Oscilaciones de Relajación en Dinámica No Lineal: Depredación

Mecánica Computacional Vol XXVII, págs. 2411-2417 (artículo completo)
Alberto Cardona, Mario Storti, Carlos Zuppa. (Eds.)
San Luis, Argentina, 10-13 Noviembre 2008
OSCILACIONES DE RELAJACIÓN EN LA DINÁMICA NO LINEAL
DE LA DEPREDACIÓN ENTRE SISTEMAS
Ferreyra, R. Ta,b, Fogliato, Eb , Ferreyra, M. Ab , García, Sandraa
a
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Universidad
Nacional de Córdoba, Avenida Vélez Sarsfield 1601, 5000 Córdoba, Argentina,
[email protected], http://www.efn.uncor.edu
b
Grupo de Análisis No Lineal de Oscilaciones en Sistemas Discretos, Facultad de Ciencias Exactas,
Físicas y Naturales. Universidad Nacional de Córdoba, Avenida Vélez Sarsfield 1601, 5000 Córdoba,
Argentina,
[email protected], http://www.efn.uncor.edu
Palabras Clave: Interacción asimétrica, Contracción, Relajación, Depredación.
Resumen. Se proporciona un modelo para la dinámica de la depredación de sistemas que
interaccionan en competencia donde uno de ellos cumple un rol protagónico en el sentido de
interactuar en forma asimétrica por tener la propiedad de autodegradación. El modelo que se propone
incluye propiedades másicas, elásticas y de disipación y se realiza a través de un oscilador
amortiguado no lineal. Esta alternativa se fundamenta en el análisis dinámico de un sistema
oscilatorio con términos fuertemente no lineales en velocidad, que evoluciona bajo condiciones de
carga e iniciales que le son propias. Finalmente, la respuesta se investiga para facilitar la predicción
aproximada, el análisis y la interpretación de las oscilaciones de relajación que describen la
evolución del sistema.
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R.T. FERREYRA, E. FOGLIATO, M.A. FERREYRA, S. GARCIA
INTRODUCCIÓN
El objetivo de este trabajo es contribuir con un modelo de validez multidisciplinaria que
resulte natural a la experiencia y que vislumbre un amplio rango de aplicaciones si se
considera que las interacciones no lineales con frecuencia no son simétricas. Para ello se
asume la validez de propiedades globales de sistemas evolutivos como el almacenamiento y
disipación de energía, la propiedad de inercia y la de autodegradación. Si bien no se
pretende dar una contribución en ecología, ni en etología, ni en la dinámica de poblaciones, la
vinculación de esas disciplinas con el modelo oscilatorio no lineal que se presenta es
apreciable.
El problema oscilatorio que se estudia y resuelve como ejemplo se puede encuadrar dentro
de una familia de modelos ecológicos de sistemas en competencia, Murray (1970). Este
modelo representa a una comunidad con dos poblaciones, N y P, que compiten porque la
cantidad de recursos es limitada. La ley de crecimiento de cada población en forma aislada se
asume exponencial. Además, se asume que la población N presenta un comportamiento
autodestructivo cuyo modelo se establece a partir de términos con exponentes impares como
una opción posible. En la ecuación del modelo, ∈ es un parámetro de control y K un número
entero, ( véase (1)).
dP
⎛
⎞
− ∈ N 2 K +1 ⎟
N + P− ∈
⎛ dN
dt ⎞
⎜
.
dt
⎜ dP ⎟ = ⎜
⎟
∈
⎜
⎟
⎝ dt ⎠
−N
⎝
⎠
(1)
En virtud de conocer la naturaleza oscilatoria del problema y de la posibilidad de
replantear los sistemas diferenciales de primer orden en variables de estado como sistemas de
segundo orden en fuerzas, el modelo se describe mediante propiedades másicas, elásticas y
de disipación de la misma forma que se haría con un oscilador amortiguado no lineal. Desde
este punto de vista, el modelo permite reconocer que los sistemas en interacción poseen
capacidad de almacenar energía y liberarla y predice la existencia de un ciclo límite como
sucede en sistemas ecológicos reales. En términos de fuerzas, (véase (2)), se rescribe el
modelo ecológico como un oscilador
d2 p
dt 2
donde t es el tiempo, P ,
dp
dt
+
dp
dt
+p=
dp
dt
dP
(1+ ∈) − ∈ ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ dt ⎠
2 K +1
(2)
2
, ddt 2p , son el número de individuos de la población y sus derivadas
primera y segunda. El segundo miembro de la ecuación, por otro lado, agrupa fuerzas no
lineales dependientes de la velocidad. El modelo permite también describir la interacción
dinámica de las poblaciones mediante oscilaciones de relajación. Las oscilaciones de
relajación se asocian a la dinámica de sistemas fuertemente no lineales y se puede dar en una
inmensa cantidad de escenarios. Su exploración gráfica en tiempo y frecuencia, permite
conocer propiedades específicas del sistema como amplitudes, frecuencias y períodos
asociadas a degradaciones y restauraciones de interés para la predicción de la evolución de
las interacciones asimétricas entre sistemas.
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Mecánica Computacional Vol XXVII, págs. 2411-2417 (2008)
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MODELO ECOLÓGICO OSCILATORIO
El modelo se obtiene a partir de las leyes de crecimiento exponencial de cada subsistema o
población en forma aislada y de la ley de competencia, (véase (3)), donde aparece C
como una constante
⎛ dN
⎞ ⎛N⎞
dt
⎜ dP ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ∈ dt ⎟ = ⎜ P ⎟
⎜ N + P⎟ ⎜C ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
(3)
El modelo ecológico, (véase (4)), que se deduce de las leyes anteriores, no permite la
existencia de un ciclo límite en el espacio (N-P), ni considera la autodegradación de una
de las poblaciones. Por el momento, la influencia de P sobre N y de N sobre P es
recíproca, aunque no es simétrica si ∈≠ 1
dP ⎞
⎛
⎛ dN
N + P− ∈
dt ⎞
⎜
dt ⎟
⎜ dP ⎟ = ⎜
⎟⎟
⎝ dt ⎠ ⎜
−N
⎝
⎠
(4)
La inclusión de un modelo de autodegradación se efectiviza introduciendo no linealidades
que, además de explicar la propia degradación de N, se relacionan con el amortiguamiento
negativo que es responsable del ciclo límite en la respuesta no lineal.
dP
⎛
⎞
N + P− ∈
⎛ dN
− ∈ N 2 k +1 ⎟
dt ⎞
⎜
=
dt
⎜ dP ⎟ ⎜
⎟⎟
⎝ dt ⎠ ⎜
N
−
⎝
⎠
(5)
El modelo planteado, (véase (5)), representa a una población P, con crecimiento aislado
exponencial y contenida en N + P, que compite por los recursos con N, también con
crecimiento exponencial. A su vez, se propone que N posea propia degradación de carácter
no lineal, N 2 k +1 , donde 2k+1 es un entero impar.
El modelo análogo dinámico, en términos de masa, resorte, amortiguador para la
población P, (véase (6)), se puede apreciar en la figura (véase 1) .
d2 p
dt 2
−∈
dp
dt
⎛ dP ⎞
+ p = −∈⎜
⎟
⎝ dt ⎠
2 k +1
(6)
El modelo se puede interpretar como de dos grados de libertad si se consideran ambas
poblaciones, N y P. Sin embargo, el problema se desacopla tanto en el análisis como en la
resolución y se puede reducir a un grado de libertad. En lo sucesivo, la descripción del
problema se limita a la población P.
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R.T. FERREYRA, E. FOGLIATO, M.A. FERREYRA, S. GARCIA
Figura 1: Osciladores No Lineales : a) Poblaciones N-P
b) Población P.
Se reconoce de esta forma que los sistemas en interacción poseen inercia, disipación y
capacidad de almacenar energía y liberarla. Naturalmente, la predicción de tipo exponencial
se obtiene como respuesta particular del oscilador amortiguado sin términos elásticos.
3
ANÁLISIS DE RESPUESTA
El oscilador desarrollado permite describir la dinámica de la población P (o N), que
interacciona en competencia asimétrica ya que N posee la propiedad de auto-degradación. Se
encuentran oscilaciones de relajación asociadas a términos fuertemente no lineales. Este tipo
de oscilaciones pueden ocurrir en una inmensa cantidad de escenarios.
Las gráficas de la respuesta, repiten la forma con ligeras variaciones para distintos valores
de K, pero se representan para K=1 por su analogía con el oscilador asociado a la ecuación de
Rayleigh o de van der Pol, véanse otras aplicaciones en Nayfeh y Mook (1979), usualmente
utilizado para describir oscilaciones auto-excitadas.
Se hace (U , V ) = ( N , P ) en (5) y (6), y se resuelve con (U 0 ,V0 ) = ( 0, 0.1) en casos a), b)
y c) y
(U 0 ,V0 ) = ( 0, 20)
(U ,V ) = ( N − N0 , P − P0 ) ,
en d), para distintos valores de ∈ . Luego, se interpreta
(véase 2), con N 0 y P0 como poblaciones iniciales.
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Figura 2: Planos (U-V) para a) ∈= 10 , b) ∈= 1 , c) ∈= 0.1 y d) ∈= 0.01 .
En casos a), b) y c) el sistema tiene un estado energético inicial bajo y evoluciona a estados
superiores estabilizándose en un ciclo límite. En el caso d), deliberadamente se introduce un
estado energético inicial muy elevado, P0 = 20 , y el sistema evoluciona disipando energía
hasta mantenerse en un ciclo límite, donde se estabilizan las poblaciones alrededor de valores
estacionarios de N y P . También se representa (V-t) para el mismo conjunto de valores de
∈ y el mismo conjunto de condiciones iniciales, (véase 3). En este caso, es posible reconocer
oscilaciones de relajación para ∈= 10 . Se distingue en el grafo un intervalo de contracción y
otro inmediatamente siguiente de relajación que cierra el período y se repite en forma
indefinida. La propiedad de relajación se asocia al término N 2 k +1 con k = 1 para la
representación realizada.
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R.T. FERREYRA, E. FOGLIATO, M.A. FERREYRA, S. GARCIA
Figura 3: Planos (P-t) para a) ∈= 10 , b)
∈= 1 , c) ∈= 0.1 y d) ∈= 0.01 .
El modulo de la transformada de Fourier de la respuesta en frecuencia, (véase 4), permite
recorrer las frecuencias involucradas en la respuesta no lineal. Se observa que para ∈= 10 y
∈= 1 hay más de una frecuencia con participación apreciable.
Figura 4: Planos (V-w) para a) ∈= 10 y
b) ∈= 1 .
Por la comparación de los casos ∈= 10 y ∈= 1 se detecta un corrimiento del pico
principal hacia la derecha a medida que ∈ disminuye de 10 a 1. El aumento de la autodegradación de N se traduce en un aumento de la capacidad de almacenar energía de P.
También se aprecia la desaparición de picos secundarios a medida que ∈ decrece. Se dibujan
los argumentos de la transformada de Fourier en función de la frecuencia, plano (A-w), para
casos ∈= 10 y ∈= 1 , donde se verifica la correspondencia con picos del valor absoluto y una
mayor sensibilidad, (véase 5).
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N
N
2417
N
Figura 5: Planos (A-w) para a) ∈= 10 , b)
∈= 1 .
La exploración analítica y gráfica implementada en frecuencia para el análisis no lineal de
las oscilaciones de relajación permite determinar con facilidad el período o intervalo de
tiempo entre degradaciones sucesivas con una restauración o regeneración intermedia. Este
tiempo entre deterioros resulta de interés en la predicción cuando el modelo representa en
forma efectiva al sistema.
.
4
CONCLUSIONES
Se propone un nuevo modelo para la interpretación y predicción aproximada de la
dinámica de la atrición entre sistemas en competencia donde uno de ellos presenta
propiedades de auto-degradación. El modelo continuo, se ubicó sólo a los fines comparativos,
en el marco de la teoría de la dinámica no lineal de interacción entre poblaciones de seres
vivos.
Se consideró, que la posibilidad de acumular energía y liberarla con cierta periodicidad,
haciendo énfasis en la naturaleza oscilatoria, constituye una alternativa válida para explicar la
competencia asimétrica que se produce cuando uno de los competidores se auto-degrada.
El modelo es realista en el sentido de hacer posible la existencia de un ciclo límite en el
plano (N-P) y también porque para ciertos valores del parámetro de control ∈ se evidencian
oscilaciones de relajación.
Finalmente, se interpreta que el modelo presentado proporciona una herramienta auxiliar
en el análisis y predicción aproximada temprana de evolución de poblaciones que degradan
en competencia o de sistemas evolutivos que interaccionan en forma asimétrica.
REFERENCES
Murray, J. D. Mathematical Biology. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1993.
Nayfeh A. H., Mook, D.T. Nonlinear Oscillations. John Wiley & Sons, Inc., Blacksburg,
Virginia, 1979.
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