Universidad Mayor de San Andrés
Facultad de Ciencias Puras y Naturales
Informática
Solucionario N° 2
Lógica para la ciencia de la computación INF – 144
Práctica General - Lógica de Predicados
NOTA: La práctica será calificada bajo los siguientes puntos:
• La práctica deben estar resuelta en un 100%
• La práctica deberá ser resuelta a mano
1. Expresar como sentencias en lógica de predicados los siguientes enunciados:
a. "Todo lo que no es tradición es plagio".
Solución:
Predicados:
T(x): x es tradición
P(x): x es plagio
Formalización:
(∀x) (¬T(x) → P(x))
b. "Existen individuos que, sin ser completamente idiotas, se comportan como tales".
Solución:
Predicados:
I(x): x es individuo.
C(x): x es completamente idiota.
T(x): x se comporta como tal idiota.
Formalización:
(∃x) (I(x) ᴧ C(x) ᴧ T(x))
c. “Ningún animal sin cuernos puede lanzarlo a uno contra una puerta”
Solución:
Predicados:
A(x): x es un animal sin cuernos.
P(x): x puede lanzarlo a uno contra una puerta.
Formalización:
(∀x) (A(x) → ¬P(x))
Auxiliares
● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395
● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613
● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018
1
2. De los siguiente ejercicios realizar :
● Formalice los siguiente ejemplos
● Eliminar cuantificadores
● Aplicar leyes de derivación, reglas de inferencia, teoremas.
a. Todos los felinos son mamíferos.
Todos los tigres son felinos.
Luego, todos los tigres son mamíferos
_
Solución:
Predicados:
F(x): x es felino
M(x): x es mamífero
Constantes:
t: tigre
Conclusión: Luego, todos los tigres son mamíferos
(∀t) (M(t))
N
Pasos
Razones
1
(∀x) (F(x) → M(x))
Premisa. Todos los felinos son mamíferos.
2
(∀x) (F(x))
Premisa. Todos los tigres son felinos.
3
F(t) → M(t)
Particularización universal ∫en 1
𝑥
𝑡
𝑡
4
F(t)
Particularización universal ∫en 2
𝑡
5
M(t)
Modus Ponendo Ponens en 3 y 4
6
(∀t) (M(t))
Generalización Universal en 5
Auxiliares
● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395
● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613
● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018
2
b. Todos los tiranos son crueles.
Algunos civiles son tiranos.
Luego, algunos civiles son crueles.
_
Solución:
Predicados:
T(x): x es tierno
C(x): x es cruel
I(x): x es civil
Constantes:
(no hay)
Conclusión: Luego, Algunos civiles son crueles
(∃x) (I(x) ᴧ C(x))
N
Pasos
Razones
1
(∀x) (T(x) → C(x))
Premisa. Todos los tiranos son crueles.
2
(∀x) (I(x) ᴧ T(x))
Premisa. Algunos civiles son tiranos.
3
T(x) → C(x)
Particularización universal ∫en 1
𝑥
𝑥
𝑥
4
I(x) ᴧ T(x)
Particularización universal ∫en 2
𝑥
5
I(x)
Simplificación en 4
6
T(x)
Simplificación en 4
7
C(x)
Modus Ponendo Ponens en 3 y 6
8
I(x) ᴧ C(x)
Adjunción en 5 y 7
9
(∃x) (I(x) ᴧ C(x))
Generalización Existencial en 8
Auxiliares
● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395
● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613
● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018
3
c. Si todo es fácil y agradable, entonces Arturo no estudiará.
Todo es fácil
No hay cosas que sean agradables.
_
Luego, Arturo no estudiara
Solución:
Predicados:
F(x): x es fácil
A(x): x es agradable
E(t): t estudia
Constantes:
t: Arturo
Conclusión:
Luego, Arturo no estudiará
¬E(t)
N
Pasos
Razones
1 (∀x) [(F(x) ᴧ A(x)) → ¬E(t)]
Premisa. Si todo es fácil y agradable, entonces
Arturo no estudiará.
2 (∀x) (F(x))
Premisa. Todo es fácil.
3 ¬(∃x) ¬A(x)
Premisa. No hay cosas que sean agradables.
4 (∀x) (A(x))
Equivalencia del cuantificador existencial en 3
5 (∀x) (F(x)) ᴧ (ꓯx) (A(x))
Adjunción de 3 y 4
6 (∀x) (F(x) ᴧ (A(x))
Distributividad del cuantificador en 5
7 ¬E(t)
Modus Ponendo Ponens en 1 y 6
Auxiliares
● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395
● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613
● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018
4
3. Formalizar los siguientes enunciados y comprobar sus conclusiones.
a. Todo es simple y sencillo solo si Elmo no reprueba. No hay examen que no sea
sencillo. Todo es simple. Por consiguiente, Elmo no reprobó.
Solución:
Predicados:
S(𝑥) : “x es simple”
E(𝑥) : “x es sencillo”
R(e) : “e reprueba”
Constantes:
e: Elmo
Formalizando:
1. (∀𝑥) [S(𝑥) ∧ E(𝑥)] ↔ ¬R(e)
2. ¬(∃𝑥)¬E(𝑥)
3. (∀𝑥)S(𝑥)
∴ ¬R(e)
N
Pasos
Razones
1
(∀𝑥) [S(𝑥) ∧ E(𝑥)] ↔ ¬R(e)
Premisa.
2
¬(∃𝑥) ¬E(𝑥)
Premisa
3
(∀𝑥) S(𝑥)
Premisa.
4
(∀𝑥)E(𝑥)
Equivalencia entre cuantificadores, en 2
5
[S(a) ∧ E(a)] ↔ ¬R(e)
Particularización universal ∫ en 1
𝑥
𝑎
𝑥
6
S(a)
Particularización universal ∫ en 3
𝑎
𝑥
7
E(a)
Particularización existencial ∫ en 4
𝑎
8
{[S(a) ∧ E(a)] → ¬R(e) }∧ {¬R(e)→[S(a) ∧ E(a)]
}
Equivalencia del bicondicional, en 5
9
[S(a) ∧ E(a)] → ¬R(e)
Simplificación, en 8
10 S(a) ∧ E(a)
Conjunción, en 6 y 7
11 ¬R(e)
Modus ponens, en 9 y 10
Auxiliares
● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395
● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613
● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018
5
b. Ningún ordenador se equivoca y el que tiene boca se equivoca. Por lo tanto, ningún
ordenador tiene boca.
Solución:
Predicados:
O(𝑥): x es ordenador
B(𝑥): x es boca
E(e): x se equivoca
Constantes:
(no tiene)
Formalizando:
1. (∀𝑥) [O(𝑥) → ¬E(𝑥)]
2. (∃𝑥) (B(𝑥) ᴧ E(𝑥))
∴ (∀𝑥) [O(𝑥) → ¬B(𝑥)]
N
Pasos
Razones
1
(∀𝑥) [O(𝑥) → ¬E(𝑥)]
Premisa.
2
(∃𝑥) (B(𝑥) ᴧ E(𝑥))
Premisa.
3
O(𝑥) → ¬E(𝑥)
Particularización universal ∫ en 1
𝑥
𝑥
𝑥
4
B(𝑥) ᴧ E(𝑥)
Particularización existencial ∫en 2
𝑥
5
B(𝑥)
Simplificación de 4
6
E(𝑥)
Simplificación de 4
7
¬O(𝑥)
Modus Ponendo Ponens en 3 y 6
8
¬O(𝑥) v ¬B(𝑥)
Adición en 7
9
O(𝑥) → ¬B(𝑥)
Equivalencia lógica de “→” en 8
10 (∀𝑥) [O(𝑥) → ¬B(𝑥)]
Generalización universal en 9
Auxiliares
● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395
● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613
● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018
6
c. Todos los libros de informática son instructivos. Ninguna novela es un libro de
informática. Por lo tanto, ninguna novela es instructiva.
Solución:
Predicados:
L(𝑥): x es libro de informática
I(𝑥): x es instructivo
N(e): x es novela
Constantes:
(no tiene)
Formalizando:
1. (∀𝑥) [L(𝑥) → I(𝑥)]
2. (∀𝑥) [N(𝑥) → ¬L(𝑥)]
∴ (∀𝑥) [N(𝑥) → ¬I(𝑥)]
N
Pasos
Razones
1
(∀𝑥) [L(𝑥) → I(𝑥)]
Premisa.
2
(∀𝑥) [N(𝑥) → ¬L(𝑥)]
Premisa.
3
L(𝑥) → I(𝑥)
Particularización universal ∫ en 1
𝑥
𝑥
𝑥
4
N(𝑥) → ¬L(𝑥)
Particularización existencial ∫en 2
𝑥
5
¬L(𝑥) → ¬I(𝑥)]
Inversa en 3
6
N(𝑥) → ¬I(𝑥)
Silogismo Hipotético en 4 y 5
7
(∀𝑥) [N(𝑥) → ¬I(𝑥)]
Generalización universal en 6
Auxiliares
● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395
● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613
● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018
7
d. Todos los niños son traviesos, así pues, si Guillermo es un niño, entonces, si todos
los seres traviesos son adorables, Guillermo es adorable.
Solución:
Predicados:
N(𝑥): x es niño
T(𝑥): x es travieso
A(e): x es adorable
Constantes:
g: Guillermo
Formalizando:
1. (∀𝑥) [N(𝑥) → T(𝑥)]
∴ N(g) →{(∀𝑥) [T(𝑥) → A(𝑥)] → A(g)}
N
Pasos
Razones
1
(∀𝑥) [N(𝑥) → T(𝑥)]
Premisa.
2
¬[N(g) →{(∀𝑥) [T(𝑥) → A(𝑥)] → A(g)}]
Premisa.
3
¬[¬N(g) v{¬(∀𝑥) ¬[¬T(𝑥) v A(𝑥)] v ¬ A(g)}]
Equivalencia lógica de “→” en 2
4
N(g) ᴧ {¬(∃𝑥) ¬[T(𝑥) ᴧ ¬A(𝑥)] ᴧ ¬ A(g)}
Morgan en 3
5
N(g) ᴧ {(∀𝑥) [¬T(𝑥) v A(𝑥)] ᴧ ¬ A(g)}
Morgan en 4
6
N(g)
Simplificación en 5
7
(∀𝑥) [¬T(𝑥) v A(𝑥)] ᴧ ¬ A(g)
Simplificación en 5
𝑥
8
N(g) → T(g)
Particularización universal ∫ en 1
𝑔
𝑥
9
[¬T(g) v A(g)] ᴧ ¬ A(g)
Particularización universal ∫en 7
𝑔
10 T(g)
Modus Ponendo Ponens de 6 y 8
11 ¬T(g) v A(g)
Simplificación de 9
12 ¬A(g)
Simplificación de 9
13 A(g)
Modus Tollendo Ponens de 10 y 11
14 ¬A(g) ᴧ A(g)
Adjunción de 12 y 13
15 λ
Condición de negación en 14
Auxiliares
● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395
● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613
● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018
8
4. Comprobar la conclusión de las siguientes expresiones:
a. (∀𝑥) [𝐶(𝑥) → 𝐿(𝑥)]
(∀𝑦) [𝐶(𝑦) ∨ 𝐷(𝑦)]
(∃𝑥) ¬𝐿(𝑥)
∴(∃𝑥)𝐷(𝑥)
Solución:
N
Pasos
Razones
1
(∀𝑥) [𝐶(𝑥) → 𝐿(𝑥)]
Premisa.
2
(∀𝑦) [𝐶(𝑦) ∨ 𝐷(𝑦)]
Premisa
3
(∃𝑥) ¬𝐿(𝑥)
Premisa.
𝑎
4
𝐶(a) → 𝐿(a)
Particularización Universal ∫ en 1
𝑥
𝑎
5
𝐶(a) → D(a)
Particularización Universal ∫ en 2
𝑥
𝑎
6
¬L(a)
Particularización Existencial ∫ en 3
𝑥
7
¬C(a)
Modus Tollendo Tollens en 4 y 6
8
D(a)
Regla de la resolución en 5 y 7
9
(∃𝑥)D(x)
Generalización Existencial ∫ en 8
𝑥
𝑎
Auxiliares
● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395
● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613
● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018
9
b. ¬(∀𝑥) [𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] ∨ ¬𝐻(𝑎)
¬(∃𝑥) ¬𝑄(𝑥)
(∀𝑥) 𝑃(𝑥)
∴ ¬𝐻(𝑎)
Solución:
N
Pasos
Razones
1
¬(∀𝑥)[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] ∨ ¬𝐻(𝑎)
Premisa.
2
¬(∃𝑥)¬𝑄(𝑥)
Premisa
3
(∀𝑥)𝑃(𝑥)
Premisa.
4
(∃𝑥)¬[𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)] ∨ ¬𝐻(𝑎)
Equivalencia entre cuantificadores, en 1
5
(∀𝑥)𝑄(𝑥)
Equivalencia entre cuantificadores, en 2
𝑥
6
¬[𝑃(𝑎) ∧ 𝑄(𝑎)] ∨ ¬𝐻(𝑎)
Particularización Existencial ∫en 4
𝑎
𝑥
7
𝑄(𝑎)
Particularización Universal ∫en 5
𝑎
𝑥
8
𝑃(𝑎)
Particularización Universal ∫en 3
𝑎
9
[𝑃(𝑎) ∧ 𝑄(𝑎)] → ¬𝐻(𝑎)
Equivalencia del condicional en 6
10 𝑃(𝑎) ∧ 𝑄(𝑎)
Conjunción en 7 y 8
11 ¬𝐻(𝑎)
Modus ponens en 9 y10
Auxiliares
● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395
● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613
● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018
10
c. (∀𝑥) [𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥)]
(∀𝑥) [𝑅(𝑥) → 𝑄(𝑥)]
(∀𝑥) [𝑃(𝑥) ∨ 𝑅(𝑥)]
.∴ (∀𝑥) 𝑄(𝑥)
Solución:
N
Pasos
Razones
1
(∀𝑥) [𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥)]
Premisa.
2
(∀𝑥) [𝑅(𝑥) → 𝑄(𝑥)]
Premisa
3
(∀𝑥) [𝑃(𝑥) ∨ 𝑅(𝑥)]
Premisa.
𝑥
4
𝑃(a) → 𝑄(a)
Particularización Universal ∫ en 1
𝑎
𝑥
5
𝑅(a) → 𝑄(a)
Particularización Universal ∫ en 2
𝑎
𝑥
6
𝑃(a) ∨ 𝑅(a)
Particularización Universal ∫ en 3
𝑎
7
∼𝑃(a) → 𝑅(a)
Equivalencia lógica de “→” en 6
8
∼𝑃(a) → 𝑄(a)
Silogismo hipotético de 5 y 7
9
∼𝑃(a) ∨ 𝑄(a)
Inverso implicativo en 4
10
𝑃(a) ∨ 𝑄(a)
Implicación en 8
11 𝑄(a)∨ 𝑄(a)
Regla de la resolución de 8 y 9
12 𝑄(a)
Idempotencia en 11
13 (∀𝑥) 𝑄(𝑥)
Generalización Universal ∫ en 12
𝑎
𝑥
Auxiliares
● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395
● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613
● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018
11
5. Llevar a su forma clausulada:
a. (∀𝑥){[𝐶(𝑥) ∨ 𝐴(𝑥)] → [(∃𝑦)𝑃(𝑥, 𝑦) ∧ (∃𝑧)𝑂(𝑥,𝑧)]}
Solución:
Eliminación del condicional y bicondicional:
(∀𝑥){ ¬[𝐶(𝑥) ∨ 𝐴(𝑥)] ∨ [(∃𝑦)𝑃(𝑥,𝑦) ∧ (∃𝑧)𝑂(𝑥,𝑧)]}
Introducción de negaciones:
(∀𝑥){ [¬𝐶(𝑥) ∧ ¬𝐴(𝑥)] ∨ [(∃𝑦)𝑃(𝑥,𝑦) ∧ (∃𝑧)𝑂(𝑥,𝑧)]}
Eliminación del cuantificador existencial:
(∀𝑥){ [¬𝐶(𝑥) ∧ ¬𝐴(𝑥)] ∨ [𝑃(𝑥, f(𝑥)) ∧ 𝑂(𝑥, g(𝑥))]}
Eliminación del cuantificador universal:
[¬𝐶(𝑥) ∧ ¬𝐴(𝑥)] ∨ [𝑃(𝑥, f(𝑥)) ∧ 𝑂(𝑥,g(𝑥))]
Distributividad:
[¬𝐶(𝑥) ∨ 𝑃(𝑥, f(𝑥))] ∧ [¬𝐶(𝑥) ∨ 𝑂(𝑥, g(𝑥))] ∧ [¬𝐴(𝑥) ∨ 𝑃(𝑥, f(𝑥))] ∧ [¬𝐴(𝑥) ∨ 𝑂(𝑥, g(𝑥))]
Finalmente se tienen las siguientes cláusulas:
¬𝐶(𝑥1) ∨ 𝑃(𝑥1, f(𝑥1))
¬𝐶(𝑥2) ∨ 𝑂(𝑥2, g(𝑥2))
¬𝐴(𝑥3) ∨ 𝑃(𝑥3, f(𝑥3))
¬𝐴(𝑥4) ∨ 𝑂(𝑥4, g(𝑥4))
Auxiliares
● Univ. Neith Cabrera Colque Cel: 75135395
● Univ. Diego Gorostiaga Marin Cel: 79575613
● Univ. Miguel Angel Soto Cruz Cel: 65574018
12
