Límites-continuidad

Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
1
TEMA 8 – LIMITES
CÁLCULO DE LÍMITES
EJERCICIO 1 : Da una definición para estas expresiones y represéntalas gráficamente:
a) lím
3x 2
x1 x 2  1
 
d) lím  f x   
x 2
x2  9
6
x 3 x  3
b) lím
e) lím
5x 2  1
x   x 2  2x
c) lím
2x 2  2
x   x 2  1
2
5
Solución:
a) Cuando x se aproxima a “1”, la función se hace muy grande
b) Cuando x se aproxima a “3”, la función se aproxima a “6”
c) Cuando x toma valores muy grandes negativos la función se aproxima a 2.
d) Cuando x se aproxima a 2, con valores menores que 2, la función toma valores muy grandes
negativos.
e) Cuando x toma valores muy grandes positivos, la función se aproxima a 5.
Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
2
EJERCICIO 2 : Calcula:
a)
x 
e)
i)


lím e x  x 2  1
b)
3x 2  2
x   log x
lím
f)
x 4  3x
x  log x 2
lím
x1
x   2

lím x 3  log x
x 
lím

j)
lím
x
c)
g)


lím  3x 2  x 9  1 

x   

lím 2 x  x 2
x  

d)
ex
x  x  1
h)
ln x 2  1
x
x 
lím
lím
3x
x   x 2  1
Solución:


a) lím e x  x 2  1  
x  
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
x 4  3x
x 4  3x

lím
 
x   log x 2
x   log x 2
b) lím
Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.
 9
 2

9
c) lím 3x  x  1   lím  x 2   

x  
 x  


d)
ex
e x
0
 lím

0
x

1

x

1


x 
x 
e)
3x 2  2
 
x  log x
lím
lím
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logartimos.
f)
g)
x 1
lím
x  2 x
x
 lím

lím 2  x
x 
x  1
x  2  x
2
 
 
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
h)
 
 
ln x 2  1
ln x 2  1
 lím
0
x
x
x 
x 
lím
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
i)


lím x 3  log x  
x 
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
j)
lím
x  x
3x
2
1
 lím
3x
2
x  x  1

0
0

 
Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
3
EJERCICIO 3 : Halla los límites:


lím  5x 2  2x  3x 

x  
a)
 3x 2
x3 

lím 

x   x  1 x 2  1 
i)
lím
3  2 x4  1
x 
2x 4  1
d)
 x2  1
x3 

lím 

x    x  2
x 2  1 
3
f)
5x 2  3x  1
x  
c)
x 6  2x
x  
3x  2
lím
e)
x 2  3x  1
lím
b)
2x 5  1




lím  x 2  3x  2x g) lím  3x 2  1  2x h) lím


x   
x   
x   x 4  2
2x  3
lím
j)
3x 2  1
x 
Solución:
 5 x 2  2 x  3 x   5 x 2  2 x  3 x 


2


a) lím 5 x  2 x  3 x  lím 
 x 
x   
2

5 x  2x  3x
 lím
5x 2  2x  9x 2
 4 x 2  2x
 lím
x  
5 x 2  2 x  3 x x  5 x 2  2 x  3 x
x 2  3x  1
x 2  3x  1
b) lím
 lím
0
x  
x  
x 6  2x
x 6  2x
3  2 x 4 1
lím
c)
2x 4  1
x 
3  2 x 4 1
 lím
x 

2
2x 4  1
 
 2
2
 x 2 1
( x 2  1) ( x 2  1)  x 3 (x  2)
x3 
x 4  1  x 4  2x 3
lím 

  lím
 lím

x   x  2
x  x 3  x  2 x 2  2
x 2  1 x 
( x  2) ( x 2  1)
 2x 3  1
 lím 3
 2
x  x  2 x 2  x  2
d)
3x  2
lím
e)

3
5 x 2  3x  1
x 

5
3 5
5
 2
 2

 x  3x  2 x   x  3x  2 x 
 2

 2




f) lím  x  3x  2x   lím  x  3x  2x   lím

x  
 x  
 x 
x 2  3x  2 x
 lím
x 2  3x  4x 2
x  
x 2  3 x  2x
 3x 2  3x
 lím
x  
x 2  3 x  2x
 



2
2
 3x  1  2 x   3x  1  2 x 
3x 2  1  4 x 2






g) lím  3x 2  1  2x   lím
 lím

x  
 x 
x  3x 2  1  2 x
3x 2  1  2 x
 lím
x  
 x2 1
3 x 2  1  2x
3
h)
lím
x 
i)
2x 5  1
x4  2
 
3
 lím
x 
 2x 5  1
0
x4  2
 3x 2 ( x 2  1)  x 3 (x  1) 
 3x 2
x3 
3x 4  3x 2  x 4  x 3
  lím
lím 

  lím 

x   x  1 x 2  1  x  
 x 
( x  1) ( x 2  1)
x 3  x  x 2 1
2x 4  x 3  3 x 2
 
x   x 3  x 2  x  1
 lím
j)
lím
x 
2x  3
3x 2  1
 lím
x 
 2x  3
3x 2  1

2
3

2 3
3
Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
4
EJERCICIO 4 : Calcula:
a) lím
2x 3  3x 2  1
3
3 x 3  8x 2  7 x  2
x 1
 2x
d) lím 
x 3 x2  9

2x  4  2
b) lím
x 0
x  1

x  3
e) lím
3x2  x  2
c) lím
x  1 x 3  x 2  x  1
x1 1
2x 2  x  10
x 2 x3  3x2  4
Solución:
a) lím
2 x 3  3x 2  1
3
x 1
3
2
x 1
3x  8 x  7 x  2
2x  4  2
b) lím
x  1 1
x 0
 lím
 lím 3
 lím
2x  1 3
 lím 3
 3
x 1 3x  2
( 2x  4  2) ( 2 x  4  2) ( x  1  1)
2( x  1  1)
 lím
x 0 x ( 2x  4  2)
2x  4  2
x 0
2
3x  x  2
x  1 x 3  x 2  x  1
 lím

x  13x  2  
x 1 x  12 x  1
2

x 3  x  9
3x  2
lím


5
(0 )
3x  2
  
x 1 x  1x  1
lím

No existe


x 1
2x  x  1 x  3
2x  x 2  4x  3
 x 2  2x  3  18
 lím
  lím

  lím
x  3  x 3 x  3 x  3
x 3 x  3 x  3
x 3 x  3 x  3 (0)
 x 2  2x  3
  ;
x 3 x  3x  3
 x 2  2x  3
   No existe
x 3 x  3x  3
Hallamos los límites laterales: lím 
e) lím
x 0 ( x  1  1) ( 2x  4  2)
x 1 x  1x  1
3x  2
  ;
x 1 x  1x  1
 2x
(2x  4  4) ( x  1  1)
4
1
4
Hallamos los límites laterales: lím 
d) lím 
 lím
x 0 ( x  1  1) ( x  1  1) ( 2x  4  2)
2 x( x  1  1)
c) lím
2x  1 x  12
3x  2 x  12
2x 2  x  10
x  2 x 3  3x 2  4
 lím
2x  5x  2 
x 2 x  1x  2 2
2x  5
lím
x 2 x  1x  2 
2x  5
  ;
x 2 x  1x  2 
Hallamos los límites laterales: lím 
lím 

9
(0 )
2x  5
  
x 2 x  1x  2 
lím

No existe
EJERCICIO 5 : Calcula los límites:
3x
a)
x
 2 x  4  x 1

lím 

x 1  x 2  x  6 
b)
 3x  2  x 2

lím 
x 2  x2  2x  4 
3
2x
 2x 2  x  1  x  3

c) lím 
x  3 4 x  4 
1
 x2  3x  1  x

d) lím 
x 0 5x  1 
 x 2  2 x  3  x 1

e) lím 
x1 
x 1 

Solución:

2x  4
3x
 x 1

a) lím 
x 1  x 2  x  6 
lím
e
x 1
3 x ( x  2 ) ( x 1)
( x 2  x  6 ) ( x 1)
 2 x  4 x 2  x  6  3x
(  x 2 3x  2) (3x )
 2x  4
 3x
 ·
lím 
lím
lím  2
1 ·
2
x 1
x

1
x 1
x  x 6
( x 2  x 6) ( x 1)
 x  x  6  x 1  e

 x 1  e
e

lím
e
x 1
 3x ( x  2)
x 2  x 6
x
b)


3
e6
3x  2


1
e2
 3x  2 x 2  2 x  4  x

 ·
x 2 2x 4
 x 2
x
lím 
lím  2
1 ·
 3x  2  x  2
x 2
 x 2x 4  x 2  e x 2 

lím 

e
x 2  x 2  2 x  4 
lím
e
x 2
 x ( x  3) ( x  2)
( x 2  2x  4) ( x  2)
lím
e
x 2
 x ( x  3)
( x 2  2 x  4)

2
e4

1
e2
lím
e
x 2
(  x 2  5 x  6) x
( x 2  2 x  4) ( x  2)

Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
2x
 2 x 2  x 1 
5
 2 x 2  x 14 x  4  2 x
 ·
4x  4
 x 3
2x
lím 
1 ·
lím 
 2 x 2  x  1  x 3
x 3
4x  4

 x 3  e x  3 
c) lím 
e 
x 3  4 x  4 
lím
e
x 3
3
e
x0
 x 2 3x 1  3
 x 2 3x 15 x 1  3
 ·
5 x 1
 x
1
e
x 1
lím
e
x0
3x x 8 
x 2 8 x 3
lím
·
x  0 x 5 x 1
5 x 1 x  e

3x 8 
5 x 1  e  24
 x 2 2x 3  1
1 ·
x 1
 x 1
 x 2  2 x  3 x 1  1
x 2  3x  2 1
 ·
lím 
lím
·
x 1
x 1

 x 1  e x 1
x 1
x 1 
e
lím 
 x 2  2x  3  x 1
x 1


e) lím 
e
x 1 
x 1 

lím
 e x 3
2 x 2 5 x 3 2 x
·
4 x 4
x 3 
2x 1x 32x  lím 2x 12x  42
21
4x 4x 3  e x 3 4x 4   e 16  e 8
lím 
1 ·
lím 
 x 2  3x  1  x
  e x 0  5x 1
 x  e x 0 
d) lím 
x 0  5 x  1 
lím
lím
x 2· x 1
x 2
1
x 1· x 1  e lím
x 1 x 1
e 2
EJERCICIO 6 : Calcula estos límites:
x
 2  3x  2
a) lím 

x   2x  1 
 1  2x 
b) lím 

x   2x  5 
2 x 2 1
2x
 5x  2  3
c) lím 

x  4  5x 
x 1
1

e) lím  2  
x
x 
2x 3
 2x  1 
i) lím 

x   3x  2 
 x2  1 

g) lím 
x   x 2  2 
 3x 2  2

f) lím 
x   2  3x 2 
x2
j)
 2x  2 
lím 

x   3  2x 
 4x  2 
d) lím 

x   3x  5 
2x
x 2 1
 4x 2  7 

h) lím 
x   3x 2  9x 
x
x1
Solución:
 2  3x 
a) lím 

x    2 x  1


 1 2x 
b) lím 

x   2 x  5


x
2
x
 2  3x  2  3 
 lím 
  
x   2 x  1


 2
2 x 2 1


 1 2 x 
lím 
1 · 2 x 2 1

 e x    2 x  5
2x

 


 1 2 x  2 x  5 
lím 
 · 2 x 2 1
2 x 5

 e x  
lím
 e x 
8 x 2  4
2 x 5
 e   0
 5x 2  2x
 5 x  2  4 5x  2 x
12 x
12
4
lím 
1 ·
lím 
·
lím
x  
x


3
4

5
x
3



12 15x  e 15  e 5
e
e
x   4 5 x
 5x  2  3

c) lím 
e

4

5
x
x 

 4x  2 
d) lím 

x  3x  5 
e)
1

lím  2  
x
x 
x 2 1
2 x 3
1

 lím  2  
x
x 
x 1
 3x 2
f) lím 
x  2  3x 2
  4x  2 
 lím 

x   3x  5 
 3x 2
x 2 1
2 x 3
4
 
3

 
 2   0
 3x 2 2 3x 2   x 1 
·

2 3x 2   2 
  x 1 
lím 
1 · 
lím 

 2
x   2 3x 2
x  
2 





e
e


 x2 1 

g) lím 
x  x 2  2 
2x
lím
e
x  
2x 2
4 6 x 2  e 0  1
 x 2 1 
 x 2 1 x 2  2 
6x
 · 2x
lím  2 1 · 2 x
lím 
lím
x   x 2
x  
x 2  2 
x   x 2  2



e
e
e
 e0  1
x
2
 4x 2  7 


  lím  4 x  7 
h) lím 
x  3x 2  9 x 
x  3x 2  9 x 
x
4
 
3

3
 
4

0
Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
x2
 2x  1 
i) lím 

x   3x  2 
 2x  2 
j) lím 

x  3  2x 
  2x  1 
 lím 

x    3x  2 
x2
2
 
3
6

0
 2x 2 
 2 x  23 2 x 
5 x 5
5
lím 
1 · x 1
lím 
 · x 1
lím
x  
x   3 2 x
3

2
x
3

2
x




e
e
e
e 2
x 1
x  
EJERCICIO 7 : Halla los límites:
a) lím  x 2  3x  x 2  1 


x  
5
g) lím
x2  2
x  
x 2
x 3  3x
x2  x  6
x2  x  2
c) lím
x 3  5x 2  3x  9
 3x  2 
e) lím 

x   4  3x 
x 2  2x  1
x 1
j) lím
x 3
x3  x
d) lím
x3
b) lím
x0
x 1
x sen x
f) lím
x 0
x1
 3x
h) lím  2


x 2  x  4 x  2 
i ) lím
k) lím  x 2  x  x 


x   
l) lím
x 0
4  4 cos x
x2
x 0
 x  3  x 1
n) lím 

x 1  2 x  2 
x 3  3x 2
2x  2 sen x
x  sen x
1
 3x 2
3x 3 
m) lím 
 2
x   x  1 x  1 


ex  1
x  sen x
ñ) lím
x 0
x3
x cos x  sen x
Solución:
 x 2  3 x  x 2  1   x 2  3 x  x 2  1 


2
2


a) lím
x  3 x  x  1  lím 
x   

 x 
x 2  3x  x 2  1
 lím
x  


x 2  3x  x 2  1
2
2
 lím
x  
x 2  3x  x 2  1
2
 lím
x  
2
 3x  1
2
x  3x  x  1
x  3x  x  1
x  3x  x 2  1
3 x
3
 lím

x   x  x
2
x 3
x 3
1
1
b) lím 3
 lím
 lím

x 3 x  5 x 2  3 x  9
x 3 ( x  3 ) 2 ( x  1)
x  3 ( x  3) ( x  1)
(0)

Hallamos los límites laterales:
1
1
  ; lím
  

x 3 ( x  3) ( x  1)
x 3 (x  3) ( x  1)
lím

Como son distintos  No existe el límite
0
(Factorizar y simplificar (no podemos), aplicar equivalencias (no podemos porque no se
0
pueden aplicar en sumas) Lo veremos en el tema 10 (Regla de L´Hôpital)
x3  x
x x  1x  1
x x  1 2
d) lím 2
 lím
 lím

2
x 1 x  2 x  1 x 1
x 1 x  1
( 0)
( x  1)
Hallamos los límites laterales:
c)
lím
x 1
x x  1
x x  1
  ; lím
 
x 1
x 1
x 1

x 1
Como son distintos  No existe el límite
 3x 2

3x  2  4 3 x
6 x  6
lím 
1  · x 1
lím
· x 1
lím
e 
x  
 3x  2 
 4 3 x 
e) lím 
 1  e
 e x  43x
 e x  3x  4 

x   4  3x 
x sen x
x2
x2
1
1
1
f) lím 3

lím

lím
 lím


2
3
2
2
x 0 x  3x Aplicando _ equivalenc ias x 0 x  3x
x 0 x ( x  3)
x 0 ( x  3)
03 3
 
2
1
e2
Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
5
g) lím
x 3  3x
2
x 
5
 lím
 x 3  3x
2
x 
x 2
x 2
7
3
x
 lím
x 
x
5
0
2
x 1 
3x  x  1x  2
3x  x  3x  2
 3x
h) lím  2

 lím

  lím
2
x  2  x  4 x  2  x 2
x2
x 4
x2  4
lím
 x2  2
  ;
x2  4
lím
 lím
x 2
 x2  2  6

( 0)
x2  4
 x2  2
 
x2  4

x 2
Hallamos los límites laterales: x 2
No existe el límite
0
i)
No podemos factorizar ni aplicar equivalencias.( Lo veremos en el tema 10)
0
x2  x  6
( x  2) ( x  3)
x3 5
j) lím 2
 lím
 lím

x 2 x  x  2
x 2 ( x  2) ( x  1)
x 2 x  1
3
 x 2  x  .x   x 2  x  x 


2
2




k) lím
x  x  x  lím
x  x  x  lím 




 x 
 x 
x  
x2  x  x
 lím
x2  x  x2
x  
l) lím
2
 lím
x  
x x x
4  4 cos x
x 0
x
2
x
 lím
2
x x x
x  
x
 x 1
 lím

x  x x   2 x
2
4 (1  cos x )
0
    lím
 lím
x 0
 0  x 0
x2
x2
2
2  lím 2 x  2
x 0 x 2
x2
4.
 3x 2
3x 3 
3x 2 x  1 3x 3
3x 3  3x 2  3x 3
 3x 2

m) lím

 lím
 lím
 lím
 3
x   x  1 x 2  1  x 
x 
x  x 2  1
x 2 1
x2 1


1
 x 3

1
x  3 2 x  2
1
 x 1
lím
lím 
1  ·
lím
·
lím
x 1
 x  3  x 1
x 1  e x 1 ( 2 x  2) ( x 1)  e x 1
n) lím 
 1  e  2 x  2  x 1  e x 1 2x 2

x 1  2 x  2 
0
ñ)
(No podemos factorizar, ni aplicar equivalencias  No veremos en el tema 10)
0

1
2 x 2

CONTINUIDAD
EJERCICIO 8 : Dada la función f x 
3x 3  15x 2  x  5
x 2  3x  10
, estudia su continuida d. Indica el tipo de
discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua.
Solución: f x 
3x 3  15x 2  x  5
2
x  3x  10



x  5 3x 2  1
x  5 x  2
Dominio  R  {5, 2} f (x) es continua en R  {5, 2}.
Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x  5 y en x  2:
3x 2  1 76  76


7
7
x 5 x  2
lím f x   lím
x 5
 Discontinuidad evitable en x  5.
3x 2  1 13

. Hallamos los límites laterales: lím f x    ;
(0)
x 2 x  2
x 2 
lím f x   lím
x 2
Discontinuidad de salto infinito en x  2.
lím f x   
x  2
1
e4
Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
8
 ex
si
x0
 2
EJERCICIO 9 : Estudia la continuidad de la función: f x    3x  1 si 0  x  1
4  ln x si
x1

Solución:
Dominio  R
Si x  0 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
lím  f x   lím  e x  1




0: lím  f x   lím  3x 2  1  1 f x  es continua en x  0.
x 0
x 0


f 0  1


lím  f x   lím  3x 2  1  4

x 1
x 1

1: lím f x   lím 4  ln x   1 f x  es continua en x  1.
x 1
x 1



f 1  4
x 0
En x 
En x 
x 0




Por tanto, f (x) es continua en R.
EJERCICIO 10 : Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no
sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta: f x  
Solución: f x 
3x 2  2 x  8
2
x  3x  10

3x 2  2x  8
x 2  3x  10
3x  4 x  2
x  5 x  2
Dominio  R  {5, 2} f (x) es continua en R  {5, 2}.
Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x  5 y en x  2:
lím f x  lím
x  5
x  5
3 x  4 11

. Hallamos los límites laterales: lím f x    ;
x 5
(0 )
x  5 
lím f x   
x   5
Discontinuidad de salto infinito en x  5.
3x  4 10

 Discontinuidad evitable en x  2.
7
x2 x  5
lím f x   lím
x2
 2x  3
si
x  1
 x

EJERCICIO 11 : Estudia la continuidad de la siguiente función: f x    x 2  2 si  1  x  2

 3x  1 si
x2

Solución:
Dominio  R
Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones que son continuas
en los intervalos correspondientes.
Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
2x  3

 1 
x
x  1
x  1

2
1: lím  f x   lím  x  2  1 f x  es continua en x  1.
x  1
x 1


f  1  1

lím  f x   lím  x 2  2  2
 f x  es discontinua en x  2. Hay una discontinuidad de
x
x 2
2: 2

lím  f x  lím  3x  1 7  salto finito.
x 2
x 2

lím
En x 
En x 
9

f x   lím

 
 
EJERCICIO 12 : Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es
continua, indica el tipo de discontinuidad que hay: f x  
x 3  x 2  5x  3
x2  1
Solución:
Dominio  R  {1, 1}. f(x) es continua en R  {1, 1}.
Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x  1 y en x  1:
x  1 x  3   lím x  1x  3   0  0
x 3  x 2  5x  3
 lím
2
x


1
x  1x  1 x 1
x 1
2
x 1
Discontinuidad
2
lím
x  1
lím f x   lím
x 1
x 1
x  1x  3   4 . Hallamos los límites laterales:
x 1
(0 )
lím f x    ;
x 1
evitable en x 1.
lím f x   
x 1
Discontinuidad de salto infinito en x  1.
EJERCICIO 13 : Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea contínua:
2 x 3  x 2  a


f x    x 2  bx  1

ax
si
x  1
si
1 x  1
si
x 1
Solución:
- Si x  1 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones
continuas.
 lím f x   lím 2 x 3  x 2  a  a  3
x 1
x 1


- En x  1:  lím  f x   lím  x 2  bx  1  2  b 
x  1
x 1
f  1  2  b

Para que sea continua en x  1, ha de ser a  3  2  b.
 lím f x   lím x 2  bx  1  b  2
x 1
x 1

- En x  1:  lím f x   lím ax   a
x 1
x 1
f 1  a

Para que sea continua en x  1, ha de ser a  b  2.






Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
a  3  2  b
Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será continua si: 
a  b  2
10
7

a  2



3
b 

2
3x 2  2 x si x  0


EJERCICIO 14 : Estudia la continuidad de la función: f x   x 2  x  1 si 0  x  1

si x  1
1  ln x

Solución:
- Si x  0 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
lím  f x   lím  3x 2  2 x  1
x 0
x 0

 f x  es continua

- En x  0: lím  f x   lím  x 2  x  1  1 
x 0
x 0
 en x  0

f 0  1

 lím f x   lím x 2  x  1  1
x 1
x 1

- En x  1:  lím f x   lím 1  ln x   1
 Hay una discontinuidad de salto finito en x  1.
x 1
x 1
f 1  1







EJERCICIO 15 : Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
 x 2  bx  1 si x  1

f x  3 x  a
si 1  x  2
2 x  log x
si x  2
2

Solución:
- Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
 lím f x   lím  x 2  bx  1  b  2
x 1
x 1

- En x  1:  lím f x   lím 3x  a   3  a
Para que sea continua en x  1, ha de ser b  2  3  a.
x 1
x 1
f 1  3  a

 lím  f x   lím  3x  a   6  a
x 2
x  2

- En x  2:  lím  f x   lím  2 x  log 2 x  5 Para que sea continua en x2, ha de ser 6a  5, es decir a  1.
x 2
x  2
f 2  5

 Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que, para que f (x) sea continua, ha de ser:




Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
11
b  2  3  a a  1

a 1
 b4
EJERCICIO 16 : Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es
x 3  2x 2  3 x
continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta: f x  
x2  x  6
Solución:
f x  
x 3  2 x 2  3 x x ( x  3 ) ( x  1)

( x  3) ( x  2)
x2  x  6
Dominio  R  {2, 3}
f (x) es continua en R  {2, 3}. Veamos el tipo de discontinuidad que hay en x  2 y en x  3:
- En x  2: lím  f x    ; lím  f x    Hay una discontinuidad infinita en x  2.
x  2
x  2
- En x  3: lím f x   lím
x 3
x 3
x x  1 12

Hay una discontinuidad evitable en x  3.
x2
5
EJERCICIO 17 : Estudia la continuidad de la siguiente función:
 2x 2  1
si x  1

3

 2
f x   e x 1
si  1  x  1

1
si x  1
x

Solución:
- Si x  1 y x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas en los
intervalos en los que están definidas.
2x 2  1 1 
lím  f x   lím 
 
x  1
x  1
3
3
2
 Hay una discontinu idad
- En x  1: lím  f x   lím  e x 1  1 
x  1
x 1
 de salto finito en x  1.

f  1  1


2

lím f x   lím e x 1  1
x 1
x 1
 f x  es continua
1
- En x  1: lím f x   lím  1 
x 1
x 1 x
 en x  1.

f 1  1

EJERCICIO 18 : Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
 3x  a

f x   2 x 2  bx  a
 3x  1

Solución:
Dominio  R
si
x 1
si 1  x  2
si
x 2
Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
12
Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
lím f x   lím  3x  a   3  a




1: lím f x   lím 2x 2  bx  a  2  b  a 
x 1
x 1



f 1  2  b  a

x 1
En x 
x 1


Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser:3  a  2  b  a  2a  b  1


lím f x   lím 2x 2  bx  a  8  2b  a 
x 2


En x  2: lím f x   lím 3 x  1  7

x 2
x 2



f 2  7
x 2 
Para que f (x) sea continua en x  2, ha de ser: 8  2b  a  7  a  2b  1
Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:
2a  b  1  b  1  2a

a  2b  1 a  21  2a   1  a  2  4a  1  3a  3  a  1 ;
b  1
EJERCICIO 19 : Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua:
ax 2  2 x  1 si
f x   
si
 3a  ln x
x 1
x 1
Solución:
Dominio  R
Si x  1  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

lím f x   lím ax 2  2x  1  a  1

x 1
x 1


En x  1: lím f x   lím 3a  ln x   3a

x 1
x 1



f 1  a  1




Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser: a  1  3a  2a  1  a  
1
2
EJERCICIO 20 : Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x  2:
 3 x 3  11x 2  8 x  4
 3
2
f x    4 x  14 x  8 x  8

k

si
x 2
si
x 2
Solución:
Para que f (x) sea continua en x  2, ha de tenerse que: lím f x  f 2
x 2
lím f x   lím
x 2
x 2
3 x  11x  8 x  4
x  2 3 x  1  lím 3 x  1  7
 lím
3
2
x

2
4 x  14 x  8 x  8
x  22 4 x  2 x 2 4 x  2 10
3
2
f (2)  k
 Por tanto, ha de ser : k 
7
10
2
Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
13
EJERCICIO 21 : Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
 ax 2  2 x

f x   4 x 2  ax  b
 3x  b

si
x 1
si 1  x  2
si
x 2
Solución:
Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.






1: lím f x   lím 4 x 2  ax  b  4  a  b
x 1
x 1



f 1  4  a  b

lím f x   lím ax 2  2 x  a  2
x 1
En x 
x 1


Para que f (x) sea continua x  1, ha de ser: a  2  4  a  b  b  6



lím f x   lím 4x 2  ax  6  10  2a 

x 2
x 2
En x  2: lím  f x   lím  3x  6   0
x 2
x 2
f 2  0








Para que f (x) sea continua en x  2, ha de ser: 10  2a  0  2a  10  a  5
Por tanto, f (x) será continua si a  5 y b  6.
EJERCICIO 22 : Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:
 2x  a
f x    2
 x  3a  5
si
x 1
si
x 1
Solución:
Si x  1  la función es continua, pues está formada por funciones continuas.
 
x 1


x 1


1: lím f x   lím x 2  3a  5  6  3a 
x 1
x 1



f 1  2  a

lím f x   lím 2 x  a  2  a

En x 



Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser: 2  a  6  3a  4a  4  a  1
TEOREMAS
EJERCICIO 23 : Dada la función f (x)  x3  2x  1, encuentra un intervalo de amplitud
menor que 2 en el que f (x) corta al eje OX.
Solución:
f (x) es continua en R, pues es una función polinómica.
Tanteando, encontramos que f (1)  2, f (0)  1.
Es decir:
f x  es continua en  1, 0


signo de f  1 signo de f 0 
Tema 8 – Límites – Matemáticas II – 2º Bachillerato
14
Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c  (1, 0) tal que f (c)  0.
f (x) cortará al eje OX en x  c.
EJERCICIO 24 : Halla un intervalo de amplitud menor que 2 en el que la siguiente ecuación
tenga, al menos, una raíz real: 3x3  2x  7  0
Solución:
Consideramos la función f (x)  3x3  2x  7, continua por ser polinómica.
Tanteando, encontramos que f (1)  2; f (2)  21.
Es decir:
f x  es continua en 1, 2 

signo de f 1 signo de f 2
Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe, al menos, un c  (1, 2) tal que f (c)  0.
La raíz de la ecuación es c.
EJERCICIO 25 : Prueba que la función f (x)  3x  cos x  1 corta al eje OX en el intervalo
[1, 0].
Solución:
f (x) es una función continua en R, pues es suma de funciones continuas. En particular, será
continua en [1, 0].
Por otra parte:
f  1  3  0
 signo de f  1 signo de f 0
f 0   2  0 
Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c  (1, 0) tal que f (c)  0.
f (x) cortará al eje OX en x  c.
EJERCICIO 26 : Demuestra que la ecuación: x 7  3 x 2  2 x  1  0 tiene, al menos, una solución
real. Determina un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz.
Solución:
Consideramos la función f (x)  x7  3x2  2x  1, que es continua por ser polinómica.
Tanteando, encontramos que f (2)  111; f (1)  5.
Es decir:
f x  es continua en  2,1


signo de f  2  signo de f  1
Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe, al menos, un c  (2, 1) tal que f (c)  0.
La raíz de la ecuación es c.
EJERCICIO 27 : Demuestra que la ecuación e3x  4x 2  0 tiene, al menos, una solución
real en el intervalo [0, 1].
Solución:
Consideramos la función f (x)  e3x  4x 2, continua en R, pues es suma de funciones
continuas. En particular, será continua en [0, 1].
Por otra parte, tenemos que:
f 0   1  0

 signo de f 0  signo de f 1
f 1  e  3  2  0 
Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c(1, 0) tal que f (c)0.
La raíz de la ecuación es c.