Insuficiencia de la lógica proposicional Existen argumentaciones válidas cuya validez no se puede demostrar mediante lógica proposicional Ejemplo 1: 2.1 Introducción al lenguaje de la lógica de primer orden Algunos mamíferos leen a Quevedo Todos los lectores de Quevedo disfrutan ∴ Algunos mamíferos disfrutan Ejemplo 2: Lógica El israelita Sansón se armó con la quijada de un asno Los asnos son cuadrúpedos ∴ Algunos israelitas se armaban con la quijada de un cuadrúpedo Problema: la lógica proposicional no trata de individuos, propiedades de esos individuos ni generalidades sobre individuos 2.1 Introducción al lenguaje de la lógica de primer orden Lógica de predicados (o de primer orden) Lógica de predicados (o de primer orden) (2) Vamos a extender la lógica proposicional para poder tratar con individuos • Universo del discurso Æ conjunto de individuos sobre los que hablamos Añadimos nuevos elementos a la lógica proposicional y obtenemos la lógica de predicados • Constantes Æ nombres propios referidos a individuos Quevedo, Sansón • Predicados Æ Enunciados sobre individuos • Cuantificaciones Æ Expresan propiedades sobre los individuos del universo del discurso ¾ Universales Æ propiedades que cumplen todos los individuos del universo del discurso Todos los lectores de Quevedo disfrutan ¾ Existenciales Æ propiedades que cumplen algunos individuos del universo del discurso Algunos mamíferos leen a Quevedo • Igualdad Æ Expresa la igualdad entre dos individuos ¾ Monádicos Æ Propiedades de un individuo Ser mamífero, disfrutar, ser israelita, ser asno, ser cuadrúpedo ¾ Poliádicos Æ relaciones entre individuos Leer a alguien, armarse con algo El padre de María es Luis 3+5=8 ¾ La igualdad no es un miembro esencial de la lógica de predicados ¾ Hablamos de lógica de predicados con igualdad • Funciones Æ descripción de un individuo en función de otro(s) Quijada de algo, suma de dos números 2.1 Introducción al lenguaje de la lógica de primer orden 2 3 2.1 Introducción al lenguaje de la lógica de primer orden 4 1 Formalización Formalización (2) Constantes Æ usaremos letras minúsculas Cuantificaciones Æ para representar cuantificaciones usamos: a, b, c… • ¡Cuidado! No confundir con símbolos proposicionales • Variables Æ x, y, z… Predicados Æ usaremos letras mayúsculas, con los argumentos del predicado entre paréntesis P(a), Q(a,b)… • A veces, especialmente cuando intervienen elementos matemáticos, se puede utilizar notación infija a < b (equivale a M(a,b)) Funciones Æ usaremos letras minúsculas, con los argumentos de la función entre paréntesis f(a), g(a,b,c)… • A veces, especialmente cuando intervienen elementos matemáticos, se puede utilizar notación infija a + b (equivale a s(a,b)) • Cuantificadores ¾ Cuantificaciones universales Æ ∀ (para todo) ¾ Cuantificaciones existenciales Æ ∃ (existe) ∃x (M(x) ∧ L(x,a)) Æ algunos mamíferos leen a Quevedo ∀x (A(x) → C(x)) Æ todos los asnos son cuadrúpedos ¾ Los cuantificadores cierran las fórmulas abiertas construidas con variables Æ cuantifican el valor de las variables Igualdad Æ usamos el símbolo = f(a) = b, 3 + 5 = 8 2.1 Introducción al lenguaje de la lógica de primer orden 5 Ejemplo 1 formalizado 6 El israelita Sansón se armó con la quijada de un asno Los asnos son cuadrúpedos ∴ Algunos israelitas se armaban con la quijada de un cuadrúpedo Universo del discurso Æ seres vivos y partes de seres vivos Interpretación: Universo del discurso Æ seres vivos Interpretación: a ≡ Sansón f(x) ≡ quijada de x A(x) ≡ x es asno M(x) ≡ x es mamífero D(x) ≡ x disfruta Formalización: I(x) ≡ x es israelita C(x) ≡ x es cuadrúpedo R(x,y) ≡ x se armó con y Formalización: ∃x (M(x) ∧ L(x,a)) ∀x (L(x,a) → D(x)) ∴ ∃x (M(x) ∧ D(x)) 2.1 Introducción al lenguaje de la lógica de primer orden 2.1 Introducción al lenguaje de la lógica de primer orden Ejemplo 2 formalizado Algunos mamíferos leen a Quevedo Todos los lectores de Quevedo disfrutan ∴ Algunos mamíferos disfrutan a ≡ Quevedo L(x,y) ≡ x lee a y ¾ Se usan como nombres indeterminados M(x) ∧ L(x,a) Æ x es un mamífero y x lee a Quevedo ¾ Esto da lugar a fórmulas abiertas Æ está indeterminado el valor de la variable I(a) ∧ ∃x (A(x) ∧ R(a,f(x))) ∀x (A(x) → C(x)) ∴ ∃y (I(y) ∧ ∃x (C(x) ∧ R(y,f(x))) 7 2.1 Introducción al lenguaje de la lógica de primer orden 8 2
