03-movilidad en semiconductores

Transporte de carga en Semiconductores - Ecuación de transporte de Boltzmann - I
3
d
k
1
En equilibrio termodinámico : N =∑ f ( ⃗
k ) → ∫ f (⃗
k)
⇒
n=
f ( k⃗ )d 3 k
3
3∫
⃗
8π
8π
k
V cr
f (⃗
k ) : Función de distribución de Fermi- Dirac. Representa el número de electrones por estado
cuántico. (En otros casos podría ser la de Bose-Einstein o Maxwell-Boltzmann).
Fuera del equilibrio: La función de distribución ha de incluir dependencias con ⃗r , ⃗
p (=ℏ ⃗
k ), t .
p ,t ) d3r d3p el número de electrones (o huecos) que hay en un volumen del espacio
Sea n ( ⃗r , ⃗
de las fases d3r d3p en torno de ( ⃗r , ⃗p ) en un instante t :
- Los electrones se mueven con velocidad ⃗
v (t)= ⃗r˙ (t ) → Entran y salen de d3r
⃗ = ⃗p˙ → Entran y
- Sobre los electrones actúan fuerzas que cambian su momento ⃗
p: F
salen de d3p
- Los electrones en este elemento de volumen experimentan colisiones con otros electrones,
fonones, impurezas... que los sacan de d3r d3p. Electrones de otros elementos de volumen
llegarán a éste debido a sus colisiones.
∂ n( ⃗r , ⃗
p ,t ) ∂ n ∂ n
∂n
∂n
≡ =
+
+
∂t
∂t
∂t ⃗v ∂ t F⃗ ∂t
( ) ( ) ( )
Tema: Transporte en Semiconductores
Electrónica Física - Juan E. Carceller
Col
1
Transporte de carga en Semiconductores - Ecuación de transporte de Boltzmann - II
⃗ (t 0 )] la densidad de electrones que hay en el volumen considerado en t0.
Sea n [ ⃗r (t 0 ) , p
Al cabo de Δt, los electrones del volumen han salido, y han entrado los que estaban en
⃗ y a v⃗ en este intervalo es:
⃗r (t 0 − Δ t ), ⃗
p (t 0 − Δ t ). El cambio en n debido a F
Δ n=n ( x−v x Δ t , y −v y Δ t , z−v z Δ t , p x −F x Δ t , p y −F y Δ t , pz −F z Δ t )−n (x , y , z , p x , p y , p z )
⃗ ⃗
∂n
∂n
⃗ n− F
=−v⃗⋅∇
⋅∇ ⃗k n+
⃗r
∂t
ℏ
∂t
Δn ∂n
∂n
⃗ n)⋅⃗
⃗ n)⋅F
⃗
lím
≡
+
=−( ∇
v −( ∇
⃗r
⃗
p
∂ t ⃗v ∂ t F⃗
Δ t →0 Δ t
( )
( ) ( )
Col
3
Si ponemos n ( ⃗r , ⃗
k )=f ( ⃗r , k⃗ )(8 π /V cris ) → ⃗f es la densidad de electrones por estado k⃗ :
⃗ ⃗
∂f ⃗ ⃗
F
∂f
+ v⋅∇ ⃗r f + ⋅∇ ⃗k f =
∂t
ℏ
∂t
( )
Tema: Transporte en Semiconductores
Electrónica Física - Juan E. Carceller
Col
Ecuación de transporte
de Boltzmann
2
Transporte de carga en Semiconductores - Ecuación de transporte de Boltzmann - III
⃗ ⃗
∂f ⃗ ⃗
F
∂f
+ v⋅∇ ⃗r f + ⋅∇ ⃗k f =
∂t
ℏ
∂t
( )
Col
En general:
( )
∂f
∂t
Col
=∫ { W ( ⃗
k ' → k⃗ )f ( k⃗ ' )[1−f ( ⃗
k )]−W ( ⃗
k → k⃗ ' )f ( ⃗
k )[1−f ( ⃗
k ' )] } d 3 k '
La ecuación de transporte es integro-diferencial. Muy dificil de tratar.
Aproximacion: tiempo de relajación:
⃗ = 0, f uniforme
Caso más simple: F
( )
∂f
∂t
Col
f −f
=− τ 0
t
f −f 0
df
−τ
=− τ ⇒ f −f 0 =C e
dt
De la aproximación del tiempo de relajación (con campos eléctricos) se obtienen los
modelos más simples de transporte.
Tema: Transporte en Semiconductores
Electrónica Física - Juan E. Carceller
3
Transporte de carga en Semiconductores
Movilidad de portadores:
⃗ aplicados, el movimiento de los electrones es
- En ausencia de E
aleatorio debido a:
* interacción con las vibraciones de la red: interacción electrón - fonón.
* Interacción con impurezas ionizadas (culombiana y apantallada).
* Interacción con impurezas neutras.
* Rugosidad superficial ...
* Cualquier defecto que rompa la idealidad del cristal.
⃗ aplicado, cada electrón experimenta una fuerza neta
- Cuando hay E
⃗ . Los choques anteriores continúan y aumentan, pero en
= −q E
promedio sobre el conjunto de electrones, adquieren una velocidad
⃗:
media proporcional a E

⟨ v n ⟩=− n⋅E

y ⟨ v p ⟩= p⋅E
J n=−q n ⟨ v n ⟩=q n  n E≡


nE
J p= q p ⟨ v p ⟩=q p  p E≡


pE
μ n , p : MOVILIDAD de los electrones, huecos
J =Jn Jp=   n p  E
 = E=q

 n n p  p  E
⃗
En general: ⃗
J =(σ ij ) E
(La justificación de la movilidad desde primeros principios se obtiene a partir de la ecuación de
transporte de Boltzmann)
Tema: Transporte en Semiconductores
Electrónica Física - Juan E. Carceller
4
Algunas propiedades de la movilidad
La velocidad originada por el campo electríco y limitada por la movilidad se denomina
velocidad de arrastre (drift velocity), y a las corrientes que se originan, corrientes de
arrastre (drift current).
τn,p: Tiempo (constante) de relajación del momento de los
q
q
electrones o huecos.
 n= n ;  p= p
m *cn
m *cp
m*cn,cp: Masa efectiva de conducción de electrones o huecos.

Para Si, Ge:
1
1 1
2
=

m * cn 3 m * l m * t
Para GaAs:
m*cn = m*n

Para huecos la situación es más complicada:
Hay que utilizar la población de cada banda:
σp = σpn+ σpp = q (plh μlh +phh μhh )
Regla de Mathiessen: Cuando hay varios efectos de scattering que introducen, por separado,
movilidades μ1, μ2 , μ3 .., la movilidad resultante μ se obtiene de:
1 = 1  1  1 
 1  2  3
Tema: Transporte en Semiconductores
Electrónica Física - Juan E. Carceller
5
Dependencia de la movilidad con la Temperatura:
Efecto del scattering culombiano por
impurezas y por fonones acústicos:
1 1
1
=

  phon  imp
(Culombiano)
(Fonones
acústcos)
A baja T:
- Los átomos de la red se mueven
con poca amplitud.
- Los portadores tienen poca
energía y se mueven “lentamente”.
- Domina el scattering por impurezas.
- Al aumentar T, aumenta la velocidad
de los portadores y las impurezas
dispersan menos.
A alta T:
- La velocidad de los portadores es
elevada y las impurezas apenas les
afectan.
- Los átomos de la red se mueven
con gran amplitud y domina el
scattering por vibraciones de la red:
por fonones.
Normalmente intervienen otros mecanismos de scattering: rugosidad superficial, scatering no
culombiano... La dependencia térmica de μ presenta otros valores del exponente.
Tema: Transporte en Semiconductores
Electrónica Física - Juan E. Carceller
6
Dependencia de la
movilidad con la
concentración de impurezas
Concentración de
impurezas = Na + Nd
Tema: Transporte en Semiconductores
Electrónica Física - Juan E. Carceller
7
Efectos de Campo Eléctrico Alto
A bajos campos eléctricos:
vd (cm/s)
⃗ ; μ=Cte .
⃗
v =(±)μ E
107
Comportamiento Óhmico.
A altos campos, la velocidad de
arrastre se satura. Para electrones:
106
μ=μ( E⃗ ); ⃗J=−q n v⃗ =q nμ( E⃗ ) E⃗
μ=Cte
105
Comportamiento no-Ohmico.
102
103
104
E (V/cm)
105
v n , p|∼|⃗
v th| , los portadores
Cuando |⃗
se denominan “calientes” (“hot carriers”).
Otros efectos:
* A altos campos y en distancias muy cortas: “velocity overshoot”.
⃗ por cambio de valle (de la B.C.) de los
* Decrecimiento de la velocidad con E
portadores en GaAs.
Tema: Transporte en Semiconductores
Electrónica Física - Juan E. Carceller
8