ÁLGEBRA II
(L. S. I. – P. I.)
G
Guuííaa ddee TTrraabbaajjooss P
Prrááccttiiccooss N
Nºº 55
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO
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D
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a
g
o
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a
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z
Valores y vectores propios. Diagonalizaacciióónn..
1. En cada uno de los siguientes casos determine si la función dada es o no una transformación
lineal y en caso de serlo, determine su núcleo e imagen y verifique el teorema de las
dimensiones.
a) T: R2 → R2 / T(x, y) = (x2, y)
b) Sx: R2 → R2 / Sx (x, y) = (x, −y) que define la simetría respecto del eje X
c) Rα : R2 → R2 / Rα (x, y) = (x cosα - y senα, x senα + y cosα)
(Esta función define la rotación de ángulo α en el sentido positivo alrededor del origen de
coordenadas.)
d) T: R3 → R2 / T(x, y, z) = (x + y, 2y)
e) T: R 2x2 → R / T(A) = det(A), siendo det(A) el determinante de la matriz A
f) T: P2 → P1 / T(ax2 + bx + c) = x – a
d f ( x)
g) T: C[o,1] → C[o,1] / T ( f ( x)) =
dx
h)
i)
j)
2.
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%
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Sea la transformación lineal T: P2 → P3 / T (p(x)) = x.p(x).
a) ¿Cuáles de los siguientes polinomios pertenecen al núcleo de T?
i) x2
ii) 0
iii) 1 + x
b) ¿Cuáles de los siguientes polinomios pertenecen a la imagen de T?
i) x + x2
ii) 1 + x
iii) 2 – x3
3. Sea
la transformación lineal definida como ! !
a) ¿Cuáles de los siguientes vectores pertenece al núcleo de '?
i)
ii)
iii)
b) ¿Cuáles de los siguientes vectores pertenece a la imagen de '?
i)
ii)
iii)
!
.
4. Para las siguientes funciones de R3 en R3, halle su expresión analítica, pruebe que son
transformaciones lineales y encuentre en cada caso la imagen del segmento determinado por los
puntos P = (0,0,0) y Q = (2,1,3).
Guía de Trabajos Prácticos Nº 5
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a) Proyección sobre el plano XY
b) Simetría respecto del origen.
c) Simetría respecto del plano XZ.
d) Simetría respecto del eje Z.
5. Defina la transformación lineal T en cada uno de los siguientes casos
i) T: R3 → R2 / T(1,0,0) = (1,0), T(0,1,0) = (0,1) y T(0,0,1) = (1,-1)
ii) T: P2 → P2 / T(1) = 1 + x , T(x) = 3 – x2 , T(x2) = 4 + 2x – 3x2
(
(
)&
)
*
)
)&
iii)
6. Sea la transformación lineal T: R3 → R2 definida por:
T(x, y, z) = (x + y , x – z )
a) Encuentre la matriz asociada a T respecto de las bases
B = { (1,2,0),(-1,0,1),(1,1,1) } B' = { (1,3),(0,2)}
b) Determine la matriz asociada a T respecto de las bases canónicas de ambos espacios.
7. En c/u de los siguientes casos determine la matriz asociada a la transformación lineal respecto
de las bases dadas.
a) T: R2 → R2 / T(u) = Proyvu siendo v = (2,-4) , B la base canónica de R2
d p ( x)
, B ={ 1, x, x2, x3 } B'= { 1, 1 + x, 1 + x + x2 }
b) T: P3 → P2 / T(p(x)) =
dx
+, ) - ,.. ) & ,
(
/ 0 ) ) ) 1 / . 0) )
) 1
c) (
θ
cosθ
senθ
− senθ
cosθ
0
0
0
0
1
Describa la transformación lineal cuya matriz asociada respecto de las bases canónicas es Aθ,
dicha transformación corresponde a la rotación, en R3, un ángulo θ alrededor del eje Z.
9. La transformación lineal f: R3 → R2 está caracterizada por la matriz A respecto de la base
canónica.
1 −1 3
Af =
0 2 5
a) Determine el núcleo de f, la imagen y sus dimensiones.
b) Determine si f es inyectiva y/o sobreyectiva
10. La transformación lineal f: R3 → R3 está caracterizada por la matriz Af respecto de la base
canónica.
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4
5
2
F.C.E. y T. – UNSE
Guía de Trabajos Prácticos Nº 5
ÁLGEBRA II (L.S.I – P.I.)
c) Determine el núcleo de f, la imagen y sus dimensiones.
d) Determine si f es inyectiva y/o sobreyectiva.
e) Determine
y
.
11. En caso de compatibilidad, obtenga el conjunto solución del sistema en términos de una
solución particular y del espacio solución del sistema homogéneo asociado.
a)
x + y + 2z = -1
2x - y + 2z = -4
4x + y + 6z = -6
c)
b)
x + 2y - 3z + 2w = 2
2x + 5y - 8z + 6w = 5
3x + 4y - 5z + 2w = 4
x +
y + z =1
y + 2z = 0
2x + 3y + z = 1
12. Halle un sistema AX = B que admita a los vectores (1, 2, 0) y (0, -1, 1) como base del espacio
solución de AX = 0 y al vector (1, 3, 1) como solución particular.
13. Sea A ∈ R5x4 con rango 3
a) ¿Cuál es la dimensión del espacio solución del sistema AX = 0?
b) ¿AX = B es compatible para todo B R5x1? Justifique.
14. Sea A ∈ R4x6 tal que el conjunto solución del sistema AX = 0 tiene dimensión 2.
a) ¿Cuál es el rango de A?
b) ¿AX = B es compatible ∀ B ∈ R4x1? Justifique
14. Sea A ∈ R4x4 con rango 4
¿El sistema AX =B es compatible determinado para todo B ∈ R4x1? Fundamente su respuesta.
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F.C.E. y T. – UNSE
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Á LG EB R A I I
(L. S. I. – P. I.)
G
Guuííaa C
Coom
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meennttaarriiaa N
Nºº 55
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determine si la función dada es o no una transformación lineal (en todos los casos los espacios
se definen sobre el cuerpo de los reales)
a) T: R2 → R2 / T(x, y) = (3x + 2y, x)
b) T: R2 → R2 / T(x, y) = ( x, 0)
c) T: R2 → R / T(x, y) = x . y
d) T: R2x1 → R2x1 / T
x
=
y
1 3
x
4 2
y
e) T: P2 → P2 / T(ax2 + bx + c) = ax2 + bx + c + 1
f) T: P2 → P2 / T(ax2 + bx + c) = 3ax2 + 2bx
h) T: C [0,1] → R / T(f) =
1
f(x)g(x) dx
donde g es una función fija de C[0,1]
0
2. Sea PXY: R3 → R3 definida por:
PXY (x, y, z) = (x, y, 0). PXY es la proyección de un vector de R3 sobre el plano XY
a) Muestre que PXY es una transformación lineal.
b) Determine analíticamente PXY(2,3,4).
c) Grafique (2,3,4) y PXY(2,3,4)
3. Sea SXY: R3 → R3 definida por:
SXY(x, y, z) = (x, y, -z)
Sxy es la simetría con respecto al plano XY de un vector de R3.
a) Muestre que SXY es una transformación lineal.
b) Determine SXY(0, 0, 1) , SXY(1, 2, 0) y SXY(1, 2, 3).
c) Grafique (0,0,1) , (1,2,0) , (1,2,3) y sus respectivas imágenes.
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F.C.E. y T. – UNSE
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4. Defina la transformación lineal T en cada uno de los siguientes casos:
i) T: R2 → R / T(1,1) = 3 y T(0,1)= -2
ii) T: R3 → R2 / T(1,0,0) = (3,4) , T(0,1,0) = (1,-2) y T(0,0,1) = (-1,3)
iii) T: R3 → R / T(1,1,1) = 3 , T(0,1,-2) = 1 , T(0,0,1) = -2
5. Investigue se existe una transformación lineal f: R2 → R tal que:
f(1,2) = 3 , f(2,2)= -1 y f(2,5) = 19/2
6. En cada una de las siguientes transformaciones lineales:
i) Determine el núcleo y su dimensión.
ii) Determine la imagen y su dimensión.
iii) Verifique que la dimensión del núcleo más la dimensión de la imagen es igual a la
dimensión del primer espacio.
iv) Indique si f es inyectiva y/o sobreyectiva. Justifique
a) f: R2 → R2 / f(x,y) = (2x , x - y)
b) f: R2x2 → R2 /
f
a
b
c
d
= (a + b , c - d)
c) f: R3 → R / f(x, y, z) = x – y – z
d) f: R2 →
R2x3 / f(x , y) =
x
0
y
0 x+y
x
e) Rα
f) PXY
g) SXY
7. En c/u de los siguientes casos determine la matriz asociada a la transformación lineal respecto
de las bases dadas.
a) T:R2 → R2 / T(x,y) = (3x + y , x - 4y )
B=B'= { (1,3),(0,-2})
b) T: R3 → R2 / T(x,y,z) = (y - z, 2x)
B = {(0,1,0), (2,4,1), (-2,5,3)}
B' ={ (3,2), (1,1)}
8. Sea T: R2 → R2 la transformación lineal que aplica a cada punto su imagen simétrica respecto
al eje Y. Halle la matriz de T respecto de las bases canónicas.
9. Sea f: R4 → R4 una transformación lineal y sea A la matriz asociada a f respecto de las bases
canónicas:
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F.C.E. y T. – UNSE
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A =
1 -1 2 2
1 0 -1 3
0 1 -3 1
-2 1 -1 -5
Determine, usando sistema de ecuaciones lineales:
a) el núcleo de f.
b) un elemento del núcleo.
10. Obtenga una base y la dimensión sobre R del espacio solución de c/u de los siguientes sistemas
lineales homogéneos.
a)
c)
x+y-z=0
b)
x - y + 7z - w = 0
2x + 3y - 8z + w = 0
d)
x - 5y = 0
-x + 5y = 0
x + y - z=0
2x - 4y + 3z = 0
-5x + 13y -10z = 0
11. Sea A ∈ R5x6 con rango 5
a) ¿Cuál es la dimensión del espacio solución del sistema AX = 0?
b) ¿ AX = B es compatible para todo B ∈ R5x1?
12. Sea un sistema lineal AX=B de 6 ecuaciones con 4 incógnitas compatible determinado.
a) ¿Cuál es el rango de A? Justifique.
b) ¿Es compatible para todo B ∈ R6x1? Justifique.
13. Sea A ∈ R3x3 con rango 3
¿El sistema AX =B es compatible determinado para todo B ∈ R3x1?
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