Universidad de Piura Formulario: Diseño y comportamiento de concreto armado – CA1 Actualizado agosto de 2019 Análisis y diseño por flexión de vigas rectangulares Bloque de Withney de una sección rectangular: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓𝑐´ 𝑏𝑎 𝑎 = 𝑐𝛽1 𝛽1 = 0.85 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐´ ≤ 280 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝛽1 = 0.65 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐´ ≥ 560 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓´ 280 < 𝑓𝑐´ < 560 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑐 𝛽1 = 1.05 − 0.714 1000 Deformaciones unitarias críticas: ecu = 0.003 ey = 0.0021 Módulos de elasticidad: Es=2E6 kg/cm2 𝐸𝑐 = 15000√𝑓𝑐´ kg/cm2 Esfuerzos admisibles: fc-adm=0.45f`c fs-adm=0.50fy Esfuerzo de rotura del concreto: 𝑓𝑟 = 2√𝑓𝑐´ kg/cm2 Momento resistente de una sección rectangular: ∅𝑀𝑛 = ∅𝑓𝑐´ 𝑏𝑑2 w(1-0.59w) 𝑤= 𝜌𝑓𝑦 𝑓𝑐´ 𝐴 𝜌 = 𝑏𝑑𝑠 verificar: es>ey Acero balanceado: 𝐴𝑅𝑠𝑏 = 0.85𝑓𝑐´ 𝑏(0.588𝛽1 𝑑)/𝑓𝑦 Acero máximo: Asmax=0.75Asb El As en tracción fluye si: 𝑎 𝑑 < 0.588𝛽1 1 Acero mínimo: a) Asmin es aquella que permite resistir un ΦMn=1.2Mcr. 𝑀𝑐𝑟 = 𝑓𝑟 𝐼𝑔 /𝑣 b) Para secciones “T “con el ala en compresión: b=bw 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.7√𝑓𝑐´ 𝑓𝑦 𝑏𝑑 c) Ascol = 1.33Ascal Acero mínimo y máximo de secciones rectangulares: f´c (kg/cm2) 175 210 280 350 Asmin 0,22%bd 0,24%bd 0,28%bd 0,31%bd Asmax 1,33%bd 1,59%bd 2,13%bd 2,50%bd Variables: a Β1 d AsbR Asb Ascol Ascal es ey ecu Ig v Mn = altura del bloque de Withney = factor que depende de f´c (0.85 para f`c=210 kg/cm2) = peralte efectivo = área de acero que genera la falla balanceada en una sección rectangular = área de acero que genera la falla balanceada = área de acero que se coloca para garantizar el acero mínimo = área de acero calculada (sin tener en cuenta el acero mínimo) = deformación del acero en tracción = deformación del acero en fluencia = deformación del concreto en la rotura = inercia bruta = distancia desde el eje neutro hasta la fibra del concreto en tracción = momento nominal 2 3 4 5 Análisis y diseño de vigas T Ancho efectivo en vigas interiores y exteriores Ancho efectivo en vigas aisladas Momento resistente positivo cuando a ˃ hf: ∅𝑀𝑛 = ∅𝐴𝑠𝑓 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝐴𝑠𝑓 = 0.85𝑓𝑐´ (𝑏𝑓 𝑓𝑦 ℎ𝑓 2 𝑎 2 ) + ∅𝐴𝑠𝑤 𝑓𝑦 (𝑑 − ) − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 𝐴 𝑓 𝑠𝑤 𝑦 𝑎 = 0.85𝑓 ´𝑏 𝐴𝑠𝑤 = 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠𝑓 𝑐 𝑤 verificar es>ey El As en tracción fluye si: 𝑎 𝑑 < 0.588𝛽1 Acero balanceado: 𝐴𝑇𝑠𝑏 = 0.85𝑓𝑐´ [(𝑏𝑓 𝑓𝑦 − 𝑏𝑤 )ℎ𝑓 + 𝑎𝑏 𝑏𝑤 ] 6000 𝑎𝑏 = 𝛽1 𝑑 (6000+𝑓 ) 𝑦 Acero máximo: 𝐴𝑇𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝐴𝑅𝑠𝑏 + 0.75𝐴𝑠𝑓 6 Acero mínimo - criterio: As tal que ∅𝑀𝑛 ≥ 1.2𝑀𝑐𝑟 Acero mínimo – fórmulas aproximadas: 1.2𝐼𝑔 𝑓𝑟 𝐴+ 𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.9𝑓 𝑦 (0.95𝑑)𝑦𝑏 1.2𝐼𝑔 𝑓𝑟 𝐴− 𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.9𝑓 𝑦 (0.95𝑑)𝑦𝑡 Espesores típicos y luces máximas para aligerados: h(m) 0,17 0,20 0,25 0,30 peso propio (kg/m2) 280 300 350 420 luces máximas (m) ln ≤ 4 4 ≤ ln ≤ 5,5 5 ≤ ln ≤ 6,5 6 ≤ ln ≤ 7,5 Acero mínimo y máximo en aligerados: h(m) 0,17 0,20 0,25 0,30 d(m) 0,14 0,17 0,22 0,27 M+cr (kg-m) M-cr (kg-m) 185 370 260 505 405 750 580 1030 Asmin+ 0,34 0,41 0,53 0,65 Asmin0,91 1,01 1,15 1,28 Asb+ 9,35 10,00 11,05 12,11 Asb2,97 3,61 4,67 5,74 Variables: be ln bw hf Asf Asw AsbT AsbR Mcr yb yt = ancho efectivo del ala = luz libre de la viga T = ancho del alma = peralte del ala = área de acero que compensa la compresión en las alas = área de acero que compensa la compresión en el alma = área balanceada de la sección T = área balanceada de la sección rectangular = momento de fisuración = distancia desde el eje neutro hasta la fibra inferior extrema = distancia desde el eje neutro hasta la fibra superior extrema 7 Análisis y diseño de secciones con acero en compresión Acero balanceado en secciones rectangulares: ´ 𝑓 ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑠𝑏 = 𝐴𝑠𝑏𝑟 + 𝐴´𝑠 𝑠𝑏 𝑓𝑦 𝑑´ 𝑐𝑏 −𝑑´ ) 0.003 𝑐𝑏 ´ ` 𝑓𝑠𝑏 = 6000 [1 − 1.7 ] ≤ 𝑓𝑦 𝑒𝑠𝑏 =( 𝑑 Acero máximo en secciones rectangulares: ´ 𝑓 ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0.75𝐴𝑅𝑠𝑏 + 𝐴´𝑠 𝑓𝑠𝑏 𝑦 El A`s fluye si: 𝑑´ 𝑐 ≤ 0.3 Momento resistente de una sección rectangular si A`s fluye: 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅𝑀𝑛1 + ∅𝑀𝑛2 = ∅𝐴´𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´ ) + ∅(𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠 )𝑓𝑦 (𝑑 − 2 ) Momento resistente de una sección rectangular si A`s no fluye: 𝑎 ∅𝑀𝑛 = ∅0.85𝑓𝑐´ 𝑏𝑎 (𝑑 − 2 ) + ∅𝐴´𝑠 𝑓𝑠´ (𝑑 − 𝑑´ ) (0.85𝑓𝑐´ 𝑏)𝑎2 + (6000𝐴´𝑠 − 𝐴𝑠 𝑓𝑦 )𝑎 − 6000𝐴´𝑠 𝛽1 𝑑´ = 0 𝑒𝑠´ = 0.003 (1 − 𝛽1 𝑑 ´ ) 𝑎 verificar es>ey y e`s>ey Variables: A´s d` ̅̅̅̅̅ 𝐴𝑠𝑏 ´ 𝑓𝑠𝑏 ´ 𝑒𝑠𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 𝐴𝑅𝑠𝑏 𝑒𝑠´ = área de acero en compresión = distancia desde el acero en compresión hasta la fibra de máxima compresión. = área de acero balanceado en una sección rectangular con A`s. = esfuerzo del acero en compresión cuando la falla es balanceada. = deformación unitaria del acero en compresión en la falla balanceada. = área máxima de acero en tracción cuando existe acero en compresión = área de acero balanceado en una sección rectangular sin A`s = deformación unitaria del acero en compresión. 8 Análisis y diseño por fuerza cortante Resistencia al corte suministrada por el concreto: 𝑉𝑐 = 0.53√𝑓𝑐´ 𝑏𝑤 𝑑 𝑉𝑐 = (0.5√𝑓𝑐´ + 176𝜌𝑤 𝐴𝑠 𝑤𝑑 𝑉𝑢 𝑑 ) 𝑏𝑤 𝑑 𝑀𝑢 𝑉𝑢 𝑑 𝑀𝑢 𝜌𝑤 = 𝑏 ≤ 0.93√𝑓𝑐´ 𝑏𝑤 𝑑 ≤1 Resistencia en elementos a compresión 𝑁 𝑢 𝑉𝑐 = 0.53√𝑓𝑐´ (1 + 140𝐴 ) 𝑏𝑤 𝑑 𝑔 Resistencia en elementos a tracción 𝑉𝑐 = 0.53√𝑓𝑐´ (1 − 𝑁𝑢 ) 𝑏𝑤 𝑑 35𝐴𝑔 Resistencia en secciones circulares 𝑉𝑐 = 0.53√𝑓𝑐´ (𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜)(0.8𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜) Resistencia de los estribos 𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 𝑠 𝑉𝑠 ≤ 2.1√𝑓𝑐´ 𝑏𝑤 𝑑 Ecuación general de diseño 𝑉𝑢 ≤ Φ(𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 ) Espaciamiento máximo de los estribos 𝑠= 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 𝑉𝑠 Si 𝑉𝑠 ≤ 1.1√𝑓𝑐´ 𝑏𝑤 𝑑 entonces s≤0.60m ó s≤d/2 Si 𝑉𝑠 > 1.1√𝑓𝑐´ 𝑏𝑤 𝑑 entonces s≤0.30m ó s≤d/4 Estribos mínimos: 𝟎. 𝟓𝝓𝑽𝒄 ≤ 𝑽𝒖 ≤ 𝝓𝑽𝒄 𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 = (0.2√𝑓𝑐´ 𝑏𝑤 𝑠) /𝑓𝑦 𝐴𝑣𝑚𝑖𝑛 = (3.5𝑏𝑤 𝑠)/𝑓𝑦 Resistencia en aligerados y losas nervadas 𝑉𝑐 = 1.1(0.53√𝑓𝑐´ 𝑏𝑤 𝑑) 𝑉𝑢 ≤ Φ𝑉𝑐 9 Longitudes de anclaje Barra 8mm 3/8" 1/2" 5/8" 3/4" 7/8" 1" 1 3/8" Tracción:Barras inferiores Tracción:Barras superiores Compresión Gancho estandar (horiz) 210 kg/cm2 280 kg/cm2 210 kg/cm2 280 kg/cm2 210 kg/cm2 280 kg/cm2 210 kg/cm2 280 kg/cm2 db (cm) As (cm2) Ld (cm) Ld (cm) Ld (cm) Ld (cm) Ld (cm) Ld (cm) Ldg (cm) Ldg (cm) 0.80 0.50 30 30 37 32 20 20 18 15 0.95 0.71 34 30 44 38 22 20 21 18 1.27 1.29 45 39 58 51 29 26 28 24 1.59 2.00 56 49 73 63 37 32 35 30 1.91 2.84 67 58 88 76 44 38 42 36 2.22 3.87 98 85 127 110 52 45 49 42 2.54 5.10 112 97 145 126 59 51 56 48 3.58 10.06 157 136 204 177 83 72 79 68 *16db en tramo vertical Variables: Nu Ag Av s Ld Ldg = carga axial en el elemento = área bruta de la sección transversal = área de corte (todas las ramas del estribo) = espaciamiento de los estribos = longitud de anclaje estándar = longitud de la porción horizontal del gancho estándar 10 Control de deflexiones Norma ACI: 𝐼𝑒𝑓 = 𝐼𝑐𝑟 + (𝐼𝑔 − 𝐼𝑐𝑟 ) ( 𝑀𝑐𝑟 3 ) 𝑀𝑎 Norma E060: Si Ma ˂ Mcr → Ief = Ig Si Ma ˃ Mcr → Ief = Icr Vigas simplemente apoyadas Ief = Ief+ Vigas en voladizo Ief = IefVigas continuas o vigas de pórticos + − − 𝐼𝑒𝑓1 +𝐼𝑒𝑓2 +2𝐼𝑒𝑓3 𝐼𝑒𝑓 = ( 4 + − 𝐼𝑒𝑓1 +2𝐼𝑒𝑓2 𝐼𝑒𝑓 = ( 3 ) Tramos interiores ) Tramos exteriores Límites para no verificar deflexiones: ACI Tipo Elemento Elementos que no soportan o no están conectados a elementos no estructurales que puedan dañarse por las deflexiones. Losas macizas en una dirección Vigas o losas nervadas en una dirección Simplemente apoyados Un extremo continuo Ambos extremos continuos Voladizo L/20 L/24 L/28 L/10 L/16 L/18.5 L/21 L/8 Simplemente apoyados Un extremo continuo Ambos extremos continuos Voladizo L/10 L/13 L/16 L/4 L/6 L/8 L/10 L/3 Grossman Tipo Elemento Elementos que soportan o que Cualquiera con: w˂0.12 y están conectados a elementos no Cs/Ct ˂ 0.5 estructurales que puedan Cualquiera con: Cs/Ct ˃ 0.5 dañarse por las deflexiones. Deflexiones diferidas: 𝜉 𝜆 = 1+50𝜌´ 11 Duración de la carga 1 mes 3 meses 6 meses 12 meses 5 años o más Valor de ξ 0.7 1.0 1.2 1.4 2.0 Deflexiones máximas permisibles: Tipo de elemento Deflexiones consideradas Deflexiones límite Techos que no soporten ni estén ligados a elementos no estructurales susceptibles de Deflexiones inmediata debida a la carga viva L / 180 sufrir daños por deflexiones excesivas Pisos que no soporten ni estén ligados a elementos no estructurales susceptibles de Deflexiones inmediata debida a la carga viva L / 360 sufrir daños por deflexiones excesivas. Pisos o techos que soporten o estén ligados a elementos no estructurales susceptibles de L / 480 La parte de la deflexión total que ocurre sufrir daños por deflexiones después de la unión de los elementos no excesivas. estructurales (la suma de la deflexión diferida debida a todas las cargas sostenibles Pisos o techos que soporte o y la deflexión inmediata debida a cualquier estén ligados a elementos no carga viva adicional) estructurales no susceptibles de L / 240 sufrir daños por deflexiones excesivas. 12 Deflexiones elásticas en vigas simples (G. Otazzi, PUCP) 13 Método de los coeficientes Momentos y cortantes de diseño para vigas y losas en una dirección. Nota: End span (tramo exterior), interior span (tramo interior), 10ft=3m, spandrel beam (viga de borde) 14 Puntos de corte para el método de los coeficientes 15 16 17 Diseño por flexo-compresión 𝜌= 𝐴𝑠𝑡 𝐴𝑔 𝜌𝑚𝑖𝑛 : 1% 𝜌𝑚𝑎𝑥 : 4% 𝑃𝑢 𝑚á𝑥 = 𝛼∅𝑃𝑜 = 𝛼∅(0.85𝑓 ′ 𝑐(𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡) + 𝑓𝑦𝐴𝑠𝑡) Estribos: 𝛼 = 0.8 , ∅ = 0.7 Espirales: 𝛼 = 0.85 , ∅ = 0.75 Compresión pura 𝑀𝑢 < 𝑃𝑢 𝑥 0.1ℎ Armado del diagrama de interacción 0.003 ) 𝑑𝑖 0.003−𝛼𝜀𝑦 𝑐𝑗 = ( 𝑐−𝑑𝑖 ) 0.003 𝑐 𝜀𝑠𝑖 = ( (𝜀𝑠𝑖 positivo si es de compresión) 𝑃𝑛 = 𝐶𝑐𝑗 + ∑ 𝐴𝑠𝑖 𝑓𝑠𝑖 𝑀𝑛 = 𝐶𝑐𝑗 ∗ (𝑐𝑗 − 𝑎𝑗/2) + ∑ 𝐴𝑠𝑖 𝑓𝑠𝑖 ∗ (𝑐𝑗 − 𝑑𝑖 ) 𝑎𝑗 = 𝛽1 𝑐𝑗 (Del bloque de Wittney) Tracción pura ∅𝑇𝑜 = 0.9𝐴𝑠𝑡 𝑓𝑦 Estribos Espaciamiento máximo: - 16db (db es el diámetro de las barras verticales) Menor dimensión en columna 48de (de es el diámetro del estribo) Si 𝑉𝑠 ≤ 1.1√𝑓’𝑐𝑏𝑑 entonces s ≤d/2 Si 𝑉𝑠 >1.1√𝑓’𝑐𝑏𝑑 entonces s ≤ d/4 18 19 20 Diseño por capacidad Elementos en flexión Cortante Momentos nominales 21 Estribos Elementos en flexo-compresión Cortante 22 Estribos 23
