electromagnetismo kronk

Capı́tulo 1 Electrostática: cargas y campos. versión final 3.0, 28 de Mayo del 2007 En este capı́tulo estudiaremos los conceptos esenciales de la Fı́sica de las cargas eléctricas estacionarias, es decir, la electrostática. Las secciones que veremos: Algo de historia. Carga eléctrica; conservación, invariancia y cuantización. Ley de Coulomb. Energı́a de un sistema de cargas. Campo eléctrico. Flujo eléctrico. Ley de Gauss. Ejemplo de evaluación del campo eléctrico. Fuerza sobre una carga superficial. Energı́a asociada a un campo eléctrico. 1.1. Algo de historia. La electricidad a través de los fenómenos de la electrostática se conoce desde tiempos muy antiguos. Teofrato (321 AC) y probablemente Tales (600 AC) sabı́an que el ámbar al ser frotado con otras substancias secas adquirı́an la habilidad de atraer cuerpos livianos como plumas o trozos de paja. Cerca de 2000 años después el médico de la Reina Isabel I de Inglaterra, William Gilbert (1544-1603) usó la palabra griega para ámbar, elektron, para describir estas fuerzas que llamó vis electrica. También se observó que existen dos tipos de electricidad. Por ejemplo, si una barra de vidrio se frota con seda, estos dos cuerpos quedan cargados con dos tipos distintos de electricidad. Ası́ , dos barras frotadas con seda se repelen. Benjamı́n Franklin (1706-1790) le dio 1 2 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. el nombre de positiva a la electricidad con que queda la barra de vidrio y negativa a la de la seda. Ahora se sabe que en este experimento electrones son traspasados de la barra a la seda. Ası́ decimos que los electrones tienen carga negativa. 1.2. Carga eléctrica; conservación, invariancia y cuantización. Hechos experimentales que se conocen sobre la carga: Existen dos variedades: Positivas y Negativas. Las de igual signo se repelen. Las de distinto tipo se atraen. 1.2.1. Propiedades de la carga. Se conserva. La carga total de un sistema aislado, es decir, la suma algebraica de las cargas positivas y negativas en cierto instante, no varı́a nunca. Por un sistema aislado entendemos: aquel en el que no está permitido el flujo de materia a través de sus paredes. Un ejemplo de la conservación de la carga es la creación de pares (electrón-positrón.) La carga es un invariante relativista. Está cuantizada. En 1909 Millikan demostró experimentalmente que la carga siempre se presenta como múltiplo entero de una unidad fundamental de carga que llamaremos e. Se dice que la carga está cuantizada, es decir Q = Ne N ∈ Z . Se ha mostrado experimentalmente que la diferencia en el valor absoluto de las carga de un protón y de un electrón si existiera serı́a menor que 10−20 e Existen los quark con carga +2e/3 (u), -e/3 (d), -e/3 (s), +2e/3 (c), -e/3 (b), +2e/3 (t). Pero no se detectan quark libres. p(uud) y n(ddu). La cuantización de la carga escapa del alcance del electromagnetismo clásico. Nosotros lo ignoraremos, usaremos distribuciones continuas de carga. 1.3. LA LEY DE COULOMB. 1.3. 3 La Ley de Coulomb. q1 q r12 2 r2 r1 0 La fuerza de interacción entre dos cargas es la Ley de Coulomb kq1 q2 kq1 q2 F~12 = 2 r̂12 = 3 ~r12 r12 r12 (1.1) donde ~r12 = ~r1 − ~r2 , r12 = |~r12 |, r̂12 = ~r12 /|~r12 |, F~12 , es la fuerza sobre q1 debido a q2 . Los qi , son escalares con sus signos respectivos y finalmente k, tiene en cuenta las unidades. El vector unitario r̂12 indica que la fuerza es paralela a la recta que une a las dos cargas. Sabemos que por acción y reacción: F~12 = −F~21 . Las unidades: si r12 [cm], F [dinas], qi [ues] k = 1. Si por el contrario r12 [m], F [Newton], qi [Coulomb] entonces 2 1 9 Nm , (1.2) k= = 8.9875 × 10 4π0 C2 La constante 0 se conoce como constante dieléctrica o permitividad del vacı́o, y tiene un valor: 2 C −12 . (1.3) 0 = 8.8542 × 10 Nm2 El factor de conversión entre [Coulomb] y [ues] 1[C] = 2.998 × 109 [ues] , (1.4) e = 4.803250(21) × 10−10 [ues] (1.5) y la carga del electrón en [ues] es Un hecho experimental es que la fuerza con la cual dos cargas interactúan no se modifica por la presencia de una tercera, es más, sea cual fuere el número de cargas presentes en nuestro sistema la ley de Coulomb puede utilizarse para calcular la interacción de cada par. Este hecho es conocido como el Principio de superposición. 4 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. ~ Una configuración de cargas {qi }N ri }N i=1 con vectores {~ i=1 ejercen una fuerza F0 sobre una partı́cula de carga q0 ubicada en ~r0 respecto a algún origen común. F~0 se puede escribir: F~0 = N X q0 qi r̂0i i=1 1.3.1. (1.6) 2 r0i Ejercicios. 1. Encuentre la fuerza resultante sobre q3 considerando que q1 = +e, q3 = +e y q2 = −e. q2 a q3 a q1 2. ¿En qué posición la fuerza resultante sobre q2 es cero? ¿Qué tipo de equilibrio es? d q1 q2 q3 Teorema de Earnshaw: Ningún sistema puede estar en equilibrio estable bajo la única acción de fuerzas eléctricas 1.4. Energı́a de un sistema de cargas. Consideremos el trabajo que hay que hacer sobre el sistema para llevar dos cuerpos cargados (inicialmente infinitamente distantes) a una distancia dada. Inicialmente q1 muy grande q2 1.4. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE CARGAS. 5 Después q2 r 12 q1 Estamos omitiendo la energı́a necesaria para “crear” las partı́culas cargadas. 1.4.1. Cálculo del trabajo. Z W = ~ = F~ · ds Z r12 +∞ q1 q2 r̂ · dr(−r̂) = +q1 q2 r2 Z r12 − +∞ dr q1 q2 = . 2 r r12 El origen está en q1 y traemos q2 desde infinito. F ds q2 r q1 W = q1 q2 r12 (1.7) debe ser mayor que cero si las cargas tienen el mismo signo. Sabemos que si la Fuerza es conservativa el trabajo es el mismo independiente del camino usado. r+dr r ds q ds cos θ = dr θ dr F ds =−Fdr Debido a que la fuerza es central los tramos de camino entre r y r + dr requieren el mismo trabajo, por lo tanto, la Fuerza es conservativa. 6 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. Si acercamos una tercer partı́cula a r31 de q1 y a r32 de q2 el trabajo será Z ~ = F~3 · ds Z ~ + F~31 · ds W3 = = Z ~ (F~31 + F~32 ) · ds Z ~ , F~32 · ds por lo tanto, es la suma de los trabajos 1.4.2. Energı́a de un sistema de cargas. W3 = q1 q3 q2 q3 + . r31 r32 El trabajo total efectuado U , para reunir las tres cargas en estas posiciones, será por lo tanto, U= q1 q2 q1 q3 q2 q3 + + . r21 r31 r32 (1.8) U corresponde a la energı́a potencial eléctrica del sistema. El cero de U lo elegimos cuando las cargas están infinitamente separadas. 1.4.3. Propiedades de U . U es independiente del orden de colocación. U es independiente del camino. U sólo depende de la disposición final de las cargas. En general para un sistema de N cargas {qi } N 1 X X qj qk U= 2 j=1 k6=j rk j (1.9) 1.4. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE CARGAS. 1.4.4. 7 Un ejemplo. −e b −e −e b −e −e +2e −e −e −e b −2e2 12e2 12e2 4e2 4.32e2 U =8 √ + +√ +√ = . b b ( 3/2)b 2b 3b 1.4.5. U de una red cristalina. La energı́a de una configuración de carga tiene importancia en Fı́sica de Sólidos. Un cristal iónico (NaCl) puede representarse, con gran aproximación, por una distribución de iones positivos (Na+ ) y negativo (Cl− ) alternados en una distribución espacial periódica. a A pesar de que los iones NO son puntuales veremos que podemos tratarlos como si lo fueran. La energı́a electrostática juega un importante papel en la explicación de la estabilidad y cohesión de un cristal iónico. ¡La suma es enorme! un cristal macroscópico contiene del orden de 1023 átomos. ¿Convergerá la suma? 8 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. Lo que se desea hallar es la energı́a potencial por unidad de volumen o de masa, la cual deberı́a ser independiente del tamaño del cristal. Obviamente 2 gramos de NaCl tiene el doble de energı́a que un gramo. Cualquier ion positivo está en una posición equivalente a cualquier otro. La distribución de iones negativos en torno a uno positivo es la misma que la de iones positivos en torno a uno negativo. Tomemos un ion cualquiera, elijamoslo como centro y sumemos sus interacciones con todos los demás y multipliquemos por el número total de iones de ambas clases. N N 1 X X qj qk 1 X q1 qk U= = N . 2 j=1 k6=j rk j 2 k=2 r1k Los términos principales de la suma anterior son 1 −6e2 12e2 8e2 U= N + √ − √ + ... . 2 a 2a 3a La serie no converge absolutamente. Este cálculo es “delicado” U =− 0.8738N e2 , a donde N es el número de iones. 1.5. El campo eléctrico. Un conjunto de cargas {qi }N i=1 fijas en el espacio y una carga q0 en la posición (x, y, z), la fuerza sobre q0 es N X q0 qj r̂0j . F~0 = 2 r 0j j=1 Dividamos la ecuación anterior por q0 obteniendo una magnitud vectorial que depende de la estructura del sistema de cargas y de la posición (x, y, z). A este vector, el cual es función de (x, y, z), lo llamamos el campo eléctrico originado ~ por las cargas ({qi }) y lo denotamos por E. ~ E(x, y, z) = N X qj r̂0j j=1 2 r0j dinas ues . (1.10) La condición de que las cargas sean fijas se puede reemplazar exigiendo que q0 sea infinitesimal para no alterar la distribución de carga inicial, i.e. F~ ~ . E(x, y, z) = lı́m q0 →0 q0 No es tan riguroso como parece ya que q < e no se observan. (1.11) 1.5. EL CAMPO ELÉCTRICO. 1.5.1. 9 Lı́neas de Campo ~ sin referencia a una carga de Si tomamos la ecuación (1.10) como la definición de E, prueba, no surgen problemas y no necesitamos que las cargas sean fijas. Una manera de visualizar un campo eléctrico son las lı́neas de campo. Su relación con el campo eléctrico es la siguiente i) La tangente de estas lı́neas tiene la dirección del campo en ese punto. ii) Estas lı́neas convergen cuando nos aproximamos a una región de campo intenso y se separan en una región de campo débil. 1.5.2. Dibujando lı́neas de Campo. + − Para el trazado de lı́neas se debe tener en cuenta: Las lı́neas deben partir de las cargas positivas y terminar en las cargas negativas o bien en el infinito en el caso de un exceso de carga. El número de lı́neas que partan de las cargas positiva o lleguen a la negativa es proporcional a la magnitud de la carga. Dos lı́neas de campo no pueden cruzarse. 1.5.3. Ejemplos. Lı́neas de campo de una par de cargas con distinto signo. 10 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. Lı́neas de campo de una par de cargas con igual signo. 1.6. Distribuciones de carga Ahora vamos a generalizar pasando de cargas puntuales a una distribución continua de carga. La distribución de carga está caracterizada por una función de la posición ρ(x, y, z) llamada densidad de carga volumétrica y tiene dimensiones de [carga/volumen] Para evaluar el campo 1.6. DISTRIBUCIONES DE CARGA 11 ρ ( r )=ρ (x’,y’,z’) dx’dy’dz’=d 3r’ Punto de Observación r−r’ r r’ Origen ~ r) = E(~ Z ρ(~r 0 )d3 r 0 r − ~r 0 ) 3 (~ 0 | ~r − ~r | (1.12) Habitualmente uno elige el origen en el punto de observación, ρ(~r) es una constante o una función analı́tica dentro del volumen de interés y se evalúa el módulo o una componente del campo ρ = cte dq R R ~ = E 1.6.1. Z dq R̂ = ρ R2 Z dv R̂ R2 (1.13) Densidades. Si una carga Q está uniformemente distribuida en un volumen V , la densidad volumétrica de carga es Q . (1.14) ρ= V Si una carga Q esta uniformemente distribuida sobre una superficie de área A, la densidad superficial de carga es Q σ= . (1.15) A 12 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. Si una carga Q esta uniformemente distribuida sobre una lı́nea de longitud L, la densidad lineal de carga es Q λ= . (1.16) L 1.6.2. Campo de una lı́nea infinita cargada dq= λ dz z O z r R θ θ ~ = dE Notemos que R= √ dE λdz dq λdz R̂ = cos θr̂ + sen θẑ R2 R2 R2 r2 + z 2 cos θ = √ r r2 + z 2 sen θ = √ z r2 + z 2 luego Z ∞ λdz λdz r z √ √ r̂ + ẑ 2 2 2 2 r2 + z 2 r2 + z 2 −∞ r + z −∞ r + z Z ∞ Z ∞ Z ∞ dz z dz = λrr̂ + λẑ = λrr̂ , 2 2 3/2 2 2 3/2 2 2 3/2 −∞ (r + z ) −∞ (r + z ) −∞ (r + z ) ~ = E Z ∞ por paridad. Hacemos el cambio de variable z = r tan φ dz = r sec2 φ dφ , y reemplazamos en la integral Z π/2 Z π/2 2 r sec φ dφ r sec2 φ ~ = λrr̂ = λrr̂ dφ E 2 2 2 2 3/2 3 3/2 −π/2 r (1 + tan φ) −π/2 (r + r tan φ) Z π/2 Z π/2 λ sec2 φ λ dφ = r̂ = r̂ cos φ dφ r −π/2 sec3 φ r −π/2 +π/2 λ λ 2λ = r̂ sen φ = r̂[1 − (−1)] = r̂ . r r r −π/2 1.6. DISTRIBUCIONES DE CARGA 13 Resumiendo ~ r) = 2λ r̂ E(~ r 1.6.3. (1.17) Campo de una distribución de carga plana e indefinida y dq= σ dxdy θ R x dE Por simetrı́a sólo interesa la componente z (las otras se anulan) Z Z ∞Z ∞ σdxdy dq Ez = cos θ = cos θ , 2 2 2 2 R −∞ −∞ x + y + z z donde cos θ = 2 , luego la integral nos queda: 2 (x + y + z 2 )1/2 Z ∞Z ∞ dxdy . Ez = zσ 2 2 2 3/2 −∞ −∞ (x + y + z ) Usemos coordenadas polares planas sobre el plano r 2 = x2 + y 2 , rdrdφ = dxdy . La integral nos queda Z ∞ r dr r dr = 2πσz dφ Ez = zσ 2 2 3/2 2 (r + z ) (r + z 2 )3/2 0 0 0 ∞ −1 −1 z √ = 2πσz 2 = 2πσz 0 − = 2πσ . (r + z 2 )−1/2 0 |z| z2 Z 2π Z ∞ Resumiendo ~ r) = 2πσ sgn(z)ẑ E(~ (1.18) 14 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. 1.7. Flujo Eléctrico. Consideremos cierto campo vectorial F~ (~r) en el espacio, y en ese espacio cierta superficie cerrada S arbitraria. Podemos definir el flujo de F~ a través de esa superficie como: Z Φ= F~ · d~a (1.19) S ~ r) Donde la integral es sobre S, i.e. toda la superficie. Si se trata del campo eléctrico E(~ entonces el el flujo eléctrico a través de esa superficie S es Z Φ= ~ · d~a E (1.20) S 1.7.1. La normal Definimos el vector normal n̂ a la superficie es aquel que apunta hacia afuera del volumen definido por la superficie cerrada. n da da = n da 1.7. FLUJO ELÉCTRICO. 1.7.2. 15 Analogı́a con un fluido. Sea v el campo de velocidades del fluido a a a Flujo: va Flujo: 0 60 o Flujo: va cos 60 o El flujo es el volumen del fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo. 1.7.3. Flujo de una carga puntual. Evaluemos el flujo a través de una superficie esférica SI centrada en una carga puntual q SI Z ΦI = I q r̂ · r̂ da = r2 Z 0 π Z 0 2π q 2 r sen θ dθdφ = 4πq r2 (1.21) 16 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. SI SIII Como el resultado anterior (1.21) NO depende de r, el flujo a través de la superficie SIII será ΦIII = ΦI = 4πq . (1.22) SII SI SIII Si no hay más carga no se crea ni se destruye flujo, por lo tanto ΦII = 4πq . (1.23) Por superposición puede extenderse este resultado a cualquier número de cargas o a distribuciones continuas. 1.8. Ley de Gauss. ~ a través de una superficie cerrada cualesquiera, es decir, la El flujo del campo eléctrico E ~ · d~a extendida a la superficie, es igual a 4π por la carga total encerrada por la integral de E superficie Z S ~ r) · d~a = 4π E(~ X Z qi = 4π i Este resultado es equivalente a la ley de Coulomb. ρdv ∂S (1.24) 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO. 1.9. 1.9.1. 17 Ejemplos de evaluación del campo eléctrico. Cascarón esférico. r> Q r< R SI SII La densidad superficial σ es Q . 4πR2 Existen dos regiones de interés, r > R y r < R. σ= (1.25) región r > R ~ en la primera región. Dada la simetrı́a del Consideremos la superficie SII para evaluar E ~ problema postulamos E(r) = E(r)r̂, claramente para la superficie d~a = dar̂ Z ~ · d~a = E Z E(r)r̂ · r̂da = 4πQ Z E(r) da = 4πQ SII E(r)4πr2 = 4πQ Q E(r) = 2 . r Luego para r > R ~ r) = Q r̂ E(~ r2 (1.26) región r < R ~ en la segunda región. Dada la simetrı́a del Consideremos la superficie SI para evaluar E ~ problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)r̂, para la superficie d~a = dar̂ 18 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. Z ~ · d~a = E Z E(r)r̂ · r̂da = 0 Z E(r) da = 0 SI E(r)4πr2 = 0 E(r) = 0 . Luego para r < R ~ r) = ~0 E(~ (1.27) Grafiquemos ambos resultados Ancho del cascarón E(r) Q r2 R 1.9.2. r Esfera cargada con ρ constante. Q r> r b ρdv = Q. Existen nuevamente dos regiones de interés, r > b y r < b. 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO. 19 región r > b ~ en la primera región. Dada la simetrı́a del Consideremos la superficie SII para evaluar E ~ problema postulamos E(r) = E(r)r̂, claramente para la superficie d~a = dar̂ Z ~ · d~a = E Z Z E(r)r̂ · r̂da = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4π ρ dv sII E(r)4πr2 = 4πρ 4π 3 Q b = 2 . 3 r Luego para r > b ~ r) = Q r̂ E(~ r2 (1.29) región r < b ~ en la segunda región. Dada la simetrı́a del Consideremos la superficie SI para evaluar E ~ problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)r̂, para la superficie d~a = dar̂ Z ~ · d~a = E Z Z E(r)r̂ · r̂da = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4π ρ dv sI E(r)4πr2 = 4πρ 4π 3 Q r = 3r . 3 b Luego para r R2 r< R 1 La densidad ρ es ρ= 4π 3 R2 3 Q − 4π 3 R1 3 . (1.31) Existen tres regiones de interés, r > R2 , R1 < r < R2 y r < R1 . Evaluación en la región r > R2 . ~ en la primera región. Dada la simetrı́a del Consideremos la superficie SI para evaluar E ~ problema postulamos E(r) = E(r)r̂, claramente para la superficie d~a = dar̂ Z ~ · d~a = E Z E(r)r̂ · r̂da = 4πQ Z E(r) da = 4πQ SI E(r)4πr2 = 4πQ = Q . r2 Luego para r > R ~ r) = Q r̂ E(~ r2 (1.32) Evaluación en la región R1 < r < R2 . ~ en la segunda región. Dada la simetrı́a del Consideremos la superficie SII para evaluar E ~ problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)r̂ y para la superficie d~a = dar̂ 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO. Z ~ · d~a = E Z 21 Z E(r)r̂ · r̂da = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4πρ dv SII Q 4π 3 r − R13 = 2 E(r)4πr = 4πρ 3 r 2 r3 − R13 R23 − R13 . Luego para R1 < r < R2 ~ r) = Q E(~ r2 r3 − R13 R23 − R13 r̂ (1.33) región r < R1 . ~ en la segunda región. Dada la simetrı́a Consideremos la superficie SIII para evaluar E ~ postulamos E(r) = E(r)r̂, para la superficie d~a = dar̂ Z ~ · d~a = E Z E(r)r̂ · r̂da = 0 Z E(r) da = 0 SIII E(r)4πr2 = 0 E(r) = 0 . Luego para r < R1 ~ r) = ~0 E(~ (1.34) Q r 3 _ R13 r2 E(r) R23 _ R13 Q r2 R1 R2 r 22 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. Caso lı́mite, R1 → 0.  Q     r2 r̂ ~ r) = E(~  Q    3 rr̂ R2 r > R2 (1.35) r < R2 Caso lı́mite, R1 → R2 .  Q   2 r̂ ~ r) = r E(~  ~ 0 1.9.4. r > R2 (1.36) r < R2 Esfera cargada con ρ(r) variable. Q r> r b R Debemos probar que ρdv = Q y luego encontrar el campo eléctrico en las dos regiones de interés, r > b y r < b. Integramos la densidad en todo el espacio Z b Z Z ∞ Z π Z 2π 5Q 2 ρ(~r)dv = ρ(r)r sen θdrdθdφ = 4π r(b − r)r2 dr 5 πb 0 0 0 0 Z b Z b 20Q b5 b5 20Q 20Q b5 3 4 r b dr − r dr = 5 = 5 = 5 − b b 4 5 b 20 0 0 =Q. 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO. 23 región r > b. ~ en la primera región. Dada la simetrı́a del Consideremos la superficie SI para evaluar E ~ problema postulamos E(r) = E(r)r̂, claramente para la superficie d~a = dar̂ Z ~ · d~a = E Z Z E(r)r̂ · r̂da = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4π ρ dv sI E(r)4πr2 = 4πQ Q = 2 . r Luego para r > b ~ r) = Q r̂ E(~ r2 (1.38) región r < b. ~ en la segunda región. Dada la simetrı́a del Consideremos la superficie SII para evaluar E ~ problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)r̂, para la superficie d~a = dar̂ Z Z Z ~ E · d~a = E(r)r̂ · r̂da = 4π ρ dv Z Z E(r) da = 4π ρ dv sII Z rZ 2 π Z 2π E(r)4πr = 4π 0 4π r2 Z 0 ρ(u)u2 sen θdudθdφ 0 r 5Q u(b − u)u2 du 5 0 πb Z r Z r 20Q 3 4 bu du − u du E(r) = 5 2 br 0 0 20Q br4 r5 E(r) = 5 2 − br 4 5 E(r) = = Q 2 5br − 4r3 5 b Luego para r < R ~ r) = Q 5br2 − 4r3 r̂ E(~ b5 (1.39) 24 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. 1.9.5. Lı́nea cargada infinita. z L λ da= da z R da= da R da=−da z La figura muestra las diferentes normales de la superficie de Gauss elegida. Cálculo del campo eléctrico. ~ r) = E(R)R̂ con R el radio de Suponemos el campo eléctrico con la siguiente forma E(~ las coordenadas cilı́ndricas. La Ley de Gauss nos dice Z ~ · d~a = 4πQencerrada E La carga encerrada corresponde a λL, luego Z Z E(R)R̂ · (±ẑ) da + 2 tapas E(R)R̂ · R̂ da = 4πλL manto E(R)2πRL = 4πλL 2λ E(R) = . R Luego ~ r) = 2λ R̂ E(~ R (1.40) 1.9. EJEMPLOS DE EVALUACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO. 1.9.6. 25 Plano infinito cargado. σ A z La figura muestra la sección del plano que define el cilindro al atravesarlo. Cálculo del campo eléctrico. Suponemos el campo eléctrico con la siguiente forma ( z>0 ~ r) = +E(z)ẑ E(~ −E(z)ẑ z<0 (1.41) La Ley de Gauss nos dice Z ~ · d~a = 4πQencerrada E La carga encerrada, en este caso, corresponde a σA, luego Z Z ±E(z)ẑ · (±ẑ) da + 2 tapas E(z)ẑ · R̂ da = 4πσA manto 2E(z)A = 4πσA E(z) = 2πσ . Luego ~ r) = 2πσ sgn(z)ẑ E(~ (1.42) 26 1.9.7. CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. Problemas de flujo. Consideremos una carga q situada en el centro de un cubo. ¿Cuánto flujo sale por una de las caras? q Φ= 1 2πq × 4πq = 6 3 (1.43) Consideremos una carga q situada en un vértice de un cubo. ¿Cuánto flujo sale por cada una de las caras? q Por las caras que contiene a la carga el flujo es nulo y por las otras tres el flujo es igual. Agregamos siete cubos en el entorno tal de dejar la carga al centro de un nuevo cubo mas grande, ahora podemos usar el resultado anterior q Φ= 1 1 πq × × 4πq = 4 6 6 (1.44) 1.10. FUERZA SOBRE UNA CARGA SUPERFICIAL. 1.10. 27 Fuerza sobre una carga superficial. σ ues cm 2 E= 4πσ Q= 4π r02 σ E=0 r0 σ dA ¿A qué se debe y cuál es la fuerza que actúa sobre un elemento superficial de carga σdA? La fuerza es debida a la repulsión que experimenta por parte de todo el resto de los elementos de carga de la esfera. ¿Qué valor del campo debemos usar sobre la lámina? Eext = Q = 4πσ , r02 Ein = 0 . (1.45) Usemos el promedio 1 (Eext + Ein ) = 2πσ (1.46) 2 Una manera de entender esto es suponer que el espesor NO es nulo. Supongamos que no es una densidad superficial sino una densidad volumétrica ρ (uniforme) en un ancho ∆r tal que ρ∆r = σ. ∆r ∆r E= 4πσ ∆r E= 4πσ ∆r 0 E= 4πσ ρ ∆ r =σ E=0 E=0 E=0 E=0 E= 4πσ ρ = cte. La carga superficial real NO se hallará en una capa de espesor cero y densidad volumétrica infinita, ası́ que nuestra representación es más realista que la del caso lı́mite. Por ejemplo: una carga de superficie en un metal puede tener varios [Å] de espesor. 28 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. La fuerza sobre un elemento de carga superficial dF = 1 (Eext + Ein ) dq = 2πσσdA = 2πσ 2 dA . 2 (1.47) La fuerza por unidad de área vale 2πσ 2 . Esta es una fuerza hacia el exterior originada por la repulsión de las cargas. Naturalmente si las cargas no escapan esta fuerza debe estar equilibrada con alguna fuerza de origen atómico o molecular, no incluida en nuestras ecuaciones. Si cargamos un globo de goma, la repulsión calculada tenderı́a a dilatarlo. 1.10.1. El trabajo para comprimir. Recı́procamente, deberı́amos efectuar trabajo sobre el sistema para acortar el diámetro mientras Qtotal =cte. dr r0 r0 _ dr Supongamos que deseamos disminuir el radio de la esfera de r0 a r0 −dr. El trabajo contra las las fuerzas eléctricas dW = (2πσ 2 )(4πr02 ) dr = 8π 2 σ 2 r02 dr . En función de la carga total Q = 4πr02 σ tenemos dW = 1.11. Q2 dr 2r02 (1.48) Energı́a asociada a un campo eléctrico. Notemos que al disminuir la esfera, en lo que al campo se refiere, es crear la intensidad de campo 4πσ en una capa entre r0 y r0 − dr donde el campo antes era nulo. En todos los otros puntos del espacio el campo permanece exactamente igual que antes. Esta parte del campo, puede decirse, que ha sido creada a costa del trabajo dW . dW = Q2 dr Q2 × 4πr02 × dr Q2 E2 = = dv = dv 2r02 2 × 4πr02 × r02 8πr04 8π (1.49) Este es un ejemplo particular de un teorema mucha más general, que no demostraremos. 1.11. ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO. 1.11.1. 29 El teorema. La energı́a potencial U de un sistema de cargas, la cual es el trabajo total requerido para formar el sistema, puede calcularse a partir del campo eléctrico propio simplemente asignando una cantidad de energı́a (E 2 /8π)dv a cada elemento de volumen dv e integrando para todo el espacio donde existe el campo eléctrico. Z 2 1 ~ dv E U= (1.50) 8π donde la integral es sobre todo el espacio. 1.11.2. Energı́a de la esfera usando el campo. Usando la ecuación (1.50) podrı́amos calcular al energı́a asociada a nuestra esfera cargada. El campo en todo el espacio es   Q r̂ r > r0 ~ = r2 E (1.51)  0 r < r0 La energı́a es 1 U= 8π Z 1 E dv = 8π 2 Z ∞ r0 Q2 Q2 2 4πr dr = r4 2 Z ∞ r0 Q2 1 dr = − r2 2r ∞ , r0 finalmente U= 1.11.3. Q2 2r0 (1.52) Energı́a de la esfera calculando el trabajo. A partir de la ecuación (1.49) considerando una esfera de radio arbitrario r y que la disminuiremos desde un radio ∞ a un radio r0 dado. (Recordemos que la fuerza y el desplazamiento son antiparalelos luego debe haber un signo (-)), Z r0 Z ∞ 2 ∞ Q2 dr Q2 Q Q2 U= − 2 = dr = − = . (1.53) 2 2r 2r r0 2r0 ∞ r0 2r Nuevamente obtenemos el resultado (1.52) U= Q2 2r0 (1.54) Una imagen usual es que la energı́a está almacenada en el campo. Siendo el sistema conservativo, esta cantidad de energı́a puede ser recuperada permitiendo a las cargas “separarse”. 30 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA: CARGAS Y CAMPOS. La energı́a estaba en alguna parte. Nuestra consideración aparece correcta si imaginamos que la energı́a está almacenada ~ 2 /8π en [erg/cm3 ]. en el espacio con una densidad |E| Sin embargo, sólo es fı́sicamente medible la energı́a total Capı́tulo 2 Potencial eléctrico. En este capı́tulo veremos: Integral de lı́nea del campo eléctrico. Diferencia de potencial y función potencial. Gradiente de una función escalar. Deducción del campo a partir del potencial. Potencial de una distribución de cargas. Disco cargado uniformemente. Divergencia de una función vectorial. Teorema de Gauss y forma diferencial de la Ley de Gauss. La divergencia en coordenadas cartesianas. El Laplaciano. La ecuación de Laplace. Rotacional de una función vectorial. Teorema de Stokes. Rotacional en coordenadas cartesianas. Significado fı́sico del rotacional. 31 32 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO. 2.1. Integral de lı́nea del campo eléctrico. ~ Supongamos que una cierta distribución estacionaria de carga produce un campo E, entonces Z P2 ~ · d~s , E (2.1) P1 a través de cierto camino. Significa: Dividir el camino en pequeños segmentos. Representar cada segmento por un vector que una sus extremos. Efectuar el producto escalar del vector asociado al segmento del camino por el campo ~ en ese lugar. E Sumar estos productos para todo el camino. La integral corresponde al lı́mite de esta suma al hacer los segmentos cada vez más pequeños y numerosos. P2 P2 P2 E ca m ino ds 2.1.1. P1 P1 P1 Un ejemplo. ~ = Kyx̂ + Kxŷ. Queremos evaluar la integral de lı́nea Consideremos el campo vectorial E a través del camino de la figura y 2 B C 1 2 x 1 A 2.1. INTEGRAL DE LÍNEA DEL CAMPO ELÉCTRICO. 33 La integral es separable Z C ~ · d~s = E A Z B ~ · d~s + E Z A C ~ · d~s . E (2.2) B ~ = Kyx̂ + Kxŷ El elemento de camino d~s = dxx̂ + dy ŷ y el campo por componentes E luego ~ · d~s = Kydx + Kxdy . E (2.3) En la primera parte del camino (de A a B) y = 2x (una recta) lo que implica dy = 2dx, por lo tanto, Z B Z B ~ E · d~s = K (ydx + xdy) A A Z 1 =K 2xdx + 2xdx 0 Z 1 x dx = 2K . (2.4) = 4K 0 A lo largo del camino de B a C, y = 2 y dy = 0 Z C Z C ~ · d~s = K E (ydx + xdy) B ZB2 =K 2dx = 2K . (2.5) 1 La suma de ambos tramos Z C ~ · d~s = 2K + 2K = 4K E (2.6) A 2.1.2. Otro camino. Consideremos ahora el camino de la figura y C 2 1 A 1 B 2 x Sobre el camino A → B y = 0 luego dy = 0 Z B ~ · d~s = 0 , ya que E ~ ⊥ d~s. E A (2.7) 34 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO. Sobre el camino B → C x = 2 luego dx = 0 Z C ~ · d~s = E B 2.1.3. 2 2 Z = 4K . K2 dy = 2Ky 0 (2.8) 0 Independencia del camino. El campo eléctrico de una carga puntual es radial y depende solamente de r. Si P1 y P2 son dos puntos cualesquiera en el campo de una carga puntual es directo que la integral de ~ es la misma para todas las trayectorias que unen P1 y P2 . lı́nea de E Lo anterior puede verificarse usando una argumentación equivalente a la usada cuando evaluamos el trabajo. ~ (debido a todos los manantiales) debe ser Por superposición, la integral de lı́nea de E independiente del camino. Es decir, la integral Z P2 ~ · d~s E (2.9) P1 Tiene el mismo valor para todos los caminos que unen a P1 y P2 en un campo electrostático. 2.2. Diferencia de potencial y función potencial. Debido a que la integral de lı́nea en el campo electrostático es independiente del camino, podemos usarla para definir una magnitud escalar ϕ21 como sigue Z P2 ~ · d~s ϕ21 = − E (2.10) P1 Donde ϕ21 es el trabajo por unidad de carga efectuado al mover una carga positiva desde ~ P1 a P2 en el campo E. Además, ϕ21 es una función escalar unı́voca de las dos posiciones P1 y P2 que llamaremos diferencia de potencial entre los dos puntos. En sistema CGS las unidades de diferencia de potencial son [erg/ues]=[statvolt]. En sistema MKS las unidades de diferencia de potencial son [Joule/Coulomb]=[Volt]. 1 [Volt] = 2.2.1. 1 [statvolt] 299.79 (2.11) Función potencial. Supongamos que mantenemos P1 fijo en cierta posición de referencia. Entonces ϕ21 es función sólo de P2 . Podemos escribir ϕ (x,y,z) Campo escalar Potencial asociado a E(x,y,z) Campo vectorial 2.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL Y FUNCIÓN POTENCIAL. 35 ~ se determina ϕ salvo por una constante aditiva debido a la arbitrariedad en la Dado E elección de P1 . Supongamos que tenemos dos definiciones para la función potencial, ϕA y ϕB , que sólo difieren en el punto P1 , es decir ~ r Z Z ~ · d~s , E ϕA = − ~ r ~ · d~s . E ϕB = − A (2.12) B A ϕA lo podemos escribir como Z ~ r ~ · d~s E ϕA = − A B Z ~ · d~s − E =− A Z ~ r ~ · d~s E B = cte. + ϕB ϕA = ϕB + cte. 2.2.2. La carga puntual. El campo de una carga puntual q es q r̂. r2 ds dr A r B ds r = dr rA rB q Evaluemos la diferencia de potencial Z B ϕAB = − A q r̂ · d~s = − r2 Z B A q q dr = 2 r r B A 1 1 =q − rB rA Si rA → ∞ ϕ(~r) = q r (2.13) 36 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO. 2.2.3. Dos cargas en el plano. Nos interesa encontrar el potencial en todo el plano de la configuración de dos cargas puntuales de la figura y (x,y) r1 q1 r2 0 b x q2 a El potencial es la suma de los potenciales individuales ϕ(x, y) = 2.2.4. q1 q2 q1 q2 +p + =p 2 2 r1 r2 (x + b) + y (x − a)2 + y 2 Otro ejemplo. ~ Nos interesa encontrar el potencial en todo el plano del campo E(x, y) = Kyx̂ + Kxŷ eligiendo nuestro punto de referencia P1 = (0, 0). Usaremos el camino de integración mostrado en la figura. y (x,y) x (0,0) Z (x,y) ~ · d~s E ϕ(x, y) = − (0,0) Z (x,0) Z (x,y) =− Ex dx − Ey dy (x,0) Z x Z y = K(y = 0) dx − Kx dy = 0 − Kxy (0,0) 0 = −Kxy 0 2.3. GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN ESCALAR. 37 A todos los resultados anteriores le podemos sumar una constante. Esto solamente indicarı́a que el punto de referencia al cual se asigna ϕ = 0 se puso en otra parte. No hay que confundir Potencial con energı́a potencial de un sistema. La energı́a potencial de un sistema de cargas es el trabajo total requerido para reunirlas. El potencial asociado al campo serı́a el trabajo por unidad de carga requerido para ~ del traer una carga de prueba positiva desde el infinito al punto (x, y, z) en el campo E sistema de cargas. 2.3. Gradiente de una función escalar. Sabemos que dado el campo eléctrico podemos hallar la función potencial eléctrico, que resulta ser una función escalar. Si quisiéramos proceder en sentido contrario, es decir, a partir del potencial deducir el campo eléctrico de la ecuación Z P2 ~ · d~s , ϕ21 = − E (2.14) P1 Parecerı́a que el campo es en algún sentido una derivada de la función potencial. Para precisar esto presentamos el gradiente de una función escalar:1 ~ (x, y, z) = grad f = ∇f ∂f ∂f ∂f x̂ + ŷ + ẑ . ∂x ∂y ∂z (2.15) El gradiente de una función escalar es un vector en la dirección de la máxima pendiente en sentido ascendente y su módulo es la pendiente medida en aquella dirección 1 La derivada parcial respecto a la variable x de una función f (x, y, z), escrita simplemente ∂f /∂x, significa la razón de variación de la función respecto a x manteniendo constante las otras variable (y, z), i.e. ∂f f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z) = lı́m , ∆x→0 ∂x ∆x 38 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 exp(−x*x−y*y) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 (x,y) 1 0.5 Dirección de la máximo crecimiento 0 −0.5 −1 1 2.4. −0.5 0 0.5 y −1 x Deducción del campo a partir del potencial. Consideremos la diferencial de la función escalar de tres variables ϕ(x, y, z) dϕ = ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx + dy + dz , ∂x ∂y ∂z además de Z P2 ϕ21 = − ~ · d~s → dϕ = −E ~ · d~s , E (2.16) (2.17) P1 y como ~ · d~s = −E ~ · d~s . dϕ = ∇ϕ (2.18) ~ = −∇ϕ ~ E (2.19) Identificamos El signo menos da cuenta de que el campo eléctrico está dirigido de una región de mayor ~ se define de manera potencial hacia una región de menor potencial, mientras que el vector ∇ϕ que se dirija en el sentido creciente de ϕ. 2.4.1. Ejemplos. Carga puntual. q ∂ q q ~ ~ ~ E = −∇ϕ = −∇ =− r̂ = 2 r̂ . r ∂r r r Dos cargas. q1 q2 ϕ= p +p =⇒ 2 2 (x + b) + y (x − a)2 + y 2 ~ = q1 [(x + b)x̂ + y ŷ] + q2 [(x − a)x̂ + y ŷ] . E ((x + b)2 + y 2 )3/2 ((x − a)2 + y 2 )3/2 2.5. POTENCIAL DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA. 39 Otro ejemplo. ϕ = −Kxy =⇒ ~ = − ∂ (−Kxy)x̂ + ∂ (−Kxy)ŷ E ∂x ∂y = Kyx̂ + Kxŷ . 2.5. Potencial de una distribución de carga. Para calcular el potencial debido a una distribución de carga ρ ( r )=ρ (x’,y’,z’) dx’dy’dz’=d 3r’ Punto de Observación r−r’ r Distribución de carga contenida en una región finita r’ Origen Z ϕ(~r) = ρ(~r 0 )d3 r 0 | ~r − ~r 0 | (2.20) Debe tenerse que el potencial sea nulo en infinito. La distribución de carga debe estar acotada a una región finita. En el caso de una distribución constante escribimos el potencial como la suma de los potenciales debido a los distintos dq de la distribución. La distribución debe ser finita. ρ = cte dq R Z ϕ= dq =ρ R Z dv R (2.21) En caso que la distribución NO sea constante, la primera expresión sigue siendo válida. 40 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO. 2.5.1. Las lı́neas equipotenciales. El lugar geométrico de los puntos con un valor particular de ϕ es una superficie, llamada equipotencial la cual se representa en dos dimensiones por una curva y en tres por una superficie. q La familia de curvas equipotenciales son ortogonales a las lı́neas de fuerzas. 2.5.2. Potencial de un hilo largo cargado. Calculemos el potencial de un hilo infinito cargado con densidad uniforme λ mediante integración directa. dq= λ dz z R O z r dq λdz =√ R z 2 + r2 Z Z ∞ ∞ λdz λ dz √ r ϕ= = r z 2 + r2 z 2 −∞ −∞ +1 r dϕ = z Usando la paridad del integrando y haciendo el cambio de variable u = , tenemos r Z ∞ du √ ϕ = 2λ , u2 + 1 0 2.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE. haciendo u = tan θ con du = sec2 θ dθ Z ϕ = 2λ π/2 0 41 sec2 θ dθ (tan2 θ + 1)1/2 π/2 Z = 2λ sec θ dθ 0 π/2 →∞. = 2λ log(sec θ + tan θ) 0 La divergencia de la integral se debe a que la distribución de carga no está contenida en un región finita (hay carga en ∞). Calculemos la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera usando la expresión para el campo eléctrico de una lı́nea infinita uniformemente cargada Z P2 Z r2 2λ ~ ϕ21 = − E · d~s = − dr r P1 r1 = 2λ log(r1 ) − 2λ log(r2 ) . Fijamos arbitrariamente el punto P1 para obtener la función potencial ϕ = −2λ log(r) + cte. Claramente ~ = −r̂ −∇ϕ 2.6. (2.22) ∂ϕ 2λ = r̂ . ∂r r Disco cargado uniformemente. Consideremos un disco no conductor cargado con una distribución uniforme σ [ues/cm2 ] de espesor infinitesimal. La carga total corresponde a Q = πa2 σ. No hay dos capas. Si el disco fuera conductor habrı́a redistribución de carga acumulándose hacia los bordes. z a dq P2 x R P1 (0,y,0) y σ 42 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO. Evaluemos el potencial en el punto P1 = (0, y, 0) Z 2π Z a σrdθdr dq p ϕ(0, y, 0) = = R y 2 + r2 0 0 Z a p r p = 2πσ dr = 2πσ y 2 + r2 y 2 + r2 0 p ϕ(0, y, 0) = 2πσ[ y 2 + a2 − y] , si y > 0. Z a 0 p Por simetrı́a debemos tener ± y 2 p ϕ(0, y, 0) = 2πσ[ y 2 + a2 + y] , si y < 0. El valor en el centro ϕ(0, 0, 0) = 2πσa ϕ −a singularidad en la derivada 0 a y Estudiemos el comportamiento de ϕ(0, y, 0) para valores grandes de y. Para y a tenemos  s 2 p a y 2 + a2 − y = y  1 − 2 − 1 y 1 a2 =y 1+ ... − 1 2 y2 ≈ a2 . 2y De aquı́ tenemos ϕ(0, y, 0) = πa2 σ Q = , y y para y a. (2.23) Donde πa2 σ = Q es la carga total, luego este serı́a el potencial de una carga puntual de ese valor. Desde muy lejos el disco se ve puntual. El potencial para puntos fuera del eje de simetrı́a no es fácil, las integrales resultan ser p R elı́pticas ( dφ/ 1 − k 2 sen2 φ) 2.6.1. Potencial en el borde del disco. Evaluemos el potencial en el punto P2 = (a, 0, 0) 2.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE. 43 σ r dr P2 θ 2a a Z Z σ2rθdr dq = = 2σθdr . ϕ(a, 0, 0) = r r De la figura r = 2a cos θ luego dr = −2a sen θdθ. Reemplazando en la integral Z 0 ϕ(a, 0, 0) = 2σθ(−2a sen θ) dθ Z π/2 Z π/2 = 4σaθ sen θ dθ 0 π/2 = 4σa [sen θ − θ cos θ] 0 = 4σa . Comparando este valor con el del centro del disco (2πσa) el potencial disminuye. Esto implica que el campo eléctrico tiene componente en el plano del disco y hacia afuera. Por lo anterior, si la carga pudiese moverse se distribuirı́a hacia los bordes. Podemos calcular el campo eléctrico en el eje de simetrı́a directamente del potencial ∂ϕ ∂y i hp d = − 2πσ y 2 + a2 − y dy " # y = 2πσ 1 − p y>0. y 2 + a2 Ey = − Tomemos el lı́mite y → 0 por la derecha y por la izquierda. ~ → 2πσ ŷ. Si y tiende a cero+ entonces E ~ → −2πσ ŷ. Si y tiende a cero− entonces E Este es el campo que corresponde a un lámina indefinida (infinita) con densidad superficial homogénea σ. Podemos encontrar el campo cerca del disco usando Gauss. Como superficie de Gauss usamos la “cajita” de la figura. 44 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO. A El campo no al plano es Φ = AEy+ − AEy− + (flujo lateral) El primer término corresponde al campo inmediatamente por delante, el segundo al campo por detrás en un caso la normal apunta hacia adelante y en el otro apunta hacia atrás. El flujo lateral se puede hacer tan pequeño como se quiera aplanando la caja. (Mientras el campo paralelo sea finito.) La carga encerrada es σA luego la ley de Gauss AEy+ − AEy− = 4πσA , o bien lo podemos reescribir como Ey+ − Ey− = 4πσ (2.24) Esto vale para cualquier distribución superficial de carga uniforme o no. Si σ es la densidad local de una capa superficial cargada, existe un cambio brusco o discontinuidad en la componente perpendicular del campo eléctrico. 2.6.2. La energı́a del sistema. ~ Recordemos la expresión para la energı́a total asociada a un campo E Z 2 1 ~ dv . U= E 8π Todo el espacio (2.25) ~ = −∇ϕ, ~ Escribamos la energı́a ahora en términos del potencial. Utilizamos que E luego tenemos Z 2 1 ~ U= ∇ϕ dv . (2.26) 8π Todo el espacio Hay otra forma de calcular la energı́a almacenada N 1 X X qj qk U= . 2 j=1 k6=j rjk (2.27) 2.7. DIVERGENCIA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL. 45 Si reescribimos la ecuación anterior de la forma # " N X qk 1X . U= qj 2 j=1 r jk k6=j El término entre paréntesis corresponde a la contribución de todas las cargas al potencial en la posición de qj . Podemos sumarlas y llamarles ϕj (potencial en la posición de qj debido a todas las otras cargas) luego N 1X U= qj ϕ j . (2.28) 2 j=1 Si tenemos una distribución continua 1 U= 2 2.7. Z ρϕ dv (2.29) Divergencia de una función vectorial. Sea F~ (x, y, z) una función vectorial. Consideremos el flujo total a través de la superficie S Z Φ= F~ · d~a . S S 1 incluye D S V1 da F D V2 V S 2 incluye D Si dividimos V en dos partes, diagrama de la derecha, el flujo es el mismo Z Z Φ= F~ · d~a + F~ · d~a , S1 S2 ya que los flujos sobre D se anulan. Podemos dividir V sucesivamente hasta tener V1 , V2 , . . . , VN con superficies S1 , S2 , . . . , SN , podemos afirmar Z N Z X ~ Φ= F · d~a = F~ · d~ai . S i=1 Si 46 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO. R Si consideramos el lı́mite N → ∞ las integrales Si F~ · d~ai → 0. Es decir, se hacen cada vez más pequeñas, al igual que cada Vi , a medida que N crece. Pero si consideramos la razón entre ambas magnitudes R F~ · d~ai Si , Vi encontramos que tiene un lı́mite cuando N → ∞. Este lı́mite es una propiedad caracterı́stica de la función vectorial (campo vectorial) F~ en esa región. Llamaremos divergencia de F~ a esta propiedad: ~ · F~ ≡ lı́m 1 div F~ (x, y, z) = ∇ V →0 V Z F~ · d~a (2.30) S donde V es un volumen que incluye al punto (x, y, z) y S es la superficie donde se extiende la integral, además es la superficie de V . La condición de que el lı́mite exista y sea independiente del método de subdivisión, lo estamos dando por supuesto. La div F~ corresponde al flujo saliente de V por unidad de volumen en el lı́mite en que V es infinitesimal. Es una magnitud escalar, que depende de la posición y puede variar de un lugar a otro. 2.8. Teorema de Gauss y forma diferencial de la ley de Gauss. Consideremos un volumen V cuya superficie es S. Hagamos una partición en N subvolumenes Vi cuya superficie es Si escribamos el flujo total a través de S en función de la partición. "R # Z N Z N X X F~ · d~ai S i Φ= F~ · d~a = F~ · d~ai = Vi . Vi S S i i=1 i=1 En el lı́mite que N → ∞ y Vi → 0, tenemos Z S F~ · d~a = Z div F~ dv (2.31) V Este resultado es conocido como teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Se cumple para todo campo vectorial para el cual existan los lı́mites involucrados. Apliquemos el teorema de la divergencia al campo eléctrico Z Z ~ ~ dv . div E (2.32) E · d~a = S V Recordemos la Ley de Gauss que satisfacı́a el campo eléctrico sobre el mismo volumen y superficie Z Z ~ E · d~a = 4π ρ dv . (2.33) S V 2.9. LA DIVERGENCIA EN COORDENADAS CARTESIANAS. 47 Como ambas ecuaciones se cumplen para cualquier volumen ~ =∇ ~ ·E ~ = 4πρ div E (2.34) Esta última ecuación es conocida como la forma diferencial de la ley de Gauss y corresponde a la primera ecuación de Maxwell. 2.9. La divergencia en coordenadas cartesianas. Veamos la forma que tiene el operador divergencia en coordenadas cartesianas ~ · F~ = ∂Fx + ∂Fy + ∂Fz div F~ = ∇ ∂x ∂y ∂z (2.35) La divergencia es un escalar y en coordenadas cartesianas corresponde al producto escalar ~ y el campo vectorial. Si div F~ > 0 el flujo es saliente. Si div F~ < 0 entre el operador vectorial ∇ el flujo es entrante. Consideremos un cilindro infinito de radio a, cargado con densidad uniforme ρ. z x y a ρ Usando la ley de Gauss podemos encontrar el campo en todo el espacio,   2πρa2 r>a E(r) = r 2πρr r<a Proyectemos el campo en coordenadas cartesianas Ex (r) = 2πρa2 x x E= 2 r>a r x + y2 = 2πρx r<a y 2πρa2 y r>a Ey (r) = E = 2 r x + y2 = 2πρy r<a Ez = 0 48 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO. ~ En el exterior de la carga cilı́ndrica la div E 1 2x2 1 2y 2 ∂Ex ∂Ey 2 + = 2πρa − + − ∂x ∂y x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 =0, dentro ∂Ex ∂Ey + = 2πρ(1 + 1) = 4πρ . ∂x ∂y Contábamos con ambos resultados. 2.9.1. El Laplaciano. Tenemos ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ~ ~ + ŷ + ẑ . E = − grad ϕ = −∇ϕ = − x̂ ∂x ∂y ∂z Por otra parte ~ =∇ ~ ·E ~ = ∂Ex + ∂Ey + ∂Ez . div E ∂x ∂y ∂z Combinándolas ~ = − div grad ϕ = − div E ∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z Definamos el operador Laplaciano ∇2 = ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (2.36) La notación ∇2 se explica como sigue: ~ = x̂ ∂ + ŷ ∂ + ẑ ∂ . ∇ ∂x ∂y ∂z Si lo tratamos como un vector 2 2 2 ~ ·∇ ~ = ∂ + ∂ + ∂ . ∇ ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 El Laplaciano en coordenadas cartesianas. En otras coordenadas esto NO es cierto. En general, el Laplaciano es ∇2 ≡ div (grad) (2.37) 2.10. LA ECUACIÓN DE LAPLACE. 2.9.2. 49 La ecuación de Poisson. Utilizando la definición del Laplaciano, y la forma diferencial de la ley de Gauss obtenemos ∇2 ϕ = −4πρ (2.38) Esta ecuación es conocida como la ecuación de Poisson. Esta escrita en coordenadas cartesianas ∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ (2.39) + 2 + 2 = −4πρ ∂x2 ∂y ∂z Esta es la forma no homogénea de la ecuación y corresponde al caso en que hay presencia de densidad de carga. 2.10. La ecuación de Laplace. Donde quiera que la densidad sea nula, i.e. ρ = 0, el potencial eléctrico satisfacen la ecuación homogénea, conocida como la ecuación de Laplace ∇2 ϕ = ∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ + 2 + 2 =0 ∂x2 ∂y ∂z (2.40) Esta ecuación la encontramos en muchas ramas de la Fı́sica. Las funciones que satisfacen la ecuación de Laplace se conocen como armónicas. 2.10.1. Propiedades de las funciones armónicas. Si ϕ(x, y, z) es armónica, es decir, solución de la ecuación de Laplace, entonces el valor medio de ϕ sobre la superficie de una esfera cualesquiera (NO necesariamente pequeña) es igual al valor de en el centro. Demostración: En el caso de un potencial eléctrico en regiones sin carga. El trabajo para traer Q distribuida sobre una esfera en presencia de q serı́a: Q veces el valor medio sobre la esfera del potencial debido a q. q Q distribuída sobre la esfera Pero sabemos que este trabajo serı́a el mismo que si hubiésemos tenido primero la carga de prueba y luego traemos a q desde el infinito. En este caso el trabajo serı́a el mismo que si Q estuviera en el centro de la esfera en lugar de estar distribuida sobre la superficie. Si hay más fuentes usamos el principio de superposición tal de incluir todos los manantiales. 50 2.10.2. CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO. Equilibrio estable. Lo anterior está estrechamente relacionado con el teorema de imposibilidad de equilibrio estable en un campo electrostático. Supongamos que tenemos un campo en que existe un punto P en el cual una partı́cula cargada estuviese en equilibrio estable. Esto implica que cualquier desplazamiento pequeño a partir de P debe llevarla a un lugar donde actúe un campo que empuje hacia P . Pero lo anterior significa que una pequeña esfera alrededor de P debe estar dirigido hacia el interior en todos los puntos de la superficie. Lo anterior contradice la Ley de Gauss, ya que no hay carga negativa dentro de la región. En otras palabras, no se puede tener una región vacı́a donde el campo eléctrico esté dirigido todo hacia el interior o todo hacia el exterior y esto es es necesario para un equilibro estable considerando ambos signos de la carga. Para expresar lo anterior en función del potencial una posición estable debe ser tal que ϕ sea menor que el de todos los puntos próximos (si la carga es positiva) o mayor (si es negativa). Evidentemente ninguno de los dos es posible para una función cuyo valor medio sobre la esfera es igual al valor en el centro. Es posible atrapar y mantener estable una carga con un campo eléctrico tiempo dependiente. 2.11. Rotacional de una función vectorial. Desarrollamos el concepto de divergencia, una propiedad local de un campo vectorial, partiendo de la integral de superficie sobre una superficie cerrada. En el mismo espı́ritu consideremos la integral de lı́nea de un cierto campo vectorial F~ (x, y, z) sobre un camino cerrado C el cual es el contorno de una superficie S (La curva podrı́a no estar contenida en el plano). Definimos la circulación como I Γ= F~ · d~s. (2.41) C B ds C F C1 C2 Dividamos el circuito en dos, claramente la circulación inicial es la misma que la suma de las circulaciones a través de ambos circuitos, debido a que el tramo B se cancela entre ambos circuitos. I I I F~ · d~s = Γ= C F~ · d~s + C1 F~ · d~s , C2 2.12. TEOREMA DE STOKES. 51 Si consideramos una partición en N circuitos Ci cada uno con circulación Γi y área delimitada ai y normal n̂i podemos escribir Γ= N X I F~ · d~s = Γi = C i=1 N I X i=1 F~ · d~s . Ci Definamos una cantidad cuyo lı́mite exista y sea independiente de la partición Γi = lı́m lı́m ai →0 ai →0 ai H Ci F~ · d~s ai ni ai Asociamos a cada superficie ai su vector normal n̂i mediante la regla de la mano derecha para su sentido. De esta manera nuestro lı́mite lo interpretamos como una magnitud vectorial, que llamaremos rotor de F~ , en la dirección de n̂i . Γi (rot F~ ) · n̂i = lı́m = lı́m ai →0 ai ai →0 2.12. H Ci F~ · d~s ai (2.42) Teorema de Stokes. Consideremos una partición de un circuito C en N circuitos Ci con circulación Γi , área ai y normal n̂i . Escribamos la circulación total sobre C como una suma de las circulaciones Γi I Γ= F~ · d~s = lı́m N →∞ C = = N X lı́m N →∞,ai →0 lı́m N →∞,ai →0 i=1 N X N X Γi i=1 Γ ai ai ai rot F~ · n̂i = Z d~a · rot F~ . S i=1 Ası́ podemos resumir el anterior resultado en lo que se conoce como el Teorema de Stokes. I C F~ · d~s = Z S rot F~ · d~a (2.43) 52 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO. 2.13. Rotacional en coordenadas cartesianas. Sea F~ = F~ (x, y, z) entonces ∂Fx ∂Fz ∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy ~ − + ŷ − + ẑ − . rot F = x̂ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y (2.44) También lo podemos escribir en coordenadas cartesianas como el determinante siguiente rot F~ = x̂ ŷ ẑ ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z (2.45) Fx Fy Fz Si consideramos al operador nabla como ~ = x̂ ∂ + ŷ ∂ + ẑ ∂ , ∇ ∂x ∂y ∂z podemos escribir el rot F~ en coordenadas cartesianas como ~ × F~ rot F~ = ∇ 2.14. (2.46) Significado fı́sico del rotacional. Un campo con rotacional distinta de cero tiene circulación o turbulencia. ~ y tal que rot G ~ 6= 0. Entonces las velocidades en Supongamos un campo de velocidades G < este campo tiene superpuestas · o · < superpuesto a la circulación general en una dirección. Por ejemplo: el campo de velocidades del agua al vaciar una bañera adquiere circulación, de hecho lo que flota gira mientras avanza. Un “Rotacionalimetro” imaginario para el campo eléctrico. 2.14. SIGNIFICADO FÍSICO DEL ROTACIONAL. 53 q q q q Como funcionarı́a este dispositivo: ~ 6= 0 el aparato tenderı́a a girar, un resorte podrı́a usarse para frenar la rotación Si rot E ~ y ası́ el valor de la torsión será proporcional al rot E. Si podemos hallar la dirección del eje para la cual el torque (en sentido horario) es ~ máximo, ésta es la dirección del vector rot E. ~ El “rotacionalimetro” siempre mar¿Qué podemos decir para el campo Helectrostático E? ~ carı́a cero. Esto se deduce a partir que E · d~s = 0, si el camino es cerrado y por el Teorema de Stokes ~ =0 rot E (2.47) en todos los puntos. Esta condición es suficiente para que el campo sea “conservativo”, es decir, para que pueda escribirse como gradiente de una función escalar (el potencial). 2.14.1. Ejemplo. Recordemos el campo ~ = Kyx̂ + Kxŷ . E (2.48) 54 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO. ~ Calculemos las componentes del rotor de E ∂Ez ∂Ey − =0 (rot E)x = ∂y ∂z ∂Ex ∂Ez (rot E)y = − =0 ∂z ∂x ∂Ey ∂Ex (rot E)z = − =K −K =0 . ∂x ∂y Esto nos dice que este campo (2.43) es el gradiente de un potencial escalar. Este campo casualmente tiene también divergencia nula ∂Ex ∂Ey ∂Ez ~ + + =0. div E = ∂x ∂y ∂z Por lo tanto, representa un campo electrostático en una región libre de carga. Si definimos un campo F~ = Kyx̂ − Kxŷ luego (rot F )z = −2K no podrı́a ser un campo electrostático. Capı́tulo 3 Campo eléctrico en conductores. Conductores y aisladores. Conductores en el campo electrostático. Problema electrostático general: Teorema de unicidad. Algunos sistemas simples de conductores. Condensadores y capacidad. Potenciales y cargas en varios condensadores. Energı́a almacenada en un condensador. Otros puntos de vista de los problemas de contorno. 3.1. Conductores y aisladores. Dos tipos de materiales: Conductores y aisladores. Los conductores: son materiales en los que las cargas eléctricas se mueven con bastante libertad. Los buenos conductores son tı́picamente metales. Los aisladores: son materiales en que las cargas se mueven con mucha dificultad. El vidrio, el caucho y los plásticos son buenos aisladores. Los conductores difieren de los aisladores en su conductividad del orden de 1020 . Diferencia entre un conductor y un aislador es tan grande como entre un sólido y un lı́quido. Ambas propiedades dependen de la movilidad de las partı́culas. En un caso los portadores de carga y en otro caso los átomos mismos. Sustancias con fluidez entre el lı́quido y el sólido, (en electricidad son los semiconductores). Los semiconductores: son una tercera clase de materiales. Sus propiedades eléctricas se encuentran entre las de los aisladores y las de los conductores. El Silicio y el Germanio son ejemplos bien conocidos de semiconductores utilizados comúnmente en electrónica actual. Las propiedades eléctricas de los semiconductores pueden cambiarse en varios ordenes de magnitud añadiendo a los materiales pequeñas cantidades de otros elementos (dopaje). 55 56 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. 3.2. Conductores en el campo electrostático. Estudiemos sistemas en que intervienen conductores. Nos interesa el estado estacionario, es decir, cuando ya se han producido todas las redistribuciones de carga en el conductor. Todos los aisladores presentes los supondremos perfectos. Cuando la carga se ha reacomodado: ¿Qué podemos decir sobre el campo eléctrico dentro de la materia conductora?. El campo es NULO, de no ser ası́ los portadores de carga sentirı́an una fuerza y se moverı́an, luego, la situación no serı́a estacionaria. (en ausencia de f~ externas) Nos estamos refiriendo al campo medio promediado en una región grande comparada con los detalles de la estructura atómica. El potencial es el mismo en todo el conductor. La superficie del conductor es una equipotencial del campo. E=0 No conductor neutro Portadores de carga moviles Conductor con reordenamiento de carga Consideremos un sistema de conductores cargados. Q2 Q1 ϕ2 ϕ1 Q3 ϕ3 El conductor k-ésimo tiene una carga Qk . El conductor k-ésimo puede caracterizarse por un valor de ϕk . Elegimos ϕ = 0 en infinito. ~ = −∇ϕ, ~ Debido a que la superficie de los conductores debe ser equipotenciales y E el campo eléctrico debe ser perpendicular a las superficies en todos los puntos de la misma. Existe una discontinuidad del campo en la superficie: 3.3. PROBLEMA ELECTROSTÁTICO GENERAL: TEOREMA DE UNICIDAD. =⇒ Densidad de carga en la superficie σ Z Caja Cond uctor ~ = 0 adentro E ~ 6= 0 afuera E Aplicamos la Ley de Gauss 57 A ~ · d~a = 4πσA E En A + 0A = 4πσA En = 4πσ la componente normal del campo. La carga superficial debe dar cuenta de las carga total Qk , es decir, la integral de σ sobre toda la superficie debe dar cuenta de Qk En general para un sistema de conductores ϕ = ϕk en todos los puntos de la superficie del conductor k-ésimo. ~ es perpendicular a la superficie, el módulo En todo punto exterior junto al conductor, E es E = 4πσ donde σ es la densidad local de carga superficial Z 1 Qk = σda = 4π Sk Z ~ · d~a E (3.1) Sk ~ El campo total es debido a todas las cargas No hay que pensar σ como la fuente de E. del sistema, próximas y lejanas, de las cuales la carga superficial es sólo una parte. La carga superficial está obligada a un reajuste propio hasta que cumpla E = 4πσ 3.3. Problema electrostático general: Teorema de unicidad. Podemos plantear el problema desde el punto de vista del potencial ϕ, pues si hallamos ϕ ~ En cualquier punto (x, y, z), exterior a los conductores, ϕ debe satisfacer podemos deducir E. la ecuación de Laplace ∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ ∇2 ϕ = 0 , + 2 + 2 =0 (3.2) ∂x2 ∂y ∂z 58 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. El problema es hallar un ϕ que satisfaga (3.2) y también las condiciones especificadas en las superficie de los conductores. Las condiciones pueden ser establecidas de diferentes formas Los potenciales ϕk son fijados. Pueden fijarse las cargas Qk . En un sistema real los potenciales pueden fijarse mediante conexiones permanentes a baterı́as a ϕ cte. Entonces ϕ(x, y, z) debe tomar el valor correcto en todos los puntos de cada una de las superficies. 3.3.1. Condiciones de borde. Estas superficies en su totalidad limitan la región en la cual está definida ϕ, si incluimos una superficie grande (en el infinito, por ejemplo) donde se exige que ϕ tienda a cero. Tenemos un caso de condiciones de borde tipo Dirichlet, (Dirichlet boundary condition). Por otra parte podemos especificar las Qk (no además los ϕk esto sobre-determinarı́a el problema), con las cargas dadas tenemos fijado el valor de grad ϕ sobre la superficie de cada conductor. Tenemos un caso de condiciones de borde tipo Neumann, (Neumann boundary condition). Los dos casos son distintos desde el punto de vista matemático. Además, podemos combinar los dos tipos de condiciones del contorno. Condiciones de borde mixta. Un problema general de interés es éste: con las condiciones de contorno dadas de alguna manera, el problema: tiene o no solución, tiene una solución o tiene más de una solución. 3.3.2. Unicidad. No se intenta responder la pregunta de todas las formas que puede presentarse, pero un caso importante puede ser ilustrativo. Supongamos que se ha fijado el potencial ϕk de cada conductor, junto con la condición de que ϕ tienda a cero a distancia infinita. Demostremos que tiene solución única. Como problema fı́sico es evidente que tiene una solución. Desde el punto de vista matemático supondremos que existe una solución ϕ(x, y, z) y demostraremos que es única. Supongamos que existe otra función ψ(x, y, z) que es también solución de la ecuación de Laplace y satisface las condiciones de contorno. La ecuación de Laplace es lineal, es decir, si ϕ y ψ la satisfacen c1 ϕ + c2 ψ también lo es. En particular W (x, y, z) = ϕ(x, y, z) − ψ(x, y, z) . 3.4. ALGUNOS SISTEMAS SIMPLES DE CONDUCTORES. 59 Por supuesto W no satisface las condiciones de contorno, de hecho en cada superficie W = 0 porque ϕ y ψ tienen el mismo valor ϕk sobre cada Sk . Ası́ que W es solución de otro problema electrostático, uno con los mismos conductores mantenidos a potencial cero. Podemos afirmar que W es nula en todo el espacio pues si no lo fuera debe existir un máximo o un mı́nimo en alguna parte recordemos que W = 0 en infinito. Si W tiene un extremo en cierto punto p, consideremos una esfera centrada en p. Como ya vimos en el capı́tulo anterior una función que satisface la ecuación de Laplace su valor medio es igual a su valor en el centro. W no tiene máximos ni mı́nimos, entonces ϕ = ψ, es decir, solamente puede existir una solución que satisfaga las condiciones de borde prescritas. Ahora podemos demostrar otro hecho notable. En el espacio interior a un conductor hueco de cualquier forma, si asimismo este espacio está libre de cargas, el campo eléctrico es nulo. Esto es cierto cualquiera sea el campo exterior. E=0 El potencial ϕ dentro de la caja debe satisfacer Laplace el contorno está a ϕ = ϕ0 , luego la ~ = −∇ϕ ~ = 0 en todo el volumen, ya que ϕ = cte. solución es ϕ = ϕ0 en todo el volumen. E ~ Apantallamiento, parece sorprendente el reacomodo “inteligente” de carga, tal de anular E en el interior. 3.4. 3.4.1. Algunos sistemas simples de conductores. Esferas conductoras. Dos esferas metálicas concéntricas de radios R1 y R2 que contienen cargas totales Q1 y Q2 . 60 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. R1 Q1 R2 Q2 El potencial en la esfera exterior es ϕe = Q1 + Q2 . El potencial en la esfera interior es R1 Q1 Q2 + . R1 R2 Si las dos esferas contienen la misma cantidad de carga pero de signos contrarios Q1 = −Q2 , el campo eléctrico es distinto de cero solamente en el espacio entre ellas. ϕi = 3.4.2. Carga cerca de un plano conductor. El sistema, más simple, en el cual queda en evidencia la movilidad de las cargas en un conductor, es la una carga puntual próxima a un conductor plano. z Q y h x ϕ=0 ¿Qué tipo de campo y qué distribución de carga debemos esperar? 3.4. ALGUNOS SISTEMAS SIMPLES DE CONDUCTORES. 61 Q Conductor 3.4.3. Método de imagen. Consideremos un sistema de dos cargas puntuales equidistantes del plano x − y. Sobre el plano el potencial es cero. Calculemos el campo z Q h ϕ=0 r A θ el plano A h Carga imagen −Q Evaluemos el campo sobre el plano sumando la contribución de la carga y de la carga imagen: ~ = E = r2 Q −Q cos θ(−ẑ) + 2 cos θ(ẑ) 2 +h r + h2 h −2Q ẑ 2 2 + h (r + h2 )1/2 r2 Luego la componente z del campo Ez = −2Qh + h2 )3/2 (r2 (3.3) La densidad superficial de carga σ σ= Ez −Qh = 4π 2π(r2 + h2 )3/2 (3.4) 62 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. La carga superficial total qT debe valer −Q. Como comprobación podrı́amos integrar para toda la superficie y ver que ocurre. Z 2π Z ∞ Z ∞ −Qhr dr qT = σ rdrdφ = 2π 2π(r2 + h2 )3/2 0 0 0 ∞ Z ∞ −Qhr dr −1 = = −Qh (r2 + h2 )3/2 (r2 + h2 )1/2 0 0 −1 −1 = −Qh − = −Q ∞ h El método de imagen podrı́a llamarse “ajuste del contorno de la solución”. 3.5. Condensadores y capacidad. Consideremos un sistema de dos placas planas conductoras cargadas separadas por una distancia s ϕ1 s área A ϕ2 Carga Q Carga −Q Sea A el área de cada placa y supongamos que una placa contiene la carga Q y la otra −Q. Los potenciales en cada una de las placas son ϕ1 y ϕ2 . Excepto en los bordes el campo es casi uniforme en la región entre las placas. Líneas de fuerza Si consideramos uniforme el valor del campo tenemos Z 1 Z 1 ~ ϕ1 − ϕ2 = − E · d~s = E ds = Es . 2 2 Podemos escribir el campo como E= ϕ1 − ϕ2 s (3.5) 3.5. CONDENSADORES Y CAPACIDAD. 63 La densidad de carga superficial de la superficie interior de las placas es σ= E ϕ1 − ϕ2 = 4π 4πs (3.6) ~ y de σ en los bordes de al placa, podemos escribir Si despreciamos la variación real de E una expresión simple para la carga total en la placa Q= A(ϕ1 − ϕ2 ) 4πs (3.7) despreciando efectos de borde La ecuación (3.7) será más precisa cuanto menor sea la relación entre s y las dimensiones laterales de la placa. R ϕ1 s ϕ2 Consideremos una expresión que incluye un factor de corrección f . Q= A(ϕ1 − ϕ2 ) ·f 4πs (3.8) Veamos para diferentes razones entre s/R cuanto vale f s/R 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 f 1.286 1.167 1.094 1.042 1.023 Nuestro sistema es un ejemplo del sistema eléctrico conocido como condensador. Un condensador es simplemente dos conductores próximos a diferentes potenciales y que contiene cargas distintas. 3.5.1. Capacidad. Nos interesa la relación entre la carga Q de una de las placas y la diferencia de potencial entre ellas. Definimos capacidad C como la razón entre la carga y la diferencia de potencial Q = C(ϕ1 − ϕ2 ) −→ C = Q (ϕ1 − ϕ2 ) (3.9) 64 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. para nuestro particular sistema, ecuación (3.7) C= A 4πs [cm2 ] [cm] (3.10) Depende sólo de aspectos geométricos del sistema. La unidad de capacitancia en CGS es el [cm]. Cuando uno se enfrenta a circuitos no usa estas unidades sino las del sistema práctico. Usando unidades MKS tenemos para la capacidad, C= Q ∆ϕ 1[farad] = [coulomb] = [farad] [volts] (3.11) [coulomb] 3 × 109 [ues] = [volts] 1/300 [statvolt] = 9 × 1011 [ues] [statvolt] 1[farad] = 9 × 1011 [cm] Un condensador de 1 [farad] serı́a gigantesco: dos placas separadas 1 [mm] deberı́an tener una área de 100 [km2 ]. Lo usual es [µF ]. Todo par de conductores, prescindiendo de la forma y disposición, pueden considerarse un condensador. ϕ2 S ϕ1 (e) Q1 (i) Q2 Q2 (i) Luego Q2 = −Q1 , ya que el flujo es nulo sobre al superficie S. El campo es nulo en el (e) interior de un conductor. Es decir, Q2 no interviene. C= 3.6. Q ϕ1 − ϕ2 Potenciales y cargas en varios condensadores. Estudiemos la relación entre las cargas y los potenciales de un cierto número de conductores. Para fijar ideas consideremos 3 conductores separados rodeados todos por una capa conductora. 3.6. POTENCIALES Y CARGAS EN VARIOS CONDENSADORES. 65 ϕ=0 ϕ1 ϕ2 ϕ3 Los potenciales en los tres conductores son ϕ1 , ϕ2 y ϕ3 . El teorema de unicidad garantiza que dados ϕ1 , ϕ2 y ϕ3 el campo eléctrico está determinado en todo el sistema Se deduce que las cargas Q1 , Q2 y Q3 en los conductores están asimismo determinados unı́vocamente. La carga en la superficie interna de la capa que rodea es −(Q1 + Q2 + Q3 ). _ (Q + Q + Q ) 1 2 3 ϕ=0 ϕ1 ϕ2 ϕ3 Los potenciales ϕ2 = ϕ3 = 0 ϕ=0 ϕ1 ϕ 2 =0 ϕ 3 =0 Los valores para las cargas Q1 = C11 ϕ1 , Q2 = C21 ϕ1 , Q3 = C31 ϕ1 . Las constantes sólo dependen de la forma y disposición de los conductores. Los potenciales ϕ1 = ϕ3 = 0 ϕ=0 ϕ 1 =0 ϕ2 ϕ 3 =0 (3.12) 66 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. Los valores para las cargas Q1 = C12 ϕ2 , Q2 = C22 ϕ2 , Q3 = C32 ϕ2 . (3.13) Las constantes sólo dependen de la forma y disposición de los conductores. Los potenciales ϕ1 = ϕ2 = 0 ϕ=0 ϕ 1 =0 ϕ 2 =0 ϕ3 Los valores para las cargas Q1 = C13 ϕ3 , Q2 = C23 ϕ3 , Q3 = C33 ϕ3 . (3.14) Las constantes sólo dependen de la forma y disposición de los conductores. La superposición de los tres estados posibles donde ni ϕ1 , ni ϕ2 ni ϕ3 son necesariamente nulos. La expresión que relaciona las cargas y los potenciales se obtiene sumando las ecuaciones (3.12), (3.13) y (3.14) tenemos Q1 = C11 ϕ1 + C12 ϕ2 + C13 ϕ3 Q2 = C21 ϕ1 + C22 ϕ2 + C23 ϕ3 (3.15) Q3 = C31 ϕ1 + C32 ϕ2 + C33 ϕ3 Sólo se necesitan seis de las nueve constantes ya que C12 = C21 , C13 = C31 y C23 = C32 . Esto NO es evidente y puede probarse por conservación de energı́a. Las constantes Cij de la ecuación (3.15) se les conoce como coeficientes de capacidad. Puede resolverse el sistema para hallar los ϕi en función de las Qj . ϕ1 = P11 Q1 + P12 Q2 + P13 Q3 ϕ2 = P21 Q1 + P22 Q2 + P23 Q3 (3.16) ϕ3 = P31 Q1 + P32 Q2 + P33 Q3 Los Pij se le conocen como coeficientes de potencial y pueden calcularse a partir de los Cij . También se puede escribir la ecuación en forma matricial      ϕ1 P11 P12 P13 Q1 ϕ2  = P21 P22 P23  Q2  ϕ3 P31 P32 P33 Q3 Donde P̌ es un tensor simétrico. 3.7. ENERGÍA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR. 3.7. 67 Energı́a almacenada en un condensador. Consideremos un condensador de capacidad C con una diferencia de potencial ϕ12 entre las placas. La carga Q es igual a Cϕ12 . Hay carga Q en una placa y −Q en la otra. Supongamos que aumentamos la carga de Q a Q + dQ transportando una carga positiva dQ de la placa negativa a la positiva contra la diferencia de potencial ϕ12 . dW = ϕ12 dQ = QdQ . C Para cargar un condensador partiendo del estado descargado a un estado con carga Qf 1 W = C Z Q=Qf Q=0 Q2f Q dQ = . 2C (3.17) Usando que Q = Cϕ la energı́a U almacenada en el condensador es U= Q2 1 = Cϕ212 2C 2 (3.18) Para el condensador de placas planas con área A y separación entre las placas s tenemos que C= A , 4πs E= ϕ12 . s Luego 1 1 A 2 (Es)2 U = Cϕ12 = 2 2 4πs E2 E2 = As = volumen 8π 8π 3.8. Otros puntos de vista de los problemas de contorno. Existen algunos métodos generales para tratar los problemas de contorno. Nosotros consideraremos tres métodos distintos para atacar este problema: Representación conforme. Método analı́tico en dos dimensiones. Métodos de relajación. Un tipo de método numérico. Método de mı́nima energı́a. Un método variacional. Estos no son los únicos métodos de solución, tanto analı́ticos como numéricos, por ejemplo: expansión en funciones ortogonales y diferencia finita respectivamente. 68 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. 3.8.1. Mapeo conforme. Este método esta basado en la teorı́a de funciones complejas. Lamentablemente sólo es aplicable a dos dimensiones, es decir, ϕ(x, y) en ese caso la ecuación de Laplace se reduce a ∂2ϕ ∂2ϕ + 2 =0. ∂x2 ∂y (3.19) Hay sistemas que pueden ser reducido a dos dimensiones, por ejemplo, los sistemas cilı́ndricos en los cuales no hay variación en el eje z o sistemas rectangulares como planos infinitos a diferente potencial. Tanto la parte real como la parte imaginaria de cualquier función analı́tica en el plano complejo son armónicas. Una aplicación f es conforme si mantiene los ángulos orientados. Es decir, si dos curvas C1 , C2 formaban un ángulo φ1 en el punto z entonces sus respectivas imágenes bajo f , digamos C10 y C20 forman el mismo ángulo en z 0 . La idea es encontrar una aplicación conforme que me permita transformar las condiciones de borde a unas más fáciles para resolver el problema. 3.8.2. Método de relajación. Es un tipo de método numérico para encontrar en forma aproximada el potencial electrostático con ciertos valores de contorno dados. El método es simple y casi universalmente aplicable y está basado en el hecho de que todas las funciones armónicas en un punto son iguales al valor medio en las proximidades del punto. En este método se discretiza el espacio ϕ(~xi ) y todos los valores (salvo el contorno) se ajustan tal que cumplan con el promedio de los valores vecinos. Repetimos este proceso hasta que los cambios sean despreciables (o tan pequeños como se quiera teniendo en cuenta la precisión numérica). 3.8.3. Método de mı́nima energı́a. Si consideramos la energı́a del sistema como un funcional del potencial: 1 U= 8π Z ~ ∇ϕ 2 dv (3.20) Enunciado como principio variacional: el funcional de la energı́a será mı́nimo cuando ϕ sea la solución al problema fı́sico. Entre más se aproximan la función de prueba a la solución del problema menor será U . Luego podemos elegir una familia paramétrica de funciones de prueba y variar los parámetros hasta encontrar el mı́nimo. Si la familia de prueba elegida incluye entre sus miembros la solución del problema fı́sico, cuando minimicemos la encontraremos. 3.8.4. Ejemplo de mapeo conforme. Consideremos el siguiente problema en el plano con las condiciones de contorno especificadas. 3.8. OTROS PUNTOS DE VISTA DE LOS PROBLEMAS DE CONTORNO. 69 y ϕ=0 ϕ= Vo x Aislador Escribimos un punto x, y en el plano por un complejo z = x + iy o bien en su forma polar z = reiθ . Usamos el mapeo conforme w = u + iv = Log z = Log reiθ = Log r + iθ . Entonces el problema se mapea en w= Log z z y ϕ= Vo ϕ=0 ϕ= Vo w x v π u ϕ=0 Aislador La primera semi-recta θ = 0 −→ v = 0. La segunda semi-recta θ = π −→ v = π. Vo Vo La solución en el plano w es ϕ(u, v) = v = θ, con 0 ≤ θ ≤ π. En términos de las π π coordenadas cartesianas y Vo arctan . ϕ(x, y) = π x 3.8.5. Relajación Consideremos el siguiente problema x=10 x=0 ϕ=10 ϕ=0 Con solución ϕ(x) = x . La solución numérica, en la primera columna el número de iteraciones y en las siguientes los valores del potencial ϕ(x) para x = 0, 1, 2, 3, . . . , 9, 10. 70 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. 0 10 20 30 40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.81 0.98 0.99 1.00 0.00 1.61 1.95 1.99 2.00 0.00 2.69 2.96 2.99 3.00 0.00 3.76 3.97 4.00 4.00 5.00 10.00 5.00 6.24 5.00 6.03 5.00 6.00 5.00 6.00 10.00 7.31 7.04 7.00 7.00 10.00 10.00 10.00 8.39 9.19 10.00 8.05 9.02 10.00 8.01 9.00 10.00 8.00 9.00 10.00 "phi-00.txt" x 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 "phi-10.txt" x 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 "phi-20.txt" x 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 "phi-30.txt" x 10 8 6 4 2 0 0 3.8.6. 2 4 6 8 10 Variacional. Consideremos el siguiente problema x=d x=0 ϕ= Vo ϕ=0 Con solución x . d Consideremos la siguiente familia de funciones de prueba ϕ(x) = Vo ψ(x) = Vo x2 + αx(x − d) . d2 3.8. OTROS PUNTOS DE VISTA DE LOS PROBLEMAS DE CONTORNO. 71 Donde α es un parámetro. Las condiciones de borde son satisfechas ψ(0) = 0 y ψ(d) = Vo . x2 + αx2 − αdx 2 d x ∂ψ ~ x̂ = 2Vo 2 + 2αx − αd x̂ ∇ψ = ∂x d 2 2 V V o o 2 ~ +α x −4 + α αdx + α2 d2 =4 ∇ψ 2 2 d d ψ(x) = Vo Luego en la funcional 1 U= 8π U= 1 8π = 1 8π = 1 8π Z 2 ~ dv ∇ψ # 2 Z d" Vo V o 4 + α x2 − 4 + α αdx + α2 d2 dx 2 2 d d 0 " # 2 4 Vo V o + α d3 − 2 + α αd3 + α2 d3 3 d2 d2 4 Vo2 2 1 3 2 + Vo dα + d α 3 d 3 3 Derivamos el funcional respecto al parámetro α e igualamos a cero. ∂U 1 2 2 3 = Vo d + d α = 0 ∂α 8π 3 3 Al resolver para α. Vo d + d3 α = 0 =⇒ α = − Vo . d2 Al reemplazar en la solución x2 + αx(x − d) d2 x2 xd x2 = Vo 2 − Vo 2 + Vo 2 d d d x = Vo = ϕ(x) . d ψ(x) = Vo 72 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES. Capı́tulo 4 Corriente eléctricas. Lo que veremos en este capı́tulo será: Transporte de carga y densidad de corriente. Corrientes estacionarias. Conductividad eléctrica y ley de Ohm. Un modelo para la conducción eléctrica. Dónde falla la ley de Ohm. Conductividad eléctrica de los metales. Resistencia de los conductores. Circuitos y elementos de circuitos. Disipación de energı́a en la circulación de corriente. Fuerza electromotriz y pilas voltaicas. Corriente variables en condensadores y resistencia. 4.1. Transporte de carga y densidad de corriente. Las corrientes eléctricas se deben al movimiento de los portadores de carga. La corriente eléctrica en un hilo es la medida de la cantidad de carga que pasa por un punto del hilo por unidad de tiempo. La unidad de corriente eléctrica en sistema CGS es [ues/s]. La unidad de corriente eléctrica en sistema MKS es [Ampère]=[Coulomb/s]. La conversión entre ambas unidades es: − h i 9 ues 18 e 1 [A] = 3 × 10 = 6.2 × 10 . s s Por supuesto que lo que cuenta es el transporte de carga neta, es decir, con la debida consideración de signo. El movimiento de un cuerpo neutro podrı́a decirse que supone el 73 74 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS. transporte de gran cantidad de carga (∼ 105 Coulomb por gr. de materia), pero no hay corriente debido a que se mueve exactamente el mismo número de partı́culas elementales positivas y negativas con la misma velocidad media. 4.1.1. Densidad de corriente. Un tipo de corriente más general, o transporte de carga, supone portadores de carga que se mueven en un volumen tridimensional. Para describirlo necesitamos el concepto de densidad de corriente. Consideremos un caso particular en el cual, en promedio hay η partı́culas por cm3 moviéndose con el mismo vector velocidad ~u y transportando la misma carga q. Imaginemonos un pequeño rectángulo de área a, fijo con cierta orientación. u u u q u q q q u u q u q a u q u q u u q q q ¿Cuantas partı́culas atraviesan el rectángulo en un intervalo ∆t?. u ∆ t cos θ u u q u θ q a u q u u q q u q u q q u∆ t Las partı́culas fuera del prisma no alcanzan la ventana. ¿Cuántas partı́culas hay en el prisma? Densidad de volumen N= × partı́culas del prisma N = ηu∆t cos θa = η∆t~u · ~a 4.2. CORRIENTES ESTACIONARIAS Y CONSERVACIÓN DE LA CARGA. 75 Calculemos la corriente I(a) a través de a, qN qη~u · ~a∆t = = ηq~u · ~a . (4.1) ∆t ∆t Supongamos que tenemos distintas partı́culas en el conjunto que difieren en la carga y en el vector velocidad. Denotemos cada clase por el subı́ndice k, teniendo X I(a) = η1 q1~a · ~u1 + η2 q2~a · ~u2 + . . . = ~a · ηk qk ~uk . (4.2) I(a) = k La magnitud vectorial que multiplica a ~a la llamamos la densidad de corriente. X J~ = ηk qk ~uk (4.3) k En sistema CGS la unidad para la densidad de corriente es [ues/s cm2 ] y en el sistema MKS la unidad es [A/m2 ]. Consideremos la contribución a la densidad de corriente de los e− , los cuales pueden estar presentes con distintas velocidades (casi al azar en un conductor). Sea Ne el número total de electrones por unidad de volumen, considerando todas las velocidades. Evaluemos la velocidad media 1 X ηk ~uk . (4.4) h~ui = Ne k Podemos escribir el aporte de los electrones a la densidad de corriente J~e = eNe h~ui qk = −e ∀k . (4.5) La densidad de corriente depende de la velocidad media de los portadores. Al describir h~ue i un vector promedio; para una distribución isotrópica de velocidades, será nulo independiente de cual fueran los módulos. 4.2. Corrientes estacionarias y conservación de la carga. La corriente transportada por un conductor largo como un hilo, por supuesto, es la integral de la densidad de corriente J~ extendida a la sección recta del hilo. En realidad, la corriente I que circula a través de cualquier superficie S es precisamente la integral de la superficie. Z I= J~ · d~a (4.6) S ~ en este caso el nombre es adecuado. ConsiDonde I es el “flujo” asociado al vector J, deremos el caso de corrientes estacionarias, es decir, cuando J~ permanece constante con el tiempo en todo punto. Se debe satisfacer la conservación de la carga. Consideremos una región del espacio limitada por una superficie cerrada S. La integral de superficie de J~ extendida sobre S da la velocidad con que la carga sale del volumen encerrado. 76 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS. u u q q n1 n2 N e q u . n1 N e q u . n2 S Las cargas que atraviesan no contribuyen a la se puede crear carga R J~ · d~a. Ya que ~u · n̂1 = −~u · n̂2 . Como no No se puede dar 4.2.1. ~ Divergencia de J. Por lo tanto Z J~ · d~a = 0 =⇒ div J~ = 0 , (4.7) S si las distribuciones de carga son independientes del tiempo. R Supongamos que la corriente NO es estacionaria ya que s J~ ·d~a esR la velocidad instantánea con que la carga total abandona el volumen cerrado, mientras que V (S) ρdv es la carga en el interior del volumen, en un instante cualquiera tenemos Z Z d ~ ρ dv . (4.8) J · d~a = − dt V (S) S Usando el teorema de la divergencia ∂ρ , div J~ = − ∂t En el caso que las distribución de carga dependa del tiempo. 4.2.2. Ecuación de continuidad. La relación anterior la podemos reescribir ~ · J~ + ∂ρ = 0 ∇ ∂t (4.9) Esta ecuación es conocida como la ecuación de continuidad y expresa la conservación de la carga. 4.3. CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA Y LEY DE OHM. 4.3. 77 Conductividad eléctrica y ley de Ohm. Existen varias maneras de producir el movimiento de las cargas: En un generador electrostático Van der Graaff se da una carga superficial a una correa aislada que la conduce a otro electrodo por transporte (como una escalera mecánica). En la atmósfera pequeñas gotas de agua cargadas que caen a causa de su peso, constituyen un componente del sistema de corriente de la Tierra. Sin embargo, el agente más común del transporte de carga es la fuerza ejercida por un campo eléctrico sobre un portador de carga. Un campo eléctrico tiende a mover los portadores de carga y ası́ tiende a producir una corriente eléctrica. El que esto ocurra o no, depende de la naturaleza fı́sica del sistema en el cual actúa el campo, es decir, el medio. Uno de los primeros descubrimientos experimentales acerca de las corrientes eléctricas en la materia se resume en la Ley de Ohm: I= V R (4.10) Donde I es la corriente que circula por un hilo. V = ϕ12 es la diferencia de potencial entre sus extremos. R La resistencia. Para un trozo de hilo mantenido a la misma temperatura, la resistencia R, no depende de la corriente que circula. La resistencia depende de la geometrı́a, siendo directamente proporcional a la longitud L e inversamente proporcional al área de la sección recta A. R=ρ L , A (4.11) donde ρ la resistividad de la substancia, depende del material. La resistencia R se mide en Ohm [Ω](con Ampere y Volt). La resistividad se da en [Ω cm]. El hecho fundamental que refleja las ecuaciones (4.11) es esté: En los materiales sólidos homogéneos la densidad de corriente en un punto es proporcional al campo eléctrico y la constante de proporcionalidad depende sólo de la substancia (y no de la forma del conductor por ejemplo.) ~ , J~ = σ E (4.12) donde σ es una constante caracterı́stica de la substancia. La conductividad σ podrı́a, y de hecho en algunos casos lo es, ser un tensor. En el interior de la mayorı́a de los conductores son equivalente fı́sicamente tres direcciones perpendiculares. Por ejemplo, el cobre (fcc) sin embargo, es policristalino la cual hace todas las direcciones equivalentes a gran escala. ~ y la constante es escalar. Al no existir una dirección privilegiada J~ tiene la misma que E 78 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS. V2 V1 L área A Corriente I Densidad de corriente J Intensidad del campo eléctrico E resistividad ρ ~ J~ = σ E V I =σ A L σA V , Ley de Ohm I= L 1 1L R= =⇒ =ρ σA σ El cobre puro a temperatura ambiente tiene una resistividad ρ = 1.7 × 10−6 [Ω cm] y una conductividad σ = 5.8 × 10−5 [Ω cm]−1 . En CGS no existe nombre especial para la unidad de conductividad o resistividad. Resistividad = = Intensidad de campo Densidad de corriente carga carga/s cm2 cm2 (4.13) La cual se reduce a segundos. Es decir, en el sistema CGS la unidad de la resistividad es el [s] y la de la conductividad es 1/[s]. En estas unidades el cobre tiene una resistividad de ρ = 10−18 [s] y la del vidrio es ρ = 103 [s]. 4.3.1. Un modelo para la conducción eléctrica Intentaremos describir el proceso de conducción eléctrica mediante un sistema modelo. Será razonablemente para un gran número de conductores, pero no en todos. Necesitamos portadores de carga, imaginemos un medio que consista en portadores de carga positivos y negativos en igual número, N de cada clase por centı́metro cúbico. Los portadores positivos son iones de masa M+ y conducen carga +e. Los portadores negativos son iones de masa M− y conducen carga −e. La densidad de corriente J~ está determinada por la velocidad media de los portadores. ~ constante con el tiempo, que ejerce una fuerza, sobre Se aplica un campo eléctrico E, ~ (Como si la carga estuviera en reposo). cada uno de los portadores de carga q E 4.3. CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA Y LEY DE OHM. 79 Una fuerza constante sobre un portador de carga libre debe producir una aceleración constante. Pero la densidad de corriente constante está asociada a una velocidad constante, no a una aceleración constante. Si nuestro sistema obedece la Ley de Ohm debe ser debido a que la velocidad media es proporcional a la fuerza en nuestros portadores. Lo anterior nos advierte que los portadores de carga no pueden moverse libremente; debe haber algo que se oponga al movimiento que produce e campo eléctrico. No hay que esforzarse demasiado para hallar una fuente de impedimento friccional. Surge de las colisiones que experimentan los portadores de carga al moverse por entre los demás y entre todas las otras partı́culas que puedan ocupar el medio. El cómo esto tenga lugar dependerá de los detalles de nuestro modelo. Particularicemos y consideremos un gas consistente de átomos neutros, iones positivos y iones negativos con una densidad algo parecida a la de un gas normal, es decir, de unos 1019 [átomos/cm3 ]. Supongamos que hay preponderancia de átomos neutros, con iones + y − entre ellos. La distancia entre partı́culas, neutras o cargadas, es mucho mayor que los radios atómicos o iónicos de manera tal que la mayorı́a del tiempo el ion no interviene en colisiones. En ausencia de campo eléctrico los átomos y iones se mueven en direcciones al azar, con velocidades determinadas por la temperatura. La relación entre la temperatura y el valor medio de la energı́a cinética, nos la da la teorı́a cinética de los gases. En un instante determinado (t = 0) un ion se mueve con velocidad ~u, ¿qué ocurre después?. El ion se moverá en lı́nea recta con velocidad constante hasta colisionar (K y p~ se conservan) pero la velocidad variará ~u −→ ~u0 y luego de otra colisión a ~u00 y ası́ sucesivamente. En efecto es que el ion se olvida de su velocidad ~u a t = 0. Digamos después de un tiempo τ esto ocurre. Este tiempo τ es caracterı́stico del sistema y es el lapso de tiempo que conducen a una pérdida de correlación entre la velocidad inicial y final del sistema. Ahora podemos aplicarle ~ haremos más simple la discusión si suponemos que la perdida de memoria ocurre en una E, sola colisión (por ej.esferas elásticas). Nuestra conclusión es independiente de esta suposición. Después de una colisión el ion parte en una dirección al azar denotemosla por ~uc . ~ Al cabo de un tiempo ∆t el efecto de campo es aportarle un ∆~p = Ee∆t, el cual se suma c ~ a p~inicial = M~u + Ee∆t. Si el incremento es pequeño podemos esperar que la otra colisión ~ En otras palabras, el valor medio del tiempo entre colisiones ocurra como si no hubiera E. ~ Si esto no es muy intenso. El ∆~p por efecto del campo es hti es independiente del campo E. siempre en la misma dirección. Pero se desorienta en cada colisión. ¿Cuál es el promedio de las cantidades de movimiento de todos los iones positivos, en un instante dado? 1 X c ~ M+ h~u+ i = M+~uj + eE∆tj , (4.14) N j donde ~ucj es la velocidad del j-ésimo ion precisamente después de su última colisión que ocurrió hace ∆tj segundos. Como ~ucj están distribuidos al azar su contribución es nula. El ~ es. valor medio de la velocidad de un ion positivo en presencia del campo estacionario E h~u+ i = ~ +i eEht . M+ (4.15) Esto muestra que el valor medio de la velocidad de un portador de carga es proporcional a la fuerza a él aplicada. Si observamos solamente la velocidad media, parece como si el medio ofreciese una resistencia al movimiento con una fuerza proporcional a la velocidad. 80 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS. Es una especie de resistencia viscosa, siempre que los portadores de carga se comporten de este modo podemos esperar algo parecido a la ley de Ohm. La expresión para J~ ! ! ~ −i ~ +i −e Eht e Eht − Ne J~ = N e M+ M− Factorizando la expresión para J~ tenemos: ht i ht i + − 2 ~ J~ = N e + E M+ M− (4.16) Nuestra teorı́a predice que el sistema obedecerá a la ley de Ohm. La ecuación (4.16) ~ siendo las demás caracterı́sticas del medio. expresa una relación lineal entre J~ y E La constante ht+ i ht− i 2 + , Ne M+ M− se presenta en el papel de la conductividad σ. En general N+ ht+ i N− ht− i 2 σ≈e , + M+ M− (4.17) donde τ± corresponde al tiempo de perdida de la correlación, los N± corresponden al número de portadores de cambos signos de carga. Todo sistema que sus portadores de carga libre sean frecuentemente desorientados por ~ no es demasiado colisiones u otra interacción con el sistema debe cumplir la ley de Ohm. Si E intenso. 4.3.2. Donde falla la ley de Ohm. ~ es lo suficientemente intenso para que un ion adquiera, entre colisiones, una Si el campo E velocidad adicional comparable a su velocidad térmica. Lo anterior afectarı́a notablemente el → − → ~ =⇒ − tiempo entre colisiones ht± i, estos tiempos como función de E. J ∝ E 2. En gases a baja presión y campos muy débiles pueden presentarse discrepancias con la ley de Ohm. Otro efecto del campo muy intenso es producir variaciones en el número de portadores. Los portadores adquieren suficiente energı́a con el campo para que sus colisiones con los otros átomos sean lo suficientemente violentas para ionizarlos produciendo más portadores. La avalancha resultante es un derrumbamiento de la ley de Ohm. Si el campo se aplica por un tiempo muy corto, inferior a τ deberemos revisar nuestra deducción. Al aplicar un campo alterno de perı́odo muy corto comparado con % la respuesta de los portadores estará determinada en gran parte por su inercia. Existen dispositivos no-óhmicos diodo (deja pasar la corriente en un sentido) uniones de dos materiales semiconductores, etc. Si todos los dispositivos fueran óhmicos la tecnologı́a electrónica moderna desaparecerı́a. 4.4. CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA EN METALES. 4.4. 81 Conductividad eléctrica en metales. Los metales son los mejores conductores que se conocen. No hay duda que su elevada conductividad se debe a los electrones libre, libres en el sentido que no están ligados a ningún átomo en especı́fico. Evaluemos el tiempo entre colisiones τ− para un metal como el sodio (Na), 2.5 × 1022 átomos por cm3 , notemos que cada átomo aporta con un electrón. σme− (1.9 × 1017 ) × (9.0 × 10−28 ) = N− e2 (2.5 × 1022 ) × (2.3 × 10−20 ) τ− ≈ 3 × 10−14 [s] τ− = (4.18) Parece un tiempo sumamente largo para un electrón que se mueve en una red cristalina sin sufrir desviaciones importantes. La velocidad térmica de un e− a temperatura ambiente es de unos 107 [ cm ] a si que en 3 × 10−14 [s] un e− recorre unos 30 [Å], más de diez veces el s espaciado de la red. ¿Por qué la red e iones es tan transparente a los electrones? La explicación esta en la naturaleza ondulatoria (cuántica) de los electrones, no deben verse como pequeñas partı́culas cargadas desviadas por cada ion en la red. La resistividad se debe a scattering con los defectos cristalinos. A medida que aumenta la temperatura las vibraciones aumentan haciendo que la conductividad decrezca con la temperatura. En la mayorı́a de los metales se cumple la ley de Ohm incluso para densidades de corrientes muy elevadas. 4.5. Semiconductores. Un cristal de Silicio (Si) tiene 4 electrones de valencia y 4 átomos cerca con los que forma cuatro enlaces covalentes. este tipo de enlace son muy rı́gidos (C formando diamante por ejemplo). Una estructura de Si es un aislador, no hay electrones móviles. Supongamos que logramos sacar un electrón de uno de los enlaces y lo movemos, realmente tenemos dos cargas: el electrón y el hueco. El electrón va a la banda de conducción que tiene un gap de 1.12 [eV]. Banda de conducción 2 10 23e− conducción por cm 3 Ninguno gap 1.12 [eV] Banda de valencia 2 10 23e− por cm 3 T=0 K σ=0 2 10 15 huecos moviles por cm 3 T=500 K σ=0.3 [ohm cm] −1 82 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS. p2 = e−∆E/kB T . Existen otros semiconp1 ductores el germanio Ge con un gap de 0.7 [eV], incluso el diamante (C) pero con un gap de 5.5 [eV]. Si se reemplaza 1 de cada 107 átomos de Si por otro de Fósforo (P) el cual tiene como 5 electrones de valencia, con una energı́a de 0.044 [eV] podemos mover el electrón sobrante. Estos semiconductores son conocidos como de tipo n (negativa la carga móvil). Si dopamos con Al y este nos aporten sólo tres electrones. En este caso lo que tenemos es un semiconductor tipo p. Tenemos una probabilidad térmica de ocupación 4.6. Circuitos y elementos de circuitos. Los dispositivos eléctricos, ordinariamente, tienen terminales bien definidos a los cuales pueden conectarse los hilos. La carga puede circular hacia el interior o el exterior por estos caminos. Si se conectan dos terminales, y sólo dos por medio de hilos a cualquier cosa exterior y si la corriente es estacionaria, la velocidad será constante en todas partes, la corriente debe ser igual y opuesta en los dos terminales. Si hubiera diferencias entre las corrientes de los dos terminales habrı́a un objeto que acumula carga =⇒ su potencia varı́a rápidamente y esto no puede durar mucho =⇒ la corriente NO es estacionaria. En el caso anterior podemos hablar de la: Corriente I que circula por el dispositivo. Del voltaje V entre los terminales. Donde V /I es la resistencia, un número en unidades de resistencia. Si la ley de Ohm se cumple en todo lugar del objeto a través del cual circula la corriente, este número será constante e independiente de la corriente. Este número define completamente el comportamiento eléctrico del objeto para el flujo estacionario de corriente (cc)(dc ingles) entre los terminales dados. Supongamos varias cajas conteniendo diferentes objetos: un pedazo de cable, una ampolleta, una bobina, un vaso con solución de KCl, un par de resistencias. KCl Si a cualquiera de estas cajas se la hace formar parte de un circuito eléctrico, conectando hilos a los terminales, la relación de la diferencia de potencial entre los terminales a la corriente que circula en el hilo resulta ser, digamos 65 [Ω] en todos los casos. Decimos que la resistencia entre los terminales en cada caja es de 65 [Ω]. Esta afirmación no será cierta para todos los valores de corriente y voltaje, sin embargo, existen ciertos lı́mites en que todas se comportan linealmente, dentro de este margen, para corrientes estacionarias, todas las cajas 4.6. CIRCUITOS Y ELEMENTOS DE CIRCUITOS. 83 son equivalentes. Equivalentes en el sentido de que si un circuito contiene una de estas cajas, el comportamiento del circuito no difiere según cuál sea la caja. reemplaza a la caja en el diseño del circuito del La representamos por el sı́mbolo: cual es uno de los componentes. Un circuito eléctrico o una red es una agrupación de tales elementos, unidos uno a otro por conductores de resistencia despreciable. Tomando una red constituida por algunos elementos conectados entre sı́ y eligiendo dos puntos como terminales, podemos considerar que el conjunto es equivalente, en lo que se refiere a los terminales, a una sola resistencia. 4.6.1. Resistencias en serie. Dos o más resistencias conectadas de modo que la misma carga fluye a través de cada una de ellas; se dice que están conectadas en serie. I b a c R2 R1 (Fig 1) Por ambas resistencias debe circular la misma corriente. La caı́da de potencial entre los extremos de ambas resistencias (desde el punto a al c) es V = IR1 + IR2 = I(R1 + R2 ) Definimos la resistencia equivalente Re en serie como Re = V = R1 + R2 I (4.19) El circuito equivalente al de la Figura es I c a Re = R1 + R2 Cuando existen más de dos resistencias en serie la resistencia equivalente es Re = R1 + R2 + R3 + . . . . 4.6.2. Resistencias en paralelo Dos o más resistencias conectadas de modo de que la diferencia de potencial entre sus extremos sea la misma; se dice que están conectadas en paralelo. 84 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS. V R1 I1 I a I a’ I2 b (Fig 2) R2 Sea I la corriente que va de a a b. En el punto a0 la corriente se divide en dos: I1 que pasa por R1 e I2 que pasa por R2 . La corriente total es la suma de las corrientes parciales I = I1 + I2 . Sea V = Va − Vb la caı́da de potencial a través de cada resistencia: V = I1 R1 = I2 R2 =⇒ I1 R2 = . I2 R1 La resistencia equivalente Re de una combinación de resistencias en paralelo se define de modo que la misma corriente total I circule para la diferencia de potencial V . Re = es decir V V V V =⇒ I = = I1 + I2 = + I Re R1 R2 1 1 1 R1 R2 = + =⇒ Re = Re R1 R2 R1 + R2 (4.20) El circuito equivalente al de la figura (2) es I c a Re = R1 R2 R1 + R2 El resultado anterior puede generalizarse a un número cualquiera de resistencias en paralelo 1 1 1 1 = + + + ... Re R1 R2 R3 La resistencia equivalente de una combinación de resistencias en paralelo es menor igual que cualquiera de las resistencias involucradas. Puede hallarse la corriente en cada una de las dos resistencias en paralelo a partir del hecho que la caı́da a través de la combinación de ambas es IRe y que también es I1 R1 e I2 R2 I1 R1 = I2 R2 = IRe = IR1 R2 , R1 + R2 4.6. CIRCUITOS Y ELEMENTOS DE CIRCUITOS. 85 Podemos despejar las corrientes parciales I1 = IR2 , R1 + R2 I2 = IR1 , R1 + R2 Lo anterior es necesario para manejar un circuito como el siguiente Sin embargo, el circuito simple No se puede reducir. 4.6.3. Un ejemplo. Para el circuito de la figura: 2Ω 6[V] I + 12Ω 6Ω 86 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS. Hallar la resistencia equivalente. La corriente que circula por cada resistencia en paralelo La corriente total Solución: Hacemos la reducción del circuito a sus resistencias equivalentes: R1 V R2e R1 R2 R3 V R1e V Calculemos el valor de las resistencias equivalentes R2 R3 72 = [Ω] = 4[Ω] R2 + R3 18 = R1 + R1e = 2[Ω] + 4[Ω] = 6[Ω] R1e = R2e La corriente total I= V 6 [V] = = 1[A] . R 6 [Ω] Las corrientes en R2 (I2 ) y en R3 (I3 ) 6 R3 I= ×1= R2 + R3 12 + 6 R2 12 I3 = I= ×1= R2 + R3 12 + 6 I2 = 1 [A] 3 2 [A] 3 Claramente I2 + I3 = I. 4.6.4. Leyes de Kirchhoff. En un circuito de corriente continua tı́pico se conectan varias baterı́as o pilas y resistencias de un modo determinado y han de encontrarse los valores de la corriente en diversas partes del mismo. Para esto se necesitan métodos más generales. Toda red de resistencias por las que circula una corriente constante, tiene que satisfacer las siguientes condiciones: i) La corriente a través de cada elemento debe ser igual a la diferencia de potencial entre los extremos de este elemento dividida por la resistencia del mismo. 4.6. CIRCUITOS Y ELEMENTOS DE CIRCUITOS. 87 ii) En un nudo de la red, un punto donde se reúnen tres o más hilos de conexión, la suma algebraica de las corrientes hacia el nudo debe ser nula. (Esta es la conservación de la carga expresada en el circuito). iii) La suma de las diferencias de potencial, tomadas a lo largo de una malla de la red, un camino que empieza y termina en el mismo nudo, debe ser nula. (Esta es la expresión H− → → para un circuito de la propiedad general del campo eléctrico estático E d− s = 0 para todo camino cerrado) Las última dos condiciones se conocen como leyes de Kirchhoff. El planteo algebraico de estas condiciones, para cualquier red, nos dará exactamente el número de ecuaciones linealmente independientes necesarias para afirmar que sólo hay una solución y sólo una para la resistencia equivalente entre dos nudos elegidos. Afirmamos esto sin demostrarlo. Una red de cc es un sistema lineal los voltajes y corrientes están regidos por un sistema de ecuaciones lineales, que corresponden a la expresión de las condiciones i), ii) y iii). Por lo tanto, la superposición de distintos estados posibles de la red es también un estado posible. I5 I6 I1 I6 V3 V1 I4 V2 I4 I3 I2 I2 La sección de la red de la figura con ciertas corrientes, I1 , I2 , I3 ,. . . circulando por los hilos y ciertos potenciales V1 , V2 ,. . . . . . en los nudos. Sı́ algún otro sistema de corrientes y potenciales como I10 ,. . . ,V10 ,. . . es otro estado de hechos posible en esta sección de la red, entonces también lo es el sistema (I1 + I10 ),. . . . . . (V1 + V10 ) Estas corrientes y voltajes correspondientes a la superposición también satisfarán a las condiciones i), ii), iii). Encuentre las corrientes para el siguiente circuito. R1= 12 [Ω] ε 1= 18 [V] I + I1 1 A R2= 1 [Ω] I2 R3= 6 [Ω] 2 + R4= 1 [Ω] ε 2= 12 [V] 88 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS. En el primer loop 1 : ε1 = IR1 + I1 R3 En el segundo loop 2 : ε2 = I2 R4 − I1 R3 + I2 R2 En el nodo A : I = I1 + I2 Reordenando tenemos IR1 +I1 R3 +0 = ε1 0 −I1 R3 +I2 (R4 + R2 ) = ε2 I −I1 −I2 = 0 El sistema en forma matricial:      I 12 6 0 18  0 −6 2 I1  = 12 1 −1 −1 I2 0 Invirtiendo la matriz resolvemos para las corrientes      0.075 0.056 0.111 I 18 I1  =  0.019 −0.111 −0.222  12 I2 0.056 0.167 −0.0667 0 El resultado final     2 I I1  = −1 I2 3 El signo menos en la segunda componente significa que nos equivocamos al elegir el sentido de I1 . 4.7. Disipación de energı́a en la circulación de corriente. El flujo de corriente en una resistencia lleva consigo disipación de energı́a. Sea una fuerza ~ F para mover un portador de carga con una velocidad media ~v (trabajo por unidad de tiempo) ~ v y como F~ = q E ~ el trabajo por unidad de tiempo es q E~ ~ v . La energı́a consumida de este F~ modo se manifiesta eventualmente en forma de calor. En nuestro modelo de conducción. La explicación es evidente: El ion adquiere, entre colisiones, cierta energı́a cinética adicional al igual que momentum. Unas cuantas colisiones restablecen la dirección al azar del momentum, pero no necesariamente su energı́a cinética. El ion transfiere energı́a al obstáculo que lo desvı́a, los átomos neutros. De esta manera el trabajo efectuado por la fuerza eléctrica al mover a los portadores de carga, se transfiere eventualmente al medio en reposo como energı́a cinética al azar o calor. 4.8. FUERZA ELECTROMOTRIZ. 89 La potencia disipada por una resistencia R por la cual circula una corriente I es P = I 2R (4.21) Podemos usar la ley de Ohm IR = V para obtener otras expresiones para la potencia disipada P = I 2 R = IV = V2 . R Este efecto de disipar energı́a en forma de calor cuando circula una corriente a través de una resistencia es conocido como efecto Joule. Las unidades son [Volt×Ampere]=[Watt]. 4.8. Fuerza electromotriz. El origen de la fuerza electromotriz en un circuito de corriente continua es cierto mecanismo que trasporta portadores de carga en el sentido opuesto al que el campo eléctrico intenta moverlos. Un generador electrostático de Van de Graaff es un ejemplo a gran escala. V=Vo E E E R I V=0 Con un movimiento continuo aparece una corriente en la resistencia externa, que circula ~ Disipándose allı́ energı́a (que aparece en forma de calor) IV0 o I 2 R en el sentido del campo E. ~ dirigido hacia abajo, por unidad de tiempo. Dentro de la columna de la máquina hay un E las cargas se mueven en la correa hacia arriba. La energı́a necesaria para mover la correa se suministra en forma externa. Este generador de Van de Graaff es efectivamente una baterı́a con una fuerza electromotriz, bajo estas condiciones, de V0 volt. En las baterı́as ordinarias, es la energı́a quı́mica la que hace que los portadores de carga se muevan en una región donde el campo eléctrico se opone al movimiento. Es decir, un portador de carga positiva puede desplazarse a un lugar de potencial eléctrico más elevado si al hacerlo ası́ puede intervenir en una reacción quı́mica que dará más energı́a que la requerida para escalar el “desnivel” eléctrico. 90 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS. 4.9. Redes con fuentes de voltaje. En lo que concierne a su papel en un circuito exterior, una pila puede representarse por un circuito equivalente que consiste en una fuerza electromotriz ε en serie con una cierta resistencia interna Ri . Al conectar una resistencia exterior R circula una corriente, Ri Ri + I= 4.10. + V ε , (R + Ri ) R o bien V = ε − IRi . Corrientes variables en condensadores y resistencias. Consideremos circuitos que contienen condensadores, en ellos la corriente no será estacionaria sino variará con el tiempo. +Q o Vo = Qo C R C R C I=0 −Qo A t = 0 cerramos el circuito, la corriente inicial I0 a través de la resistencia será Io = Vo , R pero al circular corriente el condensador se descarga. En todo momento se tiene Q = CV , I= V , R − luego IR = V = Q , C dQ =I , dt (4.22) 4.10. CORRIENTES VARIABLES EN CONDENSADORES Y RESISTENCIAS. 91 Eliminemos la corriente Q dQ Q dQ = =⇒ =− dt C dt RC Escribamosla como ecuación diferencial −R (4.23) dQ Q + = 0 =⇒ Q(t) = Qo e−t/RC . dt RC (4.24) El tiempo tc = RC es la constante de tiempo del circuito, Q decae en 1/e. la corriente La corriente dQ Qo −t/RC Vo I(t) = − = e = e−t/RC = Io e−t/RC . dt RC R s ε R + C Cerramos el interruptor a t = 0 ε = VR + VC = IR + Q , C y I= dQ dt Eliminemos la corriente Q dQ Q ε dQ R + = ε =⇒ + = . dt C dt RC R Q(t) = Ae−t/RC + εC Q(t = 0) = 0 ⇒ A = −εC Q(t) = εC 1 − e−t/RC La corriente I(t) = ε R dQ ε = e−t/RC . dt R I Cε t Q t 92 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS. Condensadores en paralelo C1 C2 C3 Paralelo Cef = C1 + C2 + C3 Condensadores en serie C1 C2 C3 Serie 1 1 1 1 = + + Cef C1 C2 C3 Durante el proceso de cargado fluye una carga total, la obtenemos integrando Z ∞ Z ∞ ε −t/RC Qf = I(t) dt = e dt R 0 0 i h ∞ = εC −e−t/Rc 0 = εC La baterı́a hace un trabajo W = Q f ε = ε2 C La energı́a almacenada en el condensador 1 1 1 U = QV = Qf ε = ε2 C . 2 2 2 La energı́a disipada por efecto Joule ∞ 2 ε −2t/RC e R dt I (t)R dt = R2 0 0 Z 2t ε2 C ∞ −2t/RC = e d 2 0 RC Z ∞ 2 2 ε C −x ∞ εC = e−x dx = −e 0 2 0 2 ε2 C WR = 2 Z WR = ∞ 2 Z Cuando un condensador es cargado la energı́a entregada por la baterı́a es: la mitad almacenada en el condensador y la mitad disipada por efecto Joule independiente del valor de la resistencia R. Capı́tulo 5 Los campos de cargas en movimiento. En este capı́tulo veremos las siguientes secciones: Desde Oersted a Einstein. Fuerzas magnéticas. Medidas de carga en movimiento. Invariancia de la carga. Medidas de campo eléctrico en diferentes sistemas de referencia. Campo de un punto cargado moviéndose con velocidad constante. Campo de una carga que parte o se detiene. Fuerza sobre una carga en movimiento. Interacción entre cargas en movimiento. 5.1. De Oersted a Einstein. En 1819 Oersted experimenta con una brújula e hilos por las que circula una corriente. Al poner paralelo el hilo y la aguja y hacer circular corriente se produce un movimiento de la aguja. Ampère y Faraday efectuaron una descripción esencialmente completa y exacta de la acción magnética de las corrientes eléctricas. Además, de los anteriores descubrimientos experimentales se desarrolló la teorı́a clásica completa del electromagnetismo. Formulada matemáticamente por Maxwell y triunfalmente corroborada por la demostración de Hertz de las ondas electromagnéticas, en 1888. La relatividad restringida tiene sus raı́ces históricas en el electromagnetismo. El artı́culo de Einstein en 1905 fue titulado Acerca de la electrodinámica de los cuerpos en movimiento. Hoy en dı́a esperamos que toda teorı́a completa sea relativisticamente invariante. Es decir, debe expresar lo mismo en todos los sistemas de referencia inerciales. La teorı́a electromagnética de Maxwell lo era antes de que se reconociera la importancia de esto. 93 94 5.2. CAPÍTULO 5. LOS CAMPOS DE CARGAS EN MOVIMIENTO. Fuerzas magnéticas. Dos hilos paralelo están recorridos por corrientes en el mismo sentido. La fuerza, por unidad de longitud, sobre uno de los hilos se comprueba que es directamente proporcional al producto de las dos corrientes e inversamente proporcional a la distancia entre los hilos. Lámina metálica + + + I2 + I1 (c) (b) (a) Figura 5.1: Experimentos con corrientes. Invirtiendo el sentido de una de las corrientes, se invierte el de la fuerza que pasa a ser repulsiva. Existe cierto tipo de acción a distancia entre los dos filamentos de corrientes estacionarias. Parece que no tiene relación con la carga eléctrica estática en la superficie del hilo. Pueden existir tales cargas y los hilos pueden estar a distintos potenciales, pero la fuerza que estamos considerando dependen solamente del movimiento de carga en los hilos, es decir, de las dos corrientes. Puede colocarse una lámina metálica entre los dos hilos sin afectar a dicha f~. (Figura5.1) Estas nuevas fuerzas, que entran en juego cuando se mueven las cargas, se llaman Fuerzas Magnéticas. La brújula de Oersted no se parece mucho a un circuito de corriente continua. Sin embargo, ahora sabemos, como Ampère lo sospecho, que el hierro imantado está lleno de cargas en movimiento incesante, corrientes eléctricas a escala atómica. I I Figura 5.2: Brújula y bobina. Una bobina de hilo delgado con una baterı́a para proporcionarle corriente, se comporta como la brújula bajo la influencia de una corriente próxima. Observando el movimiento de 5.2. FUERZAS MAGNÉTICAS. 95 una partı́cula cargada libre, en lugar de un hilo conductor de corriente, hallamos que ocurre el mismo hecho. En un tubo de rayos catódicos, los e− que seguirı́an una trayectoria rectilı́nea, se desvı́an a un lado o al otro a causa de la corriente de un hilo. e− + Figura 5.3: Tubo de Rayos catódicos. Estamos familiarizados con estos hechos y sabemos que esta interacción entre corrientes y otras cargas móviles puede explicarse introduciendo un campo magnético. Recordemos que el campo eléctrico es simplemente una manera de describir la acción o distancia entre cargas estacionarias, la cual se expresa por la ley de Coulomb. Diremos que una corriente eléctrica tiene un campo magnético asociado que ocupa el espacio que le rodea. Otra corriente o partı́cula cargada móvil que se encuentre en este campo, experimenta una fuerza proporcional a la intensidad del campo magnético en aquella posición. Para una partı́cula cargada, la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad. La fuerza total sobre una partı́cula con carga q y velocidad ~v está dada por la fuerza de Lorentz ~ + q ~v × B ~ F~ = q E (5.1) c ~ es el campo magnético y c es la velocidad de la luz. donde B ~ Tomaremos la ecuación (5.1) como la definición de B La intensidad del campo magnético es un vector que determina la parte proporcional a la velocidad de la f~ sobre una carga móvil ~ en tal punto, se requiere que Si nos piden: Midase el módulo y la dirección del vector B hagamos las siguientes operaciones: Tomar una partı́cula de carga q conocida. ~ Medir la fuerza sobre q en reposo, para determinar E. Medir luego la fuerza sobre la partı́cula cuando su velocidad es ~v . Repetir con ~v en cualquier otra dirección. ~ que haga que la ecuación (5.1) satisfaga todos estos resultados. Hallamos ahora un B Este es el campo magnético en el punto en cuestión. 96 CAPÍTULO 5. LOS CAMPOS DE CARGAS EN MOVIMIENTO. Evidentemente esto no explica nada. ¿Por qué se cumple la ecuación? ¿Por qué podemos ~ que satisfaga esta simple relación para todas las ~v posibles? ¿Por qué esta hallar siempre un B fuerza es proporcional a la velocidad? Lo más notable es que esta fuerza es estrictamente proporcional a la velocidad y que el efecto del campo eléctrico no dependa, en absoluto, de ~v . 5.2.1. Medida de la carga en reposo. ¿Cómo vamos a medir la cantidad de carga eléctrica sobre una partı́cula móvil? Esto debe ser establecido primero que nada. Una carga solamente solamente por los efectos que produce. Una carga puntual Q que esta en reposo, puede medirse determinando la fuerza que actúa sobre una carga de prueba q separada a cierta distancia Carga de prueba en reposo q Q Carga en reposo Q= Fr 2 q Figura 5.4: Cargas en reposo. 5.3. Medida de carga en movimiento. Si la carga que deseemos medir, se mueve, estamos en una base incierta. Existe una dirección particular, la del movimiento. Podrı́a ser que la fuerza sobre la carga de prueba q dependiese de la dirección de Q a q, además de la distancia entre las dos cargas. En ese caso para diferentes posiciones de la carga de prueba observarı́amos diferentes fuerzas F3 F2 q q r Q= ?r 2 q q F1 r r Q v Carga de prueba en reposo Figura 5.5: Cargas en movimiento. Tampoco tenemos la seguridad de que la fuerza estará siempre en la dirección del radio vector ~r. Para admitir esta posibilidad, convengamos en definir Q como promedio en todas 5.4. INVARIANCIA DE LA CARGA. 97 direcciones. Imaginemos un gran número de cargas de prueba infinitesimales distribuidas uniformemente sobre una esfera. En el instante en que la carga móvil pasa por el centro de la esfera, se mide la fuerza sobre cada carga de prueba, y el valor medio de los módulos de estas fuerzas se utilizan para calcular Q. La operación anterior serı́a precisamente la necesaria para determinar la integral de superficie del campo eléctrico sobre la esfera en el instante t. Las cargas de prueba están aquı́ en reposo, recordemos: La fuerza sobre q por unidad de carga, por definición, nos da el campo eléctrico en este punto. Esto sugiere que más que la ley de Coulomb, la ley de Gauss brinda la manera natural de definir la cantidad de carga para una partı́cula móvil o para un conjunto de cargas móviles. Podemos componer una definición como sigue: La cantidad de carga eléctrica en una ~ extendida a una superficie región se define por la integral de superficie del campo eléctrico E S que comprenda la región Esta superficie S está referida a cierto sistema de coordenadas F . ~ en un punto (x, y, z) en un instante t en F , se mide por la fuerza sobre El campo eléctrico E una carga de prueba en reposo en F , en aquel instante y lugar. La integral de superficie ha de determinarse en un instante t particular. Es decir, los valores del campo que se utilizan son los que se han medido simultáneamente por observadores todos desplegados sobre S (Esto no presenta dificultad, pues S es estacionaria en el sistema F ). A la integral de superficie S, en el instante t, la denotamos Z ~ · d~a E (5.2) S(t) Definimos la cantidad de carga en el interior de S como Z 1 ~ · d~a Q= E 4π S(t) (5.3) Nos desconcertarı́a el que el valor de Q determinada ası́ dependiese de la forma y tamaño de la superficie S. Para una carga estacionaria esto no ocurre, es la ley de Gauss. Pero, ¿cómo sabemos que la ley de Gauss se cumple cuando las cargas son móviles? Afortunadamente se cumple: Podemos tomarla como un hecho experimental. ~ de las cargas móviles nos permite definir la cantidad Esta propiedad fundamental de E de carga por la ecuación (5.3). Aparece una pregunta importante: ¿Qué ocurre si las mismas partı́culas tienen otras velocidades?. 5.4. Invariancia de la carga. Existe evidencia experimental concluyente de que la carga total en un sistema, no varı́a por el movimiento de los portadores de carga. Las pruebas: la rigurosa neutralidad eléctrica de los átomos y moléculas. La neutralidad del átomo de hidrógeno comparada con la neutralidad del átomo de He en el cual el movimiento de p+ y e− es muy distinto en ambos casos. Otra evidencia viene del espectro óptico de los isótopos del mismo elemento, átomos con distinta masa pero igual carga (nominalmente). De nuevo se halla una marcada diferencia en el movimiento de los p+ , pero no hay 98 CAPÍTULO 5. LOS CAMPOS DE CARGAS EN MOVIMIENTO. discrepancia en la carga. La masa no es invariante de la misma manera. Sabemos que la masa de una partı́cula varı́a con su movimiento, en el factor 1/(1 − v 2 /c2 )1/2 . Un experimento imaginario: m +q m +q Masa total = masa de la caja + 2m masa de la caja + 2m (1−v2/c 2) 1/2 Carga total = 2q 2q Figura 5.6: Cargas y masas en movimiento. Un experimento real se puede efectuar con un espectrógrafo de masas, que puede revelar fácilmente una diferencia de masa entre una molécula de deuterio ionizado 2[1p+ +1n0 ]+1e− y un átomo de helio ionizado 2p+ +2n0 +1e− . Ambas estructuras son muy diferentes y las partı́culas se mueven con velocidades muy distintas. La diferencia de energı́a se presenta como una diferencia de masa medible. No existe diferencia detectable, con una precisión muy elevada, en la carga eléctrica de los iones. Los experimentos que hemos descrito, y otros, R ~ demuestran que el valor de la integral de superficie S E · d~a de nuestra Ley de Gauss: -depende solamente del número y variedad de partı́culas cargadas en el interior de S, y no de como se mueven. Según los postulados de la relatividad, tal manifestación debe ser cierta para cualquier sistema de referencia inercial, si lo es para uno. Por lo tanto, si F 0 es cierto sistema de referencia inercial distinto, que se mueve con respecto a F y S 0 es una superficie cerrada en tal sistema, la cual en el instante t0 encierra los mismos cuerpos cargados que encerraba S en el instante t debemos tener Z Z ~ ~ 0 · d~a0 E · d~a = E (5.4) S(t) S 0 (t0 ) ~ 0 se mide en F 0 , es decir, se define por la fuerza sobre una carga de Por supuesto que E prueba en reposo en F 0 . No debe pasarse por alto la diferencia entre t y t0 . Sabemos que sucesos que son simultáneos en un sistema pueden NO serlos en otro. Cada integral en (5.4) ha de calcularse, en cierto instante, en su sistema de referencia. Si las q están en los contornos de S o S 0 ha de cuidarse de asegurar que las q en el interior de S en el instante t, son las mismas que las interiores a S 0 a t0 . La ecuación (5.4) es una expresión formal de la invariancia relativista de la carga. Podemos elegir nuestra superficie gaussiana en cierto marco de referencias inercial. La integral de superficie nos dará un número 5.5. CAMPOS ELÉCTRICOS MEDIDOS EN DIFERENTES SISTEMAS DE REFERENCIAS.99 independiente del sistema de referencia. Esto NO es lo mismo que la conservación de la carga, que estudiamos antes y quedo expresada por ~ · J~ = − ∂ρ ∇ ∂t La conservación de la carga implica que si tomamos una superficie cerrada fija en algún sistema conteniendo materia cargada, y si las partı́culas no atraviesan el contorno, entonces la carga total en el interior de esta superficie es constante. La invariancia de la carga implica que si consideramos este conjunto de materia desde otro sistema de referencia mediremos exactamente la misma carga. La energı́a se conserva pero no es invariante. La carga es un escalar invariante ante transformaciones de Lorentz. Lo anterior determina completamente la naturaleza del campo eléctrico para cargas móviles. 5.5. Campos eléctricos medidos en diferentes sistemas de referencias. ~ Si la carga ha de ser invariante, bajo transformaciones de Lorentz, el campo eléctrico E tiene que transformar de una manera particular. ~ significa responder a una pregunta como la siguiente: Si un obser¿Cómo transforma E? ~ en un punto vador en un cierto sistema de referencia inercial F mide un campo eléctrico E en el espacio y tiempo, ¿qué campo será medido en el mismo punto del espacio tiempo por un observador en un diferente sistema de referencia inercial? Para cierta clase de campos podemos responder la pregunta aplicando la ley de Gauss en ambos sistema. b z b F x Figura 5.7: Par de placas paralela. En el sistema de referencia F , figura anterior, tenemos dos láminas estacionarias de carga con densidades superficiales +σ y −σ. Son láminas cuadradas de lado b paralelas al plano XY con una separación que supondremos pequeña comparada con su extensión. En F el ~ = 4πσ. módulo del campo es |E| Consideremos F 0 que se mueva hacia la izquierda con respecto a F , con velocidad ~v . Para un observador en F 0 , las láminas cuadradas cargados ya no son cuadradas. Su coordenada x0 se ha contraı́do de p v con β = . b → b 1 − β2 , c 100 CAPÍTULO 5. LOS CAMPOS DE CARGAS EN MOVIMIENTO. Pero la carga total es invariante, es decir, independiente del sistema p de referencia, ası́ que 0 la densidad de carga medida en F es mayor que σ, su relación es 1/ 1 − β 2 . z’ z b b 1−β 2 v σ’ σ v F v F x F’ F’ x’ (b) (a) Figura 5.8: En los diferentes sistemas. La figura (5.8 a) es como se ve en F . La figura (5.8 b) es como se ve en F 0 ~ de ¿ Qué podemos decir acerca del campo eléctrico en F 0 si todo lo que conocemos del E ~ es cargas móviles está contenido en la ecuación de Gauss? Pero una cosa se puede afirmar, E nulo en la parte exterior de las láminas y uniforme entre ellas, al menos en el lı́mite cuando la extensión → ∞. El campo podrı́a ser de la forma mostrada en la figura, de hecho no lo es. v (a) v (b) Figura 5.9: Como NO son los campos. La figura (5.9 a) podrı́a ser el campo de una sola lámina positiva en F 0 . La figura (5.9 b) podrı́a ser el campo de una sola lámina negativa en F 0 . Aunque el campo fuera de esta forma, al hacer superposición serı́a nulo afuera y perpendicular a las placas adentro. Podemos aplicar Gauss a una caja estacionaria en F 0 La carga contenida se determina por σ 0 . El campo es nulo al exterior de las placas. La ley 4πσ de Gauss da Ez0 = 4πσ 0 = p , luego 1 − β2 Ez0 = p Ez 1 − β2 = γEz , 1 γ=p 1 − β2 ≥1 (5.5) Imaginemos un caso distinto, las láminas cargadas estacionarias en F están orientadas ⊥ al eje x. 5.5. CAMPOS ELÉCTRICOS MEDIDOS EN DIFERENTES SISTEMAS DE REFERENCIAS.101 z’ v σ’ Caja estacionaria en F’ x’ F’ Figura 5.10: Aplicando la ley de Gauss en F 0 . z x F Figura 5.11: Otro par de placas paralela. El observador en F ve Ex = 4πσ. En este caso σ 0 (en F 0 ) es la misma. Las láminas NO se han contraı́do la distancia entre ellas, pero esta no interviene en la determinación del campo. Sólo se ha contraı́do la distancia entre ellas, pero esta no interviene en la determinación del campo. Usando la ley de Gauss sobre la caja estacionaria en F 0 z’ σ ’=σ v Caja estacionaria en F’ x’ F’ Figura 5.12: Aplicando la ley de Gauss. 102 CAPÍTULO 5. LOS CAMPOS DE CARGAS EN MOVIMIENTO. Ex0 = 4πσ 0 = 4πσ = Ex (5.6) ~ tenga sentido, el observador ¿Nuestras conclusiones tienen validez general? Para que E en F habiendo medido el campo en un punto en cierto instante, debe ser capaz de predecir a partir solamente de estas medidas, lo que medirán los observadores en otros sistemas en el mismo punto espacio temporal. Considerando lo anterior las ecuaciones (5.5) y (5.6) toman un significado más allá del caso particular. Si tomamos cualquier distribución de cargas todas en reposo en F . La velocidad de F 0 respecto de F es ~v = vx x̂. Si un observador en F mide un campo Ez en la dirección z entonces en F 0 indicará, para el mismo punto un campo Ez0 = γEz . Si el observador en F mide Ex en la dirección x (igual a la dirección de la velocidad de F 0 respecto de F ) en F 0 indica Ex0 = Ex . Evidentemente las direcciones y y z son equivalentes al ser transversales a la velocidad. ~ Supongamos que F 0 se mueve Las cargas en reposo en F son la fuente de un campo E. ~ en longitudinal Ek con velocidad ~v relativa a F . En cualquier punto de F descomponemos E (paralela a ~v ) y transversal E⊥ (perpendicular a ~v ). En el mismo punto del espacio tiempo ~ 0 se descompone en E 0 y E 0 luego en F 0 el campo E ⊥ k Ek0 = Ek (5.7) E⊥0 = γE⊥ Nuestra conclusión se cumple solamente para campos originados por cargas estacionarias en F . Como veremos, si las cargas en F se mueven, la predicción del campo eléctrico en F 0 implica el conocimiento de dos campos en F , el eléctrico y el magnético. Pero ya tenemos un resultado útil que es suficiente siempre que podamos hallar cualquier sistema de referencia inercial en el cual todas las cargas en reposo 5.6. Campo de una carga puntual que se mueve con velocidad constante. z’ Ez z (x,z) v z’ Ex Ez’ Ex’ r r’ θ Q x F F’ x’ (a) Q θ’ v F’ x’ (b) Figura 5.13: Carga en reposo en F . 5.6. CAMPO DE UNA CARGA PUNTUAL QUE SE MUEVE CON VELOCIDAD CONSTANTE.103 En F una carga puntual Q está en reposo en el origen, esta carga pasa por el origen de ~ tiene por módulo Q/r2 y está dirigido radialmente hacia F cuando t0 = 0. En todo punto E afuera, Las componentes cartesianas en F 0 Ex = Qx Q cos θ = 2 2 r (x + z 2 )3/2 Ez = Q Qz sen θ = 2 2 r (x + z 2 )3/2 El sistema F 0 que se mueve en la dirección (−x̂), con rapidez v respecto a F . Las transformaciones de Lorentz: βx0 x = γ(x − βct ) , y = y , z = z , t = γ t − c 0 0 0 0 0 . (5.8) Los relojes se habı́an colocado a cero cuando x = 0 y x0 = 0 coincidı́an. Según las ecuaciones (5.5) y (5.6) Ez0 = γEz , Ex0 = Ex . Usando (5.8) y (5.8) podemos expresar las componentes del campo Ez0 y Ex0 en función de las coordenadas en F 0 . En el instante t0 cuando Q pasa por el origen en F 0 tenemos Ex0 = Ex = γQx0 ((γx0 )2 + (z 0 )2 )3/2 Ez0 = γEz = γQz 0 ((γx0 )2 + (z 0 )2 )3/2 Ez0 z0 ~ 0 forma el mismo ^ con x0 que ~r0 . Es decir, = lo cual indica que E Ex0 x0 ~ 0 se dirige radialmente hacia afuera a lo largo de una recta trazada desde el origen a la E posición instantánea de Q Lo anterior significa que si Q pasó por el origen del sistema prima a las 12 AM tiempo ~0 prima, un observador estacionado en cualquier punto del sistema prima expresará que E en ese punto a las 12 AM estaba dirigido radialmente desde el origen. Lo anterior suena como transmisión instantánea de información. ¿Cómo puede conocer un observador distante un kilómetro, la posición de una partı́cula en el mismo instante? No puede. Esto no estaba sobreentendido. Esta partı́cula se movı́a siempre a ~v cte. en un “plan de marcha” que le exigı́a pasar por el origen al mediodı́a. Es el pasado de la partı́cula lo que determina el campo observado. Advirtamos que: 104 CAPÍTULO 5. LOS CAMPOS DE CARGAS EN MOVIMIENTO. Evaluemos la intensidad del campo γ 2 Q2 (x02 + z 02 ) [(γx0 )2 + (z 0 )2 ]3 Q2 (x02 + z 02 ) = 4 0 2 γ [(x ) + (z 0 )2 − β 2 (z 0 )2 ]3 Q2 (1 − β 2 )2 = 3 β 2 z 02 02 02 2 (x + z ) 1 − 02 x + z 02 E 02 = Ex02 + Ez02 = (5.9) Si r0 representa la distancia desde la carga Q, que está momentáneamente en el origen, √ 0 02 entonces r = x + z 02 . Si θ0 es el ángulo entre ~r0 y ~v entonces z 0 = r sen θ0 , luego E0 = Q 1 − β2 r02 (1 − β 2 sen2 θ0 )3/2 (5.10) No hay nada especial acerca del origen de coordenadas, ni acerca del plano X 0 Z 0 comparado con cualquier otro plano a lo largo del eje x0 . Por lo tanto, podemos decir de manera completamente general que el campo eléctrico de una carga en movimiento uniforme, en cierto instante dado, está dirigido radialmente desde la posición instantánea de la carga y su módulo viene dado por 1 − β2 Q , E 0 = 02 r (1 − β 2 sen2 θ0 )3/2 siendo θ0 el ^ entre la dirección de movimiento de la carga y ~r0 . Para velocidades pequeñas el campo E 0 ≈ Q/r02 y es prácticamente el mismo en cada instante al campo de una carga puntual estacionaria en F 0 en la posición instantánea de Q. Pero si β 2 no es despreciable, el campo es más intenso en la dirección ⊥ al movimiento que en la dirección del movimiento a igual distancias a la carga. Si indicamos la intensidad de campo por la densidad de lı́neas de campo, ellas deberı́an concentrarse en el plano ⊥ a la dirección del movimiento Este es un campo eléctrico notable. No tiene simetrı́a esférica, lo β=0.866 z’ 2.0 1.5 .85 .50 .35 .25 y’ x’ Figura 5.14: Densidad de lı́neas que atraviesan una esfera unitaria debida a una carga móvil en dirección x0 con v/c = 0.866. cual no nos sorprende porque en esta referencia hay una dirección privilegiada, la dirección del movimiento de la carga. También es un campo que no puede producir ninguna distribución 5.7. CAMPO DE UNA CARGA QUE ARRANCA O PARA. 105 B A C D v Figura 5.15: Integral curvilı́nea. estacionaria de cargas, sea cual fuere su forma. Pues la integral curvilı́nea de E 0 a lo largo de un camino cerrado no es nula. ~ 0 . En las secciones radiales E ~ 0 es más Los arcos circulares no contribuyen por ser ⊥ a E ~ 0 6= 0. Pero tengamos presente que éste NO es intenso en BC que en AD. La circulación de E ~ 0 , en cada punto un campo electrostático. En el transcurso del tiempo el campo eléctrico E 0 de F , varı́a al moverse la carga fuente. 5.7. Campo de una carga que arranca o para. t=0 6[ cm y ] Velocidad uniforme significa un movimiento a rapidez constante, en lı́nea recta, que siempre ha estado en movimiento. ¿Qué ocurre si nuestro electrón NO ha estado viajando anteriormente a lo largo del eje negativo de las x? Supongamos que ha estado en reposo en el origen a t = 0. Inmediatamente antes de t = 0, algo comunica al electrón una gran aceleración bruscamente, hasta que la rapidez sea v y se mueva a lo largo del eje positivo con esta rapidez. Después su movimiento es el de la figura. . . P t=2 t=4 x 4 v c = 5 Unidad de tiempo 10 −10 [s] Figura 5.16: Carga a velocidad constante. Sin embargo, esta figura no representa bien el campo para la historia descrita. Se puede ver esto al considerar el punto P en t = 2 =⇒ 2 × 10−10 [s]=⇒ 6 [cm] recorridos por una señal luminosa. Ya que P está a más de 6 [cm] no puede haber recibido la noticia de que el electrón ha empezado ha moverse en t = 0 (a menos que se viole la relatividad). El campo en el punto P en el instante t = 2 y en realidad en todos los puntos exteriores a la esfera de 106 CAPÍTULO 5. LOS CAMPOS DE CARGAS EN MOVIMIENTO. radio 6 [cm] con centro en el origen, deben ser el campo de una carga en reposo en el origen. Cerca de la carga móvil, lo que ocurrió en el pasado no puede ocasionar diferencia. El campo de la partı́cula que aceleró debe parecerse a esta figura. . . t=2 La carga empezó a moverse en x=0, t=0 x=0 Figura 5.17: Campo de carga acelerando. Existe una capa delgada (cuyo espesor en un caso real dependerá de la duración requerida para la aceleración) dentro del cual tiene lugar la transición de un tipo de campo a otro. Esta capa se dilata con rapidez c, permaneciendo su centro en x = 0. En la se representa el campo en un electrón que se ha estado moviendo con velocidad uniforme hasta t = 0, en aquel instante alcanzó x = 0 en donde se frenó bruscamente. B A t=2 La carga terminó a moverse en x=0, t=0 x=0 D θο E C ϕο F Figura 5.18: Campo de carga desacelerando. Ahora bien, la noticia de que se detuvo no puede alcanzar en un tiempo t, ningún punto más alejado que ct del origen. El campo en el exterior de la esfera de radio R = ct debe ser el que prevalecerı́a si el electrón hubiese mantenido el movimiento con su rapidez original. Este es el porque vemos el cepillo de las lı́neas de campo a la derecha en la figura 5.18 dirigidas precisamente hacia la posición donde estarı́a el e− si no se hubiese parado. Es relativamente fácil relacionar las lı́neas de campo interiores y exteriores. Solamente existe una manera que este campo esté de acuerdo con la ley de Gauss. Hagamos girar EABCDF en torno al eje x para engendrar ~ sobre la una superficie de revolución. Como la superficie NO encierra carga la integral de E superficie total debe ser nula. Las únicas contribuciones provienen de los casquetes esféricos, ~ por construcción. pues el resto de la superficie es paralela a E El campo en el casquete interior es el campo de una carga puntual en reposo. El campo en el casquete exterior es el campo de una carga puntual con rapidez constante ~v . 5.7. CAMPO DE UNA CARGA QUE ARRANCA O PARA. 107 D A θο ϕο r’ θ E 2 π r’ 2 sen θ d θ r ϕ F 2 π r 2 sen ϕ d ϕ Figura 5.19: Superficies en las cuales integrar. La integral en el interior Z 0 θ0 q 2πr2 sen θ dθ = 2πq r2 Z θ0 sen θ dθ ~ sobre el casquete exterior es: La integral de E Z ϕ0 q 1 − β2 2πr2 sen ϕ dϕ 2 (1 − β 2 sen2 ϕ)3/2 r 0 Z ϕ0 1 − β2 sen ϕ dϕ = 2πq (1 − β 2 sen2 ϕ)3/2 0 La condición de que el flujo entrante sea igual al saliente nos conduce a Z θ0 Z ϕ0 1 − β2 sen θ dθ = sen ϕ dϕ (1 − β 2 sen2 ϕ)3/2 0 0 Haciendo uso de R (a2 (5.11) 0 (5.12) (5.13) x dx = , obtenemos 2 3/2 2 +x ) a(a + x2 )1/2 ϕ0 cos θ0 = p 1 − β 2 sen2 ϕ (5.14) Una manera equivalente de expresar la relación entre θ0 y ϕ0 tan ϕ0 = γ tan θ0 (5.15) En las lı́neas de campo que conectan el campo próximo a campo remoto deben existir componentes transversales, es decir no radiales. Hay un campo intenso en la región de transición, y esta configuración de campos se dilata con rapidez c en el transcurso del tiempo, vemos que tenemos algo muy parecido a la propagación de una onda de campo eléctrico transversal. 108 5.8. CAPÍTULO 5. LOS CAMPOS DE CARGAS EN MOVIMIENTO. Fuerza sobre una carga móvil Conocemos la fuerza experimentada por una carga estacionaria en el campo de otra carga se mueve con velocidad cte. Preguntemosnos: ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre una carga móvil, la cual se mueve en el campo de otras cargas? Primero consideremos el caso que se mueve en el campo producido por cargas estacionarias. Podrı́a ser un electrón moviéndose entre las placas cargadas de un osciloscopio, o una partı́cula α moviéndose en el campo coulombiano cerca del núcleo atómico. Las fuentes del campo están en reposo en cierto sistema que llamaremos “Lab”. En cierto lugar y tiempo, en el “Lab” observamos una partı́cula con carga q que se mueve con velocidad ~v , en este instante, en el campo electrostático. ¿Qué fuerza actúa sobre q? Sabemos que la fuerza es la derivada temporal del momentum. ¿Cuál es la variación de momentum de la partı́cula d~p/dt en este lugar y tiempo, medida en “Lab”? La respuesta está implı́citamente contenida en lo que ya sabemos. Consideremos el sistema desde un marco de referencia F 0 que se mueve con la partı́cula. En este sistema la partı́cula, está en reposo y son las otras cargas las que se mueven ahora. Esto lo conocemos, la fuerza ~ 0 q donde E ~ 0 es el campo en F 0 . Podemos hallar E ~ 0 dado sobre la carga estacionaria q es E ~ mediante las transformaciones que ya conocemos. Con E ~ podemos hallar la variación del E, momentum con respecto al tiempo. Nuestro problema es cómo transforma la fuerza, es decir, la derivada temporal del momentum, de un sistema inercial a otro. Consideremos cierto sistema de referencia inercial F 0 que se mueve en la dirección x positiva, con rapidez v, observada en otro sistema de referencia F . Sea una partı́cula cuya masa en reposo es m, moviéndose en la dirección x0 positiva en F 0 con rapidez v 0 . Sea px la componente x del momentum medida en F y sea p0x la componente x del momentum medida en F 0 . Necesitamos hallar la relación entre px y p0x mv 0 p0x = p 1 − β 02 = mcβ 0 γ 0 β 0 = v0 1 . , γ0 = p c 1 − β 02 (5.16) Por otro lado, en el sistema F la velocidad de la partı́cula es v + v0 c(β + β 0 ) , = 0 1 − ββ 0 1 − vv c2 Ası́ que px = mc(β + β 0 ) 2 1/2 0 β+β (1 + ββ 0 ) 1 − 1+ββ 0 mc(β + β 0 ) [(1 − β 2 )(1 − β 02 )]1/2 = mcγγ 0 (β + β 0 ) = (5.17) Comparando ambas ecuaciones px = γ(p0x 0 + βγ mc) = γ p0x E0 +β c , (5.18) 5.8. FUERZA SOBRE UNA CARGA MÓVIL 109 E 0 es la energı́a medida en F 0 . Si recordamos como transforma la coordenada x = γ(x0 + βct0 ) entonces con la anterior relación como evidencia podemos decir que (px , py , pz , E/c) se comporta como (x, y, z, ct). Ya que y = y 0 en una transformación de Lorentz con ~v dirigida en x, debemos esperar que py = p0y . La relación entre t y t0 (5.19) x0 t=γ t +β c Diferenciando dt = γdt0 + γ 0 (5.20) β dx0 = γdt0 (1 + ββ 0 ) . c dt0 (5.21) dpy = dp0y (5.22) A partir de la ecuación (5.19) Diferenciando la ecuación (5.18) dpx = γp0x + γβmc dγ dp0x dp0x , El factor mc(dγ 0 /dp0x ) puede calcularse a partir de la ecuación (5.16) p p0x = mcγ 0 β 0 = +mc γ 02 − 1 , Derivamos mcγ 0 mc dp0x p = = 0 0 02 dγ β γ −1 (5.23) (5.24) (5.25) Entonces dγ 0 /dp0x = 1/(dp0x /dγ 0 ) = β 0 /mc, sustituyendo en (5.23) dpx = γdp0x (1 + ββ 0 ) . (5.26) Comparando (5.21) y (5.26) vemos que dpx dp0 = x0 dt dt (5.27) Esto se cumple no importa lo grande que sea v 0 ya que el factor (1 + ββ 0 ) aparece en ambas ecuaciones. Nos interesa solamente los casos en que v 0 es ,muy pequeña, es decir, cuando la partı́cula esta casi en reposo en F 0 . En este caso ββ 0 puede despreciarse y entonces al comparar (5.21) y (5.22), hallamos dpy 1 dp0y = dt γ dt0 Resumiendo (5.28) 110 CAPÍTULO 5. LOS CAMPOS DE CARGAS EN MOVIMIENTO. E’ = E q dp dp’ = dt dt’ E’ dp = qE dt q v E Sistema de referencia "partícula" F’ Sistema de referencia "Lab" F q q E’ E dp = 1 γ dt E’ = γ E v dp’ dt’ dp = qE dt Figura 5.20: Resumen. F 0 es un sistema de referencia inercial en el cual una partı́cula está instantáneamente en reposo o moviéndose muy lentamente. F es cualquier otro sistema de referencia inercial con respecto al cual F 0 se mueve con cierta velocidad. Usando las componentes paralelas y perpendiculares del momentum respecto a la velocidad relativa entre F y F 0 podemos establecer dp0k dpk = 0 dt dt dp⊥ 1 dp0⊥ = dt γ dt0 (5.29) La ecuación (5.29) corresponde a la ley de transformación de la fuerza. La ley de transformación de los campos ya la conocemos: Ek0 = Ek y E⊥0 = γE⊥ . Ahora podemos volver a la ~ partı́cula cargada moviéndose a través del campo eléctrico E. ~ paralela a la dirección instantánea del movimiento de nuestra Sea Ek la componente de E partı́cula. La transformamos a F 0 , el campo Ek0 = Ek , la fuerza dp0k = Ek0 q = Ek q . (5.30) dp0k dpk = 0 = Ek q . dt dt (5.31) dt0 En F se mide la fuerza longitudinal La partı́cula NO permanece en reposo en F 0 en el transcurso del tiempo. Se acelera por el campo E 0 , y v 0 aumentará, sin embargo nos interesa la aceleración instantánea. 5.9. INTERACCIÓN ENTRE UNA CARGA MÓVIL Y OTRAS CARGAS MÓVILES.111 Para E⊥ en F , en el sistema prima E⊥0 = γE⊥ , ası́ que dp0⊥ = qE⊥0 = qγE⊥ . dt0 Pero al transformar la fuerza a F 1 dp0⊥ 1 dp⊥ = = (γE⊥ q) = E⊥ q . 0 dt γ dt γ (5.32) El corolario es: La fuerza que actúa sobre una partı́cula cargada que se mueve a lo largo ~ en este sistema de referencia estrictamente independiente de la de F es q veces el campo E velocidad de la partı́cula. 5.9. Interacción entre una carga móvil y otras cargas móviles. Sabemos que puede haber una fuerza sobre una carga móvil dependiente de la velocidad. Esta fuerza está asociada con un campo magnético, las fuentes de ese campo son corrientes eléctricas, es decir, otras cargas en movimiento. Desde nuestro punto de vista, la interacción magnética entre las corrientes eléctricas puede admitirse como un corolario inevitable de la ley de Coulomb. Si los postulados de la relatividad son válidos, si la carga es invariante y si se cumple la ley de Coulomb, los efectos que llamamos “magnéticos” están destinados a ocurrir. Estos efectos aparecerán tan pronto como examinemos la interacción eléctrica entre una carga móvil y otras cargas móviles. Un sistema simple nos puede ayudar a ilustrar esto. y Iones en reposo +λ Electrones moviendose −λ .... .... Lab .... .... v0 v E=0 q x Carga móvil Figura 5.21: Carga a velocidad constante. Las cargas se suponen tan numerosas y poco espaciadas que puede ignorarse su carácter discreto a las distancias que intervendrán. Hay una lı́nea de cargas positivas en reposo que se extienden hasta el infinito en ambas direcciones. Existen también cargas negativas (electrones) moviéndose con velocidad ~v0 hacia la derecha. Las cargas están ligeramente separadas por claridad. Para este sistema no existe un sistema de referencia en la cual todas las cargas estén ~ = 0. en reposo. Las densidades son = λ+ = −λ− = λ0 ⇒ λT = 0 =⇒ E 112 CAPÍTULO 5. LOS CAMPOS DE CARGAS EN MOVIMIENTO. Una carga de prueba q estacionaria a cierta distancia r del hilo no experimenta fuerza ~ = 0. Ahora nos interesa la fuerza sobre una carga de prueba móvil. Supongamos ya que E que la carga q se ha puesto en movimiento hacia la derecha con rapidez v en la referencia del Lab. ¿Qué fuerza actúa sobre ella, observada en la referencia del Lab? Para responder lo anterior, introducimos un sistema de coordenadas que se mueve con la carga de prueba q. En este sistema de referencia, que llamaremos de la partı́cula, la carga q está en reposo y la fuerza sobre ella está determinada solamente por el campo eléctrico en este sistema de referencia. ¿Por qué existe un campo eléctrico en la referencia partı́cula cuando no lo hay en el Lab? La razón es que los valores de las densidades lineales de carga vistas en la referencia 0 0 de la partı́cula (λ+ , λ− ) NO son iguales entre si, el hilo no es neutro, está cargado. Existe un exceso de carga por unidad de longitud. ¿Qué hay de la invariancia de carga? La carga total encerrada dentro de cierto contorno es la misma, no importa en que sistema de referencia se mida. En este caso ningún contorno puede encerrar a la carga total en el hilo, la cual se extiende hasta el infinito; lo que ocurre en sus extremos aquı́ no nos interesa. Si nos movemos a la misma rapidez que la carga de prueba hallaremos una densidad lineal distinta, el hilo aparece cargado. Las carga positiva estarán más cerca entre ellas y los electrones más lejos. La distancia entre los iones se contraerá en la dirección x en el factor (1−v 2 /c2 )1/2 = 1/γ, lo que la harı́a más densa γλ0 que en la referencia del Lab en la cual las cargas positivas estaban en reposo. Las cargas negativas ya estaban en movimiento en el Lab, luego encontrar su densidad en el sistema de referencia de la carga de prueba será un poco más trabajoso. Ya que su densidad en el sistema del Lab es −λ0 , en el sistema en que los electrones están en reposo la densidad debe ser −λ0 /γ0 , donde γ0 es el factor de Lorentz para v0 . Necesitamos las velocidades de las cargas negativas en el sistema de la partı́cula de prueba v00 = v0 − v β0 − β =⇒ β00 = 2 1 − v0 v/c 1 − β0 β (5.33) El correspondiente factor de Lorentz lo obtenemos con un poco de álgebra γ00 = (1 − β002 )−1/2 = γγ0 (1 − β0 β) . (5.34) Este es el factor por el cual la densidad lineal de carga negativa en reposo en su propio sistema es modificada cuando es medida en el sistema de la carga de prueba. La densidad lineal de carga en el alambre en el sistema de la carga de prueba λ0 , la podemos calcular como sigue λ0 λ0 = γλ0 − (γγ0 (1 − β0 β)) = γββ0 λ0 . (5.35) γ0 El primer término corresponde al producto del factor de transformación al sistema de la partı́cula por la densidad de carga de los iones en el sistema que ellos están en reposo. El segundo término corresponde al producto de al densidad de carga de los electrones en sistema que ellos están en reposo por el factor de transformación al sistema de la partı́cula. 5.9. INTERACCIÓN ENTRE UNA CARGA MÓVIL Y OTRAS CARGAS MÓVILES.113 El alambre está cargado positivo. La ley de Gauss garantiza un campo radial Er0 dado por nuestra forma familiar de una lı́nea cargada infinita Er0 = 2λ0 2γββ0 λ0 = . 0 r r0 (5.36) En el sistema de la carga de prueba este campo está en la dirección −y 0 . La fuerza que experimentará la carga de prueba Fy0 = qEy0 = − 2qγββ0 λ0 . r0 (5.37) Ahora retornemos al sistema de referencia del Lab. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza sobre la carga q medida en ese sistema? Si su valores qEy0 en el sistema en que la carga de prueba está en reposo, en el sistema del Lab se reportará una fuerza más pequeña en un factor 1/γ. Ya que r = r0 , la fuerza sobre nuestra carga en movimiento, medida en el sistema del Lab, es Fy0 2qββ0 λ0 Fy = =− . γ r (5.38) La cantidad λv0 es precisamente la corriente I en nuestro hilo en [ues/s]. Expresado por I esta corriente, el valor de la fuerza sobre la carga móvil está dado por 2qvx I q 2I F = = vx (5.39) 2 rc c rc Es un hecho notable que la fuerza sobre la carga de prueba móvil no dependa separadamente de la velocidad o de la densidad de los portadores de carga en el hilo, sino solamente de la combinación que determina el transporte neto de carga. Veamos cómo esto explica la repulsión mutua de conductores que conducen corriente en sentidos contrarios. Suponemos igual número de portadores positivos y negativos moviéndose en sentido contrario con la misma velocidad. Corriente Conductor 1 en reposo Conductor 2 Corriente (a) Figura 5.22: Dos cables conductores. En el Lab tenemos (5.22a). Las corriente se deben al movimiento de las cargas negativas (los electrones), las cargas positivas (los iones) están en reposo. En el sistema de referencia 114 CAPÍTULO 5. LOS CAMPOS DE CARGAS EN MOVIMIENTO. que se mueve con las cargas negativas del primer conductor el sistema aparece en la figura (5.23b). 1 en reposo 2 (b) Figura 5.23: En el sistema de los electrones. En este sistema el conductor 1 tiene un exceso de carga positiva por unidad de longitud de aquı́ que se repelen con las cargas positivas en el conductor 2. Análogamente, las negativas en el conductor 1 son repelidas por el exceso de carga negativa en el conductor 2. Para hallar las fuerzas sobre los restantes portadores de carga, las cargas negativas en el conductor 2, pasamos al sistema de referencia en la que ellas están en reposo, (5.24c). 1 2 en reposo (c) Figura 5.24: En el sistema de los otros electrones. Aquı́ el conductor 2 como aparece con un exceso de carga positiva, ası́ que las cargas positivas en el conductor 1 deben experimentar una repulsión. De manera similar para las cargas negativas en 2. Ası́ que cada portador de carga, en su propia referencia en reposo, experimenta una repulsión resultante de los portadores de carga en el otro conductor. De aquı́ que, en el Lab, tenemos una repulsión de cada uno de los conductores por el otro. En este capı́tulo hemos visto cómo el hecho de la invariancia de carga implica la fuerza entre corrientes eléctricas. Esto no nos obliga a considerar que un hecho es la causa del otro. Estos son simplemente dos aspectos del electromagnetismo cuyas relaciones ilustran elegantemente la ley más general: La fı́sica es la misma en todos los sistemas de referencia inerciales. Si tuviésemos que analizar cada sistema de cargas móviles, transformando entre varios sistemas de coordenadas, nuestro trabajo serı́a pesado y desconcertante. Existe un método 5.9. INTERACCIÓN ENTRE UNA CARGA MÓVIL Y OTRAS CARGAS MÓVILES.115 mejor: el efecto completo de una corriente sobre otra, o de una corriente sobre una carga móvil puede describirse completa y concisamente introduciendo un nuevo campo, el campo magnético. 116 CAPÍTULO 5. LOS CAMPOS DE CARGAS EN MOVIMIENTO. Capı́tulo 6 El campo magnético. En este capı́tulo veremos las siguientes secciones. Definición de campo magnético. Algunas propiedades del campo magnético. Potencial Vector. Campo de cualquier corriente que recorre un hilo. (Ley de Biot-Savart.) Campos de espiras y bobinas. ~ en una lámina de corriente. Variación de B ¿Cómo transforman los campos? Experimento de Rowland. Efecto Hall. 6.1. Definición de campo magnético. Una carga que se mueve en las cercanı́as de un corriente experimenta una fuerza perpendicular a su propia velocidad. Este comportamiento se describe usualmente diciendo que existe un campo magnético en torno a un hilo que conduce corriente y que una carga móvil experimenta una fuerza en un campo magnético. La fuerza que actúa sobre una carga q moviéndose con velocidad uniforme ~v viene dada por ~ . ~ + q ~v × B F~ = q E c (6.1) ~ y B ~ son campos vectoriales que no dependen de la velocidad de la partı́cula. donde E ~ como Las unidades de B =[dinas/ues]=[Gauss]. Si se cumple la ecuación (6.1) definimos E ~ como el campo magnético en tal lugar. el campo eléctrico en aquel punto y definimos B ~ Si B = 0 entonces (6.1) corresponde a la fuerza electrostática. ~ = 2I ϕ̂ . B rc 117 (6.2) 118 CAPÍTULO 6. EL CAMPO MAGNÉTICO. B r I Figura 6.1: Campo en torno a un hilo conductor. Hemos demostrado que si q se mueve paralela al conductor siente una fuerza. Si se mueve perpendicular al conductor también se puede demostrar que siente una fuerza. La interacción magnética entre corrientes paralelas solamente depende del producto de las corrientes y no de las densidades de los portadores o de las velocidades separadamente. I1 r I2 F Figura 6.2: Fuerza entre hilos conductores. La fuerza por unidad de largo Fuerza por cm = 2I1 I2 rc2 I ds B Figura 6.3: Fuerza sobre un conductor. (6.3) 6.1. DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNÉTICO. 119 ~ el valor de la fuerza sobre un conductor Expresada en función de un campo magnético B que conduce una corriente estacionaria I en un campo magnético B generado por otras corrientes, a partir de una forma diferencial de la fuerza de Lorentz, es dF~ = dq ~ = dq dt d~s × B ~ = I d~s × B ~ . ~v × B c cdt dt c (6.4) Donde d~s es el elemento de longitud que recorre el conductor, dirigido en el sentido de la corriente. Si medimos la corriente en Ampères el campo en Gauss B[Gauss] = 2 I[A] 10 r[cm] Recordemos que 1[A]=3×109 [ues/s] y c = 3 × 1010 [cm/s]. La intensidad del campo magnético terrestre cerca de la superficie de la Tierra ≈ 0.5 [Gauss]. Un campo entre 10 a 20 [kGauss] lo obtenemos con un electroimán de hierro. Un campo entre 60 a 80 [kGauss] lo obtenemos con un electroimán superconductor. La magnitud que hemos ~ en muchos libros la llaman inducción magnética. definido B La circulación de un campo magnético satisface Z I 4π ~ J~ · d~a . (6.5) B · d~s = c S(Γ) Γ Donde S(Γ) es cualquier superficie cuyo contorno sea Γ. El lado derecho corresponde a 4π/c la corriente encerrada por el camino, es decir, I ~ · d~s = 4π Iencerrada B c Γ El campo de un hilo conductor I r Γ I ~ · d~s = 4π I B c 4π B 2πr = I c 2I B= rc 120 CAPÍTULO 6. EL CAMPO MAGNÉTICO. Sabemos que se cumple el Teorema de Stokes I Z F~ · d~s = (rot F~ ) · d~a Γ (6.6) S(Γ) Comparando este resultado con la Ley de Ampère tenemos ~ = 4π J~ rot B c (6.7) Esta es la expresión más simple y más general entre el campo magnético y las cargas móviles que lo originan. Como NO hay “cargas magnéticas” (monopolos) tenemos ~ =0 div B (6.8) Las ecuaciones de Maxwell para la electromagnetoestática ~ = 4πρ div E ~ =0 div B 6.2. ~ =0 rot E ~ = 4π J~ rot B c (6.9) El potencial vector. ~ como Dada la identidad vectorial div(rot F~ ) = 0 podemos expresar B ~ = rot A ~ B (6.10) ~ es conocido como el potencial vector. ¿Cómo calcularlo? debemos El campo vectorial A imponer que ~ = 4π J~ rot(rot A) (6.11) c La componente x ∂ ∂ (Bz ) − (By ) = ∂y ∂z ∂ ∂Ay ∂Ax ∂ ∂Ax ∂Az − − − = ∂y ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x 4π Jx c 4π Jx c (6.12) 6.2. EL POTENCIAL VECTOR. 121 ∂ ∂Ay ∂ ∂Az ∂ 2 A x ∂ 2 Ax − + + = − ∂y 2 ∂x2 ∂x ∂y ∂x ∂z ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 A x − − − ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂ ∂Ax ∂Ay ∂Az + + + = ∂x ∂x ∂y ∂z 4π Jx c (6.13) 4π Jx c (6.14) luego −∇2 Ax + ∂ ~ ~ 4π (∇ · A) = Jx ∂x c Vectorialmente ~ + ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ = −∇2 A 4π ~ J c ~ ·A ~ = div A ~ = 0, conocido como Gauge de Coulomb, Elegimos ∇ Nos queda ~ = − 4π J~ ∇2 A c (6.15) Esta ecuación es equivalente, por coordenadas cartesianas, a tres ecuaciones de Poisson, por lo tanto la solución Z ~ 0 J(~r ) 3 0 1 ~ dr . (6.16) A(~r) = c | ~r − ~r0 | 6.2.1. Ejemplo de potencial vector. Campo de un hilo recto conductor. ~ = 2I ϕ̂ B rc = 2I(− sen ϕx̂ + cos ϕŷ) p c x2 + y 2 = 2I −yx̂ + xŷ . c x2 + y 2 ~ tal que ∇ ~ ×A ~ = B. ~ Debemos encontrar un A Proponemos: ~ = −ẑ I Log(x2 + y 2 ) . A c (6.17) (6.18) 122 CAPÍTULO 6. EL CAMPO MAGNÉTICO. Evaluemos el rotor ∂Az ∂Ay 2Iy − =− 2 = Bx ∂y ∂z c(x + y 2 ) x ~ ×A ~ = ∂Ax − ∂Az = + 2Ix = By ∇ ∂z ∂x c(x2 + y 2 ) y ~ ×A ~ = ∂Ay − ∂Ax = 0 = Bz ∇ ∂x ∂y z ~ ×A ~ ∇ = (6.19) Evaluemos la divergencia ~ ·A ~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az ∇ ∂x ∂y ∂z ∂ −I 2 2 = Log(x + y ) = 0 ∂z c ~ satisface el gauge de Coulomb. Al potencial vector A ~ se le puede añadir Vemos que A cualquier campo vectorial con rotacional nula. Todo lo anterior se cumple fuera del hilo, en ~ es distinto, lo que implica que el potencial vector el interior del hilo el campo magnético B ~ también es distinto. A ~ no podrı́a encontrarse por integración directa debido a que el conEl potencial vector A ductor es infinito. Análogo al problema para el potencial escalar con la distribución infinita de carga. 6.3. Campo de cualquier cable conduciendo corriente. ds z Γ r12 I J r2 r12 = r1 r1 r2 y (x 1 ,y 1 ,z1 ) x Figura 6.4: Una espira de hilo que conduce una corriente I. El potencial vector en el punto (x1 , y1 , z1 ) viene dado por Z ~ r2 ) J(~ 1 ~ A(~r1 ) = d3 r2 . c | ~r1 − ~r2 | 6.3. CAMPO DE CUALQUIER CABLE CONDUCIENDO CORRIENTE. 123 Con J = I/a, donde I es la corriente y a la sección transversal del conductor. El elemento ~ 3 r2 = Id~s, donde d~s va en el sentido de la corriente. de volumen es d3 r2 = ads. Luego Jd ~ de la siguiente manera Ası́ para un hilo delgado podemos escribir la expresión para A I d~s ~=I A . (6.20) c Γ r12 En forma diferencial, i.e. la contribución al potencial vector de cada elemento diferencial del circuito d~s ~ r1 ) = I . dA(~ c | ~r1 − ~r2 | ~ tomando el rotor Obtenemos B I d~s . c | ~r1 − ~r2 | I~ d~s ~ dB(~r1 ) = ∇~r1 × . c | ~r1 − ~r2 | ~ r1 ) = ∇ ~ ~r1 × dA ~=∇ ~ ~r1 × dB(~ (6.21) Calculemos una de las componentes del rotor ~ =∇ ~ ~r1 × R d~s | ~r1 − ~r2 | x̂ ŷ ẑ ∂ = ∂x dx r ∂ ∂y dy r ∂ ∂z . dz r Evaluemos la componente x ∂ 1 ∂ 1 − dy ∂y r ∂z r 1 ~ ~ 1 − dy ∇ = dz ∇ r y r z ~ 1 . = − d~s × ∇ r x Rx = dz Con el resultado anterior en la ecuación (6.21) tenemos I 1 ~ r1 ) = − d~s × ∇ ~ ~r1 dB(~ . c | ~r1 − ~r2 | Calculemos el gradiente 1 ~ =∇ ~ ~r1 G | ~r1 − ~r2 | 1 2(x1 − x2 )x̂ + 2(y1 − y2 )ŷ + 2(z1 − z2 )ẑ =− 2 | ~r1 − ~r2 |3 ~r1 − ~r2 =− | ~r1 − ~r2 |3 (6.22) 124 CAPÍTULO 6. EL CAMPO MAGNÉTICO. Reemplazando el gradiente en la ecuación (6.22) obtenemos ~r1 − ~r2 I ~ dB(~r1 ) = − d~s × − c | ~r1 − ~r2 |3 I r̂12 = d~s × 2 c r12 La ecuación que resulta a continuación es conocida como la Ley de Biot-Savart: ~ = dB I d~s × r̂ c r2 (6.23) Donde r es el vector entre el elemento d~s y el punto de observación. El diferencial d~s apunta en la dirección del flujo de corriente. ~ se debe integrar a lo largo de circuito completo, tomando la contribución Para calcular B de cada elemento dada por la ecuación (6.23). 6.4. Campo de una espira y bobinas. z dB θ I r z θ b y ds I x Figura 6.5: Una espira de hilo que conduce una corriente I. Una corriente en forma de espira circular de radio b, podrı́a predecirse sin ningún cálculo, que el campo magnético de esa fuente debe ser algo parecido a: El campo debe tener simetrı́a de revolución en torno al eje z. Las lı́neas de campo deben se simétricas respecto al plano xy. Cerca del hilo parecerá un hilo recto largo. Calculemoslo usando Biot-Savart dBz = Ids Ids b cos θ = 2 2 cr cr r (6.24) 6.4. CAMPO DE UNA ESPIRA Y BOBINAS. 125 plano xy Figura 6.6: Forma aproximada del campo. Integrando a lo largo de la espira Bz = R ds = 2πb luego 2πb2 I 2πb2 I = . cr3 c(b2 + z 2 )3/2 (6.25) obtenemos el campo en el eje z. En el centro del anillo el módulo del campo es Bz (0) = 2πI cb (6.26) θ n vueltas/cm rdθ sen θ I z L θ1 dθ r θ2 b I Solenoide (bobina) Para calcular el campo Figura 6.7: Un solenoide. Supongamos que el hilo está uniformemente poco espaciado de manera que el número de vueltas en el enrrollamiento por centı́metro de longitud, a lo largo del cilindro es una constante, n. El camino de la corriente es realmente helicoidal pero si las vueltas son muchas y poco espaciadas podemos ignorarlo y considerar el solenoide equivalente a una pila de corrientes circulares. 126 CAPÍTULO 6. EL CAMPO MAGNÉTICO. Podemos usar la ecuación (6.25) como base para calcular el campo en los puntos sobre el eje z. Tomemos primero la contribución de la corriente anular incluida entre los rayos que salen de z y que forman un ángulo θ y θ + dθ con el eje. La longitud del segmento θ a θ rdθ r π 2 θ Figura 6.8: Ampliación. a cos π rdθ − θ = rdθ =⇒ a = 2 sen θ Por lo tanto, es equivalente a una espira que conduce una corriente In rdθ , sen θ donde I es la corriente en cada vuelta, n es el número de vuelta por centı́metro y el factor de la derecha es la longitud del segmento. y ya que b r sen θ = b =⇒ r = , sen θ para la contribución de este anillo al campo axial dBz = 2π 2πb2 Inrdθ = In sen θ dθ 3 cr sen θ c Integrando entre los lı́mites θ1 y θ2 tenemos " Z θ2 2πIn 2πIn Bz = sen θ dθ = − cos θ c c θ1 (6.27) θ2 # θ1 2πIn (cos θ1 − cos θ2 ) c Para la bobina infinita θ1 = 0 y θ2 = π = 4πIn c Bz = 0 Bz = Solenoide infinitamente largo fuera (6.28) (6.29) 6.4. CAMPO DE UNA ESPIRA Y BOBINAS. 127 1.0 0.8 L 0.6 0.4 0.2 −4b −2b 0 2b 4b Figura 6.9: La componente z del campo de una espira finita relativa al campo de una infinita. En el centro de una bobina “4 a 1” (L=4 veces el diámetro) el campo tiene aproximadamente el mismo valor que el de una bobina de longitud infinita y permanece casi constante hasta que nos acercamos a uno de los extremos. En un solenoide finito algunas lı́neas penetran las paredes. La envoltura cilı́ndrica de corriente es una superficie de discontinuidad para el campo magnético. Figura 6.10: Bobina finita. Es posible construir un solenoide largo con una sola vuelta de un conductor ancho y delgado como una cinta. El cambio de dirección de una lı́nea de campo que penetra la pared tiene lugar enteramente dentro de la lámina. Usemos la Ley de Ampère para evaluar el campo en un solenoide infinito con n vueltas por [cm] y por el cual circula una corriente I, ~ a lo largo del camino ABCD sobre la figura Consideremos la integral curvilı́nea de B 4π nIl c 4π Bz = nI c Bz l = Reobtenemos el resultado para el campo interior en un solenoide. (6.30) 128 CAPÍTULO 6. EL CAMPO MAGNÉTICO. n vueltas/[cm] con corriente B C l A D Figura 6.11: Bobina infinita. 6.5. ~ en una hoja con corriente. Cambio en B Consideremos una lámina de corriente ilimitada, en el plano xz. La densidad de corriente superficial es J en la dirección x con unidades [ues/s]/cm. z Bz+ Bz J I= Jl 3 2 x y l 4 1 Figura 6.12: Una lámina infinita que conduce corriente. ~ puede ser el campo de la lámina más algún campo externo producido por El campo B otra fuente. Si el campo externo tuviera una componente perpendicular a la lámina tomamos el camino más cercano a la lámina. Apliquemos la ley de Ampère sobre el circuito 1234: I ~ · d~s = Bz+ − Bz− ` = 4π J ` B c Vemos que una lámina de corriente de densidad J da lugar a un salto en la componente ~ paralela a la superficie y perpendicular a J . Si la lámina es la única fuente de corriente de B entonces el campo es simétrico, es decir, Bz− = −2πJ c y Bz+ = 2πJ c ~ EN UNA HOJA CON CORRIENTE. 6.5. CAMBIO EN B 129 lámina Figura 6.13: Campo de la lámina infinita. Supongamos dos lámina de corriente que conduzcan densidades de corriente superficiales de igual magnitud pero diferente signo y sin ninguna otra fuente alrededor B=0 B = 2πJ c J B=0 J Figura 6.14: Campo de dos láminas infinita. Consideremos una porción cuadrada de lámina de 1 [cm] de lado. La corriente que abarca es J , el campo medio que actúa sobre esta corriente 12 (Bz+ + Bz− ) implica que sobre esta porción de la siguiente distribución de corriente es J 1 Fuerza sobre 1 cm2 = (Bz+ + Bz− ) 2 c Podemos sustituir expresado (6.31) (Bz+ − Bz− ) J = tal que la fuerza por centı́metro cuadrado puede ser 4π c (Bz+ + Bz− ) (Bz+ − Bz− ) 2 4π 1 + 2 = (Bz ) − (Bz− )2 8π Fuerza sobre 1 cm2 = (6.32) La fuerza es perpendicular a la superficie y proporcional al área. Lo anterior también es válido en la proximidad de cualquier superficie. Una lámina con carga superficial, si se mueve paralelo a si misma, constituye una corriente superficial. 130 CAPÍTULO 6. EL CAMPO MAGNÉTICO. Si la densidad de carga uniforme es σ con la superficie deslizándose a rapidez v implica un ~ yB ~ deben cambiarse J = σv. Esta simple idea nos ayuda a ver como las magnitudes de E cuando pasamos de un sistema de referencia inercial a otro. v’o z v B B’ y y’ E E’ x vo v’o z’ x’ F’ F vo Figura 6.15: Dos lámina infinita con densidades superficiales σ y −σ en F y en F 0 . Usando Gauss en F obtenemos el campo eléctrico Ey = 4πσ . (6.33) En F ambas láminas se mueven en la dirección +x̂ con v0 lo cual implica Jx = σv0 en una y Jx = −σv0 en la otra, luego el campo magnético es Bz = 4πJx 4πσv0 = . c c (6.34) F 0 vista de F se mueve con velocidad v en la dirección +x̂. ¿Qué medirá un observador en F 0 ?. En F 0 , la velocidad según x0 de las láminas es v00 v00 = c(β0 − β) v0 − v = v0 v (1 − β0 β) 1 − c2 (6.35) Existe una contracción de Lorentz de la densidad de carga en esta referencia. La densidad en la referencia en reposo de las cargas es σ(1 − v02 1/2 σ ) = 2 c γ0 Lo anterior implica que en F 0 σ0 = σ γ00 , γ0 (6.36) ~ EN UNA HOJA CON CORRIENTE. 6.5. CAMBIO EN B 131 donde γ00 = (1 − v002 /c2 )−1/2 . De la ecuación (6.35) podemos eliminar γ00 σ 0 = σγ(1 − β0 β) . (6.37) La densidad de corriente superficial J 0 = σ 0 v00 = σγ(1 − β0 β)c (β0 − β) = σγ(v0 − v) (1 − β0 β) (6.38) Los campos en F 0 4πσv0 v = 4πσ = γ 4πσ − c c 4π 0 4πσv0 v 0 Bz = J =γ − 4πσ c c c Ey0 0 (6.39) (6.40) Si consideramos Ey y Bz de las ecuaciones (6.33) y (6.34) Ey0 = γ (Ey − βBz ) Bz0 = γ (Bz − βEy ) (6.41) Queda por hallar cómo varı́an las componentes del campo en la dirección del movimiento. ~ long tiene el mismo valor en ambas referencias. Esto En el capı́tulo anterior hallamos que E ~ long (puede probarse). también es cierto para B Los resultados encontrados son generales. A continuación, damos la lista de las transformaciones. Todas las cantidades prima se han medido en la referencia F 0 , la cual se mueve en la dirección de +x̂ con velocidad v desde F~ . Las cantidades sin prima son números resultados v de la medida en F . Usaremos que β = y γ = (1 − β 2 )−1/2 c Las transformaciones por componente son: Ex0 = Ex Ey0 = γ(Ey − βBz ) Ez0 = γ(Ez + βBy ) Bx0 = Bx By0 = γ(By + βEz ) Bz0 = γ(Bz − βEy ) (6.42) ~ y B. ~ A pesar de que el mundo de Las ecuaciones anteriores son simétricas respecto a E nuestro alrededor no es simétrico con respecto a la electricidad y magnetismo. Sin embargo, ~ yB ~ están conectados uno a otro de quitando las fuentes, hallamos que los mismos campos E manera muy simétrica. Parece, además, que los campos eléctrico y magnético son en cierto sentido componentes, de un ente único el campo electromagnético, y considerar (Ex , Ey , Ez , Bx , By , Bz ) como seis componentes del campo electromagnético. 132 CAPÍTULO 6. EL CAMPO MAGNÉTICO. El campo visto desde distintas referencias inerciales estará representado por distintos grupos de valores de estas componentes, algo como un vector está representado por distintas componentes en distintos sistemas de coordenadas que se han girado uno con respecto a otro. Sin embargo, el campo electromagnético no es un vector si no un tensor. Las ecuaciones (6.5) constituyen las reglas para transformar las componentes de tal tensor cuando cambiamos de una referencia inercial a otra. Las transformaciones predice una relación simple en cierto tipo de casos. Supongamos ~ es nulo en todo punto. Entonces en que en una referencia, en la coordenada “sin prima” B la otra referencia Ex0 = Ex Ey0 = γEy Bx0 = 0 By0 = γβEz Ez0 = γEz Bz0 = −γβEy (6.43) ~ yB ~ en F 0 a saber Lo anterior lleva consigo una cierta relación entre E Bx0 = 0 By0 = βEz0 , Bz0 = −βEy0 . (6.44) Recordando que en este ejemplo la velocidad de la referencia no prima es un vector en la dirección −x̂0 , vista en la referencia prima podemos expresar la relación anterior como un producto vectorial 0 ~v 0 ~ ~0 . B = ×E (6.45) c ~ = 0 en todas partes en una referencia. Si B ~ es nulo. Aquı́ ~v 0 significa la velocidad observada desde F 0 de esta referencia F en la cual B ~ De la misma manera si E = 0 en F 0 0 ~ = − ~v × B ~0 E (6.46) c ~ = 0 en todas partes de la referencia F . Si E 6.6. Experimento de Rowland. Inicialmente no era obvio que cargas eléctricas moviéndose son fuentes de campo magnéticos al igual que una corriente. El primero en demostrar que el movimiento de láminas cargadas produce un campo magnético fue Henry Rowland. Uno de sus experimentos más ingenioso fue la medición del campo magnético de discos cargados. El campo detectado fue de 10−5 veces la de la Tierra. 6.7. EFECTO HALL. 133 I B J E Figura 6.16: Conductor sometido a un campo magnético transversal. 6.7. Efecto Hall. Cuando una corriente fluye en un conductor en presencia de un campo magnético la fuerza de Lorentz actúa sobre los portadores de carga. Al desviarse los portadores de carga pero no poder salirse del conductor se acumulan en las paredes del conductor generando una diferencia de potencial que genera un campo que contrarresta la fuerza de Lorentz sobre los portadores. El efecto fue descubierto en 1879 por E. H. Hall, cuando aún no se entendı́a el mecanismo de conducción en metales. El signo del voltaje de Hall revela el signo de los portadores de carga, lo cual ha sido muy útil en el estudio de semiconductores. 134 CAPÍTULO 6. EL CAMPO MAGNÉTICO. Capı́tulo 7 Inducción electromagnética. En este capı́tulo revisaremos: Un barra conductora moviéndose a través de un campo uniforme. Una espira conductora moviéndose a través de un campo no uniforme. Una ley universal de inducción. Inductancia mutua. Un teorema de reciprocidad. Autoinductancia. Un circuito que contiene autoinductancia. Energı́a almacenada en el campo magnético. 7.1. Barra conductora moviéndose a través de un campo uniforme. Referencia F z E=0 E=0 B x z B y v = cte. f x y v Figura 7.1: Una barra moviéndose en un campo magnético. 135 136 CAPÍTULO 7. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. Consideremos una varilla delgada metálica que se mueve a velocidad constante. Existe un campo magnético uniforme y constante en el tiempo. Además, no existe campo eléctrico. Siendo la varilla un conductor, los portadores de carga sentirán una fuerza. Cada portador con carga q sentirá q ~ . f~ = ~v × B (7.1) c Cuando la varilla se mueve con velocidad constante se ha llegado a un estado estacionario. La fuerza f~ debe equilibrarse ~ = −f~ . qE (7.2) ~ debido a la acumulación de carga y el movimiento cesa. Aparece un campo E z’ y’ B’ x’ E’ Figura 7.2: Una barra en el sistema F 0 . ~0 ≈ B ~ si ~v es pequeña comparada con c y En un sistema F 0 que se mueve con la varilla B ~ = 0) aparece un campo eléctrico en F 0 . Recordemos que si en F no habı́a campo eléctrico (E 0 en F el campo eléctrico satisface ~ ~ 0 = − 1 ~v 0 × B ~ 0 = ~v × B E c c (7.3) Cuando incorporamos la barra a este sistema todo lo que hacemos es colocar una barra ~ 0 ). conductora estacionaria dentro de un campo uniforme (E Por lo tanto las cargas se redistribuyen en la superficie del conductor para hacer el campo interior nulo. 7.1.1. Una espira en un campo magnético. ¿Qué ocurre si movemos una espira rectangular de un hilo conductor a velocidad constante en un campo uniforme? En F los portadores de carga sienten al moverse la fuerza de Lorentz debido al campo magnético. Los diferentes signos de la carga se acumularan en los lados ~ 0 y un campo magnético B ~ 0 . El campo eléctrico opuestos de la espira. En F 0 hay un campo E mueve a las cargas a lados opuestos del rectángulo adquiriendo estos cierta carga. 7.2. UNA ESPIRA CONDUCTORA MOVIÉNDOSE A TRAVÉS DE UN CAMPO NO UNIFORME.137 z Referencia F z’ Referencia F’ B B’ E=0 y’ y v x v x’ E’ ~ uniforme. Figura 7.3: Una espira en un campo B 7.2. Una espira conductora moviéndose a través de un campo no uniforme. z B1 B2 y ω v x ~ no uniforme. Figura 7.4: Un loop con B ~ no es uniforme en el espacio. En F la Supongamos que esta vez el campo magnético B espira se mueve con velocidad v. En un instante t el campo magnético al lado izquierdo es ~ 2 . Sobre los portadores de carga actúa la fuerza de Lorentz. Sin ~ 1 y al lado derecho es B B embargo, actúa con diferente intensidad en el segmento delantero que en el trasero. Sea f~ la fuerza que actúa sobre unaH carga q que se desplaza por la espira. Esta fuerza es función de la posición. Si calculamos la f~ · d~s a lo largo de todo el circuito vemos que los lados paralelos a la velocidad no contribuyen ya que la fuerza es perpendicular al d~s. Luego si consideramos los campos magnéticos uniformes sobre los costados de la espira perpendiculares a la velocidad, tenemos I qv f~ · d~s = (B1 − B2 ) ω . (7.4) c Si suponemos que una carga se mueve a lo largo de la espira, en un intervalo de tiempo suficientemente corto para que la posición de la espira no haya cambiado apreciablemente. 138 CAPÍTULO 7. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. La ecuación (7.4) da el trabajo efectuado por f~. El trabajo realizado por unidad de carga es I 1 f~ · d~s , q Conocida como fuerza electromotriz o fem y la denotamos por ε, tiene dimensiones de potencial eléctrico I 1 ε= f~ · d~s [statvolts] (7.5) q La fem se definió originalmente como el trabajo por unidad de carga que interviene al moverse una carga a lo largo de un circuito que contiene una pila voltaica. Ampliamos ahora la definición de fem para incluir toda influencia que haga circular las cargas a lo largo de un camino cerrado. Si el camino resulta ser un circuito fı́sico con resistencia R, la fem ε originará una corriente que circulará de acuerdo a la ley de Ohm I = ε/R. En nuestro caso vω ε= (B1 − B2 ) . (7.6) c Lo anterior se relaciona, en forma simple, con la variación temporal de flujo magnético. 7.2.1. Flujo magnético. Definimos el flujo magnético a través de una superficie como Z ~ · d~a1 . ΦS1 (C) = B (7.7) S1 (C) Donde S1 es alguna superficie limitada por C. La dirección de la normal se elige de acuerdo al sentido de circulación de C. da 1 S1 C Figura 7.5: Superficie S1 limitada por la curva C. La definición de flujo anterior tiene el problema que podemos dibujar una infinidad de superficies distintas todas ellas limitadas por la curva C. ¿Por qué no es necesario especificar la superficie? La integral de flujo tendrá el mismo valor sobre todas las superficies limitadas por la misma curva. Supongamos una cierta curva C y dos superficies, S1 y S2 , limitadas por la misma curva. Definimos los flujos para ambas superficies Z Z ~ · d~a1 , ΦS (C) = ~ · d~a2 . ΦS1 (C) = B B (7.8) 2 S1 (C) S2 (C) 7.2. UNA ESPIRA CONDUCTORA MOVIÉNDOSE A TRAVÉS DE UN CAMPO NO UNIFORME.139 Ambas superficies forman una superficie cerrada S = S1 + S2 , ver figura. Apliquemos el teorema de Gauss sobre la superficie S da 1 C S1 S2 −da2 Figura 7.6: Superficie cerrada S = S1 + S2 limitada por la curva C. Z ~ · d~a = B Z S ~ dv = 0 . div B (7.9) V (S) Por lo tanto, Z 0= Z ~ · d~a = B S Z ~ · d~a1 + B S1 (C) ~ · (−d~a2 ) B S2 (C) obteniendo Z ~ · d~a1 = B S1 (C) Z ~ · d~a2 . B (7.10) S2 (C) Lo anterior demuestra que no importa qué superficie usemos para calcular el flujo a través de la curva C. B1 B2 ω vdt Figura 7.7: Flujo ganado y perdido por la espira al moverse. Flujo que se gana al moverse ωB2 vdt. Flujo que se pierde al moverse ωB1 vdt dΦ = −(B1 − B2 )ωvdt (7.11) Comparando ε=− 1 dΦ c dt (7.12) La ecuación (7.12) se cumple de manera general y es independiente de la forma de la espira y de la manera en que se realiza el movimiento. A continuación haremos una demostración más general de esta ecuación. 140 7.2.2. CAPÍTULO 7. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. Demostración. Supongamos una espira que se mueve desde en presencia de un campo magnético desde la posición C1 a la posición C2 en el transcurso de un intervalo de tiempo dt. B S da C1 ds da vdt dS C2 Figura 7.8: Espira moviéndose en un campo magnético. El flujo a través de C1 Z ~ · d~a , B (7.13) ~ · d~a B S+dS Z ~ · d~a = Φ(t) + dΦ = Φ(t) + B (7.14) Φ(t) = S a través de C2 Z Φ(t + dt) = dS El elemento de área es d~a = ~v dt × d~s, luego Z Z ~ ~ · [~v dt × d~s] dΦ = B · d~a = B C ZdSh i ~ · (~v × d~s) dt = B (7.15) (7.16) C Usando la identidad vectorial ~a · (~b × ~c) = −(~b × ~a) · ~c obtenemos Z dΦ ~ · d~s . =− ~v × B dt C (7.17) ~ La fuerza sobre la carga q que se mueve a lo largo de la espira es q(~v × B)/c ası́ que la fem Z Z 1 1q ~ ~ · d~s ε= f · d~s = ~v × B (7.18) q qc c 7.3. UNA LEY UNIVERSAL DE LA INDUCCIÓN. 141 Comparando ε=− 7.2.3. 1 dΦ c dt Ley de Lenz. El sentido en que la corriente circulará es el sentido de la fem. Esta corriente debe crear cierto flujo a través de la espira dirigido a neutralizar la variación de flujo. Este es un hecho fı́sico esencial, es una manifestación de los sistemas a oponerse al cambio. Este hecho es conocido como Ley de Lenz 7.3. Una ley universal de la inducción. 1 2 Figura 7.9: Experimento de inducción. Se tendrá la misma desviación en el galvanómetro (2) si: La mesa (2) se mueve con velocidad ~v hacia la derecha. La mesa (1) se mueve con velocidad ~v hacia la izquierda. ~ sea la misma que en los casos La corriente en (1) varı́a de manera que la variación de B anteriores. 7.3.1. Ley de inducción. Si C es una curva cerrada, estacionaria en las coordenadas (x, y, z) y si S es una superficie ~ limitada por C y B(x, y, z) es el campo magnético medido en (x, y, z) en el instante t, entonces Z Z Z 1 1d ~ ~ ~ · d~a = − 1 dΦ ε= f · d~s = E · d~s = − B (7.19) q c dt c c dt C 142 CAPÍTULO 7. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. es decir Z Z 1d ~ ~ · d~a (7.20) E · d~s = − B c dt c C ~ ~ = − 1 ∂B rot E (7.21) c ∂t Se fijan dos circuitos o espiras C1 y C2 en una posición relativa determinada. I1 C2 C1 resistencia variable Figura 7.10: Inducción entre dos circuitos. De alguna manera, puede ser una baterı́a y una resistencia variable, se hace circular una corriente controlada I1 en el circuito C1 . 7.4. Inducción Mutua. ~ 1 (x, y, z) el campo magnético que existirı́a si la corriente en C1 permaneciera consSea B ~ 1 a través del circuito C2 . tante en el valor I1 , sea además, Φ21 el flujo de B Ası́ que Z ~ · d~a Φ21 = B (7.22) S2 donde S2 es una superficie limitada por C2 . Con la forma y posición de los dos circuitos fijos, Φ21 será proporcional a I1 Φ21 = cte. I1 (7.23) La fem en C2 , si I1 varı́a en el tiempo, es {cte.} dI1 c dt dI1 = −M12 dt ε21 = − (7.24) ε21 (7.25) 7.4. INDUCCIÓN MUTUA. 143 A la constante M21 se conoce como coeficiente de inducción mutua o inductancia mutua. Su valor viene determinado por la geometrı́a de la disposición de las espiras. Las unidades en sistema práctico (MKS) corresponden a ε12 en [Volts], la corriente I en [Ampère] y la inductancia mutua M en [Henry]. 7.4.1. Ejemplo. R1 R2 Γ2 I1 Γ1 Figura 7.11: Inducción entre dos espiras concéntricas. ¿Cuál es M21 en este caso? En el centro de Γ1 , al circular I1 el campo B1 viene dado por B1 = 2πI1 . cR1 (7.26) Supondremos que los radio R2 << R1 para que podamos despreciar la variación de B1 en el interior del anillo pequeño. Entonces el flujo a través del anillo pequeño es 2π 2 I1 R22 2πI1 2 = (7.27) Φ12 = (πR2 ) cR1 cR1 La fem ε12 = − 1 2π 2 R22 dI1 . c cR1 dt (7.28) Usando que las unidades de voltaje transforman como 1 [statvolt]=300 [V], las de corriente como 1 [esu/s]=3×109 [A] y la velocidad de la luz en el vacı́o es 3×1010 [cm/s], podemos expresar la inductancia mutua en [Henry] −1 2π 2 R22 dI1 3 × 109 [A] · 300[V] 3 × 1010 3 × 1010 R1 dt 9 × 1011 2π 2 R22 [cm] dI1 =− [A] 9 × 1020 R1 [cm] dt 2π 2 × 10−9 R22 [cm] dI1 =− [A] R1 [cm] dt ε21 [V] = 144 CAPÍTULO 7. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. La inductancia mutua en Henry es: M21 [Henry] = 2π 2 × 10−9 R22 [cm] R1 [cm] Si el circuito Γ1 estuviera formado por N1 vueltas de hilo conductor en lugar de un único anillo, el campo B1 en el centro serı́a N1 veces más intenso para una corriente I1 dada. Si la espira Γ2 constará de N2 vueltas todas de radio R2 la fem de cada una se sumarı́a a la siguiente haciendo una fem total N2 veces mayor que la de una espira. Ası́, para múltiples vueltas en cada bobina tenemos 2π 2 × 10−9 N1 N2 R22 [cm] M21 [Henry] = (7.29) R1 [cm] El resultado anterior supone que las espiras de cada bobina están completamente en contacto , siendo la sección recta del manojo pequeña comparada con el radio de la bobina. a << r a r Figura 7.12: Relación entre el radio del alambre y el radio de la bobina. La inducción mutua M21 tiene un significado bien definido para dos circuitos de cualquier forma y disposición. Es la relación entre la fem en volts en el circuito 2, debida a la variación de corriente en el circuito 1 respecto al tiempo. M21 [Henry] = − 7.5. ε21 [Volts] dI1 A dt s (7.30) Un teorema de reciprocidad. Al considerar los circuitos C1 y C2 podrı́amos preguntarnos acerca de la fem inducida en el circuito C1 debido a la variación de corriente en el circuito C2 . Esto significa otro coeficiente de inducción mutua ε12 M12 = − , (7.31) dI2 dt Un hecho notable es que para dos circuitos cualesquiera se tiene M12 = M21 Esto no es debido a la simetrı́a geométrica. (7.32) 7.5. UN TEOREMA DE RECIPROCIDAD. 7.5.1. 145 Demostración. Para demostrar el teorema anterior debemos demostrar que el flujo Φ12 a través de cierto circuito C1 como resultado de una corriente I en un circuito C2 es igual al flujo Φ21 que atraviesa el circuito 2 cuando circula en el circuito C1 una corriente I igual a la anterior. Según Stokes Z Z ~ ~ A · d~s = rot A · d~a . (7.33) C S ~ es el potencial vector de un campo magnético B, ~ entonces B ~ = rot A. ~ Luego tenemos Si A Z Z ~ ~ · d~a = ΦS . A · d~s = B (7.34) C S Es decir, la integral de lı́nea del potencial vector a lo largo de una espira es igual al flujo ~ de B a través de una superficie limitada por la espira. C1 ds 1 r 21 C2 ds 2 Figura 7.13: Dos circuitos. A partir de la deducción de Biot–Savart sabemos que Z I d~s1 ~ A21 = , c C1 r21 (7.35) Es el potencial en (x2 , y2 , z2 ) del campo magnético creado por la corriente I circulando por el circuito C1 ; d~s1 es un elemento de la espira C1 y r21 es la distancia de este elemento al punto (x2 , y2 , z2 ). Z Z Z I d~s1 ~ Φ21 = A21 · d~s2 = d~s2 (7.36) c C2 C2 C1 r21 De manera muy similar el flujo a través de C1 debido a la corriente I que circula por C2 vendrá dada por Z Z Z I d~s2 ~ Φ12 = A12 · d~s1 = d~s1 (7.37) c C1 C1 C2 r12 146 CAPÍTULO 7. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. Sabemos que r21 = r12 , la única diferencia entre las dos expresiones es el orden de integración, lo cual no debe afectar, luego Φ12 = Φ21 M12 = M21 Gracias a este teorema no debemos hacer distinción entre M12 y M21 . Podemos hablar, de ahora en adelante, de la inducción mutua M entre dos circuitos. 7.6. Autoinducción Cuando la corriente I1 varı́a, hay una variación del flujo a través del propio circuito C1 , en consecuencia se induce un fem. La llamaremos ε11 , la ley de inducción se cumple sea cual fuere la fuente del flujo: ε11 = − 1 dΦ11 , c dt (7.38) donde Φ11 es el flujo a través del circuito 1 del campo B1 debido a la corriente I1 en el circuito 1. El signo menos expresa el hecho de que la fem está siempre dirigida de manera tal que se opone a la variación de corriente en el circuito, la ley de Lenz nuevamente. Puesto que Φ11 será proporcional a I1 podemos escribir ε11 = −L1 dI1 , dt (7.39) A la constante L1 se le llama autoinducción del circuito. 7.6.1. Ejemplo. Como ejemplo de un circuito en el que se puede calcular L1 2b 2a h N vueltas en total Figura 7.14: Bobina de sección rectangular en forma toroidal. 7.6. AUTOINDUCCIÓN 147 Consideremos una bobina de sección rectangular formando un toroide. Encontremos que si un corriente I en [ues/s] circula en la bobina de N vueltas produce un campo, cuya intensidad a una distancia r del eje de la bobina B= C1 C2 2IN cr C 2b 2a Figura 7.15: Circuitos para usar la ley de Ampère. Calculemos el campo usando Ampère i) r<a Z ~ · d~s = 4π B c C =0 =⇒ B = 0 ii) Z J~ · d~a a<rb Z Z 4π ~ B · d~s = J~ · d~a c C2 4π B2πr = (IN − IN ) = 0 c =⇒ B = 0 148 CAPÍTULO 7. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. Resumiendo   0,   2IN B= ,  cr   0, r<a a<rb El flujo total a través de un espira de la bobina es la integral de B extendida sobre la sección recta de la bobina Z b 2N I 2N Ih b dr = Log . (7.40) Φ(una vuelta) = h cr c a a El flujo que atraviesa el circuito de N vueltas es 2N 2 Ih b Φ= Log c a (7.41) La fem 1 dΦ 2N 2 h ε=− = − 2 Log c dt c b dI . a dt (7.42) Por lo tanto, L para la bobina toroidal 2N 2 h Log L= c2 b a (7.43) b L[Henry] = 2 × 10 N h[cm] Log a −9 7.6.2. 2 Autoinducción de una espira. Un anillo hubiera parecido un ejemplo más sencillo, sin embargo, debemos dar un radio finito al filamento. Cerca del alambre el campo Bz crece como I/r luego el flujo diverge si el alambre no tiene un ancho finito. Además, sólo conocemos el campo sobre el eje y no en el plano. El campo en el plano es “complicado”, no estamos en condiciones de calcularlo. Todo lo anterior hace imposible para nosotros calcular la autoinducción en una sola espira en este curso. 7.7. Un circuito que contiene autoinducción. Supondremos : toda la resistencia del circuito (cables, bobinas, Ri de la fuente, etc) la incluimos en R. Toda la autoinductancia del circuito (cables, bobinas) la incluimos en L. Es decir: La resistencia no tiene autoinductancia. 7.7. UN CIRCUITO QUE CONTIENE AUTOINDUCCIÓN. I ε0 ε0 149 S L R Figura 7.16: Circuitos con autoinducción. La inductancia no tiene resistencia. Si la corriente está variando con el tiempo a razón dI/dt, se inducirá una fem LdI/dt. Además, existe una fem constante ε0 debida a la baterı́a. Si definimos el sentido positivo de la corriente como el que la baterı́a tiende a dirigir la corriente a lo largo del circuito, la fem total en un instante es dI εo − L dt Esta fem hace circular la corriente I a través de R, luego εo − L dI = RI dt El término de la inductancia es la caı́da de potencial en el inductor y el término de la derecha es la caı́da de potencial en la resistencia. Podemos plantear una ecuación diferencial L dI + RI = ε0 dt Si t = 0 I = 0 tenemos La solución general de la homogénea I(t) = Ae−Rt/L . Una solución particular de la no homogénea I(t) = ε0 /R. La solución general ε0 , I(t) = Ae−Rt/L + R imponiendo las condiciones iniciales I(t = 0) = 0 = A + El resultado final I(t) = ε0 ε0 =⇒ A = − , R R ε0 (1 − e−Rt/L ) . R 150 CAPÍTULO 7. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. I(t) I0 t Figura 7.17: Gráfico de la corriente en un circuito con autoinducción. La inductancia L limita la velocidad de crecimiento de la corriente La constante de tiempo del circuito es L/R =[Henry]/[ohm]=[V][s/A][A/v]=[s]. 7.7.1. Abriendo un circuito inductivo ¿Que ocurre si abrimos el interruptor después que se ha establecido la corriente I0 forzando ası́ a que la corriente caiga bruscamente a cero? LdI/dt se harı́a infinitamente negativo. La catástrofe puede ser más que matemática. Algunas personas han muerto al abrir un interruptor en circuitos altamente inductivos. Lo que sucede generalmente es que una tensión inducida muy elevada produce una chispa o arco a través del interruptor abierto de manera que la corriente continua pasando a pesar de todo. En vez de desconectar simplemente el circuito hagamos lo siguiente L I R Figura 7.18: Abriendo un circuito con autoinducción. dI + RI = 0 dt Para I(t = t1 ) = I0 , y para I(t < t1 ) = I0 . La solución general de la homogénea L I(t) = Ae−Rt/L , imponiendo las condiciones iniciales I(t = t1 ) = I0 = Ae−Rt1 /L 7.8. ENERGÍA ALMACENADA EN UN INDUCTOR. 151 EL resultado final I(t) = I0 e−R(t−t1 )/L . nuevamente la constante de tiempo es R/L I(t) I0 t1 t Figura 7.19: Corriente en un circuito con autoinducción. 7.8. Energı́a almacenada en un inductor. Durante la disminución de la corriente descrita anteriormente en la resistencia R se disipa Z ∞ Z ∞ 2 U= RI dt = RI02 e−2R(t−t1 )/L dt t1 t1 Haciendo x = 2R(t − t1 )/L la diferencial dx = 2Rdt/L LI 2 U= 0 2 Z 0 ∞ e−x dx = LI02 −e−x 2 ∞ 0 1 U = LI02 2 La fuente de energı́a es el inductor con su campo magnético. 1 En un condensador −→ CV 2 . 2 1 En un inductor −→ LI 2 . 2 (7.44) 152 7.8.1. CAPÍTULO 7. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. Energı́a asociada a un campo magnético. ~ r) es La expresión más general es que la energı́a asociada a todo campo magnético B(~ 1 U= 8π Z ~ B 2 d3 r (7.45) Donde la integral es sobre todo el espacio donde el campo este definido. La expresión equivalente en MKS 1 U= 2µ0 Z ~ B 2 d3 r (7.46) Capı́tulo 8 Circuitos de corriente alterna. En este capı́tulo revisaremos las siguientes secciones Un circuito resonante. Corriente alterna. Redes de corriente alterna. Admitancia e Impedancia. Potencia y energı́a en circuitos de corriente alterna. 8.1. Un circuito resonante Para el circuito de la figura (RLC) en serie I C L R Figura 8.1: Circuito RLC. Sea Q la carga en el condensador a tiempo t I(t) = − dQ dt Q = CV 153 V =L dI + RI dt (8.1) 154 CAPÍTULO 8. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. I(t) = −C dV dt dI d2 V = −C 2 dt dt luego V = −LC d2 V dV − RC 2 dt dt Entonces d2 V R dV 1 + + V =0 2 dt L dt LC Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. Planteamos V (t) = Ae−αt cos ωt dV (t) = Ae−αt [−α cos ωt − ω sen ωt] dt d2 V (t) = Ae−αt [(α2 − ω 2 ) cos ωt − 2αω sen ωt] dt2 (8.2) (8.3) (8.4) (8.5) Introduciéndola en la ecuación y simplificando (α2 − ω 2 ) cos ωt + 2αω sen ωt R 1 − (α cos ωt + ω sen ωt) + cos ωt = 0 L LC Reordenando 1 R 2 2 cos ωt α −ω − α+ L LC ωR sen ωt = 0 + 2αω − L (8.6) Deben anularse los coeficientes por separado 2αω − R ωR = 0 =⇒ α = L 2L (8.7) la otra α2 − ω 2 − 1 1 R2 R α+ = 0 =⇒ ω 2 = − 2 L LC LC 4L (8.8) 2 R 1 Si ω ∈ R =⇒ 4L ≤ LC caso con amortiguamiento ligero. Supondremos que R, L y C son p 2 tales que R < 2 L/C. La solución más general V (t) = e−αt (A cos ωt + B sen ωt) . (8.9) Las constantes A y B se ajustan para cumplir las condiciones iniciales. El fenómeno esencial es una oscilación amortiguada dV α = ACω sen ωt + cos ωt e−αt . (8.10) I(t) = −C dt ω 8.2. CORRIENTE ALTERNA. 155 V I t E E B B Figura 8.2: Voltaje y corriente en circuito RLC. El factor α/ω es la medida del amortiguamiento. La corriente y el voltaje se desfasan. La oscilación representa una transferencia de energı́a. El amortiguamiento se expresa por el número Q llamado “factor de calidad”. A menor amortiguamiento mayor Q. energı́a almacenada potencia promedio disipada ω ωL = = . 2α R Si R = 0, no hay amortiguamiento, oscila con frecuencia Q= ω0 = √ 1 . LC (8.11) (8.12) p En el caso sobre amortiguado, i.e. R > 2 L/C, las soluciones son V (t) = Ae−β1 t + Be−β2 t . (8.13) No hay oscilaciones, sólo pun decaimiento monótono. En el caso especial de amortiguamiento “crı́tico”, i.e. R = 2 L/C, tenemos β1 = β2 = ω0 y V (t) = (A + Bt)e−βt 8.2. (8.14) Corriente alterna. El circuito anterior no contiene fuente de energı́a, por lo tanto, está condenado a una actividad transitoria. En un circuito de corriente alterna trataremos con el estado estacionario, una corriente y una tensión que oscila sinusoidalmente sin variaciones de amplitud. Cierta fem oscilante impulsa al sistema. La ecuación que gobierna el circuito ε0 cos ωt = L dI + RI . dt (8.15) 156 CAPÍTULO 8. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. I ε0 cos ω t L R Figura 8.3: Circuito Inductivo. Puede existir cierto comportamiento transitorio dependiente de las condiciones iniciales. Es decir, de cómo y cuándo se conectó el generador. Pero nos interesa sólo el estado estacionario, cuando la corriente está oscilando de acuerdo con la frecuencia de la fem, es decir I(t) = I0 cos(ωt + ϕ) (8.16) −LI0 ω sen(ωt + ϕ) + RI0 cos(ωt + ϕ) = ε0 cos ωt (8.17) (−LI0 ω cos ϕ − RI0 sen ϕ) sen ωt +(−LI0 ω sen ϕ + RI0 cos ϕ − ε0 ) cos ωt = 0 (8.18) Sustituimos en la ecuación Anulando los coeficientes por separado (−LI0 ω cos ϕ − RI0 sen ϕ) = 0 =⇒ tan ϕ = − ωL R (8.19) y −LI0 ω sen ϕ + RI0 cos ϕ − ε0 = 0 ε0 =⇒ I0 = R cos ϕ − ωL sen ϕ Usando (8.19) I0 = Ya que cos ϕ = √ ε0 ε0 cos ϕ = R(cos ϕ + tan ϕ sen ϕ) R R tenemos R 2 + ω 2 L2 I0 = √ ε0 R 2 + ω 2 L2 La solución completa es ωL ε0 −1 cos ωt − tan I(t) = √ R R 2 + ω 2 L2 (8.20) 8.3. VOLTAJE Y CORRIENTE EN CIRCUITO INDUCTIVO. 8.3. 157 Voltaje y corriente en circuito Inductivo. ε0 ( R +ω L 2 cos ω t −tan−1 ωL R 2 2 ( )) ε 0 cos ω t Figura 8.4: Voltaje y corriente en circuito Inductivo. Se dice que la corriente es un circuito inductivo está retrasada respecto a la tensión. La reactancia inductiva ωL tiene unidades de resistencia [Ω]. ε0 cos ω t Q C R Figura 8.5: Circuito Capacitivo. Q + RI C (8.21) I(t) = I0 cos(ωt + ϕ) (8.22) ε0 cos ωt = − En el estado estacionario Ya que I = −dQ/dt tenemos Z Q=− Idt = I0 sen(ωt + ϕ) ω Sin constante de integración ya que Q debe oscilar simétricamente en torno a cero para el estado estacionario. I0 sen(ωt + ϕ) + RI0 cos(ωt + ϕ) = ε0 cos ωt (8.23) − ωC 158 CAPÍTULO 8. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. De la misma forma tan ϕ = 1 RωC ε0 I0 = p R2 + (1/ωC)2 (8.24) ε 0 cos ω t ε0 R 2 + ω −2C −2 cos ω t +tan−1 ( (R ω1 C )) Figura 8.6: Voltaje y corriente en circuito capacitivo. La fase es positiva, i.e. se adelanta en un circuito capacitivo. La reactancia capacitiva 1/ωC tiene unidades de resistencia [Ω]. A todas las soluciones podemos agregarle una solución de la ecuación homogénea L dI + RI = 0 (primer caso.) dt La solución I ∝ e−Rt/L representa el transiente el cual es determinado por las condiciones iniciales. ε0 ωL −1 RL → I(t) = √ cos ωt − tan R R 2 + ω 2 L2 1 ε0 −1 cos ωt + tan RC → I(t) = q RωC R2 + ω21C 2 Sugiere una manera de considerar el inductor y el condensador en serie dQ Supongamos I = I0 cos(ωt + ϕ) e I = − dt dI = −Io ωL sen(ωt + ϕ) dt Z Q 1 Io Vc = =− I(t)dt = sen(ωt + ϕ) C C Cω VL = L (8.25) (8.26) 8.3. VOLTAJE Y CORRIENTE EN CIRCUITO INDUCTIVO. VL 159 L VC Figura 8.7: L y C en serie. 1 V = VL + Vc = − ωL − ωC I0 sen(ωt + ϕ) (8.27) Para un ω dado la combinación es equivalente a un sólo elemento, o inductor, o condensador, dependiendo del signo de ωL − 1/ωC. Si ωL > 1/ωC entonces (ωL − 1/ωC) > 0 por lo tanto ωL0 = ωL − 1/ωC. Si ωL < 1/ωC entonces (ωL − 1/ωC) < 0 por lo tanto 1/ωC 0 = ωL − 1/ωC. Equivalencia, en este caso, sólo significa que la relación entre la corriente y la tensión, para un ω dado, es la misma. Esto permite sustituir L y C por L0 (por ejemplo, si ωL > 1/ωC) en un circuito a esa frecuencia. 8.3.1. Circuito RLC. C ε0 cos ω t L R Figura 8.8: Circuito RLC. Usemos los resultados del circuito RL reemplazando ωL0 = ωL − 1/ωC. 160 CAPÍTULO 8. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. I(t) = q ε0 R2 + ωL − 1 2 ωC cos(ωt + ϕ) (8.28) con 1 ωL − RωC R El máximo valor para I, con R fijo, lo obtendremos cuando tan ϕ = ωL − (8.29) 1 1 = 0 =⇒ ω = √ = ω0 ωC LC Es decir, la frecuencia de oscilación del circuito LC. Estamos en presencia de un fenómeno de resonancia. Figura 8.9: Circuito RLC. 8.4. Redes de corriente alterna. Una red de corriente alterna es un conjunto de resistencias, condensadores e inductores por los cuales circula una corriente que oscila estacionariamente a una frecuencia ω constante. Una fem a esta frecuencia impulsa la oscilación. Por ejemplo: En la rama que contiene el inductor L2 , la corriente en función del tiempo es I2 = I02 cos(ωt + ϕ2 ) Como ω es constante, se deben determinar I02 y ϕ2 para conocer la corriente para todo t. De la misma manera en esa rama hay una tensión V2 = V02 cos(ωt + θ2 ) Si determinamos todas las corrientes y las tensiones hemos analizado la red. 8.4. REDES DE CORRIENTE ALTERNA. 161 I1 I3 I2 (1) L2 Figura 8.10: Red de corriente alterna. 8.4.1. El transiente. Para hallar los (Vi , Ii ) es posible plantear y resolver las ecuaciones diferenciales adecuadas. Si nos interesa el transiente podrı́amos hacer algo como esto. Ya lo hicimos para algunos casos anteriores. 8.4.2. Estado estacionario. Sin embargo, para el estado estacionario podemos usar un método más simple y elegante. Dos ideas: i) Una corriente o tensión alterna puede representarse por un número complejo. ii) Cada rama o elemento del circuito puede caracterizarse, a una frecuencia dada, por la relación entre la tensión y la corriente en esta rama. Usamos eiθ = cos θ + i sen θ con i2 = −1 8.4.3. Regla de representación. Adoptamos la siguiente regla para la representación: Una corriente o voltaje alterno K0 cos(ωt + ϕ) se representa por K0 eiϕ . Si x + iy representa una corriente I entonces la corriente en función del tiempo viene dada por I(t) = Re[(x + iy)eiωt ] El desfase y el módulo ϕ = arctan y x Io = p x2 + y 2 162 CAPÍTULO 8. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. Lo que hace útil todo esto que la representación de la suma es la suma de las representaciones. Por una parte I1 + I2 = I01 cos(ωt + ϕ1 ) + I02 cos(ωt + ϕ2 ) = (I01 cos ϕ1 + I02 cos ϕ2 ) cos ωt − (I01 sen ϕ1 + I02 sen ϕ2 ) sen ωt Por la otra parte I01 eiϕ1 + I02 eiϕ2 = I01 cos ϕ1 + I02 cos ϕ2 + i(I01 sen ϕ1 + I02 sen ϕ2 ) Multiplicando por eiωt y tomando parte real, tenemos exactamente el mismo resultado anterior. La correspondencia no se extiende al producto de corrientes. Usando estas corrientes y tensiones complejas se deben satisfacer las leyes de Kirchhoff. En un nodo, en todo instante, el flujo neto de corriente es nulo. En la figura (8.10), en el nodo (1) tenemos I1 + I2 + I3 = 0 Siendo todas las Ii funciones periódicas del tiempo. La suma de las caı́das de tensión, en un instante, a lo largo de una malla de la red, debe ser igual a la fuerza electromotriz en la malla en ese instante. La relación entre la corriente y la tensión en un elemento del circuito puede expresarse como relación entre los números complejos que representan la tensión y la corriente. Consideremos un circuito RL  I0 = √ ε0 iϕ R 2 + ω 2 L2 I(t) = I0 cos(ωt + ϕ) → Io e ϕ = arctan −ωL R V (t) = ε0 cos(ωt) → ε0 8.5. Admitancia e Impedancia. Definimos un complejo Y tal que eiϕ √ Y ≡ R 2 + ω 2 L2 ϕ = arctan −ωL R (8.30) entonces I =YV (8.31) 8.5. ADMITANCIA E IMPEDANCIA. 163 Y se llama la Admitancia. La misma relación puede expresarse con el recı́proco de Y , denotado Z, que se llama la Impedancia. V = 1 I = ZI Y (8.32) Z se mide en Ohms. Si el circuito fuera sólo resistivo Z = R y V = RI la ley de Ohm. Símbolo Admitancia Y Impedancia Z 1 R R −i ωL iω L iω C −i ωC I=YV V=ZI Figura 8.11: Tabla de Impedancias y Admitancias. Im V Im Im V I I adelantada en π/2 V retrasada en π/2 Re Re Re I R L R R R 0 Figura 8.12: Circuitos. R C 0 164 CAPÍTULO 8. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. Serie Paralelo Z1 V1 Y1 I1 Y2 Y V Z2 I2 I V1+ V2 Z I V2 V=V1+V2=Z1I+Z 2I V=(Z1+Z2)I Z= Z1+Z2 I=I 1+I 2=Y1V+Y 2V I=(Y 1+Y2)V Y= Y1+Y2 Figura 8.13: Combinaciones. 8.5.1. Ejemplo: circuito RLC en paralelo. ε0 cos ω t C L R Figura 8.14: Circuito RLC en paralelo. La admitancia equivalente Y = 1 i + iωC − R ωL (8.33) La corriente I = Y V = ε0 1 1 + i ωC − R ωL (8.34) 8.6. POTENCIA Y ENERGÍA. 165 La amplitud de la oscilación de la corriente es el módulo del complejo I. " 2 #1/2 2 1 1 + ωC − I0 = ε0 R ωL R ϕ = arctan RωC − ωL Con esta técnica sólo podemos tratar circuitos lineales, elementos en que la corriente es proporcional a la tensión. Los elementos de circuitos cuyo comportamiento es no lineal son dispositivos muy importantes en electrónica pero no admiten esta clase simple de análisis. 8.6. Potencia y energı́a. V0 Si V = V0 cos ωt en un circuito resistivo, entonces I = cos ωt. R La potencia instantánea que disipa la resistencia La corriente P (t) = I 2 (t)R = V02 V02 2 R cos cos2 ωt ωt = R2 R El valor medio en un ciclo hcos2 ωti = (8.35) 1 2 La potencia media hP i = 8.6.1. 1 V02 2 R (8.36) Valores eficaces. √ Se acostumbra a expresar la tensión y la corriente en un circuito a.c. dando 1/ 2 veces la amplitud en vez de la amplitud. A este valor se le llama el valor cuadrático medio o valor eficaz hP i = 2 Vrms R (8.37) Por√ejemplo, si la tensión de uso doméstico es de 220 [V] le corresponde una amplitud de 220 2 [V], la diferencia de tensión en los terminales es, con V en Volts y t es segundos V (t) = 311 cos 314t Chile V (t) = 170 cos 377t USA Un amperı́metro de c.a. está calibrado para leer 1 [A] cuando la amplitud de I es de 1.414 [A]. 166 CAPÍTULO 8. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. En general, el valor instantáneo de la energı́a liberada por unidad de tiempo en un elemento del circuito es P (t) = V I = ε0 cos ωt × I0 cos(ωt + ϕ) P (t) = ε0 I0 cos ωt cos(ωt + ϕ) P (t) = ε0 I0 [cos2 ωt cos ϕ − cos ωt sen ωt sen ϕ] Promediamos en un ciclo, h2 cos ωt sen ωti = hsen 2ωti = 0 y hcos2 ωti = 1/2, por lo tanto 1 hP i = hV Ii = ε0 I0 cos ϕ 2 (8.38) Si los valores de la corriente y la tensión se expresan en valores eficaces hP i = Vrms Irms cos ϕ La cantidad cos ϕ se denomina factor de potencia. Lo que muestra la ecuación hP i = Vrms Irms cos ϕ , es que la potencia entregada por una fuente de corriente alterna a cualquier circuito depende de la fase, este resultado tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, una fábrica que utiliza grandes motores en las máquinas, generadores o transformadores, tiene una gran carga inductiva (debido a todos los bobinados). Para entregar potencias más grandes a tales dispositivos en la fábrica sin hacer uso excesivo de enormes voltajes, los técnicos introducen capacitancia en los circuitos para cambiar la fase. 8.6.2. Ejemplo. I1 0.5 µF V1 C1 10 kΩ 0.2 µF R C2 V2 Figura 8.15: Circuito de ejemplo. Los valores R = 10 [kΩ] y 1 [W], C1 = 0.5 [µF], C1 = 0.2 [µF] y la fuente ε = 120 [V] y 60 ciclos. Determine si la resistencia se calienta. La admitancia de C2 es iωC2 = 377 × 2 × 10−7 i es decir Y2 = 0.754 × 10−4 [Ω−1 ]. 8.6. POTENCIA Y ENERGÍA. 167 La admitancia de R es 1/R = 10−4 [Ω−1 ]. La admitancia de la resistencia y el condensador en paralelo 10−4 (1 + 0.754i) [Ω−1 ]. La impedancia de lo mismo (6360 − 4800i) [Ω]= Z1 . La impedancia de C1 es −i/ωC = −5300 [Ω]= Z2 . La impedancia total es ZT = Z1 +Z2 = (6300 − 10100i) [Ω]. La corriente 120 = (5.37 + 8.53i) × 103 [A] I1 = 6360 − 10100i Donde I01 = 0.010 [A] (rms) y la fase ϕ = −1.01. La potencia media hP i = 120 × 0.01 cos 1.01 [W] = 0.64 [W] Las caı́das de voltaje −i = 45.2 − 28.4i [V] ωC V2 = 120 − V1 = 74.8 + 28.4i [V] V1 = I1 El valor eficaz V02 = 80 [V] (rms). Sólo se disipa energı́a en la resistencia hP i = No se calienta. V022 = 0.64 [W] R 168 CAPÍTULO 8. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA. Capı́tulo 9 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas. En este capı́tulo veremos las siguientes secciones: Algo se ha omitido. Corriente de desplazamiento. Ecuaciones de Maxwell. Ondas electromagnéticas. Otras formas de ondas: Superposición de ondas. Transporte de energı́a por ondas electromagnéticas. ¿Cómo se ve una onda en un sistema de referencia diferente? 9.1. Algo se ha omitido. Las ecuaciones que tenı́amos ~ = 4πρ i) div E ~ =0 iii) div B La ecuación de continuidad ~ ~ = − 1 ∂B ii) rot E c ∂t ~ 4π ~ = + J~ , Si ∂ E = 0 iv) rot B c ∂t ∂ρ div J~ = − ∂t (9.1) (9.2) Supongamos que ρ = ρ(t) =⇒ div J~ 6= 0, por otra parte usando la ecuación iv) , tenemos 4π ~ = 0 Siempre! div J~ = div(rot B) c 169 (9.3) 170CAPÍTULO 9. ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. Γ s C R Figura 9.1: Condensador descargándose a través de la resistencia R. Hay una contradicción, la ecuación iv) no puede ser correcta. Supongamos el siguiente sistema: La ley de Ampère I Z ~ ~ · d~a B · d~s = rot B Γ (9.4) s(Γ) usando iv) I Γ ~ · d~s = B Z s(Γ) 4π 4π ~ Jd~a = I c c Tomemos la superficie s0 , también limitada por la curva Γ, y apliquemos el teorema de Stokes s’ Γ s Figura 9.2: Otra superficie limitada por la curva Γ. ~ no puede ser nulo en toda s0 sin violar A través de s0 no circula corriente pero rot B Stokes. ~ debe depender de algo más que de la densidad de corriente rot B ~ = rot B 4π ~ J + (?) c (9.5) ~ un término de la forma Supongamos por analogı́a al caso del rotor de E ~ ~ = 4π J~ + 1 ∂ E rot B c c ∂t (9.6) 9.2. CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO. 171 Calculemos ! ~ 1 ∂ E 4π ~ = div J~ + div =0 div(rot B) c c ∂t ~ 4π 1 ∂ div E 4π ∂ρ ~ ~ div J + = div J + =0 c c ∂t c ∂t La última igualdad debido a la ecuación de continuidad. ~ varı́a en El segundo término de (9.6) resuelve el problema de integrar sobre s0 ya que E el tiempo al descargarse el condensador. 9.2. Corriente de desplazamiento. ~ 1 ∂E se le llama corriente de desplazamiento. El nombre, a pesar de no ser El término c ∂t muy apropiado, a perdurado en el tiempo. Para precisar, podemos definir una “densidad de corriente de desplazamiento” J~d , y reescribir ~ = 4π J~ + J~d (9.7) rot B c ~ 1 ∂E . Necesitamos el nuevo término para que la relación entre corriente y definiendo J~d = 4π ∂t campo magnético, sea compatible con la ecuación de continuidad. ¿Por qué no lo descubrió Faraday? No lo buscaba. En todo aparato en el que hayan campos eléctricos variables en el tiempo están presentes al mismo tiempo que las corrientes de conducción, y a ellas atribuimos los campos magnéticos en el entorno del aparato. De hecho para variaciones lentas del campo eléctrico el efecto de las corrientes de desplazamiento es prácticamente despreciable. ¿Cuándo se hace importante? Cuando los campos varı́an en una escala de tiempo del orden de la que emplea la luz para cruzar el sistema. Experimentos de Hertz. 9.3. Ecuaciones de Maxwell. ~ ~ = 4πρ rot E ~ = − 1 ∂B div E c ∂t ~ ~ =0 ~ = + 4π J~ + 1 ∂ E div B rot B c c ∂t James Clerk Maxwell (1831–1879). 172CAPÍTULO 9. ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. En el vacı́o ρ = 0 y J~ = 0 luego ~ ~ = 0 rot E ~ = − 1 ∂B div E c ∂t ~ ~ = 0 rot B ~ = + 1 ∂E div B c ∂t Ecuaciones de Maxwell en sistema SI. Donde c = √ ~ = ρ div E 0 ~ ~ = − ∂B rot E ∂t ~ =0 div B ~ ~ = +µ0 J~ + µ0 0 ∂ E rot B ∂t 1 con µ0 0 µ0 = 4π × 10−7 [T m/A] 0 = 8.85418 × 10−12 [C2 /Nm2 ] c = 2.99792 × 1010 [cm/s]. 9.4. Ondas electromagnéticas. Usemos la identidad vectorial ~ × (∇×) ~ ~ ∇·) ~ − ∇2 ∇ = ∇( ~ × B, ~ Apliquemosla a ∇ ~ ~ × (∇ ~ × B) ~ = ∇( ~ ∇ ~ · B) ~ − ∇2 B ~ =∇ ~ × 1 ∂E ∇ c ∂t ~ ~ ~ = 1 ∂∇ × E −∇2 B c ∂t ! ~ 1 ∂ ∂ B ~ =− −∇2 B c2 ∂t ∂t Finalmente ~− ∇2 B ~ 1 ∂2B =0 c2 ∂t2 9.4. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. 173 ~ Ahora para Lo que corresponde a una ecuación de onda para cada componente de B. ~ ~ × E, ∇ ~ ~ × (∇ ~ × E) ~ = ∇( ~ ∇ ~ · E) ~ − ∇2 E ~ =∇ ~ × − 1 ∂B ∇ c ∂t ~ ~ ~ = − 1 ∂∇ × B −∇2 E c ∂t ! ~ ∂ ∂ E 1 ~ =− −∇2 E c2 ∂t ∂t Finalmente ~− ∇2 E ~ 1 ∂2E =0 c2 ∂t2 ~ Lo que corresponde a una ecuación de onda para cada componente de E. E k Dirección de propagación B ~ yB ~ perpendiculares entre si. Figura 9.3: Campos E ~ ·B ~ = 0 un invariante y E ~ · k̂ = B ~ · k̂ = 0 E Solución de ondas planas ~ r, t) = E ~ 0 ei(~k·~r−ωt) E(~ ~ r, t) = B ~ 0 ei(~k·~r−ωt) B(~ 9.4.1. Relación de dispersión. El vector de onda ~k = 2π k̂, con λ la longitud de onda y ω = 2πν con ν la frecuencia. λ 174CAPÍTULO 9. ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. Usando la forma de onda plana para los campos podemos calcular ambos términos de la ~ tenemos ~ = k2E ~ y 12 ∂ 2 E2~ = ω 2 E ecuación de onda ∇2 E c ∂t 1 2 ~ k − 2 ω E = 0 =⇒ c2 k 2 = ω 2 c 2 Relación que es conocida como la relación de dispersión de ondas electromagnéticas en el vacı́o. ω 2 = c2 k 2 ~ ~ ×E ~ = ~k × E ~ = +ω B ∇ c ~ ~ ×B ~ = ~k × B ~ = −ω E ∇ c ~ ·E ~ = ~k · E ~ =0 ∇ ~ ·B ~ = ~k · B ~ =0 ∇ Tomando módulo en las dos primeras ecuaciones y usando la relación de dispersión obtenemos ~ =ω B ~ =⇒ B ~ = E ~ kc E 9.5. Otras formas de ondas: superposición de ondas. No sólo una función sinusoidal puede representar una onda, cualquier función de f (y ± vt) tendremos un patrón que viaja con velocidad v en la dirección ŷ. Un ejemplo 5ŷ −5ẑ ~ = ~ = E B 2 1 + (x + ct) 1 + (x + ct)2 Estos campos electromagnéticos satisfacen las ecuaciones de Maxwell. Corresponden a un pulso electromagnético con una cola larga. ~ yB ~ en el espacio vacı́o son lineales. Las ecuaciones para E Luego la suma de dos soluciones es solución. El campo eléctrico en un punto del espacio tiempo es el vector suma de los campos eléctricos de las ondas individuales, lo mismo ocurre para el campo magnético. Un importante caso de superposición es el de dos ondas planas viajeras en direcciones opuestas. 9.6. TRANSPORTE DE ENERGÍA POR ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. ~1 ~ 1 = ẑE0 sen 2π (y − ct) B E λ k̂ = y ~2 ~ 2 = ẑE0 sen 2π (y + ct) B E λ k̂ = −y = x̂E0 sen 2π (y − ct) λ = −x̂E0 sen 2π (y + ct) λ 175 2π 2π ~ =E ~1 + E ~ 2 = ẑE0 sen (y − ct) + sen (y + ct) E λ λ 2π 2π ~ =B ~1 + B ~ 2 = x̂E0 sen (y − ct) − sen (y + ct) B λ λ 9.5.1. Ondas estacionarias. Obtenemos ~ = 2ẑE0 sen 2πy cos 2πctλ E λ ~ = −2x̂E0 cos 2πy sen 2πctλ B λ ~ = 0 en el Estos campos describen lo que se llama una onda estacionaria. Notemos que E plano y = 0, lo cual podrı́a corresponder a un conductor. 9.6. Transporte de energı́a por ondas electromagnéticas. Podemos calcular la energı́a que transporta una onda, a cada dv le asignamos (E 2 + B 2 )dv/8π cantidad de energı́a que se propaga con la velocidad de la luz c. Apliquemos esto a ~ = ẑE0 sen(y − ct) B ~ = x̂B0 sen(y − ct) E at=0 E 2 = E02 sen2 y B 2 = B02 sen2 y Como E = B tenemos para la densidad de energı́a u= 1 1 2 E02 sen2 y + E02 sen2 y = E sen2 y 8π 4π 0 Si promediamos sobre λ tenemos hsen2 yi = 1/2 luego 176CAPÍTULO 9. ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. u= 1 2 E 8π 0 La razón media a la cual fluye energı́a a través de una ventana de área unitaria perpendicular a y es E02 c/8π. En forma general, el flujo de energı́a por unidad de área, la cual es llamada densidad de potencia S S= Ē 2 c [erg/cm2 s] 4π Donde Ē 2 es el campo cuadrático medio (E02 /2 para una onda sinusoidal.) 9.7. ¿Cómo se ve una onda en un sistema de referencia diferente? Una onda electromagnética está viajando en el vacı́o. La dirección del viaje con respecto a cierto sistema de referencia F es un vector n̂. Sean ~ y B ~ los campos eléctricos y magnéticos medidos en algún lugar y tiempo en F por un E observador en F . Supongamos un sistema F 0 moviéndose en la dirección x̂ con velocidad v con sus ejes paralelos a F , elegimos n̂ = x̂ Usando las transformaciones desarrolladas en el capı́tulo 6 tenemos 9.7.1. Ex0 = Ex Ey0 = γ(Ey − βBz ) Ez0 = γ(Ez + βBy ) Bx0 = Bx By0 = γ(By − βEz ) Bz0 = γ(Bz + βEy ) Los invariantes. ~0 · B ~0 Calculemos E ~0 · B ~ 0 = Ex0 Bx0 + Ey0 By0 + Ez0 Bz0 E = Ex Bx + γ 2 (Ey By + βEy Ez − βBy Bz − β 2 Ez Bz ) + γ 2 (Ez Bz − βEy Ez + βBy Bz − β 2 Ey By ) = Ex Bx + γ 2 (1 − b2 )(Ey By + Ez Bz ) ~ ·B ~ =E 9.7. ¿CÓMO SE VE UNA ONDA EN UN SISTEMA DE REFERENCIA DIFERENTE?177 ~ ·B ~ es un invariante. Otro invariante es E 2 −B 2 , lo que significa que E 02 −B 02 = Es decir, E E2 − B2 . Nosotros sabemos que en una onda plana el campo magnético es perpendicular al campo eléctrico y que los módulos de ambos son iguales. Cada uno de nuestros invariantes es cero, y si es cero en un sistema es cero en todos ~ ⊥B ~ y E = B siempre. Una onda de luz se ve como una onda de luz en cualquier =⇒ E sistema inercial. 9.7.2. Un ejemplo. Sea Ey = E0 , Ex = Ez = 0 y Bz = E0 , Bx = By = 0, entonces s s 1−β 1−β Ey0 = E0 Bz0 = E0 1+β 1+β Un observador en F 0 ve que la amplitud se reduce. La velocidad de la onda es c en F 0 y en F . La onda electromagnética no tiene un sistema en reposo. En el lı́mite β = 1 Ey0 y Bz0 en F 0 → 0 la onda desaparece. 178CAPÍTULO 9. ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. Capı́tulo 10 Campos eléctricos en la materia. En este capı́tulo veremos las siguientes secciones: Dieléctrico. Momentos de una distribución de carga. Potencial y campo de un dipolo. Torque y fuerzas sobre un dipolo en un campo externo. Dipolos atómicos y moleculares; Momentos dipolares inducidos. Momentos dipolares permanentes. Campo eléctrico debido a materia polarizada. Otra mirada al condensador. Campo de una esfera polarizada. Esfera dieléctrica en un campo uniforme. Campo de una carga en un medio dieléctrico y ley de Gauss. Una mirada microscópica al dieléctrico. Polarización en campos variables. Corriente de carga ligada. Una onda electromagnética en un dieléctrico 179 180 10.1. CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. Dieléctricos. El condensador del capı́tulo 3 estaba constituido por dos conductores aislados sin nada entre ellos. El sistema está caracterizado por cierta capacidad C C= Q V12 (10.1) Para el caso del condensador plano, tenemos dos placas paralelas de área A separadas una distancia t A C= (10.2) 4πt Habitualmente los condensadores están llenos con una capa aislante. A pesar de esto se mantiene la proporcionalidad directa entre la carga y la diferencia de potencial. Sı́ definimos una capacidad de la forma (10.1) nos resulta mayor que cuando el condensador estaba vacı́o. área A C= A 4π t área A t C> t A 4π t Figura 10.1: Condensador con y sin aislante. ~ yB ~ existen en No solamente en los condensadores, sino casi en todas partes los campos E presencia de materia más que en le vacı́o. Ahora nos preocupará conocer las interacciones de ~ yB ~ con la materia Se nos presentan dos caminos distintos: uno macroscópico los campos E y otro microscópico. En forma macroscópica la ecuación (10.1) necesita solamente la inclusión de un factor (que depende del material) para dar correctamente la capacidad del condensador lleno con ese material. A se le llama constante dieléctrica de una determinado material y al material se le conoce como dieléctrico. vacio = 1 aire = 1.00059 materiales > 1.0 10.2. MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA. 10.1.1. 181 Visión macroscópica. Una vez determinada somos capaces de predecir el comportamiento de todo el sistema electrostático constituido por los dos conductores y la pieza de dieléctrico entre ellos. Esta teorı́a fue lograda sin una representación de la materia, es decir, sin una teorı́a atómica. Desde este punto de vista, el interior del dieléctrico es un espacio sin rasgos caracterı́sticos, uniforme y cuya única propiedad eléctrica distinta del vacı́o es una constante dieléctrica distinta de la unidad. Si sólo usamos una descripción macroscópica de un campo en la materia tendremos problemas para contestar ciertas preguntas: ¿Cuál es el campo en el interior del dieléctrico, cuando hay carga en las placas? No podemos poner una carga de prueba. . . 10.1.2. Visión microscópica. Afortunadamente podemos optar por una acercamiento microscópico al problema. Sabemos que la materia está constituida por átomos y moléculas. Nuestro dieléctrico será descrito como una agrupación de moléculas en el vacı́o en vez de un volumen lleno de materia continua y sin estructura. Si hallamos cómo actúan las cargas en una molécula cuando esta está en presencia de un ~ serı́amos capaces de establecer el comportamiento de un par de moléculas campo eléctrico E separadas en el vacı́o una en el campo de la otra. Este es un problema en el vacı́o. Luego hay que extenderlo a 1020 moléculas por centı́metro cúbico. ¿Seremos capaces de decir algo sobre el campo eléctrico y sobre el campo magnético en la materia? Para intentar decir algo sobre estos campos haremos un estudio separado de los efectos de los campos eléctricos y de los efectos de los campos magnéticos. En este capı́tulo estudiaremos los efectos de los campos eléctricos en la materia y en el próximo estudiaremos los efectos de los campos magnéticos. 10.2. Momentos de una distribución de carga. Un átomo o molécula consta de ciertas cargas eléctricas distribuidas en un pequeño volumen del orden de 10−24 [cm3 ]. Nos interesa el campo eléctrico en el exterior de este volumen, debido a esta distribución más bien complicada de carga. Nos interesa el campo lejos de las fuente, con lo que indicamos distancias grandes comparadas con el tamaño de la propia fuente. ¿Qué aspectos de la estructura de la distribución de carga determinan principalmente el campo en puntos remotos? Para contestar lo anterior centremos nuestra atención en cierta distribución arbitraria de carga y veamos cómo podemos emprender el cálculo del campo en un punto exterior a ella. Sea ϕA el potencial en el punto A debido a la distribución de carga ρ Z ρ(x0 , y 0 , z 0 ) 0 ϕA = dv (10.3) R 1/2 R = r2 + r02 − 2rr0 cos θ (10.4) 182 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. z A R r θ x r’ dv’ y ρ (x,y,z) Figura 10.2: Densidad de carga de una molécula es negativa en los electrones y positiva en los núcleos. Sustituyendo en la integral Z ϕA = −1/2 0 dv ρ(x0 , y 0 , z 0 ) r2 + r02 − 2rr0 cos θ Como A es lejano r0 r para todo punto de la distribución de carga luego −1/2 −1/2 1 2 r0 r02 02 0 r + r − 2rr cos θ = 1 + 2 − 2 cos θ r r r (10.5) (10.6) Usando la expansión en serie 3 1 (1 + δ)−1/2 ≈ 1 − δ + δ 2 + . . . 2 8 y reagrupando tenemos 2 −1/2 1 r0 02 0 1 + cos θ r + r − 2rr cos θ = r r 0 2 0 3 # r r + (3 cos2 θ − 1) + O r r (10.7) Ahora bien, r es constante en la integración, ası́ que escribimos el potencial obtenido en el punto A como sigue Z Z 1 1 0 3 0 ϕA = ρ(r )d r + 2 r0 cos θρ(r0 )d3 r0 r r Z (10.8) 1 02 2 0 3 0 + 3 r (3 cos θ − 1)ρ(r )d r + . . . r 10.2. MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA. 183 Cada una de las integrales anteriores, Ko , K1 y K2 , y las sucesivas tienen un valor que depende solamente de la estructura de la distribución de carga. De aquı́ el potencial puede escribirse ϕA = Ko K1 K2 + 2 + 3 + ... r r r (10.9) Para acabar el problema deberı́amos obtener el potencial en todos los otros puntos para ~ poder calcular el campo eléctrico vı́a −∇ϕ. El comportamiento del potencial a grandes distancias de la fuente R estará determinado por el primer término de esta serie cuyo coeficiente no sea nulo. K0 es ρdv 0 es decir la carga total. Si tenemos la misma cantidad de carga positiva que negativa, como en las moléculas neutras, K0 es nulo. Para una molécula simplemente ionizada K0 = +e. K0 Si K0 6= 0 K1 y K2 no interesan. El término prevalecerá. r R Si tenemos una molécula neutra, i.e. K0 = 0, interesa K1 = r0 cos θρdv 0 . Ya que r0 cos θ = z 0 este término mide el desplazamiento relativo en la dirección de A de la carga positiva y negativa. +e +e +e +2e −2e +e +e −3e −2e Figura 10.3: En todos los casos mostrados K1 6= 0 Si la distribución es el valor de K1 es independiente de la posición del origen. Es decir, si reemplazamos z 0 → z 0 + zo , desplazando el origen el valor de la integral no varı́a. Z Z Z Z 0 0 0 0 0 0 0 (z + z0 )ρdv = z ρdv + z0 ρdv = z 0 ρdv 0 Si K0 = 0 y K1 6= 0, el potencial a lo largo del eje z variará asintóticamente como 1/r2 luego el campo E ∝ 1/r3 . Si K0 y K1 son nulos y K2 6= 0 el potencial se comportará como 1/r3 a grandes distancias y E ∝ 1/r4 . Las cantidades K0 , K1 , K2 , . . . están relacionadas con lo que se conocen como momentos de la distribución de carga. K0 corresponde a la carga y se conoce como momento monopolar. K1 es una de las componentes del momento dipolar. Tiene unidades de carga por desplazamiento y es un vector K1 corresponde a la componente z. K2 es una de las componentes del momento cuadrupolar (tensor). K3 es una de las componentes del momento octopolar. 184 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. +e −e −e +e Figura 10.4: Configuración con K0 = K1 = 0 y K2 6= 0. 10.3. Potencial y campo de un dipolo. Podemos escribir el potencial en el punto A como Z Z 1 r̂ 0 0 ϕA = 2 r̂ · ~r ρdv = 2 ~r 0 ρdv 0 r r (10.10) Sin referencia a ningún eje. Hemos usado que r0 cos θ = r̂ · ~r0 . la integral es el momento dipolar. Designamos al vector momento dipolar por p~ Z p~ = ~r 0 ρ(~r 0 )d3 r0 (10.11) Podemos reescribir (10.10) como ϕ(~r) = r̂ · p~ r2 (10.12) z p θ r E Figura 10.5: Campo de un dipolo. Partamos del potencial ϕ(~r) = p cos θ r2 (10.13) 10.4. TORQUE Y FUERZA SOBRE UN DIPOLO EN UN CAMPO EXTERNO. Trabajemos en el plano xz, es decir, cos θ = √ ϕ(~r) = 185 z + z2 x2 pz (x2 + z 2 )3/2 (10.14) Las componentes del campo ∂ϕ 3pxz 3p sen θ cos θ = = 2 2 5/2 ∂x (x + z ) r3 ∂ϕ 3z 2 1 − 2 Ey = − = 2 2 5/2 ∂z (x + z ) (x + z 2 )3/2 p(3 cos2 θ − 1) = r3 Ex = − (10.15) La intensidad del campo decrece como 1/r3 en el eje z que es paralelo a p~ con modulo 2p/r3 . En el plano ecuatorial el campo está dirigido en forma antiparalela a p~ y tiene un valor −~p/r3 . La distribución más simple con momento dipolar son dos cargas ±q separadas una distancia s lo que implica que p = qs. Calculemos ahora el campo del dipolo en coordenadas polares. Para ello partamos nuevamente del potencial p cos θ ϕ(~r) = r2 Derivemos para obtener el campo 10.4. Er = − ∂ϕ 2p cos θ = ∂r r3 Eθ = − p sen θ 1 ∂ϕ = r ∂θ r3 (10.16) Torque y fuerza sobre un dipolo en un campo externo. Supongamos dos cargas q y −q conectadas mecánicamente, s es la distancia entre ellas. ~ es decir en el El momento dipolar p = qs. Coloquemos el dipolo en un campo externo E, campo de otra fuente. El dipolo experimenta un torque ~ = ~τ = ~r × F~ N r= s 2 ~ = ~r × F~+ + (−~r) × F~− N (10.17) 186 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. E F−=−qE F+=+qE s +q −q p Figura 10.6: La fuerza es nula sobre el dipolo. θ r F+ +q s/2 −q F+ θ p F− E Figura 10.7: Torque sobre el dipolo. El vector vecN es un vector perpendicular a la figura. s s N = Eq sen θ + Eq sen θ = sqE sen θ = pE sen θ 2 2 (10.18) ~ = p~ × E ~ N (10.19) Luego En presencia de un campo la orientación del dipolo que tiene la energı́a más baja es cuando está paralelo al campo. Tiene que efectuase trabajo para girar el dipolo a cualquier otra posición. El trabajo total realizado Z θ0 Z θ0 W = N dθ = pE sen θdθ = pE(1 − cos θ0 ) (10.20) 0 0 Para invertir el dipolo, θ0 = π se requiere W = 2pE. 10.4.1. Fuerza sobre un dipolo en un campo no uniforme. La fuerza resultante sobre el dipolo en un campo uniforme es nula. En un campo no uniforme las dos fuerzas no se cancelan. Ejemplo simple F =q Q Q + (−q) 2 r (r + s)2 (10.21) 10.5. DIPOLO ATÓMICO Y MOLECULARES; MOMENTOS DIPOLARES INDUCIDOS.187 s r Q F Figura 10.8: Un dipolo en un campo no uniforme. Para s r Qq 1 F = 2 1− r (1 + s/r)2 Qq 1 2sQq ≈ 2 1− ≈ r 1 + 2s/r r3 (10.22) La fuerza F = 2pQ r3 (10.23) No es fácil deducir una fórmula general para la fuerza sobre un dipolo en un campo eléctrico no uniforme. La fuerza depende esencialmente de los gradientes de las distintas componentes del campo. En general la fuerza en x sobre un dipolo p~ es ~ x Fx = p~ · ∇E 10.5. (10.24) Dipolo atómico y moleculares; momentos dipolares inducidos. Al describir la distribución de carga en un átomo o molécula tendremos que usar término clásicos para representar un sistema mecánico cuántico. También trataremos como estático una estructura en la que las partı́culas, en cierto sentido, están continuamente en movimiento. Se verá, en los cursos más avanzados, que la Mecánica Cuántica ratifica este enfoque simplificado. Consideremos el átomo más simple, el átomo de Hidrógeno, que consta del núcleo y un electrón. Si imaginamos el electrón cargado negativamente, girando en torno del núcleo positivo como un planeta alrededor del Sol – Modelo atómico original de Bohr – Concluiremos que el átomo, en un instante dado posee un momento dipolar eléctrico. El vector p~ se dirige paralelo al radio vector electrón-protón y su módulo es e veces la distancia electrón protón. La dirección de este varı́a continua y rápidamente cuando el electrón “recorre su órbita”. Sin duda, el valor medio en el tiempo de p~ será nulo para una órbita circular. Esperarı́amos que la variación periódica de las componentes de p~ originen un campo eléctrico rápidamente oscilante y por ende radiación electromagnética. La ausencia de tal radiación en el átomo de Hidrógeno fue una de las más grandes paradojas de la primitiva fı́sica cuántica. La Mecánica Cuántica moderna nos dice que es mejor imaginar el átomo de Hidrógeno en su estado de más baja energı́a como una estructura con simetrı́a esféricas con la carga distribuida, en promedio temporal sobre una nube que rodea al núcleo. Nada está girando ni 188 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. oscilado. Si pudiéramos tomar una instantánea con un tiempo de exposición inferior a 10-16 [s], podrı́amos un e- situado a cierta distancia del núcleo. Para procesos en los que intervienen tiempos muchos mayores, tenemos, en efecto, una distribución continua de carga negativa que rodea al núcleo y se extiende en todas direcciones con densidad constante decreciente La carga total en la distribución es e- . Aproximadamente la mitad de la carga está en una esfera de 0.05 [Å]. La densidad decrece exponencialmente hacia el exterior, una esfera de radio 2.2 [Å] contiene el 99 % de la carga. Una representación similar es la mejor para adoptar en otros átomos y moléculas. Podemos tratar a los núcleos en las moléculas como cargas puntuales, para nuestros propósitos su tamaño es demasiado pequeño para tenerlo en cuenta. La estructura electrónica entera de la molécula puede representarse como una sola nube de carga de densidad variable. La forma de la distribución dependerá de la molécula en cuestión, pero en los bordes de la nube la densidad siempre disminuirá exponencialmente, ası́ que tienen “cierto” sentido hablar de forma de la distribución. E Figura 10.9: A la izquierda átomo de Hidrógeno, con p~ = 0 para cualquier estado fundamental de cualquier átomo. A la derecha el átomo inmerso en un campo eléctrico. ~ distorsiona el átomo. El átomo perturbado tendrá un momento dipolar a El campo E causa de que “el centro de gravedad” de las cargas positivas y negativas no coinciden Usemos un modelo provisional del átomo de Hidrógeno para determinar el orden de magnitud de la distorsión esperada. Supongamos que en ausencia del campo eléctrico la carga e- está distribuida con densidad constante en toda una esfera de radio a y que es nula es el exterior. a Figura 10.10: Átomo de Hidrógeno, con densidad en una bola de radio “a”. 10.5. DIPOLO ATÓMICO Y MOLECULARES; MOMENTOS DIPOLARES INDUCIDOS.189 ~ la bola de carga e- mantiene su Supongamos que cuando se aplica un campo eléctrico E forma y densidad y sólo se desplaza relativamente el núcleo. b E Figura 10.11: Átomo de Hidrógeno, bajo un campo “a”. ~ El núcleo queda a cierta distancia b del centro de la esfera. En el equilibrio, la f~ = eE ~ que actúa hacia arriba, debe estar equilibrada por la sobre el núcleo debida al campo E atracción hacia abajo ejercida sobre el núcleo por la nube de carga negativa, que empuja al núcleo hacia su centro. Para hallar la fuerza el campo sólo depende de la carga interior a b, i.e. Q e 4 eb 1 E = 2 = 4 3 πb3 2 = 3 b b a πa 3 3 Igualando al campo externo eb a3 Eext =⇒ b = a3 e Si tomamos a = 1 [Å] y E = 100 [statvolt/cm] (intenso) entonces b = 2 × 10−13 [cm]. Una distorsión muy ligera. El p~ es ~ ext p = eb = a3 Eext , p~ k E (10.25) ~ podemos esperar que esto se mantenga, al menos El p~ es directamente proporcional al E, para pequeñas distorsiones Eext = 10.5.1. Polarización atómica. Cualquier átomo puede polarizarse de esta manera. Decimos que el momento dipolar es ~ En cada caso hallamos que p~ es proporcional a E ~ inducido por el campo eléctrico E. ~ p~ = αE (10.26) α es la polarizabilidad atómica en [cm3 ] En nuestro modelo del Hidrógeno, α = a3 y tiene dimensiones de volumen. Un cálculo exacto, usando Mecánica Cuántica, da αH = 9a30 /2, con a0 el radio de Bohr, a0 = 0.52 × 10−8 [cm]. Los valores experimentales de α para diferentes elementos en unidades de 10−24 [cm3 ] H He Li Be C Ne Na Ar K α 0.66 0.21 12 9.3 1.5 0.4 27 1.6 34 Los alcalinos se deforman fácilmente, valores grandes. Los gases nobles son muy rı́gidos, valores pequeños. 190 10.5.2. CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. Polarización en moléculas. ~ a una molécula también se produce un momento Cuando se aplica un campo eléctrico E dipolar inducido. Figura 10.12: Molécula de metano, CH4 . la molécula de metano α = 2.6 × 10−24 [cm3 ] Si sumamos las polarizabilidades de los átomos individuales, el de carbono y de los cuatro hidrógenos tenemos 4.1 × 10−24 [cm3 ]. Evidentemente, los enlaces de los átomos en la molécula ha alterado la estructura electrónica. Las moléculas son, en general menos simétricas que los átomos. Esto origina la posibilidad de que un momento dipolar inducido no sea paralelo al campo que lo induce. Consideremos una molécula de dióxido de carbono. z y O C O x Figura 10.13: Molécula de dióxido de carbono, CO2 . Es diferente la “rigidez” longitudinal y transversal. En general un campo eléctrico paralelo al eje molecular inducirá un valor distinto que el inducido por un campo eléctrico perpendicular al eje molecular. En realidad, el α del CO2 es 4.05×10−24 [cm3 ], para un campo aplicando paralelo al eje y un poco menos que la mitad para un campo transversal. Este tipo de moléculas tiene dos α los cuales podemos designar por α⊥ y αk . Si el campo está en otra dirección, se aplica superposición. El ejemplo anterior, demuestra que la polarizabilidad de una molécula no es un simple escalar, sino un conjunto de coeficientes que expresan una dependencia lineal de 10.5. DIPOLO ATÓMICO Y MOLECULARES; MOMENTOS DIPOLARES INDUCIDOS.191 E E p E Figura 10.14: Campo y momento dipolar no paralelos. ~ Al conjunto de coeficientes se llama tensor, los componentes de un vector p~, de las de otro E. la relación más general serı́a con 9 coeficientes px = αxx Ex + αxy Ey + αxz Ez py = αyx Ex + αyy Ey + αyz Ez pz = αzx Ex + αzy Ey + αzz Ez Las nueve α definidas de esta manera constituyen el llamado tensor de polarizabilidad. En el ejemplo del CO2 tenemos αxx = αk y además αyy = αzz = α⊥ y los otros seis coeficientes nulos. Si elegimos otra dirección para los ejes, por ejemplo, 30◦ con el eje molecular, ~ en x originarı́a p~ en z, es decir, αzx 6= 0. Ası́ que los elementos del tensor de un campo E polarizabilidad dependerán de la orientación de los ejes coordenados. Bajo una rotación de los ejes los elementos del tensor deben transformar de tal manera que conserven invariante ~ con p~. Esta relación sólo puede depender de la dirección de E ~ con respecto a la relación de E los ejes fı́sicos de la molécula y no de como se nos ocurra trazar el eje x. Podemos encontrar las reglas de transformación de los coeficientes del tensor como ejercicio. Se puede demostrar que αxy = αyx αxz = αzx αyz = αzy Es decir, el tensor (o matriz) es simétrico. La simetrı́a del tensor expresa uno de los hechos ~ aplicado en fı́sicos más notables que merece considerarse. Significa que un campo eléctrico E x origina siempre una componente z de p~ igual a la componente x de p~ que originarı́a un campo igual aplicado en la dirección z. Si lo anterior se cumple incluso para una molécula sin simetrı́a, debe estar respaldado por un teorema tipo reciprocidad y no ser consecuencia de la mera simetrı́a geométrica. Un corolario importante de la simetrı́a de α es el hecho de que siempre es posible orientar los ejes, relativos al sistema de referencias molecular, de manera tal que el tensor sea diagonal. Lo anterior es cierto incluso para moléculas sin simetrı́a. 192 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. 10.6. Momento dipolar permanentes. Algunas moléculas están constituidas da tal forma que poseen un momento dipolar eléctrico, incluso en ausencia de campo eléctrico. Un ejemplo simple lo proporciona una molécula diatómica constituida por dos átomos distintos, tal como el ácido clorhı́drico HCl. H Cl p=1.03 10 −18 [ues cm] Figura 10.15: Momento dipolar permanente del HCl. El electrón del Hidrógeno se desplaza parcialmente hacia el Cloro. Los momentos dipolares permanentes, cuando existen, por lo general son mucho mayores que los que pueden inducirse por un campo eléctrico ordinario en el laboratorio. Moléculas polares: las que tienen momento dipolar permanente. Moléculas no polares: las que no tienen momento dipolar permanente. El resto. Las moléculas no están “quietas” sino más bien hay dos escalas de tiempos la de los núcleos y la de los electrones. El comportamiento de una sustancia polar, como dieléctrico, es sorprendentemente distinto de las no polares. El del agua es 80, el del alcohol metı́lico es de 33, mientras que para un lı́quido no polar es ∼ 2. En una sustancia no polar la aplicación de un campo eléctrico induce un ligero momento dipolar en cada molécula. En una sustancia polar ya hay un momento dipolar p~, pero en ausencia de un campo externo están orientados al azar, ası́ que no tiene efecto macroscópico. Cuando un campo externo es aplicado, alinea los momentos dipolares. 10.7. Campo eléctrico debido a materia polarizada. Supongamos que construimos un bloque de materia reuniendo un gran número de moléculas en una región del espacio previamente vacı́a. Supongamos, además, que cada una de estas moléculas está polarizada en la misma dirección. No necesitamos tener en cuenta la naturaleza de las moléculas ni los medios con que la polarización se mantiene. Todo lo que necesitamos especificar es el número N de dipolos por cm3 y el momento p~ de cada dipolo. Supongamos que N es tan grande que en cualquier dv macroscópico contiene un gran número de dipolos. La intensidad total del momento dipolar en tal volumen es p~N dv . 10.7. CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A MATERIA POLARIZADA. 193 Figura 10.16: Algunas moléculas polares bien conocidas. La magnitud del momento dipolar permanente p está dada en unidades de 10−18 [esu-cm]. ~ de estos En cualquier punto alejado de este dv, en comparación al tamaño del mismo, el E dipolos particulares será prácticamente el mismo que si se reemplazasen por un sólo dipolo de momento p~N dv. Llamaremos a p~N densidad de polarización y la designaremos por P~ h carga i P~ = p~N cm2 . Entonces P~ dv es el momento dipolar eléctrico asociado a este pequeño elemento de volumen dv. Supongamos P~ es constante en el interior. Un cilindro de altura dz tiene un momento dipolar, P dv = P dadz = p. Su contribución al potencial en el punto A puede escribirse teniendo en cuenta el potencial de un dipolo ϕ= p cos θ r2 luego dϕA = P dadz cos θ R2 Potencial de una columna Z z2 ϕA = P da z1 cos θ dz R2 194 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. z zA A R2 z2 θ R p da ρc x z1 R1 y ρA ρ2= x2+y 2 Figura 10.17: Columna de materia polarizada. carga +Pda +Pda dz −Pda carga −Pda Figura 10.18: Esquema de la columna polarizada. Donde zA − z = R cos θ y [(zA − z)2 + (ρA − ρC )2 ]1/2 = R por lo tanto Z z2 (z − zA )dz ϕA = P da 2 2 3/2 z1 [(zA − z) + (ρA − ρC ) ] = P da 2 [(zA − z) + (ρA − ρC )2 ]1/2 z2 z1 Finalmente 1 1 ϕA = P da − R2 R1 (10.27) La ecuación (10.27) precisamente es la misma expresión para el potencial en A debido a dos cargas puntiformes; una positiva de valor P da situada en la parte superior de la columna a una distancia R2 de A y una negativa del mismo valor en la base de la columna. La fuente consistente en una columna de materia uniformemente polarizada es equivalente, al menos en 10.7. CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A MATERIA POLARIZADA. 195 lo que concierne al campo eléctrico, en todos los puntos exteriores, a dos cargas concentradas. σ =+P P σ =−P Figura 10.19: Placa polarizada. Sin nuevos cálculos, esto puede extenderse a una placa, o cilindro recto, de proporciones cualesquiera, uniformemente polarizada en una dirección perpendicular a sus caras paralelas (fig 10.19). La lámina puede subdividirse en un conjunto de columnas y el potencial exterior será la suma de las contribuciones de las columnas, cada una de las cuales puede sustituirse por una carga en cada extremo. Las cargas en la parte superior P da en el extremo de cada columna de área da, constituirán una lámina uniforme de densidad de carga superficial σ = P . Concluimos que ϕ en todos los puntos exteriores a una placa o cilindro uniformemente polarizado es precisamente el que resultarı́a de dos láminas con carga superficial situadas en la posición de la parte superior e inferior de la placa conteniendo una densidad superficial σ = +P y σ = −P . No estamos preparados completamente para decir algo acerca del campo al interior de la placa. σ =+P A p B t A’ E=4 πσ σ =−P t B’ Figura 10.20: Ambos sistemas tiene el mismo campo exterior. RB ~ · d~s está completamente determinada por E ~ exterior . Debe ser la misma que a lo largo E de A B = 4πσt = 4πP t. El R campo en el interior no es 4πσ, hay fuertes campos debido a las − + ~ · d~s = 4πσt independiente del camino. A través de todos los moléculas e y p . Pero E caminos da 4πσt. El promedio espacial del campo dentro de la muestra Z 1 ~vi = ~ = −4π P~ . Edv (10.28) hE V V A 0 0 El campo promedio es una cantidad macroscópica (el volumen considerado debe incluir ~ es el único tipo de campo eléctrico macroscópico en el “muchas moléculas”). El campo hEi interior de un dieléctrico del cual podemos hablar. Da además, la única respuesta satisfactoria, 196 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. A ∫ E .ds es el campo total B Figura 10.21: Integral de camino por dos caminos distintos. en el contexto de un descripción macroscópica de la materia, a la pregunta ¿Cuál es el campo eléctrico dentro de un material dieléctrico? ~ en la ecuación (10.28) lo podemos llamar microscópico tiene sentido ya que las El campo E leyes del electromagnetismo trabaja a escala de distancia menores que la atómica. Revisemos las propiedades del campo promedio Z B ~ · d~s hEi A Para dos puntos A y B razonablemente distanciados es independiente del camino. ~ = 0 y hEi ~ = −∇hϕi ~ rothEi Donde 1 hϕi = V Z ϕdv Además, Z ~ · d~a = 4πhρi =⇒ divhEi ~ = 4πhρi hEi ~ dentro de un pedazo de materia De ahora en adelante, cuando hablemos del campo eléctrico E mayor que una molécula hablamos del campo macroscópico o promedio (ec.10.28) y omitimos h. . .i. 10.8. Otra mirada al condensador. Q= ∈ Q 0 Q0 Q’ ϕ12 E s ϕ12 p E Figura 10.22: Condensador. s 10.8. OTRA MIRADA AL CONDENSADOR. 197 E = ϕ21 /s en ambos casos, ϕ12 lo da la baterı́a. Como el campo es el mismo, debe ser la misma carga Q0 = Q0 + Q =⇒ Q0 = Q0 − Q = Q0 − Q0 Luego Q0 = Q0 (1 − ) (10.29) Podemos pensar el campo como la superposición de dos campos: el primer campo de un condensador vacı́o con carga Q y el otro producido por una capa de dieléctrico con densidad de polarización P~ . ~ =E ~1 + E ~2 y E ~ 1 = E ~ E ~ 2 = −4π P~ E Luego ~ = E ~ − 4π P~ E ∈Q0 E1= ∈E (10.30) Q’= (1−∈) Q 0 P E=−4π P Dieléctrico solo Placas solas Figura 10.23: Condensador con y sin dieléctrico. 10.8.1. Susceptibilidad eléctrica. P −1 = = χe E 4π (10.31) La constante χe se conoce como la susceptibilidad eléctrica y sólo depende del material. Además, podemos reescribir la constante dieléctrica en función de ella = 1 + 4πχe (10.32) Si C es la capacidad de un condensador en el vacı́o C es la capacidad del mismo condensador en un medio con constante dieléctrica . ~ medio = 1 E ~ vacio E (10.33) 198 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. Q1 ε Q1 Q2 Evacio Q2 Emedio Q3 Q3 Figura 10.24: Sistema de conductores en el vacı́o e inmersos en un dieléctrico homogéneo 10.9. El campo de una esfera polarizada. Una densidad de polarización constante en magnitud y dirección en todo el volumen de la esfera. z P x θr da cos θ 0 y da θ da a Figura 10.25: Sistema de conductores en el vacı́o e inmersos en un dieléctrico homogéneo La esfera puede ser dividida en columnas paralelas a P~ con carga P ∆a en la parte superior e inferior de la columna da ∆a = cos θ El problema se puede reemplazar por dos esferas de densidad ρ y −ρ respectivamente. Figura 10.26: Sistema de conductores en el vacı́o e inmersos en un dieléctrico homogéneo En la parte superior e inferior la carga varı́a como cos θ. En el interior se cancelan las distribuciones de cargas. Es fácil calcular el campo afuera: cualquier distribución de carga 10.9. EL CAMPO DE UNA ESFERA POLARIZADA. 199 tiene un campo externo como la carga completa estuviera concentrada en su centro. Ası́ la superposición de dos esferas de carga total Q y −Q respectivamente, con sus centros separados por un pequeño desplazamiento s, produce un campo externo igual al de dos cargas puntuales Q y −Q separadas por una distancia s, es decir, p0 = Qs. El campo no es para grandes distancias sino desde la superficie en adelante. p0 = Qs = 4π 3 r P . 3 0 El campo exterior de la esfera polarizada es el de un dipolo central p0 . El campo en el interior: consideremos el potencial eléctrico ϕ(x, y, z) lo conocemos en el contorno esférico (es el de un dipolo) y como r0 cos θ = z 4π ϕb = Pz 3 El problema de hallar el campo interior se reduce a un problema de Laplace con ϕb sobre la esfera =⇒ ϕint = 4πP z/3, que es solución de la ecuación de Laplace y satisface las condiciones de contorno. El campo ∂ 4π 4π ∂ Pz = − P . (10.34) Ez = − ϕint = − ∂z ∂z 3 3 r0 P0 P0 Campo interior Campo externo Figura 10.27: Campo exterior e interior. Como lo único que determina el eje z es la dirección de P~ , podemos reescribir el resultado ~ in = − 4π P~ . E 3 En el polo “norte” el campo externo Ez = 8πP 2p0 2(4πr03 P/3) = = 3 3 r r0 3 La diferencia entre el campo externo y el interno Eext − Eint = 8πP 4πP 12πP + = = 4πP . 3 3 3 (10.35) 200 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. ~ es discontinuo en la frontera de un medio polarizado exactamente como lo El campo E serı́a en una superficie en el vacı́o que contuviese una carga superficial σ = Pn , esto es P~ normal hacia afuera ~ ⊥ cambia en 4πPn en el contorno. E ~ k no cambia, es continua. E 10.10. Esfera dieléctrica en un campo uniforme. Como ejemplo, coloquemos una esfera de material dieléctrico caracterizado por una constante dieléctrica , en un campo homogéneo. ~ 0 no se ven perturbadas por la esfera i.e. a grandes distancias el Las fuentes del campo E ~ 0. campo será E P E=? E0 Figura 10.28: Esfera dieléctrica en campo externo. Esto es lo que se da a entender al colocar una esfera en un campo uniforme. El campo ~ no es uniforme en las proximidades de la esfera total E ~ =E ~0 + E ~0 . E (10.36) El primer término corresponde a las fuentes distantes y el segundo al campo debido a la ~ 0 depende de la polarización P~ del dieléctrico que a su vez materia polarizada. El campo E ~ en el interior de la esfera depende del campo E ~ . ~ = − 1E P~ = χe E 4π (10.37) Si la esfera se polariza uniformemente, (suposición que necesita justificación) sabemos que 4π P~ 0 ~ int E =− . 3 10.11. CAMPO DE UNA CARGA EN UN MEDIO DIELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS.201 El cual es el campo interior debido a la materia polarizada. Luego, en el interior total ~ 0 ~0 − − 1E ~ . ~ =E ~0 + E ~ int ~ 0 − 4π P = E E =E 3 3 ~ Despejando E ~ = E 3 2+ ~0 E (10.38) ~ 0 . La polariComo > 1 implica que el campo dentro del dieléctrico es más débil que E zación es 3 −1 ~ −1~ ~ E= E0 (10.39) P = 4π 4π − 2 La suposición de la polarización uniforme se ve ahora que es autoconsistente. De hecho sólo los dieléctricos de forma elipsoidales, entre los cuales la esfera es un caso especial, adquirirán ~ fuera de la esfera polarización uniforme en un campo uniforme. Para calcular el campo total E ~ 0 y el campo de un dipolo central central de momento debemos sumar vectorialmente a E dipolar igual a P ×volumen de la esfera. Figura 10.29: Campo de una esfera dieléctrica en campo externo. 10.11. Campo de una carga en un medio dieléctrico y Ley de Gauss. Supongamos un gran volumen de dieléctrico homogéneo y en alguna parte una carga concentrada Q. Podemos imaginar una pequeña esfera de metal cargada que cae dentro de un tanque de aceite. Como se estableció anteriormente el campo en el aceite será E= Q , r2 1 el campo en el vacio 202 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. Es interesante ver como actúa la Ley de Gauss Z ~ · d~a = 4π Q . E ¿y por qué no 4πQ?, porque no es la única carga en el interior de la “esfera de Gauss”. El aceite está polarizado, a pesar de ser neutro. Su carga negativa es atraı́da hacia Q y su carga positiva es repelida. Se polariza radialmente La carga neta incluyendo Q es menor que Q, es Q/. La carga “extraña” (Q) se le conoce como carga libre. La carga integrante del dieléctrico se le conoce como carga ligada. No son móviles. Puede idearse una magnitud vectorial que este relacionada solamente con la carga libre por algo parecido a la ley de Gauss. Z Z ~ E · d~a = 4π ρlibre dv S V ~ = 4πρlibre div(E) Para el campo eléctrico ~ = 4π(ρlibre + ρligada ) div E ~ = div(E) ~ + 4π(ρligada ) div E ~ = 4πρligada div(1 − )E (10.40) ~ = −4πρligada div( − 1)E ~ P~ = χe E ( − 1) ~ P~ = E 4π ~ 4π P~ = ( − 1)E div P~ = −ρligada (10.41) (10.42) Se cumple siempre, la ecuación (10.42) son promedios sobre volúmenes suficientemente grandes para que P~ y ρligada sean continuas ~ = 4πρlibre + 4πρligada div E ~ = 4πρlibre − 4π div P~ div E ~ + 4π P~ ) = 4πρlibre div(E (10.43) ~ y P~ . No se limita a Lo anterior es completamente independiente de toda relación entre E ~ Definamos el vector desplazalos materiales dieléctricos, en los que P~ es proporcional a E. ~ por miento eléctrico D ~ =E ~ + 4π P~ D (10.44) 10.12. UNA MIRADA MICROSCÓPICA DEL DIELÉCTRICO. 203 ~ = E ~ pues la relación En un dieléctrico isotrópico, D ~ = 4πρlibre div D (10.45) ~ y ρ. Se cumple en cada caso en que puedan definirse las magnitudes macróscopicas P~ , E ~ como un vector campo cuya La ecuación (10.45) puede sugerir que podemos considerar a D fuente es la distribución de carga libre ρlibre , en el mismo sentido que la distribución de carga ~ Esto serı́a incorrecto. El campo E ~ esta determinado unı́vocamente total ρ es la fuente de E. (excepto por la adición de un campo constante) por la distribución de carga ρ debido a que, ~ = 4πρ existe rot E ~ = 0. En general no es cierto que rotD ~ = 0. Ası́ que ρlibre en adición a div E ~ no es suficiente para determinar D. Se necesitan las condiciones de contorno en las superficies ~ es un artificio que, en general, no es muy de los distintos dieléctricos. La introducción de D útil. A continuación reunimos las conclusiones esenciales acerca de los campos eléctricos en la materia. La materia puede polarizarse, esta circunstancia se explica completamente, en lo que respecta al campo macroscópico por una densidad de polarización P~ , que es el momento ~ es la misma que si dipolar por unidad de volumen. La contribución de dicha materia a E ~ ρligada existiese en el vacı́o con densidad ρligada = − div P . En la superficie de una sustancia polarizada, donde hay una discontinuidad de P~ , está se reduce a una carga superficial de densidad σ = −Pn . Añadamos una ρlibre y el campo eléctrico es el que producirı́a en el vacı́o esta distribución total de carga. ~ dentro y fuera de la materia, entendiendo que dentro Este es el campo macroscópico E de la materia es el promedio espacial del campo microscópico verdadero. Si en un material ~ lo llamamos dieléctrico. P~ es proporcional a E Definimos la susceptibilidad eléctrica y la constante dieléctrica caracterı́stica de este material P~ χe = = 1 + 4πχe . ~ E Las cargas libres sumergidas en un dieléctrico dan lugar a un campo eléctrico que es 1/ del que las mismas cargas producirı́an en el vacı́o. 10.12. Una mirada microscópica del dieléctrico. La polarización P~ en el dieléctrico es simplemente una manifestación, a gran escala, de los momentos dipolares eléctricos de los átomos y moléculas de las cuales el material está compuesto. Donde P~ es la densidad de momento dipolar medio, que es igual al vector momento dipolar total por unidad de volumen promediado sobre una región suficientemente ~ = 0 no hay dirección privilegiada, grande como para contener un gran número de átomos. Si E implica P~ = 0. ~ 6= 0 la polarización puede llevarse a cabo de dos maneras: Si E 204 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. 1. Cada átomo o molécula adquiere un momento dipolar proporcional y en la dirección de ~ E. 2. Si hay moléculas polares los dipolos se reorientan paralelos al campo. ~ es decir P/E = χe > 0. Ambos efectos contribuyen a la polarización en la dirección de E, 10.12.1. Modelo para un gas. Consideremos el momento atómico inducido en un medio en el cual los átomos están muy separados. Un gas ∼ 3 × 1019 [molec/cm3 ]. Suponemos que el campo que actúa sobre una molécula individual es el campo promedio. Despreciando el campo producido por el dipolo inducido en una molécula cercana. Sean α la polarizabilidad de cada molécula y N el número medio de moléculas por cm3 . El momento dipolar inducido en cada molécula es αE y la polarización resultante P~ ~ ~ P = N αE =⇒ χe = = Nα ~ E La constante dieléctrica = 1 + 4πχe = 1 + 4πN α Ejemplo: el metano (CH4 ) tiene un α = 2.6 × 10−24 [cm3 ] y N ≈ 2.8 × 1018 [molec/cm3 ] a 0◦ C y 1 [atm]. Evaluando = 1 + 4πN α = 1.00088 el mismo valor de las tablas. No es tan sorprendente, α probablemente fue encontrado en base a un modelo similar. La constante α tiene unidades de volumen y son del orden de magnitud del volumen atómico, entonces N α = χe es igual a la fracción del volumen del medio ocupado por los átomos. La densidad del gas comparada con la densidad de la misma sustancia en estado sólido o lı́quido es aprox 1/1000. Luego, en un gas el 99.9 % es espacio vacı́o. Por otra parte, en un sólido o lı́quido las moléculas están prácticamente tocándose. La fracción que ocupan es no mucho menor que 1. Para sólidos y lı́quidos no polares el encontramos valor de ( − 1)/4π ∈ [0.1, 1]. La teorı́a exacta de la susceptibilidad de un sólido o un lı́quido no es fácil de desarrollar. Cuando los átomos están tan juntos hasta que casi se tocan, los efectos del átomo vecino no pueden ser despreciados. 10.12.2. Las moléculas polares. Las moléculas con momento dipolar eléctrico permanente, i.e. moléculas polares, responden a un campo eléctrico tratando de alinearse paralelas a él. Si el dipolo no apunta en la ~ hay un torque p~ × E ~ tendiente a alinear p~ en la dirección de E. ~ El dirección del campo E, ~ pero el equilibrio es inestable. El torque sobre el torque es nulo si p~ es antiparalelo al campo E dipolo es el torque sobre la molécula. Un estado de menor energı́a habrı́a sido logrado si todas las moléculas hubieran rotado sus momentos dipolares en la dirección del campo. Mientras alcanzan el estado de alineamiento entregaran a través de “fricción” rotacional, energı́a a su entorno. 10.13. POLARIZACIÓN EN CAMPOS VARIABLES. 205 Pero esto no sucede. Ninguna aproximación a la alineación completa es intentada para “ningún” campo aplicado. ¿Por qué no? La razón es esencialmente la misma de por qué las moléculas de aire en la habitación no las encontramos todas sobre el piso, la cual es la configuración de menor energı́a. Debemos pensar sobre la temperatura y la energı́a térmica kB T |ambiente ≈ 4 × 10−14 [erg]. La energı́a de elevar 5 × 10−23 [g] unos metros ∼ 10−17 [erg], es decir, 1/1000 de kB T , por eso no todas las moléculas están en el suelo. El orden de magnitud de la fracción alineada con el campo a una temperatura T dada es: pE pE N p2 =⇒ P ≈ N p = E kB T kB T kB T P N p2 =⇒ χe = = E kB T Esta estimación produce para el agua un valor para la susceptibilidad de 3.0 siendo que el valor correcto es 6.3, a temperatura ambiente. Las interacciones con los vecinos complican la derivación teórica. 10.13. Polarización en campos variables. Hasta ahora nosotros hemos considerado sólo campos electrostáticos. Debemos ver que pasa con campos variables en el tiempo, un condensador usando corriente alterna por ejemplo. ~ ¿La razón P/E será la misma, en un ¿Los cambios en P~ marcharan con los cambios en E? instante, que en el caso estático? Para variaciones “lentas” no esperamos cambios, que son “lentas” depende del particular proceso fı́sico. La polarización inducida y la orientación de dipolos permanentes son dos procesos con respuestas de tiempo muy diferentes. Para la polarización inducida, distorsión en la estructura electrónica que involucran pequeñas masas y estructuras muy rı́gidas, la frecuencias naturales son muy altas lo que implica perı́odos del orden de 10−16 [s]. Por lo tanto, 10−14 [s] en un átomo es un tiempo largo. Por estas razones para sustancias no polares el comportamiento es prácticamente el mismo con corriente continua o alterna, con frecuencias del orden de la de la luz visible. La polarización sigue al campo y χe es independiente de ω. La orientación de una molécula es un proceso muy diferente de la mera distorsión de la nube electrónica. La molécula entera debe rotar y eso involucra escalas de tiempo mayores (10−11 [s] en agua). Los dipolos simplemente no pueden seguir alteraciones rápidas del campo. Para sólidos los tiempos son ∼ 10−5 [s]. En este caso la constante dieléctrica cae a valores tı́picos de sustancias no polares. 10.14. Corriente de carga ligada. Si la polarización cambia en el tiempo hay una corriente eléctrica, un genuino movimiento de carga. Supongamos N dipolos en un cm3 de dieléctrico, y que en un dt cambia de p~ a p~ +d~p lo que implica que la densidad de polarización P~ cambia de P~ = N p~ a P~ + dP~ = N (~p + d~p). Supongamos que el cambio d~p fue consecuencia de mover una carga q un d~s en cada átomo, Lo que implica que d~p = qd~s. Durante el dt tendremos una nube de carga de densidad N q 206 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. moviéndose con velocidad ~v = d~s/dt luego J~ será d~p dP~ d~s = J~ = ρ~v = N q = N dt dt dt La conexión entre la razón de cambio de la polarización y la densidad de corriente, J~ = dP~ /dt es independiente del modelo. Un cambio en la polarización es una corriente de conducción. Naturalmente, tal como cualquier corriente, es fuente de un campo magnético. Si no hay otras corrientes, podrı́amos escribir el rotor del campo magnético como ~ 1 ∂E 4π ∂ P~ + c ∂t c ∂t La única diferencia con una densidad de corriente “ordinaria” de conducción y la densidad de corriente ∂ P~ /∂t es que la primera involucra carga libre en movimiento y la otra carga ligada en movimiento. Hay razones para hacer la distinción: No podemos tener una corriente de carga ligada estacionaria, es decir, que una vez que se establezca no cambie. Usualmente se prefiere considerar por separado ambas corrientes, manteniendo el sı́mbolo J~ para las densidades de corrientes de carga libre solamente. Ası́ la ecuación de Maxwell queda ! ~ ~ 1 ∂ P ∂ E ~ = rot B + 4π + 4π J~ c ∂t ∂t rot B = El penúltimo término corresponde a la densidad de corriente ligada y el último a la ~ +4π P~ = E, ~ luego podemos compactar densidad de corriente libre. En un medio dieléctrico E la ecuación ! ~ ∂ E 1 ~ = + 4π J~ rot B c ∂t ~ =E ~ + 4π P~ , el vector desplazamiento Usualmente se introduce D ! ~ ∂ D 1 ~ = + 4π J~ rot B c ∂t ~ El término ∂ D/∂t se refiere como corrientes de desplazamiento. La parte que involucra ~ ∂ P /∂t representa una “honesta” corriente de conducción, con movimiento real de carga. La única parte de la densidad de corriente total que no es simplemente carga en movimiento, es ~ la parte ∂ E/∂t, la corriente de desplazamiento en el vacı́o. ! ~ ~ 1 ∂ E ∂ P ~ = rot B + 4π + 4π J~ c ∂t ∂t El primer término corresponde a una densidad de corriente de desplazamiento en el vacı́o. El segundo a una densidad de corriente de carga ligada. El tercero a una densidad de corriente de carga libre. La distinción entre carga libre y carga ligada puede no ser una tarea fácil. Este ejemplo muestra en el mundo atómico la distinción entre carga libre y carga ligada es más o menos arbitraria, ası́ también la densidad de polarización. El momento dipolar molecular está bien definido sólo cuando las moléculas son identificables y uno puede decir este átomo pertenece a esta molécula o no, en muchos cristales esta distinción no es clara. 10.15. UNA ONDA ELECTROMAGNÉTICA EN UN DIELÉCTRICO. carga negativa libre carga positiva libre P carga positiva libre 207 P carga negativa libre Figura 10.30: Dieléctrico, identificación de la carga libre y ligada. 10.15. Una onda electromagnética en un dieléctrico. Consideremos campos eléctricos y magnéticos en un medio dieléctrico ilimitado. El dieléctrico es un aislador perfecto, es decir, no hay corriente libre, J~ = 0. Si no hay carga libre pero hay carga ligada implicarı́a que la divergencia del campo eléctrico es distinta de cero. Si acordamos considerar la divergencia nula entonces las densidades de carga tanto libre como ligada serán cero. Las ecuaciones de Maxwell quedan ~ ~ = − 1 ∂B rot E c ∂t ~ ~ = + ∂E rot B c ∂t ~ =0 div E (10.46) ~ =0 div B (10.47) Probamos soluciones de la forma ~ = ẑE0 sen(ky − ωt) E ~ = x̂B0 sen(ky − ωt) B El ángulo (ky − ωt) es llamado la fase de la onda. La razón ω/k es la velocidad de fase, en este caso la velocidad de la onda. Si derivamos ~ = +x̂E0 k cos(ky − ωt) rot E ~ = −ẑB0 k cos(ky − ωt) rot B ∂E = −ẑE0 ω cos(ky − ωt) ∂t ∂B = −x̂B0 ω cos(ky − ωt) ∂t Sustituyendo encontramos ω c =√ k y B0 = √ E0 208 CAPÍTULO 10. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA. √ La velocidad de la onda difiere de la velocidad de la luz en el vacı́o por un factor 1/ . Las amplitudes de los campos eléctrico y magnético, que son iguales en el vacı́o, difieren en √ ~ ⊥B ~ se mantiene y viajan en dirección E ~ × B, ~ esto un factor , siendo menor el eléctrico. E se mantiene. νvacio = νmedio lo que implica que λmedio < λvacio , ya que λν = v. La luz viajando en un vidrio, es un ejemplo√de lo anteriormente descrito. Definimos el ı́ndice de refracción n como n=c/v, es decir, n = . Capı́tulo 11 Campo magnéticos en la materia. 11.1. Introducción. Los contenidos del capı́tulo de Campos magnéticos en la materia son: ¿Cómo diferentes sustancias responden a un campo magnético? La ausencia de “carga” magnética. El campo de un loop de corriente. La fuerza sobre un dipolo en un campo externo. Corrientes eléctricas en los átomos. Espı́n electrónico y momento magnético. Susceptibilidad magnética. Campo magnético causado por materia magnetizada. Campo de un magneto permanente. ~ Corrientes libres y el campo H. Ferromagnetismo. 11.2. ¿Cómo diferentes sustancias responden a un campo magnético? Supongamos que construimos un solenoide de 10 [cm] de diámetro interior y 40 [cm] de largo. Su diámetro externo es de 40 [cm], la mayor parte del espacio está ocupado por las vueltas del alambre de Cobre. Veamos un esquema... 209 210 CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICOS EN LA MATERIA. z 40 cm Bz 10 kG 20 kG Bz 10 cm Esta bobina provee un campo de ∼30000 [G] o 3.0 [T]. La potencia de ∼400 [kW] necesita unos 30 [galones] de agua por minuto para disipar el calor. Equivalencia 1 [galón]≈3.8 [lt]. Este es un respetable imán de laboratorio. En el centro el campo es 105 veces más intenso que el campo terrestre y probablemente de 5 a 10 veces más intenso que el campo cercano a un imán de hierro en U. El campo será prácticamente uniforme cerca del centro del solenoide cayendo sobre el eje z a aproximadamente la mitad del valor central en los extremos, 18000 [G]. Pongamos distintas substancias dentro del campo y veamos si actúa fuerza sobre ellas. Generalmente detectamos una fuerza la cual desaparece cuando se desconecta la corriente ~ (B = 0). Descubrimos que la mayor fuerza ocurre no cuando nuestra muestra esta en el ~ es más intenso) sino que se localiza cerca del final de la bobina (donde el centro (donde B ~ gradiente ∂ B/∂z es grande). Debido a lo anterior, sólo se pondrán las muestras en el borde de la bobina. Se encontró que la fuerza sobre una substancia particular –aluminio metálico– es proporcional a la masa e independiente de la forma, mientras la muestra no sea demasiado grande. (1 a 2 [cm3 ] en volumen en nuestro caso). Para un gran número de substancias puras la fuerza observada es muy pequeña. 10 a 20 [dinas/g], tı́picamente. La fuerza es hacia arriba para algunas muestras y hacia abajo para otras, esto no tiene nada que ver con la dirección del campo, esto se comprobó invirtiendo la corriente. Algunas substancias son siempre tiradas en la dirección de incremento del campo y otras en la dirección de decremento, independiente de la dirección del campo. 11.2. ¿CÓMO DIFERENTES SUSTANCIAS RESPONDEN A UN CAMPO MAGNÉTICO?211 Substancia Agua Cobre Cloruro de Sodio Azufre Diamante Grafito Nitrógeno lı́quido Substancia Sodio Aluminio Cloruro de Cobre Sulfato de Niquel Oxı́geno lı́quido Fórmula H2 O Cu NaCl S C C N2 Substancia Fórmula Hierro Magnetita -22.0 -2.6 -15.0 -16.0 -16.0 -110.0 (78 K) -10.0 Fórmula Na Al CuCl2 NiSO2 O2 Fe Fe3 O4 Fuerza [dinas] Fuerza [dinas] +20.0 +17.0 +280.0 +830.0 (90 K) +7500.0 Fuerza [dinas] +400000 +120000 El signo positivo en la fuerza indica una fuerza hacia adentro y el negativo una hacia afuera. Sobre 1 [g] a T = 20 ◦ C, salvo que se indique. Hay diferencias esenciales entre el comportamiento de las diferentes substancias, por ejemplo entre el Hierro y la Magnetita. Si variamos el campo a 1/2 del original, para muestras no-ferro la fuerza se reduce a 1/4 por lo tanto F ∝ B 2 , sin embargo, para las substancias ferromagnéticas se reduce sólo a 1/2 o menos, F ∝ B. La mayorı́a de los compuestos inorgánicos y prácticamente todos los compuestos orgánicos son diamagnéticos (H2 O, Cu, NaCl, S, C, N2 ). De hecho el diamagnetismo es una propiedad de cada átomo y molécula. Cuando se observa un comportamiento contrario es porque el diamagnetismo ha sido superado por un efecto más fuerte. La substancias que son atraı́das hacia la región de campo más fuerte son llamadas paramagnéticas. Para algunos metales como el Al, Na y muchos otros, el paramagnetismo es un poco mayor que el diamagnetismo común. En otros materiales, NiSO4 y CuCl2 el paramagnetismo es mucho mayor que el diamagnetismo. Las cosas no son del todo simples: El Cu es diamagnético, el CuCl2 es paramagnético, el Na es paramagnético y el NaCl es diamagnético. Finalmente, substancias como el hierro y la magnetita son llamadas ferromagnéticas. Algunas aleaciones de Fe y metales como el Co y el Ni también presentan ferromagnetismo. 212 CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICOS EN LA MATERIA. Las tareas que se nos presentan para este capı́tulo: Desarrollar un tratamiento a gran escala de los fenómenos que involucran materia magnetizada, en la cual la materia misma es caracterizada por unos pocos parámetros y la relación entre ellos es determinada experimentalmente. Una teorı́a fenomenológica, más descriptiva que explicativa. Tratar de entender, al menos en forma general el origen atómico de varios efectos magnéticos. Los fenómenos magnéticos, más que los dieléctricos, una vez entendidos revelan hechos básicos de la estructura atómica. 11.3. La ausencia de “carga” magnética. El campo magnético de una barra magnetizada se parece mucho al campo externo de una barra eléctricamente polarizada. Es decir, una barra que tiene un exceso de carga positiva en un extremo y un exceso de carga negativa en el otro. Se podrı́a pensar que el campo magnético tiene fuentes las cuales se relacionan con él del mismo modo que la carga eléctrica lo hace con el campo eléctrico. Entonces un extremo de nuestra barra magnetizada tendrı́a un exceso de carga de un tipo y el otro extremo del otro tipo. Podemos llamarla “cargas norte” (+) y “cargas sur” (-) con el campo magnético dirigiéndose de (+) a (-). La idea suena bien, incluso las ecuaciones de ~ y E. ~ Por ejemplo, ∇ ~ ·B ~ = 4πη, donde η serı́a la Maxwell quedarı́an más simétricas entre B densidad de cargas magnéticas. El problema es que las cosas no son ası́. La naturaleza no uso esta posibilidad. El mundo es asimétrico en el sentido que no hay carga magnética. No existen los monopolos magnéticos. Y, por lo tanto, menos se ha observado un exceso de uno de estos tipos de carga magnética. Si tal monopolo magnético existiese, lo podrı́amos detectar. Se acelerarı́a en un campo uniforme. Uno de estos monopolos viajando producirı́a una corriente magnética y esta deberı́a estar rodeada por un campo eléctrico de rotor no nulo, de la misma manera que un campo magnético rodea una corriente eléctrica. Con estrategias basadas sobre esta propiedad se han buscado los monopolos en muchos experimentos. La búsqueda fue renovada cuando los desarrollos en Fı́sica de partı́culas sugirieron que el Universo deberı́a contener al menos unos pocos monopolos remanentes del Big Bang. Los monopolos no han sido detectados y hay evidencia de que si existiesen serı́an excesivamente escasos. Si se prueba la existencia de un monopolo habrı́an profundas consecuencias, pero no alterarı́a el hecho que en la materia, como la conocemos, la única fuente del campo magnético son las corrientes eléctricas, es decir ~ =0 div B (En todas partes). Una alternativa a la carga magnética son las ideas de Ampère. Tal ideas nos dices que todo el magnetismo en la materia serı́a consecuencia de múltiples y pequeños anillos de corrientes distribuidos a través de la substancia. Comenzaremos estudiando el campo magnético de un loop en un punto lejano del loop. 11.4. EL CAMPO DE UN LOOP DE CORRIENTE. 11.4. 213 El campo de un loop de corriente. Consideremos un loop de corriente no necesariamente circular que yace sobre el plano xy. Una corriente I fluye a través de él. Nos interesa el campo creado por esa corriente, pero no cerca, sino el campo distante (en P1 ). De manera tal que r1 que cualquier distancia del sistema. Para simplificar ubicamos P1 en el plano yz pero luego levantaremos esta restricción. z P1 A z1 θ r1 r’12 r12 P’2 dl’2 y2 y1 P2 dl 2 dx 2 I I y dx 2 x I ~ en el punto P1 , es decir, A(0, ~ y, z) y luego tomamos el Calculemos el potencial vector A rotor. I d~`2 I ~ A(0, y, z) = c loop r12 Considerando la variación de r12 a lo largo del loop r12 ≈ r1 − y2 sen θ a P1 z a P1 θ r1 y2 sen θ θ y2 r12 y Veamos los dl2 , dl20 , los dy2 son iguales y opuestos, cancelando su contribución a la integral sobre el loop completa. 214 CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICOS EN LA MATERIA. y2 d x2 positivo y2 positivo x2 d x2 negativo y2 negativo ~ no tiene componente y en P1 , obviamente no tendrá una Lo anterior implica que A componente ẑ, el camino no la tiene, luego ~ y1 , z1 ) = x̂ I A(0, c Z dx2 . r12 A primer orden 1 1 ≈ r12 r1 y2 sen θ 1+ r1 , luego Z I y2 sen θ ~ A(0, y1 , z1 ) = x̂ dx2 , 1+ cr1 r1 R R r1 y θ son constantes. Obviamente dx2 a lo largo del loop desaparece, ahora y2 dx2 es justo el área del loop. ~ y1 , z1 ) = x̂ I sen θ × [área del loop] , A(0, cr12 Aquı́ un punto simple pero crucial, ya que la forma del loop no interesa, nuestra restricción ~ de un loop de corriente de P1 en yz no puede hacer una diferencia esencial. Ası́ el vector A de cualquier forma a una distancia r del loop la cual es mucho mayor que el tamaño del loop, es un vector perpendicular al plano que contiene ~r y la n̂ del plano del loop.Cuya magnitud es Ia sen θ A= cr2 donde a es el área de loop. ~ será simétrico Este vector potencial es simétrico en torno al eje del loop esto implica que B también respecto al mismo eje. La razón de considerar la región lejana es que el detalle de la forma del loop no tiene relevancia. Todos los loops con el mismo producto corriente por área producirán el mismo campo lejano. Ia Nosotros llamamos al producto el momento dipolar magnético del loop de corriente y c lo denotamos por m ~ 11.4. EL CAMPO DE UN LOOP DE CORRIENTE. I 215 m = cI a a I La expresión para el momento dipolar magnético m ~ en términos de la corriente que circula I y el área del loop a es: I m ~ = ~a c El sentido es con la regla de la mano derecha respecto al flujo de corriente. Podemos escribir ~ en términos de m A ~ ~ × r̂ ~=m A r2 ~ tiene donde r̂ es el vector unitario en la dirección: desde el loop al punto P . Notemos que A la dirección de I. Veamos un esquema. . . z A Ax θ r φ y z m I φ x x2+y2 y x m m sen θ A= = 2 r p x2 + y 2 r3 Ay 216 CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICOS EN LA MATERIA. Por componentes Ax = A Ay = A −y ! p x2 + y 2 x p x2 + y 2 = −my r3 = mx r3 ! Az = 0 ~ para un punto en el plano xy Evaluemos B ~ ×A ~ = ∂Az − ∂Ay Bx = ∇ ∂y ∂z x ∂ 3mxz mx = =− 2 2 2 3/2 ∂z (x + y + z ) r5 ~ ×A ~ = ∂Ax − ∂Az By = ∇ ∂z ∂x y 3myz ∂ −my = = 2 2 2 3/2 ∂z (x + y + z ) r5 Finalmente la componente z ∂Ay ∂Ax ~ ~ Bz = ∇ × A = − ∂x ∂y z 2 2 2 −2x + y + z x2 − 2y 2 + z 2 + =m (x2 + y 2 + z 2 )5/2 (x2 + y 2 + z 2 )5/2 3z 2 − r2 = r5 En el plano xz, y = 0, además, sen θ = x/r, cos θ = z/r. Las componentes del campo son: 3m sen θ cos θ r3 By = 0 m(3 cos2 θ − 1) Bz = r3 Bx = ~ xz de un dipolo p~. Este campo es idéntico al campo E 11.5. LA FUERZA SOBRE UN DIPOLO EN UN CAMPO EXTERNO. 217 B m Como en el caso del dipolo eléctrico el campo es más simple en coordenadas polares esféricas 2m cos θ r3 m sin θ Bθ = r3 Bϕ = 0 Br = ~ “cerca” del loop de corriente es enteramente diferente del E ~ de un par de cargas +/El B separadas una cierta distancia. Figura 11.1: El campo de un dipolo eléctrico. 11.5. La fuerza sobre un dipolo en un campo externo. Consideremos un pequeño loop de corriente de radio r, localizado en un campo externo ~ (no uniforme) por simplicidad simétrico en torno al eje z. B 218 CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICOS EN LA MATERIA. Figura 11.2: El campo de un dipolo magnético. z Bz m B Br r I y x ~ ) La fuerza sobre el anillo ( Id~` × B/c 2πrIBr c ~ = 0) El flujo a través de un pequeño cilindro (div B F = z z+ ∆ z z r El flujo πr2 [−Bz (z) + Bz (z + ∆z)] + 2πrBr ∆z = 0 ∂Bz r ∂Bz ∆z + 2πrBr ∆z = 0 =⇒ Br = − . ∂z 2 ∂z Ası́ que la fuerza (hacia abajo) πr2 F = 2πrI r ∂Bz πr2 I ∂Bz ∂Bz = =m . c 2 ∂z c ∂z ∂z 11.6. CORRIENTES ELÉCTRICAS EN LOS ÁTOMOS. 219 Si el momento dipolar es paralelo al campo externo entonces la fuerza actúa en la dirección de incremento. Si el momento dipolar es antiparalelo al campo externo entonces la fuerza actúa en la dirección de decrecimiento. Si el campo externo es uniforme entonces no hay fuerza. La situación más general es ~ B) ~ F~ = m ~ · ∇( Por componentes ~ x Fx = m ~ · ∇B ~ y Fy = m ~ · ∇B ~ z Fz = m ~ · ∇B A la luz de estos resultados podemos interpretar los datos obtenidos en el experimento inicial. ~ Para las muestras que eran atraı́das al solenoide m ~ es paralelo a B. ~ Para las muestras que eran repelidas del solenoide m ~ es antiparalelo a B. ~ tenemos B × ∂B/∂z para la fuerza Como el momento dipolar resulta proporcional a B tanto en el caso de los diamagnéticos como para los paramagnéticos. Los materiales ferro~ magnéticos deben tener m ~ independiente de B. 11.6. Corrientes eléctricas en los átomos. Usaremos un modelo de Bohr simplificado para el átomo que nos permita explicar el diamagnetismo. + e− r v En este caso el momento dipolar eléctrico instantáneo al promediarse sobre t se anula. Evaluemos la corriente cantidad de carga v =e tiempo 2πr ev = 2πr I= La corriente fluye opuesta a la dirección de ~v . El dipolo magnético m= πr2 I evr = . c 2c 220 CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICOS EN LA MATERIA. Usando el momento angular L = me vr tenemos m ~ = −e ~ L 2me c Si hacemos el cociente momento magnético −e = . momento angular 2me c La anterior es conocida como razón orbital magnetomecánica. ¿Por qué no notamos el campo magnético de todos los e− orbitando en todos los átomos de cada substancia? Debe haber cancelación mutua. En un pequeño trozo de materia deben haber tantos electrones en un sentido como en el otro y no hay un único eje axial. Podemos visualizar un trozo de materia, en ausencia de campo externo, como conteniendo electrones girando con ~ ym diversos vectores L ~ (asociados), distribuidos en todas direcciones. Si consideramos las órbitas aproximadamente paralelas al plano xy, hay m ~ ↓= m ~ ↑. ~ en la dirección ẑ? ¿Qué le sucede a una de estas órbitas cuando activamos un campo B Analizaremos el sistema más que como un átomo como un sistema electromecánico. La fuerza centrı́peta M v02 F0 = (B = 0) . r ~ en (ẑ) uniforme en el espacio y constante en el tiempo. Mientras Creamos un campo B ~ ~ a lo largo del camino. el campo crece a razón dB/dt se inducirá un campo eléctrico E E E v0 F0 E r E E masa m carga q E E E B=0 F0 = mv 0 r 2 B=0 Para encontrar la magnitud dΦ dB = πr2 . dt dt Calculamos la integral cerrada del campo eléctrico I 2 ~ = πr dB = 2πrE =⇒ E = r dB . ~ · ds E c dt 2c dt 11.6. CORRIENTES ELÉCTRICAS EN LOS ÁTOMOS. 221 ~ acelerará a la carga, si q es una carga A pesar de haber ignorado el signo es fácil ver que E positiva. Con el radio fijo qr/2M c es una cte. Denotemos por ∆v el cambio de velocidad en el proceso de conectar el campo de cero a B1 . Z B1 Z v0 +∆v qrB1 qr dB = ∆v = . (11.1) dv = 2M c o 2M c v0 Independiente de la rapidez del cambio. El incremento de la rapidez de la carga en el estado final significa un incremento (hacia arriba) del momento magnético m. ~ Una carga negativa será desacelerada, bajo circunstancias similares, lo cual traerı́a un decremento, hacia abajo, del momento magnético. En ambos casos ~ 1 originó un cambio en el momento magnético opuesto al campo. la aplicación de un campo B El cambio en el momento magnético ∆m ~ =− q 2 r2 ~ B1 . 4M c2 (11.2) En el ejemplo anterior, hemos forzado a r a ser constante usando una cuerda de largo fijo. Veamos como ha cambiado la tensión en la cuerda. Supondremos que B1 es suficientemente pequeño para que ∆v v0 . En el estado final F1 = M (v0 + ∆v)2 M v02 2M v0 ∆v ≈ + , r r r despreciando términos proporcionales a (∆v)2 . Pero ahora el campo magnético provee una fuerza hacia el centro, q(v0 +∆v)B1 /c. Usando (11.1) para expresar B1 en términos ∆v luego la fuerza será (q(v0 + ∆v)/c)((2M c∆v)/r). Evaluando a primer orden en ∆v/v0 es 2M v0 ∆v/r que es justo lo que se necesitará para evitar cualquier demanda extra de la cuerda. La tensión en el cuerda no cambia, este resultado (11.2) es válido para cualquier fuerza no importa como varı́e con el radio. Consideremos un e− en un átomo, donde M = me y q = −e con una órbita de radio r. ∆m e2 r2 =− B1 4me c2 [cm3 ] . Es equivalente a la polarizabilidad eléctrica α. La constante e2 /mc2 ≈ 2.8 × 10−13 es conocida como el radio clásico del electrón. Para r usamos el radio de Bohr ∼ 0.53×10−8 [cm]. Luego ∆m = 2 × 10−30 [cm3 ] . B Es 5 a 6 ordenes de magnitud menor que una tı́pica polarizabilidad eléctrica. Calculemos el ∆m para nuestro caso con 3 × 1023 electrones por gramo y un campo 1.8 × 104 [gauss]. La variación de momento magnético ∆m = (3 × 1023 )(2 × 10−30 )(1.8 × 104 ) = 8.4 × 10−3 [cm3 -gauss] 222 CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICOS EN LA MATERIA. Considerando un gradiente de 1700 [gauss/cm], la fuerza F = ∆m ∂Bz = 8.4 × 10−3 × 1700 = 14 [dinas] . ∂z Totalmente de acuerdo con nuestras observaciones para diamagnéticos. El diamagnetismo es un fenómeno universal tanto en moléculas como en átomos. 11.7. Espı́n electrónico y momento magnético. Los electrones poseen un momento angular intrı́nseco, como si rotaran en torno a su propio eje, esta propiedades es llamada espı́n. Si medimos la magnitud del espı́n obtenemos 1 h siempre el mismo resultado ~ = con h = 6.624 × 10−27 [gcm2 /s]. A este momento 2 4π angular intrı́nseco le podemos asociar un momento magnético. Sin embargo, es el doble de un momento angular orbital. No tiene sentido hacer un modelo clásico de este objeto, sus propiedades son esencialmente cuánticas Momento angular −27 h = 0.05x10 g−cm2 /s 4π Carga Negativa Momento magnético −20 eh = 0.93x10 erg/gauss 4π m e c Este momento magnético asociado al espı́n se comporta tal que Produce un campo magnético el cual a distancia es el campo de un dipolo magnético. ~ externo experimenta un torque igual al que experimentarı́a un loop de corriente En un B con momento dipolar equivalente. ~ = 0 en todas partes, tal como una Dentro del espacio ocupado por el electrón, div B fuente ordinaria de campo magnético. Ya que la magnitud del momento magnético asociado al espı́n es siempre el mismo, la única cosa en que puede influir es en su dirección. Un momento dipolar magnético m ~ experimenta ~ en un campo externo B ~ tal que un torque N ~ =m ~ N ~ ×B Si los momentos asociados a los espines electrónicos en una sustancia fueran libres de orientarse, lo harı́an en la dirección de un campo aplicado, la orientación de más baja energı́a. Supongamos que cada electrón en un gramo de sustancia toma esta orientación, con los ya estimados 3 × 1023 electrones en un gramo de cualquier cosa y con el momento magnético de un electrón 0.93 × 10−20 [erg/gauss]. El momento magnético total será del orden de 11.8. SUSCEPTIBILIDAD MAGNÉTICA. 223 2700 [ergs/gauss]. La fuerza sobre nuestra muestra, en nuestra bobina con un gradiente de campo de 1700 [gauss/cm] deberı́a ser 4.6 × 106 [dinas]. Obviamente esto es mucho mayor que las fuerzas registradas para cualquiera de las muestras paramagnéticas. Nuestras suposiciones fallan en dos aspectos: Los momentos de los espines no son todos libres de orientarse. La agitación térmica previene el alineamiento perfecto de los momentos de los espines que son libres de alinearse. En la mayorı́a de los átomos y moléculas los electrones están asociados en pares, con los espines apuntados en direcciones opuestas. Lo cual cancela el momento magnético. La gran mayorı́a de las moléculas es puramente diamagnética. Una pocas moléculas contienen un número impar de electrones, tal que el momento no se cancela. (oxido nı́trico NO, 15 e− es paramagnético) La molécula de oxı́geno contiene 16 electrones, pero su estructura electrónica es tal que no permite la cancelación de los momentos magnéticos. En un átomo los electrones más internos están generalmente apareados y si hay electrones externos desapareados a menudos se aparean con los electrones de los átomos vecinos cuando forman un compuesto o cristal. Ciertos átomos contienen electrones con espines desapareados los cuales se mantienen relativamente libres para orientarse con un campo a pesar de estar empaquetados con otros átomos. Un importante ejemplo de este tipo de átomos son el hierro, cobalto y el nı́quel. Otro grupo de elementos con esta propiedad son las tierras raras en torno al gadolinio. Compuestos y aleaciones de estos elementos son generalmente paramagnéticos y en algunos casos ferromagnéticos. El número de espines electrónicos involucrados en el paramagnetismo es tı́picamente uno o dos por átomo. La agitación térmica tiende siempre a crear una distribución al azar en las direcciones de los espines. La situación es similar a la que estudiamos con dipolos eléctricos a una cierta temperatura. La fracción alineada mB/kB T , luego el momento magnético total resultante de aplicar un campo B es (N m2 /kB T )B donde N es el número de dipolos. Evaluando esto para nuestras condiciones encontramos que la fracción alineada es muy pequeña, lo que explica las diferencias con lo calculado anteriormente. Sólo a baja temperatura (1 K) la fracción alineada será significativa (cercana a la unidad). Realmente el paramagnetismo es más impresionante e interesante a muy baja temperatura, en contraste con la polarización eléctrica. Los dipolos eléctricos a baja temperatura están completamente congelados en sus posiciones incapaces de cualquier reorientación. Los momentos de espı́n electrónico están aún notablemente libres. 11.8. Susceptibilidad magnética. Hemos visto que tanto las sustancias diamagnéticas como paramagnéticas desarrollan un momento magnético proporcional al campo aplicado. Al menos esto es verdadero para la mayorı́a de las condiciones. A muy baja temperatura y con campos fuertes el momento paramagnético inducido se aproxima a un valor lı́mite cuando el campo es incrementado. Dejando de lado este efecto de saturación, la relación entre momento y campo aplicado es lineal. Tal que podemos caracterizar las propiedades magnéticas de una sustancia por la razón de momento inducido y de campo aplicado. Esta razón es llamada susceptibilidad magnética. 224 CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICOS EN LA MATERIA. Dependiendo de si nosotros elegimos 1 [g] de material o 1 [cm3 ] de material o 1 [mol], nosotros definimos la susceptibilidad especı́fica, de volumen o molar. El momento magnético por unidad de volumen es llamado polarización magnética o magnetización. Usaremos el ~ . Ambos campos, M ~ y B, ~ tienen iguales dimensiones. Si definimos la susceptibilidad sı́mbolo M magnética de volumen, denotada por χm a través de la relación ~ = χm B ~ M La susceptibilidad es un número adimensional, negativo para las sustancias diamagnéticas y positivo para las paramagnéticas. Para la contribución paramagnética, si hay alguna, a la susceptibilidad, denotemosla χpm , tenemos una expresión análoga a la del capı́tulo pasado χpm N m2 = kB T Por su puesto la susceptibilidad completa χm incluye la siempre presente contribución paramagnética, la cual es negativa. 11.9. Campo magnético causado por materia magnetizada. Un bloque de material que contiene, uniformemente distribuida a través del volumen, un gran número de momentos dipolares atómicos todos apuntado en la misma dirección, es ~ es simplemente el producto decir, uniformemente magnetizada. El vector magnetización M del número de dipolos orientados por unidad de volumen y el momento magnético m ~ de cada dipolo. No nos interesa como estos dipolos se mantienen orientados. Lo que nos interesa es el campo que producen. Consideremos primero una tajada de material con espesor dz rebanada perpendicular a la dirección de magnetización. La tajada puede ser dividida en pequeña baldosas. Cada una de las baldosas con área superficial da conteniendo un momento dipolar total M dadz. El campo magnético que produce esta baldosa en todos los puntos distantes (distantes comparados con el tamaño de la baldosa) es exactamente el mismo que producirı́a cualquier dipolo con el mismo momento magnético. Podrı́amos construir un un dipolo esa fuerza doblando una cinta conductora de ancho dz en la forma de la baldosa y haciendo circular a través de este loop una corriente I = M cdz. Tal que el momento dipolar del loop es: I M c dz m = × área = da = M dadz , c c con la misma forma de la baldosa. Substituyamos por estos loops de corriente cada baldosa en el tajada. La corriente es la misma en todos ellos y por tanto en los contornos interiores se cancela. Todos los loops son equivalentes a una simple cinta por el borde exterior conduciendo una corriente M cdz. 11.9. CAMPO MAGNÉTICO CAUSADO POR MATERIA MAGNETIZADA. M dz m área da 225 I=Mc dz dz I I I I I I Sólo queda reconstruir el bloque completo a partir de las tajadas. El bloque completo equivale a una cinta ancha por la cual fluye una corriente M cdz en cada lámina-en forma más simple la densidad superficial de corriente J viene dada por J = Mc B M B’ J=Mc ~ en cualquier punto fuera del block magnetizado es el mismo que El campo magnético B 0 ~ correspondiente a puntos en la cercanı́a de la cinta ancha con corriente el campo prima B (figura anterior). ¿Qué hay del campo dentro de la materia magnetizada? Nuevamente nos encontramos con dos campos magnéticos: uno microscópico y otro macroscópico. El campo magnético microscópico varı́a en dirección y magnitud en unos pocos ångstroms, siendo un 226 CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICOS EN LA MATERIA. campo magnético en el vacı́o desde el punto de vista microscópico. Además, tenemos un campo magnético a gran escala dentro de la materia que es un promedio espacial del campo ~ = 0. De lo anterior, se sigue, magnético microscópico. El campo microscópico satisface div B que el promedio espacial del campo microscópico interno en nuestro bloque es igual al campo ~ 0 dentro del hoyo equivalente del cilindro de corriente. Lo anterior es fácilmente externo B demostrable. ~ dentro del volumen del material no es uniforme sino que varı́a con Si la magnetización M ~ (x, y, z) la distribución de corriente equivalente viene dada por la posición M ~ J~ = c rot M 11.10. (11.3) Campo de un magneto permanente. Los materiales con magnetización permanente nos son familiares y útiles. Los magnetos permanentes se pueden ser hechos a partir de muchos compuestos y aleaciones ferromagnéticas. E P B M 11.11. ~ Corrientes libres y el campo H. A menudo es útil distinguir entre corriente ligada y corriente libre. Las corrientes ligadas son aquellas asociadas con momentos magnéticos atómicos o moleculares, incluyendo momento intrı́nseco de las partı́culas con espı́n. Las corrientes libres son corrientes de conducción ordinarias fluyendo a través de un camino macroscópico La densidad de corriente en la ecuación (11.3) es el promedio macroscópico de las corrientes ligadas, denotemosla J~ligada ~ J~ligada = c rot M ~ 11.11. CORRIENTES LIBRES Y EL CAMPO H. 227 ~ es discontinuo tal como en el lado del block magnetizado, En la superficie donde M tenemos una densidad superficial de corriente J la cual representa también corriente ligada. ~ afuera y en promedio adentro de la materia está relacionado con J~ligada , Encontramos que B pero esto es en ausencia de carga libre. Con carga libre ~ = 4π J~ligada + J~libre = 4π J~total . rot B c c Si expresamos J~ligada en términos de la magnetización ~ = rot B 4π ~ ) + 4π J~libre (c rot M c c Reordenando ~ − 4π M ~ ) = 4π J~libre . rot(B c ~ ~ ~ Si definimos un vector H(x, y, z) = B −4π M en cada punto del espacio, entonces podemos escribir ~ = 4π J~libre rot H c ~ está relacionada con la corriente libre como el campo B ~ En otras palabras el campo H ~ ~ lo está con la corriente total. Si bien div B = 0 siempre, no siempre div H es nula. El campo ~ es mucho más útil que su análogo eléctrico D ~ y tiene las dimensiones de B ~ [gauss] vectorial H ~ satisface pero se suele usar otro nombre [oersted]. El campo H I Z 4π ~ · d~s = 4π H J~libre · d~a = Ilibre c S c ~ como el campo magnético y luego B ~ =H ~ + 4π M ~ con En texto antiguos se introduce H ~ ~ el nombre de inducción magnética. Nosotros proponemos B como campo magnético y H ~ o el campo magnético H. ~ En CGS en el vacı́o no hay distinción entre B ~ como el campo H ~ ~ ~ y H y a menudo las ecuaciones de Maxwell en el vacı́o se escriben en función de E y H ~ y B. ~ En MKS rot H ~ = J~libre luego en el espacio vacı́o H ~ = B/µ ~ 0 . Si M ~ es más que en E ~ entonces también será proporcional a H. ~ De hecho, la definición tradicional proporcional a B de la susceptibilidad magnética de volumen χm no es la que hubiéramos elegido lógicamente sino ~ = χm H ~ M (11.4) ~ en algún punto dentro de la materia magnetizada, nosotros debemos Para obtener H ~ en ese punto al vector −4π M ~ . En un magneto permanente sumar vectorial-mente el campo B ~ debe ser cero en torno a un camino no hay corrientes libres, luego la integral de lı́nea de H ~ ~ cerrado. Por lo anterior, La lı́neas del campo H se verán similares a las del campo E. ~ es proporcional a H, ~ ecuación (11.4) y se cumpla Para cualquier material en el cual M ~ =B ~ − 4π M ~ H ~ =H ~ + 4π M ~ = (1 + 4πχm )H ~ , B ~ es proporcional al campo H. ~ El factor de proporcionalidad es (1 + 4πχm ), el El campo B cual es llamado permeabilidad magnética y es denotado usualmente por µ: ~ = µH ~ B 228 11.12. CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICOS EN LA MATERIA. Ferromagnetismo. El ferromagnetismo a servido e intrigado al hombre por largo tiempo. La piedra imán fue conocida desde la antigüedad (brújula). Sólo en los últimos años hemos alcanzado un entendimiento fundamental del fenómeno del ferromagnetismo. Ya hemos descrito algunas propiedades de los ferromagnetos, revisemoslas nuevamente. En un campo magnético fuerte la fuerza sobre una sustancia ferromagnética es la dirección que tira hacia el campo más fuerte, como en las substancia paramagnéticas. Más que al producto del campo por el gradiente, la fuerza es proporcional al gradiente mismo. Si el campo es suficientemente fuerte el momento magnético adquirido por el ferromagneto alcanza una magnitud lı́mite. La dirección del vector momento magnético debe aún estar controlada por el campo. De otra manera la fuerza no podrı́a actuar siempre en la dirección de incremento de la intensidad del campo. En magnetos permanentes se observa un momento magnético aún en ausencia de cualquier campo aplicado externo, además, mantienen su magnitud y dirección aún cuando se le aplican campo externos mientras ellos no sean muy intensos. El campo de un magneto permanente está siempre presente y podrı́amos pensar que él mantiene ~ no es generalmente paralela a B ~ o H. ~ Esto sugiere que el alineamiento. Notaremos que M los momentos dipolares deben estar sujetos en su dirección por algo más que puras fuerzas magnéticas. −4πM H B H = B − 4π M Las magnetizaciones observadas en materiales ferromagnéticos son mucho mayores que las de las sustancias paramagnéticas. Los magnetos permanentes tienen campos dentro de unos pocos miles de gauss. Una de las cantidades más caracterı́stica es el valor lı́mite de la magnetización, el momento magnético por unidad de volumen, el cual el material adquiere en un campo muy fuerte. Es llamada saturación de magnetización. Una sustancia ferromagnética dada pierde sus propiedades ferromagnéticas abruptamente si es calentado sobre una cierta temperatura. Si estamos hablando de hierro puro sobre 770 ◦ C actúa como una sustancia paramagnética. En el caso del Nı́quel son 358 ◦ C. Si es enfriado inmediatamente recobra las caracterı́sticas ferromagnéticas. Esta temperatura es llamada de temperatura o punto de Curie y es caracterı́stica del material. ¿Qué es este comportamiento ferromagnético, que bruscamente distingue al hierro bajo 770 ◦ C y hierro sobre 770 ◦ C?. Es un alineamiento sin campo externo en una dirección de los momentos magnéticos atómicos, lo cual implica el alineamiento de los ejes del espı́n de ciertos electrones en cada átomo de hierro. En una región suficientemente grande en el hierro que contiene millones de átomos, los espines y momento magnéticos de aproximadamente todos los átomos están apuntando en la misma dirección. Bajo el punto de Curie – a temperatura ambiente en el caso del hierro – el alineamiento es cercano al perfecto. Si pudiéramos ver en el interior de un 11.12. FERROMAGNETISMO. 229 cristal de hierro metálico y ver los momentos magnéticos elementales como pequeñas flechas verı́amos algo como. . . No es muy sorprendente que la alta temperatura destruya este arreglo. La energı́a térmica es enemiga del orden. Un cristal, un arreglo ordenado de átomos, cambia a un lı́quido, un arreglo mucho menos ordenado, bruscamente a una temperatura definida, el punto de fusión. El punto de fusión tal como el punto de Curie son diferentes para diferentes sustancias. Algunas preguntas que me surgen: ¿Qué hace a los espines alinearse y mantener la alineación? ¿Cómo, si no hay campo externo presente, pueden los espines elegir una dirección más que otra? Si los momentos magnéticos están todos alineados ¿por qué no todas las piezas de hierro a temperatura ambiente no son un imán fuerte? Respuesta 1: Por alguna razón conectada con la M.C. de la estructura del átomo de hierro, es energéticamente favorable a los espines de átomos adyacentes de hierro estar paralelos. Esto no es debido a interacción magnética. Es un efecto fuerte que favorece los espines paralelos tanto ↑↑ como →→. La interacción dipolar no trabaja ası́. Como los átomos en la vecindad tienen una fuerte tendencia a tener la dirección de sus vecinos, esta se hará unánime rápidamente. Respuesta 2: En forma accidental se determina cual de las varias direcciones equivalente en el cristal es elegida, si comenzamos de un estado desordenado. El hierro tiene estructura cristalina bcc, es decir, con 8 primeros vecinos. Si enfriamos hierro a través de su punto de Curie sin campo externo. Hay direcciones más favorables de magnetizarse y otras no tanto. z Direcciones de fácil magnetización Mediana Dura x y 230 CAPÍTULO 11. CAMPO MAGNÉTICOS EN LA MATERIA. Respuesta 3: Un pedazo de hierro aparentemente desmagnetizado está realmente compuesto por muchos dominios. En los cuales los espines están todos alineados de una sola manera pero en una dirección diferente al dominio vecino. Al promediar sobre la pieza, todas las direcciones están presentes y a gran escala no hay campo. Los dominios son usualmente microscópicos, incluyendo ∼ 1012 momentos magnéticos y están presentes incluso en cristales puros. Si enrollamos una espira de alambre sobre una barra de hierro, aplicamos un campo magnético al material al hacer pasar corriente por el alambre. Los momentos paralelos al campo tendrán menor energı́a que los orientados en otra dirección, esto favorecerá unos dominios respecto de otros, los favorecidos comenzaran a crecer por sus contornos a expensas de los vecinos. Esto sucede más fácilmente en un cristal puro que un un policristal (bordes de grano). Si el campo aplicado no está en la direcciones de fácil magnetización habrá dominios que no apuntan exactamente en la dirección del campo. De ser necesario un campo muy intenso para alinearlos todos en la dirección del campo y tener finalmente tener magnetización máxima. Busquemos consecuencias macroscópicas de lo anterior. Como aparecen los comportamientos magnéticos de una pieza de hierro bajo diferentes campos aplicados. Un arreglo experimental posible es un toro de hierro con dos bobinas, veamos el diagrama I H N vueltas Al galvanometro ~ dentro del Midiendo el voltaje inducido determinamos el flujo y por ende el campo B ~ = 4πN I/c×circunferencia. Conocido B ~ y H ~ hierro. La corriente establece un campo H ~ podemos determinar M , B, en gauss 11.12. FERROMAGNETISMO. 231 Fierro H, en oersteds La curva B − H está gobernada por el movimiento de los dominios. Al volver lentamente hacia atrás con el campo la curva no vuelve sobre sı́ misma. Esta irreversibilidad es conocida como histéresis y es debida principalmente a la irreversibilidad parcial del movimiento de los dominios. Si apagamos la bobina cuando está en el máximo nos quedamos con un ~ y magnetización. Las aleaciones que adquieren magnetización permanente y sólo son campo B expuestas a campos débiles esta magnetización persiste indefinidamente. Toda la información almacenada en cintas magnéticas y discos duros obedece a este fenómeno.

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