investigacion operativa

4. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de
8 ha con olivos de tipo A, ni más de 10 ha con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos de
tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3 . Se dispone anualmente
de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 $ y cada una de
tipo B, 225 $. Se dispone de 4500 $ para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivo
de tipo A y B producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite:
a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para
maximizar la producción de aceite.
b) Obtener la producción máxima.
Solución:
Los datos del problema podemos resumirlos en la tabla
Tipo de Olivo
A
B
Restricciones
Agua por hra y
año
4 𝑚3
3 𝑚3
44 𝑚3
Inversión por hra
500 𝐵𝑠
225 𝐵𝑠
4500 𝐵𝑠
Producción por
hra
500 𝐼
300 𝐼
Hra dedicadas
Las ecuaciones de las restricciones serán,
“No se pueden cultivar más de 8 ha. con olivos del tipo
A” 𝑥 ≤ 8
“No se pueden cultivar más de 10 ha. con olivos del tipo B” 𝑦 ≤ 10
“Se dispone de 44 m 3 de agua al año”
4𝑥 + 3𝑦 ≤ 44
“Se dispone de 4500 € para invertir”
500𝑥 + 225𝑦 ≤ 4500
Queremos maximizar la producción de aceite que será: 500 x + 300 y
El problema a resolver es:
maximizar Z = 500 x + 300 y
𝑥
𝑦
𝑥 ≤ 8
𝑦 ≤ 10
4𝑥 + 3𝑦 ≤ 44
s.a
500𝑥 + 225𝑦 ≤ 4500
𝑥, 𝑦 ≥ 0
Cálculos para representar las restricciones
4𝑥 + 3𝑦 ≤ 44
500𝑥 + 225𝑦 ≤ 4500
4𝑥 + 3𝑦 = 44
500𝑥 + 225𝑦 ≤ 4500
x
x
y
0
9
0
44
3
0
20
y
11
0
(0,0) cumple?
4.0 + 3.0 ≤ 44 𝑠𝑖
(0,0) cumple?
500. 0 + 225. 0 ≤ 4500 𝑠𝑖
Debemos calcular los siguientes puntos de corte
𝑦 = 10
4𝑥 + 3𝑦 = 44
4𝑥 + 3.10 = 44 → 4x = 14 → x =
4𝑥 + 3𝑦 = 44
𝑑𝑒 𝑙𝑎 1ª 𝑦 =
500𝑥 + 225𝑦 = 4500
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 2ª 500𝑥 + 225
14
4
= 3´5
44 − 4𝑥
3
44 − 4𝑥
= 4500
3
1500𝑥 + 9900 − 900𝑥 = 13500
600𝑥 = 3600 → x =
𝑥=8
3600
600
=6 →y=
3
=
20
3
20
→(6 )
3
500.8 + 225𝑦 = 4500 → 255y = 500 → y =
500𝑥 + 225𝑦 = 4500
La región factible está limitada por los puntos
(0.0), (0,10), (3´5.10), (6
44−4.6
20
3
) , (8
20
9
) 𝑦 (8.0)
500 20
20
=
→( )
225
9
9
Sabemos que la función que queremos maximizar alcanzará su máximo en los extremos de la región
factible.
(𝑥. 𝑦)
𝑧 = 500𝑥 + 300𝑦
(0.0)
500.0 + 300.0 = 0
(0.10)
500.0 + 300.10 = 3000
(3´5.10)
500.3´5 + 300.10 = 4750
(6
20
)
3
500.6 + 300.
20
= 5000
3
(8
20
)
9
500.8 + 300.
20
= 4666´666 …
9
(8.0)
𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜
500.8 + 300.0 = 4000
𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑧 = 500𝑥 + 300𝑦 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑠𝑢 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (6,
20
)
3
Por lo tanto, para maximizar la producción de aceite se deben plantar 6 ha de olivos del tipo A y
20/3 ha de olivos del tipo B.
La producción máxima será de 5000 l de aceite.
Método Solver
Problema 4
VARIABLES
X = CANTIDAD DE HECTÁREAS DE ALIVIO DEL TIPO "A"
Y = Cantidad de hectáreas de olivio del tipo "B"
Función Objetivo = Z =500x + 300y (producción a maximizar)
Restricciones
X
Mª de agua anual
Inversión
Cantidad de máximo a cultivar
Y
4
500
8
Disponibilidad
3
44
225
4500
10
Restricción 1
Restricción 2
Restricción 3
Restricción 4
500x+300y
4x+3y<=44
500x+225y<=4500
x<=8
y<=10
x
Litros
Hectareas
Restricciones
Hectáreas olivo A
Hectáreas olivo B
Agua
Inversión
y
500
6
300
6.67
Recursos
4
500
1
0
3
225
0
1
44
4500
8
10
<=
<=
<=
<=
Zmaximo=
44
4500
6
6.67
5000
Se deben cultivar 6 hras. Con olivos del tipo A Y 6.67 del tipo B Generando una producción máxima
de 5.000 litros de aceite.