ANALISIS SISMICO DINAMICO

TERCER TRABAJO DE INGENIERIA
ANTISISMICA
Docente:
Alumno:
Código:
Filial:
Fecha:
Ciclo:
ANALISIS SISMICO SEUDOTRIDIMENSIONAL
ANALISIS SISMICO DINAMICO
INTERPRETACION DE LA PAGINA VIII-16 AL VIII-19
Para el tratamiento del sismo es necesario estudiar las fuerzas de inercia
generadas al producirse una aceleración en la cimentación de la estructura.
Métodos de análisis Modal
El análisis sísmico de una estructura se caracteriza por la definición de los
diferentes períodos de vibración característicos de la estructura basada en su
configuración geométrica y la matriz de rigideces de la misma.
Es con esta información que los programas de análisis estructural definen
los diferentes modos de vibración de la estructura, lo cual no es más que los
períodos característicos de la edificación.
Factor Se Participación Modal ( FPM )
Cada período (modo) de vibración se encuentra asociado con el factor de
participación modal (λi) el cual representa el factor de participación de la
masa sísmica para dicho modo de vibración.
Para que el análisis modal sea representativo de la condición real de la
estructura, el ingeniero que realiza el análisis deberá definir adecuadamente
las restricciones y consideraciones estructurales correspondientes; es decir,
en el caso de una edificación con diafragmas de piso, se deberá considerar las
rigideces de los entrepisos, la excentricidad de la masa, etc.
Estas consideraciones modificarán directamente el factor de participación
de la masa en cada caso modal.
Planteamiento general (matriz K, C, U…)
El planteamiento del problema dinámico suele realizarse a partir de la
generalización y extensión del problema de 1 GDL:
Donde K es la rigidez, m la masa, y el desplazamiento en función del tiempo
y u el desplazamiento sobre la posición de equilibrio estático.
Dado que no hay más términos en la ecuación, y que los valores de k y M son
positivos los máximos en la misma deben coincidir:
siendo =(K/M)0.5 La solución a la ecuación queda de la forma: Y=umax sen (
t)+ Solución particular
Al valor de umax se le denomina habitualmente desplazamiento espectral y
se marca como Sd en lo métodos espectrales.
Al valor de se le denomina frecuencia propia y a la forma de deformación
adoptada de valor máximo 1 (senoidal en nuestro caso) se la denomina modo
propio.
En el caso que el amortiguamiento no sea nulo, como ocurre en la inmensa
mayoría de estructuras civiles, la expresión anterior no representa el valor
exacto de la aceleración máxima sino sólo una aproximación de ella, ya que
además de las fuerzas elásticas Ku(t) coexisten contemporáneamente las
fuerzas de amortiguamiento fd. Para el caso de fuerzas viscosas lineales
resulta:
De esta forma, la máxima aceleración absoluta no está rigurosamente dada
por la expresión (3), pero de todos modos ésta representa una muy buena
aproximación de la máxima aceleración absoluta ymax para estructuras
civiles en que el amortiguamiento típico es del orden del 5% del crítico.
El valor de y Max dado para el caso de amortiguamiento diferente de cero se
conoce como “Pseudo-aceleración” de la masa, y representa una muy buena
aproximación de la aceleración máxima cuando el amortiguamiento es
distinto de cero. La pseudo-aceleración se expresa habitualmente con la
notación Sa, que en todos los casos está dada por la expresión ignorando el
signo
De todos modos, vale la pena destacar que a pesar que la pseudoaceleración
Sa es una aproximación de la máxima aceleración absoluta, la fuerza elástica
máxima inducida por el sismo es exactamente la dada por la expresión:
Por lo antes expuesto, dado que el análisis sísmico centra su interés en los
desplazamientos y esfuerzos máximos, los valores espectrales de
desplazamiento Sd, o de pseudo-aceleración Sa pueden utilizarse en forma
indistinta con las expresiones anteriores para evaluar los desplazamientos o
esfuerzos máximos inducidos por un sismo utilizando expresiones de
formato estático; es decir, sin tener que incluir en forma explícita las fuerzas
de inercia o de amortiguamiento propias de un problema dinámico.
Cuando se utilizan los valores espectrales (Sa y Sd) la dinámica del problema
está tenida en cuenta en forma implícita en la dependencia de Sa y Sd en
función del período natural (o frecuencia) del sistema considerado.
La generalización de este sistema a n grados de libertad conduce a
expresiones semejantes en las que K es la matriz de rigidez, M la de masas y
C la de amortiguación, así mismo las cargas pueden representarse como una
matriz de aplicación B pre multiplicada por la matriz de masas y las
aceleraciones.
Método modal espectral
El método modal espectral es el más usado universalmente en el
cálculo de las fuerzas sísmicas, puesto que los espectros sísmicos son
fácilmente generalizables y normalizables.
Además el método permite determinar espectros “envolventes” que
representen
la sismografía de un determinado lugar y evita tener que
realizar múltiples combinaciones a partir de cálculos evolutivos sobre
múltiples acelerogramas de cálculo.
El método modal espectral requiere como dato de partida para su aplicación
conocer los modos y frecuencias naturales del sistema de múltiples grados de
libertad, es decir que se conocen los valores de las frecuencias ωi y de los
modos Φi, que en el caso de varios GDL corresponden a los autovalores y
autovectores de norma 1 del producto de la matriz de rigidez por la inversa
de la matriz de masas.
Las ecuaciones de movimiento de un sistema de n grados de libertad
dinámicos (n GLD) para la excitación sísmica son:
El vector de carga equivalente a la acción sísmica es el dado en el segundo
miembro de la ecuación. Este vector representa la carga dinámica
equivalente a la acción dinámica (normalmente sísmica), que debe
utilizarse para calcular la respuesta en el tiempo U(t).
EL método modal espectral propone la descomposición modal en la forma:
donde i (t) es el “desplazamiento generalizado” del modo i.
Substituyendo en la ecuación anterior y pre multiplicando ambos miembros
por la transpuesta del vector
modales
del
modo
“i”,
se
Φi, que representa los desplazamientos
obtiene
la expresión de la ecuación de
equilibrio dinámico del modo “i” en la forma:
Introduciendo la notación:
y dividiendo ambos miembros de la ecuación por i M se obtiene:
Si se compara la ecuación resultante con la correspondiente a la excitación
sísmica de un oscilador simple:
Es fácil observar que ambas expresiones comparten la forma, los
respectivos valores de q(t) y de u(t), salvo el factor
que aparece en la ecuación para n GDL y no en la de 1 GDL. Este factor que
se expresa:
Y se denomina “factor de participación modal del modo i”.
De este análisis surge que si se conoce el desplazamiento máximo que
ocurre en un sistema de 1 GLD, denominado como Sd, el valor máximo de la
coordenada modal respectiva qi(t), imax q , será igual al producto:
Por lo tanto, los desplazamientos relativos máximos asociados con el
modo i están dados por la expresión:
De manera similar, el vector de pseudo-aceleración máx.:
La máxima fuerza vendrá determinada por el producto de la pseudo
aceleración por al masa:
que constituye un vector de cargas tal que, si se calcula la respuesta
estática a ellas, se obtiene el desplazamiento máximo en el modo i, vector
que se denomina Ui máx.
Una de las limitaciones inherentes al método modal espectral es que es
aplicable a sistemas lineales; es decir, siempre que la estructura se
mantenga dentro del campo elástico y de pequeños desplazamientos.
Sobre esta base, que es sólo una primera aproximación al problema, se puede
justificar que los máximos modales no se suman en forma algebraica directa sino
a través de la suma cuadrática (Pitagórica), es decir que el vector desplazamientos
máximos de todos los modos puede aproximarse, para cada componente j, por la
expresión:
Para el cálculo de los esfuerzos (internos y reacciones) máximos combinados de
todos los modos utilizando esta hipótesis de independencia estadística de la
respuesta en cada modo, es necesario recurrir a las reglas del análisis estático para
el vector de fuerzas equivalentes P i,eq de cada modo.
Denominando con E i,max al valor máximo del esfuerzo genérico en un
punto de la estructura en el modo i, la superposición de los valores de los
distintos modos para obtener una aproximación al máximo de todos los
modos está dada por:
A continuación ejemplo aplicativo:
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
TRABAJO ACADÉMICO N° 03
Asignatura
INGENIERÍA ANTISÍSMICA
Tema
Análisis Sísmico Seudotridimensional
Periodo Académico:
2021-I
Semana:
08
Docente:
Dr. Ing. VICENTE LORENZO NIQUEN INGA
Sede/Filial:
LIMA
Datos del Alumno:
Nombre
Santiago Gerson QUISPE RODRIGUEZ
Código
2015223818
Semestre
10
Facultad
Ingeniería y Arquitectura
Escuela
Ingeniería Civil
ANÁLISIS SÍSMICO SEUDOTRIDIMENSIONAL
ANÁLISIS SÍSMICO DINAMICO
FUNDAMENTO TEORICO
1. Cálculo Dinámico
Tradicionalmente el cálculo dinámico se había realizado en forma de un
coeficiente de impacto, que mayor acciones
estáticas. Este sistema, que para
velocidades pequeñas podía ser fácilmente conservador, no resulta útil ni seguro
para velocidades mayores como las que actualmente tienen los trenes de alta
velocidad ni para el análisis de sismos. Esta realidad, junto con el avance
experimentado por los sistemas computarizados de cálculo ha provocado la
generalización de los cálculos dinámicos.
1
2. El problema Sísmico
Para el tratamiento del sismo es necesario estudiar las fuerzas de inercia
generadas al producirse una aceleración en la cimentación de la estructura. El
problema en estos casos tiene históricamente dos partes, la primera es determinar
cuál es la historia de aceleraciones “pésima” dentro de las posibles en una
localización determinada, el segundo analizar cómo estas aceleraciones se
trasmiten en forma de fuerzas.
Afortunadamente la primera parte del problema se encuentra en la actualidad
solucionado mediante los mapas sísmicos, que determinan las aceleraciones
básicas a considerar en una localización para cada periodo de retorno. En España
disponemos de un mapa en la NSRC02 que ha sido transcrito en la NSCP07, y en
el extranjero estos mapas están disponibles en la normativa de cualquier país con
riesgo sísmico mediamente importante.
3. Método Modal Espectral
El método modal espectral es el más usado universalmente en el cálculo
de
las
fuerzas sísmicas, puesto que los espectros sísmicos son fácilmente
generalizables y normalizables. Además
el
método
permite
determinar
espectros “envolventes” que representen la sismografía de un determinado
lugar y evita tener que realizar múltiples combinaciones a partir de cálculos
evolutivos sobre múltiples acelerogramas de cálculo.
El método modal espectral requiere como dato de partida para su aplicación
conocer los modos y frecuencias naturales del sistema de múltiples grados de
libertad, es decir que se conocen los valores de las frecuencias ωi y de los modos
Φi, que en el caso de varios GDL corresponden a los autovalores y autovectores
de norma 1 del producto de la matriz de rigidez por la inversa de la matriz de
2
masas. Las ecuaciones de movimiento de un sistema de n grados de libertad
dinámicos (n GLD) para la excitación sísmica son:
El vector de carga equivalente a la acción sísmica es el dado en el segundo
miembro de la ecuación. Este vector representa la carga dinámica equivalente a
la acción dinámica (normalmente sísmica), que debe utilizarse para calcular la
respuesta en el tiempo U(t).
EL método modal espectral propone la descomposición modal en la forma:
Donde i (t) es el “desplazamiento generalizado” del modo i.
Substituyendo en la ecuación anterior y pre multiplicando ambos miembros por
la transpuesta del vector Φi, que representa los desplazamientos modales
del modo “i”, se obtiene la expresión de la ecuación de equilibrio dinámico
del modo “i” en la forma:
Introduciendo la notación:
3
Y dividiendo ambos miembros de la ecuación por i M se obtiene:
Si se compara la ecuación resultante con la correspondiente a la excitación sísmica
de un oscilador simple:
Es fácil observar que ambas expresiones comparten la forma, los respectivos
valores de q (t) y de u (t), salvo el factor:
Que aparece en la ecuación para n GDL y no en la de 1 GDL. Este factor que se
expresa:
Y se denomina “factor de participación modal del modo i”.
De este análisis surge que si se conoce el desplazamiento máximo que ocurre en
un sistema de 1 GLD, denominado como Sd, el valor máximo de la coordenada
modal respectiva qi (t), i, max q, será igual al producto:
Por lo tanto, los desplazamientos relativos máximos asociados con el modo i
están dados por la expresión:
De manera similar, el vector de pseudo-aceleración, max
4
La máxima fuerza vendrá determinada por el producto de la pseudo-aceleración
por la masa:
que constituye un vector de cargas tal que, si se calcula la respuesta estática a
ellas, se obtiene el desplazamiento máximo en el modo i, vector que se denomina
Ui,max
De todo lo expuesto surge que el vector de los desplazamientos máximos
debidos a la respuesta de un modo puede calcularse en forma exacta a partir del
conocimiento de la frecuencia natural del modo ωi, de su forma modal Φi y de la
ordenada espectral Sd (o Sa) que es función de la frecuencia natural ωi (o del
período Ti).
Una de las limitaciones inherentes al método modal espectral es que es aplicable
a sistemas lineales; es decir, siempre que la estructura se mantenga dentro del
campo elástico y de pequeños desplazamientos. Otra limitación importante del
método espectral es que sólo da como resultado el valor máximo del
desplazamiento de la estructura (o los esfuerzos máximos) pero sin indicar en
qué instante del tiempo se produce dicho máximo. Como lo que interesa es el
valor máximo de los desplazamientos (o esfuerzos) resultante de la
superposición de todos los modos, la falta de simultaneidad de la respuesta
5
máxima en los distintos modos impide que se pueda obtener el valor exacto del
máximo de la superposición de todos los modos.
De esta limitación surge la necesidad de realizar ciertas hipótesis sobre cómo
sumar los máximos de los distintos modos. Una manera de estimar el máximo de
la superposición de todos los modos, que se utiliza con bastante frecuencia en las
aplicaciones prácticas del método, consiste en considerar la respuesta en cada
modo como estadísticamente independiente de la correspondiente a los restantes
modos. Sobre esta base, que es sólo una primera aproximación al problema, se
puede justificar que los máximos modales no se suman en forma algebraica
directa sino a través de la suma cuadrática (Pitagórica), es decir que el vector
desplazamientos máximos de todos los modos puede aproximarse, para cada
componente j, por la expresión:
Para el cálculo de los esfuerzos (internos y reacciones) máximos combinados de
todos los modos utilizando esta hipótesis de independencia estadística de la
respuesta en cada modo, es necesario recurrir a las reglas del análisis estático para
el vector de fuerzas equivalentes P i, eq de cada modo. Denominando con E i,
max al valor máximo del esfuerzo genérico en un punto de la estructura en el
modo i, la superposición de los valores de los distintos modos para obtener una
aproximación al máximo de todos los modos está dada por:
6
El cálculo de
las
modales de los
esfuerzos máximos
i, max E puede
realizarse de dos
maneras
diferentes
caso
de
componentes
en
el
estructuras
regulares en altura:
En función del vector de desplazamientos modales máximos Ui,max, como
es característico en el Método de Rigidez (estático), multiplicando las matrices de
rigidez elementales de cada componente por los desplazamientos de los extremos
de cada barra contenidos en el vector Ui,max.
Por consideraciones estáticas a partir del vector de cargas equivalentes del modo
i, Pi, eq. A los efectos del cálculo manual resulta más simple este procedimiento,
aunque los valores resultantes de ambos métodos son idénticos.
La principal condición o limitación a la validez de la respuesta estadísticamente
independiente de los modos es que las frecuencias de dichos modos sean
suficientemente diferentes. En términos generales se tiende a aceptar la hipótesis
de independencia estadística cuando las frecuencias de los modos considerados
difieren en al menos un 20 o 30 %. Esta condición se cumple en la mayoría de las
construcciones
de
configuración
estructural
ordenada
y
simple,
independientemente de las dimensiones de la estructura.
Otro aspecto importante se refiere a cuántos modos naturales de vibración es
necesario considerar en el cálculo de la respuesta sísmica. En el caso de la norma
7
española se indica que estos deben representar al menos el 90% de la masa de la
estructura y definiendo la masa modal como:
4. Método de Superposición Modal
El método de superposición modal tiene un fundamento similar al método
espectral pero para el análisis de las diversas cargas dinámicas en lugar de una
envolvente de aceleraciones.
Es uno de los métodos generales recomendado por la IAPF para análisis de trenes
reales.
El método consiste en sustituir en la ecuación dinámica los desplazamientos u (t)
por su valor en función de los modos propios de vibración [a] y de unas funciones
Y (t) (coordenadas generalizadas) que serán resultado intermedio del cálculo:
Suponiendo que los modos de vibración son normales a la matriz de
amortiguamiento obtenemos un sistema de n ecuaciones diferenciales
desacopladas:
8
Donde:
Estas ecuaciones son desacopladas y por tanto sencillas de resolver tanto analítica
(si P (t) es sencilla) como numéricamente en caso contrario. Por otro lado, la
solución a la ecuación diferencial será una solución general de la ecuación
homogénea (independiente de P y por tanto válida para todos los caso de carga)
+ una solución particular de la no
homogénea (sencilla de determinar
numéricamente).
Una vez determinadas las funciones Y podemos calcular las deformaciones y a
través de ellas los esfuerzos en todos los puntos de la estructura y para todos los
instantes de tiempo.
La contribución de los modos correspondientes a las frecuencias más altas podrá
despreciarse, por lo que, al igual que en el método modal espectral, se toman
únicamente los términos que movilizan el primer 90% de la masa.
5. Métodos de Análisis
5.1. Planteamiento general (matriz K, C, U…)
El planteamiento del problema dinámico suele realizarse a partir de la
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generalización y extensión del problema de 1 GDL:
Donde K es la rigidez, m la masa, y el desplazamiento en función del tiempo y u
el desplazamiento sobre la posición de equilibrio estático.
Dado que no hay más términos en la ecuación, y que los valores de k y M son
positivos los máximos en la misma deben coincidir:
Siendo = (K/M) 0.5
La solución a la ecuación queda de la forma: Y=u max sen (t)+ Solución particular
Al valor de u max se le denomina habitualmente desplazamiento espectral y se
marca como Sd en lo métodos espectrales.
Al valor de se le denomina frecuencia propia y a la forma de deformación
adoptada de valor máximo 1 (senoidal en nuestro caso) se la denomina modo
propio.
En el caso que el amortiguamiento no sea nulo, como ocurre en la inmensa
mayoría de estructuras civiles, la expresión anterior no representa el valor
10
exacto de la aceleración máxima sino sólo una aproximación de ella, ya que
además de las fuerzas elásticas Ku (t) coexisten contemporáneamente las fuerzas
de amortiguamiento fd. Para el caso de fuerzas viscosas lineales resulta:
De esta forma, la máxima aceleración absoluta no está rigurosamente dada por
la expresión (3), pero de todos modos ésta representa una muy buena
aproximación de la máxima aceleración absoluta y max para estructuras civiles
en que el amortiguamiento típico es del orden del 5% del crítico.
El valor de y max, dado para el caso de amortiguamiento diferente de cero se
conoce como “Pseudo-aceleración” de la masa, y representa
buena
aproximación
de
la
aceleración
máxima
una
cuando
muy
el
amortiguamiento es distinto de cero. La pseudo-aceleración se expresa
habitualmente con la notación Sa, que en todos los casos está dada por la
expresión (ignorando el signo):
De todos modos, vale la pena destacar que a pesar que la pseudo-aceleración Sa
es una aproximación de la máxima aceleración absoluta, la fuerza elástica
máxima inducida por el sismo es exactamente la dada por la expresión:
Por lo antes expuesto, dado que el análisis sísmico centra su interés en los
desplazamientos y esfuerzos máximos, los valores espectrales de desplazamiento
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Sd, o de pseudo-aceleración Sa pueden utilizarse en forma indistinta con las
expresiones anteriores para evaluar los desplazamientos o esfuerzos máximos
inducidos por un sismo utilizando expresiones de formato estático; es decir, sin
tener que incluir en forma explícita las fuerzas de inercia o de amortiguamiento
propias de un problema dinámico. Cuando se utilizan los valores espectrales (Sa
y Sd) la dinámica del problema está tenida en cuenta en forma implícita en la
dependencia de Sa y Sd en función del período natural (o frecuencia) del sistema
considerado.
La generalización de este sistema a n grados de libertad conduce a expresiones
semejantes en las que K es la matriz de rigidez, M la de masas y C la de
amortiguación, así mismo las cargas pueden representarse como una matriz de
aplicación B pre multiplicada por la matriz de masas y las aceleraciones.
6. Descripción de los Criterios de Combinación Modal
Para estimar la máxima respuesta sísmica existen una serie de criterios de
combinación modal, a continuación, se describen cuatro criterios con los
que se realizará el presente estudio.
6.1.
Criterio de Valor Máximo Probable
El criterio del máximo valor probable fue propuesto por Newmark
y Rosenblueth (1971), este criterio es muy acertado con frecuencias
naturales de vibración bien separadas, más del 10%.
La expresión de este criterio es la siguiente:
12
Donde, i corresponde a cada modo de vibración y n es el número total de
modos que se consideran en el análisis.
Por su sencillez es uno de los más utilizados. Pero utilizar este criterio
cuando las frecuencias son cercanas puede llevar a subestimar o
sobrestimar considerablemente la respuesta.
6.2.
Criterio de Valor Absoluto
Llamado también superposición directa de los máximos modales,
proporciona un límite superior al valor máximo de la respuesta total.
Esta estimación con frecuencia es muy conservadora y no es recomendable para
un diseño óptimo.
6.3.
Criterio Propuesto Ing. Alejandro Gómez Hernández
Es un nuevo criterio en el que no se condiciona su empleo a las
frecuencias
de vibración. En consecuencia se puede utilizar en
estructuras cuyas frecuencias estén cercanas o alejadas. De las fórmulas
anteriores se puede establecer la ecuación de la respuesta modal total
máxima de la estructura de un edificio como sigue:
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En Gómez (2002) se demuestra que el modelo toma como límite superior
al criterio de superposición directa y como límite inferior al criterio
clásico del valor máximo probable, como se indica:
6.4.
Criterio de La Norma Técnica de Edificación del Perú
En el reglamento nacional de construcciones de Perú, se propone una
ecuación para obtener la respuesta máxima R correspondiente al efecto
conjunto de los diferentes modos de vibración Ri, que será tomado en
cuenta para el análisis.
7. Matriz de Amortiguamiento
La matriz de amortiguamiento se supone proporcional a las matrices de
rigidez y masa modal, se presenta a continuación la matriz de
amortiguamiento tipo Rayleigh que tiene la siguiente forma:
Cuyas constantes a0 y a1 vienen dadas por la ecuación:
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Siendo ξi, factor de amortiguamiento del modo i, W ni, frecuencia natural
del modo i. Para el estudio se tomará como factor de amortiguamiento
ξi=0.05.
8. Factor de Participación Modal (FPM)
El factor de comportamiento se define globalmente para toda la estructura
y es un índice de su ductilidad.
Para el cálculo en la dirección vertical, debe tomarse siempre un factor de
comportamiento de valor q = 1,0.
Para cada componente horizontal de la acción sísmica, debe determinarse
un factor de comportamiento q, cuyos valores, en general, serán
diferentes.
El valor máximo que se puede adoptar para el factor de comportamiento
está estrechamente relacionado con la regularidad de la estructura.
RESUMEN
En el presente trabajo, se define el modelo de cálculo que se utiliza para
realizar el análisis sísmico plano utilizando el método de combinación
modal.
Además, se describen los diferentes criterios de combinación modal
utilizados en el análisis y se explica el procedimiento de cálculo con un
pórtico de 2 pisos en el que se aplican los diferentes criterios descritos. Se
realizan los controles que estipula el norma técnica peruana para
15
estructuras de hormigón armado como son el cortante basal mínimo, la
deriva máxima de piso y el efecto P.
16