝑥A − 𝑥B s.a. 4𝑥A − 3𝑥B ≤ 12 3𝑥A + 2𝑥B ≥ 6 Curso: Optimización Auxiliar: Jorge Pontigo Preparación Examen de Grado 1-2015 𝑥B ≤ 3 (a) Sin resolver previamente, demuestre que el problema (P) admite solución óptima. (b) Resuelva el problema (P) gráficamente, trazando curvas de nivel de la función objetivo sobre el dominio y utilizando propiedades de su gradiente en los puntos donde es diferenciable. Curso: Optimización Auxiliar: Jorge Pontigo Preparación Examen de Grado 1-2015 Problema 4: Función de producción de Cobb-Douglas En Economía, se utiliza frecuentemente la función de producción Cobb-Douglas, la cual para dos insumos tiene la forma: 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝐾𝑥 m 𝑦 n donde 𝑥 e 𝑦 son las cantidades utilizadas de cada insumo. 𝐾 es una constante de transformación y 𝛼, 𝛽 ∈ (0, 1) se conocen como constantes de elasticidad. (a) Demuestre que 𝐹(𝑥, 𝑦) es estrictamente convexa, para todos los 𝑥, 𝑦 ≥ 0, si K<0, y se cumple 𝛼 + 𝛽 < 1. (b) Resuelva el problema de optimización sin restricciones: A A min −12𝑥 r 𝑦 B + 3𝑥 + 2𝑦 (𝑥, 𝑦) ∈ ℝB Curso: Optimización Auxiliar: Jorge Pontigo Preparación Examen de Grado 1-2015 Problema 5: 5.1 Dado el siguiente problema de optimización (P), observe la figura y responda. 𝑃 min 𝑥A B + 𝑥BB + 2𝑥A 𝑥A − 1 − 𝑥BB ≤ 0 −𝑥A + 5 ≤ 0 𝑥AB + 𝑥BB ≤ 64 (a) Comente si el modelo admite solución óptima, en caso que no cumpla comente qué se debe modificar para que admita. Curso: Optimización Auxiliar: Jorge Pontigo Preparación Examen de Grado 1-2015 (b) Achure el dominio del modelo (P). (c) Comente si el dominio es convexo. (d) Indique cual es el óptimo mediante curvas de nivel de la función objetivo sobre su dominio, apoyándose de propiedades de su gradiente en los puntos que es diferenciable. (e) Considere el modelo de optimización anterior relajado sin la última restricción, pero ahora como un problema de maximización. Analice si el nuevo problema admite solución óptima. Justifique. 5.2 max 𝑥A + 𝑥BB + 4𝑥B 𝑠. 𝑎 𝑥A − 4 B + 𝑥B − 2 B ≤ 10 𝑥A − 2 B + 𝑥B − 3 B ≤ 10 𝑥A + 2𝑥B ≤ 10 (a) Comente si el modelo admite solución óptima, en caso que no cumpla comente qué se debe modificar para que admita. (b) Achure el dominio dzel modelo (P2). Comente si el dominio es convexo. (c) Indique cual es el óptimo mediante curvas de nivel de la función objetivo sobre su dominio, apoyándose de propiedades de su gradiente en los puntos que es diferenciable. (d) Considere el modelo de optimización anterior cambiando la desigualdad de la segunda restricción. Analice si el nuevo problema admite solución óptima. Justifique. Curso: Optimización Auxiliar: Jorge Pontigo Preparación Examen de Grado 1-2015
