INTEGRAL DEFINIDA
1) Integrales
Impropias
con
Límites
Infinitos y Finitos.
2) Criterios de Convergencia de Integrales
Impropias
CURSO: ANALISIS MATEMATICO II
Mg. Miguel Chumpitaz C
Excelencia Académica para un mundo globalizado
Hasta ahora, en nuestro estudio del área bajo la
curva mediante la integral definida hemos
sobreentendido que:
1. Los límites de integración son finitos.
2. La función f(x) es continua en [a,b] o bien es
acotada en ese intervalo, si f(x) es discontinua.
Cuando se elimina alguna de estas dos
condiciones, se dice que la integral resultante es
una integral impropia.
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INTEGRALES IMPROPIAS
Vamos a extender el concepto de integral definida
para los siguientes casos:
A) Cuando los limites de integración son infinitos o
el intervalo de integración es infinito.
B) Cuando la función no está acotada en [a,b], es
decir la función f presenta una discontinuidad
infinita en [a,b].
“Las integrales que responden a algunos de estos dos casos se llaman
Integrales Impropias.”
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INTEGRALES IMPROPIAS
• Existen dos tipos de integrales impropias:
– Integrales con límites de integración infinitos.
2
(
x
5
)
dx
5
– Integrales que se vuelven infinitas en algún
número del intervalo de integración.
1
dx
2 x 2
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Tipo 1: INTERVALOS INFINITOS.
El área de la región que esta bajo la curva es:
A(t )
t
t
1
1
dx 1
2
x 1
t
1 x
1
y
A(t) <1, sin importar que tan
grande sea t
1
x2
Área = 1
1
lim A(t ) lim 1 1
t
t
t
x
t
1
1
2
dx lim
t
x
1
2
dx
x 1
1
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Definición 1.1:
Si existe
t
a
f ( x ) dx para todo número
a
ta
, entonces:
t
f ( x ) dx lim f ( x ) dx
t
1
Siempre y cuando exista este límite.
Si existe el límite decimos que la integral impropia es convergente.
Si no existe el límite decimos que la integral impropia es divergente.
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Definición 1.2:
Si existe
b
f ( x) dx para todo número t b , entonces
t
b
b
f ( x )dx lim f ( x )dx
t
t
Si existe el límite decimos que la integral impropia es convergente.
Si no existe el límite decimos que la integral impropia es divergente.
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Definición 1.3:
Si
a
f ( x ) dx y
a
f ( x ) dx son convergentes, entonces
f ( x )dx
a
f ( x )dx f ( x )dx
a
Es convergentes, caso contrario se dice que es divergente.
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Tipo 2: INTERVALOS DISCONTINUOS
El área de la región es:
A(t )
5
2
5
1
dx
dx lim
t 2
x2
x2
t
5
lim 2 x 2 2 3
t 2
t
2
5
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Definición 2.1:
Si f es continua en a; b y discontinua en b
b
a
t
f ( x )dx lim f ( x )dx
t b
a
Siempre y cuando exista este límite.
Si existe el límite decimos que la integral impropia es convergente.
Si no existe el límite decimos que la integral impropia es divergente.
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Definición 2.2:
Si f es continua en a; b y discontinua en a
b
a
b
f ( x )dx lim f ( x ) dx
t a
t
Siempre y cuando exista este límite.
Si existe el límite decimos que la integral impropia es convergente.
Si no existe el límite decimos que la integral impropia es divergente.
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Definición 2.3:
Si f tiene una discontinuidad en c y a < c < b, y si son
convergentes tanto
Como
c
a
b
c
f ( x ) dx
f ( x ) dx por definición:
b
a
f ( x )dx
c
a
b
f ( x )dx f ( x )dx
c
Es convergentes, caso contrario se dice que es divergente.
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CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Teorema de comparación
Sean f y g funciones continuas y f ( x ) g ( x ) 0 cuando x a
a) Si
f ( x) dx
es convergente, entonces
a
b) Si g ( x) dx es divergente, entonces
a
g ( x) dx
es convergente.
a
f ( x) dx es divergente.
a
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Ejemplo:
Determine si la integral es convergente o divergente?
1
1
dx
x
1
1 x 2 dx
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PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son convergentes o
divergentes, en caso de ser convergente, determine su valor.
1
dx
x
1
1
x
1
1
1
1
dx
2
x
dx
x
1
x
1
3
dx
1
2
dx
x
1
p
dx
1
1
x
1
1
3
dx
x
1
p
dx
1
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PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son convergentes o
divergentes, en caso de ser convergente, determine su valor.
x dx
2
0
0
e
x
x
dx
1
dx
4 x 3
1 x
1
x
0
dx
1
1
0
4
2
dx
e x dx
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PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son convergentes o
divergentes, en caso de ser convergente, determine su valor.
1
3
dx
1 x
0
0
1
dx
x 1
0
2
2
4
dx
1 x
1
dx
x 1
0
3
x dx
x 1
dx
3
0 (x 1) 2
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PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son convergentes o
divergentes, en caso de ser convergente, determine su valor.
9 x
x
2
6
dx
1
1 x 2 dx
x
0
e
dx
x
0 1 e
1
xe
dx
x
dx
2 x 2
senxdx
0
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0
