Solución Método Grafico _ Investigación de Operaciones

Asignatura:
Investigación de operaciones.
Grupo:
IND05B
Lugar y fecha de entrega:
Aguascalientes, Ags a 30 de mayo del 2020
SOLUCIÓN AL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA POR
MÉTODO GRAFICO.
Pasos:
1) Plantear el problema
2) Checar que el problema es de 2 variables con n restricciones
3) Cada restricción se convierte en una ecuación
4) Igualar cada ecuación a x1=0 y despejar x2
5) Ahora igualar a x2=0 y despejar x1
6) Hacer esto en todas las restricciones
7) Graficar cada ecuación que va a representar una línea
8) Seleccionar el sentido de las flechas
9) Encontrar al área factible
10) Seleccionar el punto optimo
X1= x
X2= y
➢ Problema #1
Un carpintero desea determinar la cantidad de sillas y mesas que debe producir el próximo
día para maximizar su ganancia.
Cuenta con 38m2 de madera y dispone de 7, 5 hrs/hombre.
Se requiere de 4m2 y 1 hora/hombre para confeccionar cada silla; y de 9, 5m2 de madera y
1 hora/hombre para confeccionar cada mesa.
Se asume que se vende todo lo que se produce y que el beneficio por silla es de $4,
mientras que el beneficio por mesa es de $8, 5.
¿Cuántas sillas y mesas debe producir?
Paso #1:
Objetivo: Maximizar ganancia
Variable de decisión: X1= sillas a producir, X2= mesas a producir
Restricciones:
4x + 9.5y ≤ 38
x + y ≤ 7.5
Paso #2:
CUMPLE
El problema es de 2
variables con n
restricciones
NO CUMPLE
⃝
Paso #3:
E1: 4x + 9.5y <= 38
E2: x + y <= 7.5
Paso #4:
Ecuación 1:
4x + 9.5y <= 38
𝟒(𝟎) + 𝟗. 𝟓𝐲 = 𝟑𝟖
𝐲=
Ecuación 2:
𝟑𝟖
𝟗. 𝟓
x + y <= 7.5
(0) + y = 7.5
y = 7.5
𝐲=𝟒
Paso # 5
Ecuación 1:
4x + 9.5y <= 38
𝟒𝐱 + 𝟗. 𝟓(𝟎) = 𝟑𝟖
𝐱=
Ecuación 2:
𝟑𝟖
𝟒
x + y <= 7.5
x + (0) = 7.5
x = 7.5
𝐱 = 𝟗. 𝟓
Paso #6:
Ecuaciones
E1:4x + 9.5y <= 38
E2: x + y <= 7.5
Valor de x
9.5
7.5
Valor de y
4
7.5
Coordenadas
(9.5,0) & (0,4)
(7.5,0) & (0,7.5)
Paso #7:
Paso #8:
Paso#9:
Área Factible
Paso#10:
Punto Óptimo: (7.5,0)
IN
A (0,4)
D (7.5, 0)
O.MAX G: 4x+8.5y 4 (6.05) +8.5(1.45) =24.2+12.325=36.525
4(0) +8.5(4) =34
4(7.5) +8.5(0) =30
O MAX G: 4x+8.5y 4 (6.05) +8.5 (1.45) =24.2+12.325=36.525
4(0) +8.5(4) =34
4(7.5) +8.5(0) =30
➢ Problema #2
Una compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos: transistores y bobinas.
Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de ensamble, dos minutos
de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto de tiempo en empaque.
Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo en Control
de Calidad y dos minutos en empaque.
Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y 400 minutos en
Empaque disponibles cada día.
Tanto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la utilidad.
La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la utilidad
total.
Paso #1:
Objetivo: Maximizar utilidad
Variable de decisión: X1= transistores a producir, X2= bobinas a producir
Restricciones:
x + 2y ≤ 300
2x + y ≤ 400
x + y ≤ 400
Paso #2:
CUMPLE
El problema es de 2
variables con n
restricciones
NO CUMPLE
⃝
Paso #3:
E1: x + 2y ≤ 300
E2: 2x + y ≤ 400
E3: x + y ≤ 400
Paso #4:
Ecuación 1: 𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟑𝟎𝟎
𝐱 + 𝟐(𝟎) = 𝟑𝟎𝟎
𝐱 = 𝟑𝟎𝟎
Ecuación 2: 𝟐𝐱 + 𝐲 ≤ 𝟒𝟎𝟎
2x + (0) = 400
400
x=
2
Ecuación 3: 𝐱 + 𝐲 ≤ 𝟒𝟎𝟎
x + (0) = 400
𝐱 = 𝟒𝟎𝟎
𝐱 = 𝟐𝟎𝟎
Paso # 5
Ecuación 1: 𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟑𝟎𝟎
(𝟎) + 𝟐𝐲 = 𝟑𝟎𝟎
𝐲=
Ecuación 2: 𝟐𝐱 + 𝐲 ≤ 𝟒𝟎𝟎
2(0) + Y = 400
𝟑𝟎𝟎
𝟐
𝐲 = 𝟒𝟎𝟎
Ecuación 3: 𝐱 + 𝐲 ≤ 𝟒𝟎𝟎
(0) + y = 400
𝐲 = 𝟒𝟎𝟎
𝐲 = 𝟏𝟓𝟎
Paso #6:
Ecuaciones
E1: 𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟑𝟎𝟎
E2: 𝟐𝐱 + 𝐲 ≤ 𝟒𝟎𝟎
E3: 𝐱 + 𝐲 ≤ 𝟒𝟎𝟎
Valor de x
300
200
400
Valor de y
150
400
400
Coordenadas
(300,0) & (0,150)
(200,0) & (0,400)
(400,0) & (0,400)
Paso #7:
Paso #8:
Paso#9:
Área Factible
Paso#10:
Punto Óptimo: (200,0)
IN (166.67,66.67)
A (0,150)
D (200,0) O.
MAX U: x + y 166.67+66.67=233.34
0+150=150
200+0=200
➢ Problema #3
Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y 2,
todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero
a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:
1. Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto
2. Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana
3. La ganancia por unidad vendida de cada producto
•
•
•
•
¿Qué cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para
obtener la máxima ganancia?
¿Cuántas horas semanales sobran en cada departamento?
¿Qué cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para
obtener la máxima ganancia?
¿Cuántas horas semanales sobran en cada departamento?
Paso #1:
Objetivo: Maximizar utilidad
Variable de decisión: X1= Producto 1, X2= Producto 2
Restricciones:
𝟐𝑿𝟏 + 𝟐𝑿𝟐 ≤ 𝟏𝟔
𝑿𝟏 + 𝟐𝑿𝟐 ≤ 𝟏𝟐
𝟒𝑿𝟏 + 𝟐𝑿𝟐 ≤ 𝟐𝟖
Paso #2:
CUMPLE
El problema es de 2
variables con n
restricciones
NO CUMPLE
⃝
Paso #3:
E1: 2x + 2y ≤ 16
E2: x + 2y ≤ 12
E3: 4x + 2y ≤ 28
Paso #4:
Ecuación 1: 𝟐𝐱 + 𝟐𝐲 ≤ 𝟏𝟔
𝟐𝐱 + 𝟐(𝟎) = 𝟏𝟔
𝟏𝟔
𝐱=
𝟐
Ecuación 2: 𝐱 + 𝟐𝐲 ≤ 𝟏𝟐
x + 2(0) = 12
𝐱 = 𝟏𝟐
𝐱=𝟖
Ecuación 3: 𝟒𝐱 + 𝟐𝐲 ≤ 𝟐𝟖
4x + 2(0) = 28
28
x=
4
𝐱=𝟕
Paso # 5
Ecuación 1: 𝟐𝐱 + 𝟐𝐲 ≤ 𝟏𝟔
𝟐(𝟎) + 𝟐𝐲 = 𝟏𝟔
𝐲=
Ecuación 2: 𝐱 + 𝟐𝐲 ≤ 𝟏𝟐
(0) + 2y = 12
𝟏𝟔
𝟐
y=
𝐲=𝟖
12
2
𝐲=𝟔
Ecuación 3: 𝟒𝐱 + 𝟐𝐲 ≤ 𝟐𝟖
4(0) + 2y = 28
y=
28
2
𝐲 = 𝟏𝟒
Paso #6:
Ecuaciones
E1: 𝟐𝐱 + 𝟐𝐲 ≤ 𝟏𝟔
E2: 𝐱 + 𝟐𝐲 ≤ 𝟏𝟐
E3: 𝟒𝐱 + 𝟐𝐲 ≤ 𝟐𝟖
Valor de x
8
12
7
Valor de y
8
6
14
Coordenadas
(8,0) & (0,8)
(12,0) & (0,6)
(7,0) & (0,14)
Paso #7:
Paso #8:
Paso#9:
Área Factible
Paso#10:
Punto Óptimo: (7,0)
Problema #4
Problema de Inversión: Considere que usted dispone de un capital de 21.000 dólares para
invertir en la bolsa de valores. Un amigo le recomienda 2 acciones que en el último tiempo
han estado al alza: Acción A y Acción B. La Acción A tiene una rentabilidad del 10% anual
y la Acción B del 8% anual. Su amigo le aconseja tener una cartera equilibrada y diversa y
por tanto le recomienda invertir un máximo de 13.000 dólares en la Acción A y como
mínimo 6.000 dólares en la Acción B. Además, la inversión en la Acción A debe ser menor
o igual que el doble de la inversión destinada a la Acción B. Usted quiere formular y
resolver un modelo de Programación Lineal que permita obtener la política de inversión
que permita obtener la máxima rentabilidad (interés) anual.
Paso #1:
Objetivo: Maximizar el interés anual
Variable de decisión: X1= Inversión en la acción A, X2= Inversión en la acción B
Restricciones:
𝑋1 ≥ 0.1
𝑋2 ≥ 0.08
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 21,000
𝑋1 ≤ 13,000
𝑋2 ≥ 6,000
𝑋1 ≤ 2𝑋2
𝑋1 − 2𝑋2 ≤ 0
Paso #2:
CUMPLE
El problema es de 2
variables con n
restricciones
Paso #3:
E1: 𝑋1 ≥ 0.1
E2: 𝑋2 ≥ 0.08
E3: 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 21,000
E4: 𝑋1 ≤ 13,000
E5: 𝑋2 ≥ 6,000
⃝
NO CUMPLE
E6: 𝑋1 − 2𝑋2 ≤ 0
Paso #4:
Ecuación 1:
Ecuación 2:
Ecuación 3:
Ecuación 4:
Ecuación 5:
Ecuación 6:
𝑿𝟏 ≥ 𝟎. 𝟏
𝑿𝟐 ≥ 𝟎. 𝟎𝟖
𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 ≤ 𝟐𝟏, 𝟎𝟎𝟎
x = 0.1
𝐱 + (𝟎) = 𝟐𝟏, 𝟎𝟎𝟎
𝐱 = 𝟐𝟏, 𝟎𝟎𝟎
𝐱 = 𝟏𝟑, 𝟎𝟎𝟎
𝑿𝟏 ≤ 𝟏𝟑, 𝟎𝟎𝟎
𝑿𝟐 ≥ 𝟔, 𝟎𝟎𝟎
𝑿𝟏 − 𝟐𝑿𝟐 ≤ 𝟎
𝐱 − 𝟐(𝟎) = 𝟎
𝐱=𝟎
Paso #5:
Ecuación 1:
Ecuación 2:
Ecuación 3:
Ecuación 4:
Ecuación 5:
Ecuación 6:
𝑿𝟏 ≥ 𝟎. 𝟏
𝑿𝟐 ≥ 𝟎. 𝟎𝟖
𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 ≤ 𝟐𝟏, 𝟎𝟎𝟎
𝒚 = 𝟎. 𝟎𝟖
(𝟎) + 𝐲 = 𝟐𝟏, 𝟎𝟎𝟎
𝐲 = 𝟐𝟏, 𝟎𝟎𝟎
𝑿𝟏 ≤ 𝟏𝟑, 𝟎𝟎𝟎
𝑿𝟐 ≥ 𝟔, 𝟎𝟎𝟎
𝑿𝟏 − 𝟐𝑿𝟐 ≤ 𝟎
𝒚 = 𝟔, 𝟎𝟎𝟎
(𝟎) − 𝟐𝒚 = 𝟎
𝒚=−
𝟎
𝟐
𝐱=𝟎
Paso #6:
Ecuaciones
E1:
𝑿𝟏 ≥ 𝟎. 𝟏
E2
𝑿𝟐 ≥ 𝟎. 𝟎𝟖
E3: 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 ≤ 𝟐𝟏, 𝟎𝟎𝟎
E4: 𝑿𝟏 ≤ 𝟏𝟑, 𝟎𝟎𝟎
E5: 𝑿𝟐 ≥ 𝟔, 𝟎𝟎𝟎
E6: 𝑿𝟏 − 𝟐𝑿𝟐 ≤ 𝟎
Valor de x
0.01
0
21,000
13,000
0
0
Valor de y
0
0.08
21,000
0
6,000
0
Coordenadas
(0.01,0) & (0,0)
(0,0) & (0,0.08)
(21.000,0) & (0,21.000)
(13.000,0) & (0,0)
(0,0) & (0,6.000)
(0,0) & (0,0)
Paso #7:
Paso #8:
Paso#9:
Paso#10:
Punto Óptimo: (0,0)
IN (19333.33.1666.67)
B (21000,0)
E (0,-8000)
F (8000,0) O.
MAX G: 0.10x+0.08y
0.10(19333.33)+0.08(1666.67)=1933.33+133.33=2066.66
0.10(21000)+0.08(0)=2100
0.10(0)+0.08(-8000)=-640
0.10(8000)+0.08(0)=800
➢ Problema #5
Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboración de dos productos
finales. Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas grandes”, que son utilizadas para
elaborar sillas (usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de
cada tipo).
Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar de modo de obtener la máxima utilidad,
dado un beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20 por cada mesa fabricada.
Posibles soluciones factibles para considerar, esto es soluciones que respetan las
restricciones del número de piezas disponibles, son, por ejemplo, fabricar:
•
•
•
•
•
4 sillas, que reportan una utilidad de U$60
1 sillas y 2 mesas, utilidad de U$55
3 mesas, utilidad de U$60
1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65
2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70 etc.
Paso #1:
Objetivo: Maximizar utilidad
Variable de decisión: X1= Cantidad de sillas, X2= Cantidad de mesas
Restricciones:
𝟐𝑿𝟏 + 𝟐𝑿𝟐 ≤ 𝟖
𝑿𝟏 + 𝟐𝑿𝟐 ≤ 𝟔
Paso #2:
CUMPLE
El problema es de 2
variables con n
restricciones
NO CUMPLE
⃝
Paso #3:
E1: 2𝑥 + 2𝑦 ≤ 8
E2: x + 2y ≤ 6
Paso #4:
Ecuación 1:
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟖
𝟐𝒙 + 𝟐(𝟎) = 𝟖
𝒙=
Ecuación 2:
𝟖
𝟐
𝐱 + 𝟐𝐲 ≤ 𝟔
𝑥 + 2(0) = 6
𝑥=6
𝒙=𝟒
Paso # 5
Ecuación 1:
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟖
𝟐(𝟎) + 𝟐𝒚 = 𝟖
𝒚=
Ecuación 2: 𝐱 + 𝟐𝐲 ≤ 𝟔
(0) + 2𝑦 = 6
𝟖
𝟐
𝑦=
𝒚=𝟒
6
2
𝑦=3
Paso #6:
Ecuaciones
E1: 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟖
E2: 𝐱 + 𝟐𝐲 ≤ 𝟔
Valor de x
4
4
Valor de y
6
3
Coordenadas
(4,0) & (0,6)
(4,0) & (0,3)
Paso #7:
Paso #8:
Paso #9:
Área
Factible
Paso #10:
Punto Óptimo: (4,0)
IN (2,2)
C (0,3)
B (4,0) O.
MAX U: 15x+20y 15(2) +20(2) =30+40=70
15(0) +20(3) =60
15(4) +20(0) =60