Secuencia de matemática 3º Bimestre Múltiplos y divisores Números: Divisibilidad ✓ Clasificación de números en primos y compuestos. ✓ Expresión de un número natural como producto de números primos. Operaciones: Resolución de situaciones que impliquen: ✓ Suma, resta, multiplicación y división con números naturales. En distintos contextos, atendiendo a los diversos sentidos de estas operaciones. Elaboración de enunciados que se correspondan con las operaciones dadas. Cálculo mental y escrito con polidígitos. ✓ Resolución de problemas utilizando múltiplos y divisores, entre ellos el múltiplo común menor y el divisor común mayor de varios números, con distintas estrategias. ✓ Uso de la relación entre dividendo, divisor, cociente y resto en la resolución de problemas. ✓ Resolución de problemas aplicando criterios de divisibilidad por 5,10, 100,2y 3para establecer relaciones entre números, anticipar resultados y simplificar. Lineamiento: Cálcular en forma exacta y aproximada, mentalmente, por escrito, multiplicaciones por polidígitos y divisiones por bidígitos con distintos procedimientos, incluyendo los algoritmos convencionales. Utilizar los conceptos de divisor y múltiplo de un número y relaciones de divisibilidad para resolver problemas y operar. ACTIVIDAD Nº: 1 Se planteara la siguiente situación problemática. (trabajo grupal) 1)- Malena, Melina y Milena son trillizas. Su tío Ricardo recordó que hoy cumple años Malena y, claro, tambièn Melina y Milena. En la feria artesanal compró 13 pulseritas de colores y 6 anillos de fantasía. a)¿Podrá el tío Ricardo repartir entre sus sobrinas todas las pulseritas que compró, de manera tal que cada una tenga la misma cantidad de pulseritas? ¿por qué? b)- ¿Se pueden repartir todos los anillos en partes iguales entre las trillizas? Si es así,¿cuántos le dará a cada una? c)- En la fiesta de cumpleaños de las trillizas, su mamá preparó 3 tortas. Si en cada una colocó 10 velitas, ¿Cuántas velitas hubo en total? d)-Las chicas invitaron al cumpleaños a 6 amigos. El tío Ricardo, que es dueño de un kiosco, llevó en una bolsa 261 caramelos. ¿ puede repartir todos los caramelos en partes iguales entre los 9 chicos? e)- En caso de que pueda repartir los caramelos, ¿cuántos recibirá cada chicos? Puesta en común. Comparación de los distintos cálculos que realizaron y discutir sobre los procedimientos más adecuados o más económicos. Actividad nº 2 Múltiplos de un número 1)-Se presentara el siguiente juego: reunidos de a cuatro, jugaran cinco vueltas. -Para este juego sólo van a necesitar lápiz, papel y dados. Lean las instrucciones El juego de los múltiplos: Se tira el dado dos veces y se multiplican los números obtenidos. Sentados en ronda, y por orden, cada jugador tiene que ir nombrando los múltiplos de ese número hasta 120 (no es necesario decir el 0 ). El que se equivoca o tarda en responder tiene un puntoy sigue el otro jugador. El que se pasa de 120 también obtiene un punto. Al llegar al límite de 120, se vuelve a tirar los dados. Tengan en cuenta las sguientes reglas: El que llega a los tres puntos tiene una prenda. Si salen los dos 1, se tira de nuevo. Vale ayudarse con lápiz y papel para calcular. Ejemplo: en la primera vuelta que jugó la familia de luis, salieron el 2 y el 3. Por lo tanto, había que nombrar múltiplos de 6 (2.3 = 6). 2)- Escriban en la carpeta los números que salieron y los múltiplos que encontraron. 3)--Leer las siguientes situaciones problemáticas a)-Una florista tiene doce claveles con los que quiere formar varios ramos con el mismo número de claveles cada uno. ¿de cuántas maneras los podrá formar?¿Cuáles son los divisores de doce? b)-Manuel necesita comprar algunos porta discos compactos para guardar su colección. El vendedor le ofreció un modelo que tiene capacidad para seis discos. -Si Manuel tiene 50 disco, ¿Cuántos porta discos tiene que comprar para que le sobre la menor cantidad posible? ¿Cuántos discos quedan sueltos? - ¿Cuántos discos le faltan para completar otro porta discos? ❖ Realizamos la puesta en común. ❖ Conceptualizamos. Los múltiplos de un número contienen a este número una cantidad exacta de veces. Los múltiplos de un número cualquiera los podemos obtener, comenzando desde cero, multiplicando el número por los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5…. -Calculemos, por ejemplo, los 10 primeros múltiplos de 3, 5 y 7; para ello multiplicamos cada uno de estos tres números por los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8… Lo hacemos entre todos en el pizarrón. Practicamos lo aprendido!!! Busco los múltiplos de 2, 4, 6, 7, 9, 11, y 15 • Múltiplos de 2 = 2, 4, 6, 8,10… • Múltiplos de 4 = 4, 8, 12, 16… • Múltiplos de 6 = 6, 12, 18, 2 ACTIVIDAD Nº 3 1)- Más juegos con lápiz y papel. El tutti frutti de los múltiplos y devisores Se tira el dado dos veces y se suman los dos números obtenidos. Cada participnte al mismo tiempo debe escribir, en 30 segundos, números que puedan ser divididos en forma exacta por el número obtenido. Presten atención al ejemplo:si obtienen un 5 y un 4, tienen que escribir todos los números que puedan de los que 9 sea el divisor. Para calcular el puntaje, cada participante se anota un punto por cada número que sólo escribió él y medio punto por cada número anotado también por los compañeros. -Escribir en la carpeta los resultados. -leer el problema y luego resolver.Tengan en cuenta que para esté problema no hay una única respuesta. Conceptualizamos: Un número es divisor de otro cuando lo divide en forma exacta. Por ejemplo: 2 es divisor de 4, porque 4 : 2 = 2 y el resto es 0. 5 es divisor de 15 , porque 15 : 5 = 3 y el resto es 0. Un número es divisible por otro cuando al dividirlo por ese número, el resto da 0 . Por ejemplo: 15 es divisible por 5 porque 15 : 5 = 3 y el resto es 0. 4 es divisible por 2 porque 4 : 2 = 2 y el resto es 0 Actividad nº 4 Criterio de divisibilidad 1) Sebastián está ayudando a su tío en la verdulería. Tiene que acomodar, en 9 estantes, 117 naranjas que están en la cajas. a)-¿Es posible ubicar las naranjas en los 9 estantes de modo que en cada estante haya la misma cantidad de naranjas? ¿Pueden darse cuenta sin dividir? b) En caso de que pueda ubicárselas, ¿cuántas habrá en cada estante? 2) Relacionen con flechas cada número con las frases de la derecha. De un número puede salir más de una flecha. 412 Es divisible por 3. 2.415 Es divisible por 4. 717 Es divisible por 5. 3)Escriban tres números de cuatro cifras que sean divisibles por 3 pero no por 9. 4)Determinen cuáles de los siguientes números son divisibles por 10 y cuáles por 100. Si el número es divisible por 6, ¿cuál es el dígito que falta? ¿Hay más de una posibilidad? Escriban todas las posibilidades. 5) Escriban tres números de cuatro cifras que sean divisibles por 4 y por 5 a la vez. 6) Los números divisibles por 4 y por 5 a la vez son divisibles por 20. Sabiendo esto, escriban todos los números mayores que 400 y menores que 500 que sean divisibles por 4 y por 5 a la vez. 7) Una ayuda para resolver. Actividad resuelta. 1-¿Cómo podemos determinar si un número es divisible por 7? Por ejemplo, ¿378 es múltiplo de 7? Para estudiar: Para saber si un número es divisible por otro, podemos seguir alguno de estos criterios: Es divisible por: 2 3 4 5 6 9 10 Si…. …termina en 0, 2, 4, 6, u 8 (por ejemplo : 142.998). …la suma de los valores de sus cifras es 3 o múltiplo de 3 (por ejemplo: 123, porque 1+2+3 = 6, que es múltiplo de 3). …sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4 (por ejemplo: 720, porque termina en 20, que es múltiplo de 4). …teina en 5 o 0 ( por ejemplo: 345.1260). …es divisible al mismo tiempo por 2 y por 3 (por ejemplo: 450, ya que es divisible por 2 porque termina en 0 y por 3 porque 4+ 5+0 + 9). … la suma de sus cifras da 9 o múltiplo de 9 (por ejemplo: 351, porque 3+5+1 = 9). …termina en 0 (por ejemplo: 160. 890). Activiad nº 5 1) Leer con mucha atención. Luego respondan a las preguntas. Base I: Vertical. Base II: Salto en el lugar. Base III: Flexiones. Base IV: Rol adelante. 2)- Escriban los cinco primeros números naturales que son múltiplos de 2 y de 5 a la vez. 3) Encuentren todos los divisores de 30. Actividad nº 6 Minimo común múltiplo 1)-Leer el problema. ¿cómo ayudarian a mariana? 2)En un edificio de 20 pisos hay dos ascensores que están en la planta baja. Algunas personas suben al ascensor I, y otras, al ascensor II. Del ascensor I salió 1 persona cada 4 pisos, y del ascensor II salió una persona cada 3 pisos. a) ¿En qué pisos bajaron personas del ascensor I y en qué pisos bajaron del ascensor II? Pisos en los que bajaron personas del ascensor I: ………………………………………………………………… Pisos en los que bajaron personas del ascensor II:……………………………………………………………….. b) ¿Cuántas personas entraron en la planta baja en cada ascensor? Ascensor I: Ascensor II: c) ¿En qué piso bajaron personas de los dos ascensores? 2) Completen la siguiente tabla. 3) a) b) c) Busquen el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números. 4 y 5…………………………………….. d) 2 y 8…………………………………………… 6 y7………………………………………. e) 1 y 3………………………………………….. 9 y 12…………………………………….. f) 4 y 14………………………………………… 4) Vanina está engripada y tiene mucha tos. El médico le recetó un jarabe que debe tomar cada 4 horas, y un analgésico que debe tomar cada 6 horas. Si comienza tomando los dos medicamentos a las 10 de la mañana, ¿cuántas horas deberán pasar para que vuelva a tomarlos juntos? ¿A qué hora lo hará? 5)-Se ha organizado en el colegio un campeonato de fútbol y otro de voleibol, de manera que se celebra un partido de fútbol cada 3 días y uno de voleibol cada 4 días. Si hoy se ha celebrado un partido de ambos deportes, ¿dentro de cuántos días volverán a coincidir? Momento de conceptualizar. El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor de sus múltiplos comunes. Se escribe abreviadamente: m.c.m. ¿CÓMO CÁLCULAMOS EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS NÚMEROS? Para calcular el mínimo común múltiplo de dos números naturales, por ejemplo 12 y 15, seguimos los pasos siguientes: 1- Hallamos los múltiplos de uno de los números, por ejemplo del 12; para ello lo multiplicamos por los números naturales 1,2,3,4,5,6,7,8……. 2- Hallamos los múltiplos de otro número, el 15, multiplicándolo por los números naturales 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8….. 3- Comparamos los múltiplos de uno y otro número, y vemos los que tienen en común: 60, 120…. 4- El menor de ellos es 60. Por tanto: m.c.m. (12,15) = 60 Siguiendo los mismos pasos y practicar hallamos: a) m.c.m. (2, 5); b)m.c.m. (4, 6); c) m.c.m. (10,15), y d) m.c.m. (9, 21), que aparecen en la tabla siguiente. a- Múltiplos de 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12…… Múltiplos de 5 = 5, 10, 15…. M.c.m. (2, 5) = 10 b- Múltiplos de 4 = 4, 8, 12, 16…. Múltiplos de 6 = 6, 12, 18…. M.c.m. (4, 6) = 12 c- Múltiplos de 10 = 10, 20, 30, 40….. Múltiplos de 15 = 15, 30, m.c.m. (10,15) = 30 d- Múltiplos de 9 = 9, 18, 27, 36, 45, 54, múltiplos de 21 = 21, 42, m.c.m. (9, 21) = 63 Actividad nº 7 Resolvemos problemas con M.C.M. Utilizamos el minimo común múltiplo en problemas en los que hay que hallar una cantidad que sea un múltiplo común de otras dos o más cantidades, y que además sea el menor de entre ellos. (Veamoslo con un ejemplo.) 1. Carlos va cada tres dias a la piscina a nadar, mientras que pedro va cada cuatro. Si han coicidido hoy, ¿dentre de cuántos dìas se volverarán a encontrar? ¿y cuándo coincidirán por tercera vez? Hemos de cacular el minimo común múltiplo de 3 y 4: ▪ ▪ Múltiplos de 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24….. Múltiplos de 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24….. Por tanto: m.c.m. (3, 4) = 12 Volverán a encontrarse en la piscina dentro de 12 días. Y la tercera vez que coincidirán será dentro de 24 días. ¿Sabrías decir dentro de cuánto días coincidarán por cuarta vez? ¿ y cuándo será su quinto encuentro. 2. En el árbol de Navidad ponemos bombillas de colores; rojas, azules y amarillas. Las rojas se encienden cada 10 segundos, las azules cada 15 segundo y las amarillas cada 8 segundos. ¿Cada cuántos segundos coincidirán todas encendidas? ¿Cuántas veces lucián todas juntas a lo largo de una hora? Actividad nº8 1)-En el colegio se está organizando una jornada de lectura de cuentos. Los alumnos de 7º año les van a leer cuentos a los alumnos más chicos. Se armaron dos grandes grupos: el grupo A, formado por los alumnos de 1º, 2º y 3º año, y el grupo B, formado por los alumnos de 4º, 5º y 6º año. En el grupo A hay 64 alumnos en total; en el B hay, en total, 56 alumnos. A cada uno de los grupos A y B se los quiere dividir, a su vez en pequeños grupitos ubicados en distintos lugares del colegio. a) ¿De cuántos alumnos pueden ser los grupitos correspondientes al grupito A? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ... b) ¿De cuántos alumnos pueden ser los grupitos correspondientes al grupo B? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ….. c) Los chicos de 7º año sugirieron que convenía que todos los grupitos tuvieran la misma cantidad de alumnos. Si esto se llevará a cabo, ¿cuántos alumnos tendría, entonces cada grupito? Escriban todas las posibilidades. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …… d) Dado que en 7º no hay tantos alumnos como para repartirse en el en los grupitos de lectura, la maestra de 5º propuso que tuvieran igual cantidad de alumnos, pero que esa cantidad fuera la mayor posible. Si la propuesta de la maestra fuese aceptada, ¿Cuántos alumnos integrarían cada grupito? e) Si se armaran los grupitos como propuso la maestra de 5º año, ¿Cuántos de estos serían del grupo A y cuántos del B? 2) Completen la siguiente tabla. • Hallen los siguientes números. 3) Hallen los siguientes números. a. mcd (30; 36) = b. mcd (14; 42) = c. mcd (32; 12) = Actividad nº 9 1)- LEEMOS PARA INFORMARNOS El estudio de los números primos fue un tema de interés desde tiempos muy antiguos. Hace aproximadamente 2.300 años, un matemático griego llamado Erastóstenes, desarrolló un método que permite encontrar números primos. Este método es conocido como la “Criba de Erastóstenes”. a) Para construir la criba de Erastóstenes con los primeros 100 números, observen la siguiente tabla y sigan estos pasos. 1º paso: pinten en la tabla el casillero que ocupa el número 1 y todos los múltiplos de 2, pero sin pintar el 2. 2º paso: los múltiplos de 3 que no estén pintados, pero sin pintar el 3. 3º paso: pinten los múltiplos de 5 que no estén pintados, pero sin pintar el 5. 4º paso: pinten los múltiplos de 7 que no estén pintados, pero sin pintar el 7. b)Escriban todos los números que quedaron sin pintar. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… c)¿Cómo se llaman los números que recién escribieron? …………………………………………………………………………………………………… 2)El 2 es un número primo y es par. ¿Puede haber algún otro número primo que también sea par? Expliquen por qué. 3)Todos los números compuestos pueden escribirse como una multiplicación de números primos. Por ejemplo, el número 70 se puede escribir como una multiplicación entre los números primos 2, 5 y 7, de la siguiente manera: 70 2 x 5 x 7. a)-Escriban los siguientes números como una multiplicación de números primos.
