Trabajo y Energia Cinetica

6
TRABAJO Y ENERGÍA
CINÉTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
Al estudiar este capítulo, usted
aprenderá:
• Qué significa que una fuerza efectúe
trabajo sobre un cuerpo, y cómo
calcular la cantidad de trabajo
realizada.
• La definición de energía cinética
(energía de movimiento) de un
cuerpo, y lo que significa
físicamente.
• Cómo el trabajo total efectuado
sobre un cuerpo cambia la energía
cinética de este, y cómo utilizar
dicho principio para resolver
problemas de mecánica.
• Cómo usar la relación entre trabajo
total y cambio de energía cinética
cuando las fuerzas no son
constantes o cuando el cuerpo
sigue una trayectoria curva, o al
presentarse ambas situaciones.
• Cómo resolver problemas que
implican potencia (rapidez para
efectuar trabajo).
176
?
Después de encontrar alimento para el desayuno, esta hormiga lo levanta y
lo transporta. Cuando la hormiga levantó la manzana, ¿la manzana realizó
trabajo sobre la hormiga?
S
uponga que trata de calcular la rapidez de una flecha disparada con un arco. Usted aplica las leyes de Newton y todas las técnicas de resolución de problemas
que hemos aprendido, pero se encuentra con un obstáculo importante: después
de que el arquero dispara la flecha, la cuerda del arco ejerce una fuerza variable que depende de la posición de la flecha. Por ello, los métodos sencillos que hemos aprendido no bastan para calcular la rapidez. No se preocupe; nos falta mucho para terminar
el estudio de la mecánica, y hay otros métodos para manejar esta clase de problemas.
El nuevo método que vamos a presentar incorpora las ideas de trabajo y energía. La
importancia de este último concepto surge del principio de conservación de la energía,
el cual establece que la energía es una entidad que se puede convertir de una forma a
otra, pero no se crea ni destruye. En un motor de automóvil, la energía química almacenada en el combustible se convierte parcialmente en la energía de movimiento del
automóvil, y parcialmente en energía térmica. En un horno de microondas, la energía
electromagnética se convierte en energía térmica para cocinar los alimentos. En estos y
todos los procesos en general, la energía total, es decir, la suma de toda la energía presente en diferentes formas, no cambia. Todavía no se ha encontrado alguna excepción.
Usaremos el concepto de energía en el resto del libro para estudiar una amplísima
gama de fenómenos físicos. La energía nos ayudará a entender por qué un abrigo nos
mantiene calientes, cómo el flash de una cámara produce un destello de luz, y el significado de la famosa ecuación de Einstein E = mc2.
En este capítulo, no obstante, nos concentraremos en la mecánica. Conoceremos
una forma importante de energía llamada energía cinética o energía de movimiento, y
su relación con el concepto de trabajo. También consideraremos la potencia, que es
la rapidez con que se realiza trabajo. En el capítulo 7 ampliaremos las ideas de trabajo
y energía cinética, para comprender más a fondo los conceptos de energía y conservación de la energía.
177
6.1 Trabajo
6.1
Trabajo
Seguramente usted estará de acuerdo en que cuesta trabajo mover un sofá pesado,
levantar una pila de libros del piso para colocarla en un estante alto, o empujar un
automóvil averiado para retirarlo de la carretera. Desde luego, todos estos ejemplos
coinciden con el significado cotidiano de trabajo: cualquier actividad que requiere un
esfuerzo muscular o mental.
En física, el trabajo tiene una definición mucho más precisa. Al utilizar esa definición, descubriremos que, en cualquier movimiento, por complicado que sea, el trabajo total realizado sobre una partícula por todas las fuerzas que actúan sobre ella
es igual al cambio en su energía cinética: una cantidad relacionada con la rapidez de
la partícula. Esta relación se cumple aun cuando dichas fuerzas no sean constantes,
una situación que puede ser difícil o imposible de manejar con las técnicas que estudiamos en los capítulos 4 y 5. Los conceptos de trabajo y energía cinética nos permitirán resolver problemas de mecánica que no podríamos haber resuelto antes.
En esta sección aprenderemos cómo se define el trabajo y cómo se calcula en
diversas situaciones que implican fuerzas constantes. Aunque ya sabemos cómo resolver problemas donde las fuerzas son constantes, el concepto de trabajo también
es útil en esos problemas. Más adelante en este capítulo deduciremos la relación entre
trabajo y energía cinética, y la aplicaremos después en problemas donde las fuerzas no son constantes.
Los tres ejemplos de trabajo antes mencionados —mover un sofá, levantar una
pila de libros y empujar un automóvil— tienen algo en común; en todos los casos
se realiza trabajo ejerciendo una fuerza sobre un cuerpo mientras este se mueve de
un lugar a otro, es decir, experimenta un desplazamiento (figura 6.1). Se efectúa más
trabajo si la fuerza es mayor (se empuja más fuerte el auto) o si el desplazamiento
es mayor (se empuja el auto una mayor distancia).
La definición física del trabajo se basa en estas observaciones. Considere un
cuerpo que experimenta un desplazamiento de magnitud s en línea recta. (Por ahora,
supondremos que todo cuerpo puede tratarse como una partícula y despreciaremos
cualquier rotación o los cambios
en la forma del cuerpo). Mientras el cuerpo se
S
S
mueve, una fuerza constante F actúa sobre él en la dirección del desplazamiento s
(figura 6.2). Definimos el trabajo W realizado por esta fuerza constante en dichas
condiciones como el producto de la magnitud F de la fuerza por la magnitud s del
desplazamiento:
W = Fs
(fuerza constante en dirección del desplazamiento rectilíneo)
(6.1)
El trabajo efectuado sobre el cuerpo es mayor si la fuerza F o el desplazamiento s son
mayores, de acuerdo con las observaciones anteriores.
CUIDADO Trabajo = W, peso = w No confunda la W mayúscula (trabajo) con la w minúscula
(peso). Si bien los símbolos son similares, trabajo y peso son cantidades distintas.
La unidad de trabajo en el SI es el joule (que se abrevia J y se pronuncia “yul”,
nombrado así en honor del físico inglés del siglo XIX James Prescott Joule). En la
ecuación (6.1), vemos que, en cualquier sistema de unidades, la unidad de trabajo
es la unidad de fuerza multiplicada por la unidad de distancia. En el SI la unidad de
fuerza es el newton y la unidad de distancia es el metro, así que 1 joule equivale a un
newton-metro (N ?m):
1 joule = (1 newton)(1 metro)
o bien,
1 J = 1 N?m
En el sistema británico, la unidad de fuerza es la libra (lb), la unidad de distancia es
el pie (ft), y la unidad de trabajo es el pie-libra (ft?lb). Las conversiones que siguen
son útiles:
1 J = 0.7376 ft ?lb
1 ft? lb = 1.356 J
Como ilustración de la ecuación (6.1), pensemos en una persona que empuja un
S
automóvil averiado. Si lo empuja y tiene un desplazamiento s con una fuerza cons-
6.1 Esta persona realiza trabajo cuando
empuja el vehículo averiado, porque ejerce
una fuerza sobre el auto al moverlo.
6.2 Trabajo realizado por una fuerza
constante que actúa en la misma dirección
del desplazamiento.
Si un cuerpo tiene un desplazaS
miento s mientras
una fuerza
S
constante F actúa sobre él en la
misma dirección ...
S
F
x
S
s
... el trabajo realizado por
la fuerza sobre el cuerpo es
W 5 Fs.
Aplicación Trabajo y fibras
musculares
Nuestra habilidad para realizar trabajo sobre
otros cuerpos proviene de nuestros músculos
esqueléticos. Las células alargadas del
músculo esquelético, mostradas en esta
micrográfica, tienen la habilidad de acortarse,
provocando que el músculo, como un todo,
se contraiga y ejerza una fuerza sobre los
tendones a los cuales está unido. El músculo
puede ejercer una fuerza aproximada de 0.3 N
por milímetro cuadrado de área transversal:
cuanto mayor sea la sección transversal,
más fibras tiene el músculo y mayor fuerza
podrá ejercer al contraerse.
178
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
6.3 Trabajo realizado por una fuerza constante que actúa con un ángulo relativo al desplazamiento.
S
El automóvil tiene
S
un desplazamiento s
mientras una
fuerza
S
constante F actúa
sobre él, con un
ángulo f con respecto
al desplazamiento.
F
F ' no efectúa trabajo
sobre el auto.
S
F
F' 5 F sen f
f
Fi 5 F cos f
Solo Fi realiza trabajo sobre el auto:
W 5 Fis 5 (F cos f)s
5 Fs cos f
S
s
S
ActivPhysics 5.1: Work Calculations
tante F en la dirección del movimiento, la cantidad de trabajo que realiza sobre el
auto está dada por la ecuación (6.1): W = Fs. Sin embargo, ¿qué ocurre si la persona
empuja con
un ángulo f con respecto al desplazamiento del automóvil (figura 6.3)?
S
Entonces F tiene una componente F‘ = F cos f en la dirección del desplazamiento y
una componente F› = F sen f que actúa perpendicular al desplazamiento.
(Otras
S
fuerzas actúan sobre el automóvil, no necesariamente en la dirección de F cuando se
S
mueve en la dirección de s , sin embargo, solo nos interesa el trabajo realizado por
la persona, así que solo consideraremos la fuerza que esta ejerce). En tal caso, solo la
componente paralela F‘ contribuye a mover el automóvil, por lo que definimos el trabajo como el producto de esta componente de fuerza por la magnitud del desplazamiento.
Por lo tanto, W = F‘ s = (F cos f)s o bien,
W = Fs cos f
(fuerza constante, desplazamiento rectilíneo)
(6.2)
Estamos suponiendo
que F y f son constantes durante el desplazamiento. Si f = 0,
S
S
de modo que F y s tienen la misma dirección, entonces cos f = 1 y volvemos a la
ecuación (6.1).
La ecuación (6.2)
tiene la forma del producto escalar de dos vectores, presentado
S S
en la sección 1.10: A B = AB cos f. Quizás usted desee repasar esa definición. Por
lo tanto, podemos escribir la ecuación (6.2) de forma más compacta:
#
S
#
S
W = F s
(fuerza constante, desplazamiento rectilíneo)
(6.3)
CUIDADO El trabajo es un escalar Veamos un aspecto fundamental: el trabajo es una cantidad escalar, aunque se calcule usando dos cantidades vectoriales (fuerza y desplazamiento).
Una fuerza de 5 N hacia el este que actúa sobre un cuerpo que se mueve 6 m al este realiza
exactamente la misma cantidad de trabajo que una fuerza de 5 N al norte que actúa sobre un
cuerpo que se mueve 6 m al norte.
Ejemplo 6.1
Trabajo efectuado por una fuerza constante
a) Steve ejerce una fuerza constante de magnitud igual a 210 N (aproximadamente 47 lb) sobre el automóvil averiado de la figura 6.3, mientras lo empuja una distancia de 18 m. Además, un neumático se desinfló, así que, para lograr que el auto avance al frente, Steve debe
empujarlo con un ángulo de 30° con respecto a la dirección del
movimiento. ¿Cuánto trabajo efectúa Steve? b) Con ánimo de ayudar,
Steve empuja un segundo automóvil averiado con una fuerza constanS
te F ⴝ 1160 N2ın ⴚ 140 N2≥n . El desplazamiento del automóvil es
S
s ⴝ 114 m2ın ⴙ 111 m2≥n . ¿Cuánto trabajo efectúa Steve en este caso?
S
S
(6.2). En el inciso b), se proporcionan F y s en términos de las componentes, de modo SqueSes mejor calcular el producto escalar usando la
ecuación (1.21): A B = AxBx + AyBy + AzBz .
#
EJECUTAR: a) A partir de la ecuación (6.2),
W = Fs cos f = 1210 N2118 m2cos 30° = 3.3 * 10 3 J
S
b) Las componentes de F son Fx = 160 N y Fy = -40 N, y las comS
ponentes de s son x = 14 m y y = 11 m. (No hay componentes z para
ningún vector). Así, utilizando las ecuaciones (1.21) y (6.3), tenemos
S
#
S
W = F s = Fxx + Fyy
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: En ambos incisos, a) y b), la incógnita es
el trabajo W efectuado por Steve. En los dos casos, la fuerza es constante y el desplazamiento es rectilíneo,
así que podemos usar la
S
S
ecuación (6.2) o la (6.3). El ángulo entre F y s se da explícitamente en
el inciso a), de manera que podemos aplicar directamente la ecuación
= 1160 N2114 m2 + 1-40 N2111 m2
= 1.8 * 10 3 J
EVALUAR: En cada caso, el trabajo que efectúa Steve es mayor de
1000 J. Estos resultados indican que 1 joule es relativamente poco
trabajo.
179
6.1 Trabajo
S
S
S
6.4 Una fuerza constante F puede hacer trabajo positivo, negativo o cero, dependiendo del ángulo entre F y el desplazamiento s .
Dirección de la fuerza (o de la componente de la fuerza)
a)
Situación
Diagrama de fuerzas
S
S
F
S
La fuerza F tiene una componente en la dirección del desplazamiento:
W 5 Fi s 5 1F cos f2 s
El trabajo espositivo.
F
S
f
S
La fuerza F tiene una componente opuesta a la dirección
del desplazamiento:
W 5 Fi s 5 1F cos f2 s
El trabajo esnegativo (porque F cos f es negativo para 90° , f , 180°).
F
F
f
F'
f
Fi 5 F cos f
S
s
S
La fuerza (o componenteF'de la fuerza) es perpendicular a la dirección
del desplazamiento:La fuerza (o componente de la fuerza)
no realiza
trabajo sobre el objeto.
S
S
S
F
S
F
F
c)
f
Fi 5 F cos f
S
s
b)
F
F'
S
F
f 5 90°
S
s
Trabajo: Positivo, negativo o cero
En el ejemplo 6.1, el trabajo efectuado al empujar los autos fue positivo. No obstante,
es importante entender que el trabajo también puede ser negativo o cero. Esta es la
diferencia esencial entre la definición de trabajo en física y la definición “cotidiana”
del mismo. Si la fuerza tiene una componente en la misma dirección que el desplazamiento (f entre 0° y 90°), cos f en la ecuación (6.2) es positivo y el trabajo W es positivo (figura 6.4a). Si la fuerza tiene una componente opuesta al desplazamiento (f
entre 90° y 180°), cos f es negativo y el trabajo es negativo (figura 6.4b). Si la fuerza
es perpendicular al desplazamiento, f = 90° y el trabajo realizado por la fuerza es
cero (figura 6.4c). Los casos donde el trabajo es cero y negativo ameritan mayor estudio; veamos algunos ejemplos.
Hay muchas situaciones donde actúan fuerzas, pero sin realizar trabajo. Quizás
usted piense que “cuesta trabajo” sostener una barra de halterofilia inmóvil en el aire
durante 5 minutos (figura 6.5); pero en realidad no se está realizando trabajo sobre la
barra porque no hay desplazamiento. Nos cansamos porque las componentes de las fibras musculares de los brazos realizan trabajo al contraerse y relajarse continuamente.
Sin embargo, se trata de trabajo efectuado por una parte del brazo que ejerce fuerza
sobre otra, no sobre la barra. (En la sección 6.2 hablaremos más del trabajo realizado por
una parte de un cuerpo sobre otra). Aun si usted camina con velocidad constante por un
piso horizontal llevando un libro, no realiza trabajo sobre este. El libro tiene un desplazamiento, pero la fuerza de soporte (vertical) que usted ejerce sobre el libro no tiene
componente en la dirección (horizontal) del movimiento: f = 90° en la ecuación (6.2)
y cos f = 0. Si un cuerpo se desliza por una superficie, el trabajo realizado sobre él por
la fuerza normal es cero; y cuando una pelota atada a una cuerda se mueve con movimiento circular uniforme, el trabajo realizado sobre ella por la tensión en la cuerda es
cero. En ambos casos, el trabajo es cero porque la fuerza no tiene componente en la
dirección del movimiento.
¿Qué significa realmente realizar trabajo negativo? La respuesta está en la
tercera ley de Newton del movimiento. Cuando un levantador de pesas baja una
barra como en la figura 6.6a, sus manos y la barra se
mueven juntas con el misS
S
mo desplazamiento s . La barra ejerce una fuerza Fbarra sobre manos sobre sus manos
en la misma dirección que el desplazamiento de estas, así que el trabajo realizado
por la barra sobre sus manos es positivo (figura 6.6b). Sin embargo, por la tercera
ley
de Newton, las manos
del levantador de pesas ejercen una fuerza igual y opuesta
S
S
Fmanos sobre barra = -Fbarra sobre manos sobre la barra (figura 6.6c). Esta fuerza, que evita que la barra se estrelle contra el piso, actúa opuesta al desplazamiento de la barra.
Por lo tanto, el trabajo realizado por sus manos sobre la barra es negativo. Puesto que
?
6.5 Un levantador de pesas no realiza
trabajo sobre una barra si la mantiene
estacionaria.
S
F
El levantador de pesas
ejerce una fuerza hacia
arriba sobre la barra ...
... pero como la barra
está estacionaria (su
desplazamiento es cero),
no realiza trabajo
sobre ella.
180
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
6.6 Las manos de este levantador de pesas efectúan trabajo negativo sobre la barra, mientras que la barra realiza trabajo positivo sobre sus manos.
a) Un levantador de pesas baja una barra al piso.
c) Las manos del levantador de pesas
realizan trabajo negativo sobre la barra.
b) La barra efectúa trabajo positivo
sobre las manos del levantador de pesas.
S
Fmanos sobre barra
S
s
S
S
Fbarra sobre manos
s
S
s
La fuerza de la barra sobre las
manos del levantador de pesas tiene
la misma dirección que el desplazamiento
de las manos.
La fuerza de las manos del levantador
de pesas sobre la barra es opuesta
al desplazamiento de la barra.
las manos del levantador de pesas y la barra tienen el mismo desplazamiento, el trabajo realizado por sus manos sobre la barra es justo el negativo del realizado por la barra
sobre sus manos. En general, cuando un cuerpo realiza trabajo negativo sobre otro
cuerpo, este realiza una cantidad igual de trabajo positivo sobre el primero.
CUIDADO Tenga presente quién efectúa el trabajo Siempre hablamos de trabajo realizado
sobre un cuerpo específico por una fuerza determinada. Nunca olvide especificar exactamente
qué fuerza realiza el trabajo en cuestión. Si levantamos un libro, ejercemos una fuerza hacia
arriba sobre el libro y el desplazamiento de este es hacia arriba, así que el trabajo realizado por
la fuerza de levantamiento sobre el libro es positivo. En cambio, el trabajo realizado por la
fuerza gravitacional (peso) sobre el libro que se levanta es negativo, porque tal fuerza es
opuesta al desplazamiento hacia arriba.
Trabajo total
¿Cómo calculamos el trabajo cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo? Podemos usar las ecuaciones (6.2) o (6.3) para calcular el trabajo realizado por cada fuerza
individual. Puesto que el trabajo es una cantidad escalar, el trabajo total Wtot realizado
por todas las fuerzas sobre el cuerpo es la suma algebraica de los trabajos realizados por las fuerzas individuales. Otra forma de obtener Wtot es calcular
la suma vecS
torial de las fuerzas (es decir, la fuerza neta) y usarla en lugar de F en la ecuación
(6.2) o (6.3). El siguiente ejemplo ilustra ambas técnicas.
Ejemplo 6.2
Trabajo realizado por varias fuerzas
Un granjero engancha un remolque cargado con leña a su tractor y lo
arrastra 20 m sobre el suelo horizontal (figura 6.7a). El peso total del
remolque y la carga es de 14,700 N. El tractor ejerce una fuerza constante de 5000 N a 36.9° sobre la horizontal. Una fuerza de fricción de
3500 N se opone al movimiento del remolque. Calcule el trabajo realizado por cada fuerza que actúa sobre el remolque y el trabajo total de
todas las fuerzas.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Todas las fuerzas son constantes y el
desplazamiento del remolque es rectilíneo, de manera que podemos
calcular el trabajo empleando los conceptos usados en esta sección.
Obtendremos el trabajo total de dos maneras: 1. sumando los trabajos
efectuados por cada fuerza sobre el remolque, y 2. calculando el trabajo efectuado por la fuerza neta que actúa sobre el remolque. Primero
dibujaremos un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas
que actúan sobre el remolque y elegiremos un sistema de coordenadas
(figura 6.7b). Conocemos el ángulo entre el desplazamiento (en la
dirección +x) y cada una de las cuatro fuerzas: peso, fuerza normal,
fuerza del tractor y fuerza de fricción. Por lo tanto, con la ecuación
(6.2) calculamos el trabajo realizado por cada fuerza.
Como vimos en el capítulo 5, para obtener la fuerza neta sumamos
las componentes de las cuatro fuerzas. La segunda ley de Newton nos
dice que, como el movimiento del remolque es exclusivamente horizontal, la fuerza neta solo tiene la componente horizontal.
EJECUTAR: 1. El trabajo Ww realizado por el peso es cero, porque su
dirección es perpendicular al desplazamiento (compare esto con la
figura 6.4c). Por la misma razón, el trabajo Wn realizado por la fuerza
normal es cero. (Observe que no necesitamos calcular la magnitud n
para concluir esto). Entonces, Ww = Wn = 0.
Nos queda el trabajo WT efectuado por la fuerza FT ejercida por el
tractor y el trabajo Wf realizado por la fuerza de fricción f. De acuerdo
con la ecuación (6.2),
WT = FTs cos f = 15000 N2120 m210.8002 = 80,000 N # m
= 80 kJ
S
La fuerza de fricción ƒ es opuesta al desplazamiento, así que f = 180°
y cos f = -1. Nuevamente, por la ecuación (6.2),
Wƒ = ƒs cos 180° = 13500 N2120 m21 -12 = - 70,000 N # m
= - 70 kJ
6.2 Energía cinética y el teorema trabajo-energía
6.7 Cálculo del trabajo realizado sobre un remolque con leña que es
arrastrado por un tractor.
b) Diagrama de cuerpo libre
del remolque
a)
181
2. En el segundo enfoque, primero obtenemos la suma vectorial
de todas las fuerzas (la fuerza neta) y la usamos para calcular el trabajo total. La mejor forma de hacerlo es usando componentes. De
la figura 6.7b,
a Fx = FT cos f + 1- ƒ2 = 15000 N2 cos 36.9° - 3500 N
= 500 N
a Fy = FT sen f + n + 1 -w2
f
= 15000 N2 sen 36 .9° + n - 14,700 N
No necesitamos la segunda ecuación; sabemos que la componente y de
fuerza es perpendicular al desplazamiento, así que no realiza trabajo.
Además, no hay componente y de aceleración, así que de cualquier
forma ©Fy debe ser cero. Por lo tanto, el trabajo total es el realizado
por la componente x total:
Wtot = 1 a F2 # s = 1 a Fx2s = 1500 N2120 m2 = 10,000 J
= 10 kJ
S
El trabajo total Wtot realizado por todas las fuerzas sobre el remolque
es la suma algebraica del trabajo realizado por cada fuerza individual:
Wtot = Ww + Wn + WT + Wƒ = 0 + 0 + 80 kJ + 1-70 kJ2
= 10 kJ
S
EVALUAR: Obtenemos el mismo valor de Wtot con los dos métodos, como
debe ser. Observe también que la fuerza neta en la dirección x no es
cero, así que el remolque se está acelerando. En la sección 6.2 volveremos a este ejemplo y veremos cómo usar el concepto de trabajo para
analizar los cambios de rapidez del remolque.
Evalúe su comprensión de la sección 6.1 Un electrón se mueve en línea
recta hacia el este con una rapidez constante de 8 * 107 m兾s. Sobre él actúan tres
fuerzas: eléctrica, magnética y gravitacional. Durante un desplazamiento de 1 metro,
el trabajo total efectuado sobre el electrón es i. positivo, ii. negativo, iii. cero; iv. no hay
suficiente información para determinarlo.
6.2
Energía cinética y el teorema
trabajo-energía
El trabajo total realizado por fuerzas externas sobre un cuerpo se relaciona con el desplazamiento de este, es decir, con los cambios en su posición, pero también está relacionado con los cambios en la rapidez del cuerpo. Para comprobarlo, considere la
figura 6.8, que muestra tres ejemplos de un bloque que se desliza sobre una mesa sin
S
S
fricción. Las
fuerzas que actúan sobre el bloque son su peso w, la fuerza normal n
S
y la fuerza F ejercida por la mano.
En la figura 6.8a, la fuerza neta sobre el bloque está en la dirección de su movimiento. Por la segunda ley de Newton, esto significa que el bloque se acelera; la ecuación (6.1) nos indica también que el trabajo total Wtot efectuado sobre el bloque es
positivo. El trabajo total es negativo en la figura 6.8b porque la fuerza neta se opone
al desplazamiento; aquí el bloque se frena. La fuerza neta es cero en la figura 6.8c, así
que la rapidez del bloque no cambia y el trabajo total efectuado sobre él es cero.
Podemos concluir que, cuando una partícula se desplaza, se acelera si Wtot 7 0, se
frena si Wtot 6 0 y mantiene su rapidez si Wtot = 0.
Hagamos más cuantitativas tales observaciones. Considere una partícula con masa
m que se mueve en el eje x bajo la acción de una fuerza neta constante de magnitud F
dirigida a lo largo del eje +x (figura 6.9). La aceleración de la partícula es constante
y está dada por la segunda ley de Newton, F = max. Suponga que la rapidez cambia
de v1 a v2 mientras la partícula experimenta un desplazamiento s = x2 - x1 desde el
PhET: The Ramp
182
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
6.8 Relación entre el trabajo total efectuado sobre un cuerpo y el cambio en la rapidez del cuerpo.
a)
b)
c)
Un bloque que se desliza hacia la derecha sobre
una superficie sin fricción.
v
Si usted empuja a la
derecha sobre el bloque
en movimiento, la fuerza
neta sobre el bloque es
hacia la derecha.
v
v
Si usted empuja a la
izquierda sobre el bloque
en movimiento, la fuerza
neta sobre el bloque es
hacia la izquierda.
Si usted empuja
directamente hacia
abajo sobre el bloque
en movimiento, la
fuerza neta sobre el
bloque es cero.
n
n
n
S
s
S
S
s
s
F
F
w
w
w
• El trabajo total efectuado sobre el bloque
S
durante un desplazamiento s es positivo: Wtot 0.
• El bloque aumenta de rapidez.
S
6.9 Una fuerza neta constante F realiza
trabajo sobre un cuerpo en movimiento.
Rapidez v1
m
x1
• El trabajo total efectuado sobre el bloque
S
durante un desplazamiento s es negativo:
Wtot , 0.
• El bloque se frena.
S
• El trabajo total realizado sobre el
bloque durante un desplazaS
miento s es cero: Wtot 5 0.
• La rapidez del bloque permanece igual.
punto x1 al x2. Usando una ecuación de aceleración constante, la ecuación (2.13), y
sustituyendo v0x por v1, vx por v2 y (x - x0) por s, tenemos
Rapidez v2
S
Fuerza neta F
m
x
s
F
v22 = v12 + 2ax s
v22 - v12
ax =
2s
x2
Al multiplicar esta ecuación por m e igualar max a la fuerza neta F, obtenemos
F = max = m
Fs =
6.10 Comparación de la energía cinética
K = 12 mv2 de diferentes cuerpos.
v
m
La misma masa, la misma rapidez, direcciones
de movimiento diferentes: la misma
energía cinética
2m
S
S
v
v
El doble de masa, la misma
rapidez: el doble de energía
cinética
m
1
2
mv12
(6.4)
(definición de energía cinética)
(6.5)
S
v
m
mv22 -
y
El producto Fs es el trabajo efectuado por la fuerza neta F y, por lo tanto, es igual al
trabajo total Wtot realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Llamamos a la cantidad 12 mv2 la energía cinética K de la partícula:
K = 12 mv2
S
m
1
2
v22 - v12
2s
S
v
m
S
2v
La misma masa, el doble
de rapidez: el cuádruple de
energía cinética
Al igual que el trabajo, la energía cinética de una partícula es una cantidad escalar;
solo depende de la masa y la rapidez de la partícula, no de la dirección del movimiento (figura 6.10). Un automóvil (visto como partícula) tiene la misma energía cinética
cuando va hacia el norte a 10 m兾s que cuando va hacia el este a 10 m兾s. La energía cinética nunca puede ser negativa, y es cero solo si la partícula está en reposo.
Ahora podemos interpretar la ecuación (6.4) en términos de trabajo y energía
cinética. El primer término del miembro derecho de la ecuación (6.4) es K2 = 12 mv22,
la energía cinética final de la partícula (es decir, después del desplazamiento). El
segundo término es la energía cinética inicial, K1 = 12 mv12, y la diferencia entre estos
términos es el cambio de energía cinética. Entonces, la ecuación (6.4) nos dice que:
El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de
energía cinética de la partícula:
Wtot = K 2 - K 1 = ¢K
(teorema trabajo-energía)
Este resultado es el teorema de trabajo-energía.
(6.6)
6.2 Energía cinética y el teorema trabajo-energía
183
El teorema trabajo-energía concuerda con nuestras observaciones acerca del
bloque de la figura 6.8. Si Wtot es positivo, la energía cinética aumenta (la energía
cinética final K2 es mayor que la energía cinética inicial K1) y la partícula tiene mayor
rapidez al final del desplazamiento que al principio. Si Wtot es negativo, la energía
cinética disminuye (K2 es menor que K1) y la rapidez es menor después del desplazamiento. Si Wtot = 0, la energía cinética permanece igual (K1 = K2) y la rapidez no
cambia. Observe que el teorema trabajo-energía solo indica los cambios en la rapidez, no en la velocidad, pues la energía cinética no depende de la dirección del
movimiento.
De acuerdo con la ecuación (6.4) o la (6.6), la energía cinética y el trabajo deben
tener las mismas unidades. Por lo tanto, el joule es la unidad del SI tanto del trabajo
como de la energía cinética (y, como veremos, de todos los tipos de energía). Para
verificarlo, observe que en el SI la cantidad K = 12 mv2 tiene unidades de kg ⴢ(m兾s)2
o kgⴢ m2兾s2; recordemos que 1 N = 1 kg ⴢm兾s2, así que
1 J = 1 N # m = 1 1kg # m>s22 # m = 1 kg # m2>s2
En el sistema británico, la unidad de energía cinética y trabajo es
1 ft # lb = 1 ft # slug # ft>s2 = 1 slug # ft 2>s2
Puesto que usamos las leyes de Newton para deducir el teorema trabajo-energía,
solo podemos usarlo en un marco de referencia inercial. Observe también que el teorema es válido en cualquier marco inercial; sin embargo, los valores de Wtot y K2 - K1
podrían diferir de un marco inercial a otro (porque el desplazamiento y la rapidez de
un cuerpo pueden ser distintos en marcos diferentes).
Dedujimos el teorema trabajo-energía para el caso especial de movimiento rectilíneo con fuerzas constantes, y en los siguientes ejemplos solo lo aplicaremos a ese caso
especial. En la siguiente sección veremos que el teorema es válido en general, aun si
las fuerzas no son constantes y la trayectoria de la partícula es curva.
Estrategia para resolver problemas 6.1
Trabajo y energía cinética
IDENTIFICAR los conceptos relevantes: El teorema trabajo-energía,
Wtot = K2 - K1, es extremadamente útil en situaciones donde se desea
relacionar la rapidez v1 de un cuerpo en un punto de su movimiento,
con su rapidez v2 en otro punto. (El enfoque es menos útil en problemas donde interviene el tiempo que tarda un cuerpo en ir del punto 1 al
punto 2, porque en el teorema trabajo-energía no interviene el tiempo.
En estos problemas suele ser mejor utilizar las relaciones entre tiempo, posición, velocidad y aceleración descritas en los capítulos 2 y 3).
PLANTEAR el problema aplicando los siguientes pasos:
1. Identifique las posiciones inicial y final del cuerpo, y dibuje un diagrama de cuerpo libre con todas las fuerzas que actúan sobre él.
2. Elija un sistema de coordenadas. (Si el movimiento es rectilíneo,
lo más fácil suele ser que las posiciones tanto inicial como final
estén sobre uno de los ejes).
3. Elabore una lista de las cantidades conocidas y desconocidas, e
identifique las incógnitas. La incógnita puede ser la rapidez inicial
o final; la magnitud de una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, o el desplazamiento de este.
EJECUTAR la solución: Calcule el trabajo W efectuado por cada fuerza. Si la fuerza es constante y el desplazamiento es en línea recta, se
puede usar la ecuación (6.2) o la (6.3). (Más adelante, en este capítulo,
veremos cómo manejar fuerzas variables y trayectorias curvas). Revise
los signos; W debe ser positivo si la fuerza tiene una componente en
la dirección del desplazamiento, negativo si la fuerza tiene una componente opuesta al desplazamiento, y cero si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares.
Sume los trabajos realizados por cada fuerza para obtener el trabajo
total Wtot. Algunas veces es más fácil obtener la suma vectorial de las
fuerzas (la fuerza neta) y luego calcular el trabajo efectuado por la
fuerza neta; este valor también es Wtot.
Escriba expresiones para las energías cinética inicial y final, K1 y
K2. Tenga presente que en la energía cinética interviene la masa, no
el peso; si se conoce el peso del cuerpo se usa w = mg para calcular
la masa.
Por último, use la ecuación (6.6), Wtot = K2 - K1, y la ecuación
(6.5), K = 12 mv2 para despejar la incógnita. Recuerde que el miembro
derecho de la ecuación (6.6) es el cambio de la energía cinética del
cuerpo entre los puntos 1 y 2, es decir, la energía cinética final menos
la energía cinética inicial, nunca al revés. (Si logra predecir el signo
de Wtot, puede saber si el cuerpo acelera o desacelera).
EVALUAR la respuesta: Compruebe que su respuesta sea lógica. Recuerde que la energía cinética K = 12 mv2 nunca puede ser negativa.
Si obtiene una K negativa, quizás intercambió las energías inicial y
final en Wtot = K2 - K1 o cometió un error de signo en uno de los cálculos del trabajo.
184
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
Ejemplo 6.3
Uso del trabajo y la energía para calcular la rapidez
Veamos otra vez el remolque de la figura 6.7 y los resultados del ejemplo 6.2. Suponga que la rapidez inicial v1 del remolque es de 2.0 m兾s.
¿Cuál es la rapidez del remolque después de avanzar 20 m?
SOLUCIÓN
EJECUTAR: Para escribir expresiones de las energías cinéticas inicial
y final, necesitamos la masa del remolque y la carga. El peso combinado es de 14,700 N, así que la masa es
m =
14,700 N
w
=
= 1500 kg
g
9 .8 m > s2
Entonces, la energía cinética inicial K1 es
1
2
K 2 = 12 mv22 = 12 11500 kg2v22
El teorema trabajo-energía, ecuación (6.6), da
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Usaremos el teorema trabajo-energía,
ecuación (6.6), Wtot = K2 - K1, pues se conoce la rapidez inicial v1 =
2.0 m兾s y nos piden calcular la rapidez final v2. La figura 6.11 muestra
el esquema de la situación. El movimiento es en la dirección +x.
Ya calculamos el trabajo total de todas las fuerzas en el ejemplo 6.2:
Wtot = 10 kJ. Por lo tanto, la energía cinética del remolque y su carga
debe aumentar en 10 kJ, y la rapidez del remolque también se debe
incrementar.
K1 =
La energía cinética final K2 es
mv12 = 12 11500 kg212 .0 m > s22 = 3000 kg # m2 > s2
= 3000 J
K 2 = K 1 + Wtot = 3000 J + 10,000 J = 13,000 J
Igualando estas dos expresiones de K2, sustituyendo 1 J = 1 kg ⴢm2兾s2
y despejando v2, tenemos
v2 = 4.2 m > s
EVALUAR: El trabajo total es positivo, de manera que la energía cinética aumenta (K2 7 K1) y la rapidez aumenta (v2 7 v1).
Este problema también se puede resolver sin el enfoque de trabaS
S
jo-energía. Es posible obtener la aceleración a partir de g F ⴝ ma y
luego usar las ecuaciones de movimiento con aceleración constante
para calcular v2. Como la aceleración está a lo largo del eje x,
a = ax =
500 N
a Fx
=
= 0.333 m>s2
m
1500 kg
Entonces, usando la ecuación (2.13),
v22 = v12 + 2as = 12.0 m> s22 + 2 10.333 m > s22120 m2
= 17.3 m2>s2
v2 = 4.2 m>s
6.11 Esquema para este problema.
Remolque
Ejemplo 6.4
Este es el mismo resultado que se obtuvo con el enfoque trabajoenergía; no obstante, ahí evitamos el paso intermedio de calcular la
aceleración. Veremos varios ejemplos más en este capítulo y en el siguiente que pueden resolverse sin tomar en cuenta la energía, aunque
si la consideramos, resultan más fáciles. Cuando un problema puede
resolverse con dos métodos distintos, utilizar ambos (como lo hicimos
aquí) es una buena forma de comprobar los resultados.
Fuerzas sobre un martillo
En un martinete, un martillo de acero de 200 kg se levanta 3.00 m sobre la parte superior de una viga vertical en forma de I que se va a clavar en el suelo (figura 6.12a). El martillo se suelta, introduciendo la
viga 7.4 cm en el suelo. Los rieles verticales que guían el martillo
ejercen una fuerza de fricción constante de 60 N sobre este. Use el
teorema trabajo-energía para determinar a) la rapidez del martillo justo
cuando golpea la viga en forma de I y b) la fuerza media que el martillo ejerce sobre la viga. Ignore los efectos del aire.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Usaremos el teorema trabajo-energía para relacionar
la rapidez del martillo en distintas ubicaciones con las fuerzas que actúan sobre él. Aquí nos interesan tres posiciones: el punto 1, donde el
martillo parte del reposo; el punto 2, donde hace contacto por primera
vez con la viga, y el punto 3, donde el martillo y la viga se detienen
(véase la figura 6.12a). Las dos incógnitas son la rapidez del martillo
en el punto 2 y la fuerza media que el martillo ejerce entre los puntos 2
y 3. Entonces, aplicaremos el teorema trabajo-energía dos veces: una
para el movimiento de 1 a 2, y otra para el movimiento de 2 a 3.
PLANTEAR: La figura 6.12b muestra las fuerzas verticales sobre el
martillo conforme cae del punto 1 al punto 2. (Podemos ignorar las
fuerzas horizontales cualesquiera que pudieran estar presentes, pues no
efectúan trabajo cuando el martillo se desplaza verticalmente). En esta
parte del movimiento, la incógnita es la rapidez final del martillo, v2.
La figura 6.12c muestra las fuerzas verticales que actúan sobre el
martillo durante el movimiento del punto 2 al punto 3. Además de las
fuerzas representadas en la figura 6.12b, la viga en forma de I ejerce
una fuerza normal hacia arriba de magnitud n sobre el martillo. En
realidad, esta fuerza varía conforme el martillo se va deteniendo; pero,
por sencillez, consideraremos n constante. Así, n representa el valor
medio de esta fuerza hacia arriba durante el movimiento. La incógnita
en esta parte del movimiento es la fuerza que el martillo ejerce sobre
la viga; es la fuerza de reacción a la fuerza normal ejercida por la viga,
así que por la tercera ley de Newton su magnitud también es n.
6.2 Energía cinética y el teorema trabajo-energía
EJECUTAR: a) Del punto 1 al punto 2, las fuerzas verticales son el
peso w = mg = (200 kg)(9.8 m兾s2) = 1960 N hacia abajo, y la fuerza
de fricción f = 60 N hacia arriba. La fuerza neta hacia abajo es entonces w - f = 1900 N. El desplazamiento del martillo del punto 1 al
punto 2 es sl2 = 3.00 m hacia abajo. El trabajo total realizado sobre
el martillo del punto 1 al 2 es entonces,
La energía cinética inicial en esta parte del movimiento es K2 que,
de acuerdo con el inciso a), es igual a 5700 J. La energía cinética final
es K3 = 0 (el martillo se detiene). Entonces, por el teorema trabajoenergía,
Wtot = 1w - ƒ - n2s23 = K 3 - K 2
K3 - K2
n = w - ƒ s23
0 J - 5700 J
= 1960 N - 60 N = 79,000 N
0.074 m
Wtot = 1w - ƒ2s12 = 11900 N213 .00 m2 = 5700 J
En el punto 1 el martillo está en reposo, así que su energía cinética K1
es cero. De manera que la energía cinética K2 en el punto 2 es igual al
trabajo total realizado sobre el martillo entre los puntos 1 y 2:
Wtot = K 2 - K 1 = K 2 - 0 =
v2 =
1
2
2 mv2
- 0
2 15700 J2
2Wtot
=
= 7 .55 m>s
C 200 kg
B m
Esta es la rapidez del martillo en el punto 2, justo antes de golpear la
viga en forma de I.
b) Mientras el martillo se mueve hacia abajo del punto 2 al 3, su
desplazamiento es s23 = 7.4 cm = 0.074 m, y la fuerza neta hacia abajo
que actúa sobre él es w - f - n (véase la figura 6.12c). El trabajo total
realizado sobre el martillo durante el desplazamiento es
La fuerza hacia abajo que el martillo ejerce sobre la viga en forma de I
tiene esta misma magnitud, 79,000 N (unas 9 toneladas): más de 40 veces el peso del martillo.
EVALUAR: El cambio neto en la energía cinética del martillo del punto 1 al punto 3 es cero; una fuerza neta relativamente pequeña efectúa trabajo positivo a lo largo de una distancia grande, y luego una
fuerza neta mucho mayor realiza trabajo negativo en una distancia
mucho más corta. Lo mismo sucede si usted acelera un automóvil
gradualmente y choca contra una pared. La fuerza tan grande necesaria para reducir la energía cinética a cero en una distancia corta es
lo que daña el automóvil (y quizás al conductor).
Wtot = 1w - f - n2s23
6.12 a) Un martinete clava una viga en forma de I en el suelo. b), c) Diagramas de cuerpo libre. Las longitudes de los vectores no están
a escala.
a)
b) Diagrama de cuerpo
libre del martillo que cae
c) Diagrama de cuerpo libre del martillo
al clavar la viga en forma de I
y
y
Punto 1
f 5 60 N
x
3.00 m
185
n
v
w 5 mg
Punto 2
7.4 cm
Punto 3
f 5 60 N
x
w 5 mg
Significado de la energía cinética
El ejemplo 6.4 ilustra el significado físico de la energía cinética. El martillo se deja
caer a partir del reposo y, al golpear la viga en forma de I, su energía cinética es igual
al trabajo total realizado sobre él hasta ese punto por la fuerza neta. Esto se cumple en
general: para acelerar una partícula de masa m desde el reposo (energía cinética igual
186
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
6.13 Cuando un jugador de billar golpea
una bola blanca en reposo, la energía cinética
de la bola después de ser golpeada es igual
al trabajo que el taco efectuó sobre ella.
Cuanto mayor sea la fuerza ejercida por el
taco y mayor sea la distancia que la bola se
mueve mientras está en contacto con el taco,
mayor será la energía cinética de la bola.
Ejemplo conceptual 6.5
a cero) hasta cierta rapidez, el trabajo total efectuado sobre ella debe ser igual al cambio de energía cinética desde 0 hasta K = 12 mv2:
Wtot = K - 0 = K
Así, la energía cinética de una partícula es igual al trabajo total que se efectuó para acelerarla desde el reposo hasta su rapidez actual (figura 6.13). La definición K = 12 mv2
(ecuación 6.5) no se eligió al azar: es la única definición que coincide con esta interpretación de la energía cinética.
En la segunda parte del ejemplo 6.4, se usó la energía cinética del martillo para
efectuar trabajo sobre la viga en forma de I y clavarla en el suelo. Esto nos brinda
otra interpretación de la energía cinética: la energía cinética de una partícula es
igual al trabajo total que puede efectuar una partícula mientras se detiene. Por esa
razón, movemos hacia atrás la mano y el brazo cuando atrapamos una pelota. Al detenerse la pelota, realiza una cantidad de trabajo (fuerza por distancia) sobre la mano
igual a la energía cinética inicial de la pelota. Al hacer la mano hacia atrás, aumentamos la distancia donde actúa la fuerza y así reducimos la fuerza ejercida sobre
nuestra mano.
Comparación de energías cinéticas
Dos veleros para hielo como el del ejemplo 5.6 (sección 5.2) compiten en un lago horizontal sin fricción (figura 6.14). Los veleros tienen
masas m y 2m, respectivamente; pero sus velas
son idénticas, así que
S
el viento ejerce la misma fuerza constante F sobre cada velero. Los
dos veleros parten del reposo y la meta está a una distancia s. ¿Cuál
velero cruza la meta con mayor energía cinética?
6.14 Carrera entre veleros en el hielo.
F
F
m
SOLUCIÓN
Si usamos la definición matemática de energía cinética, K = 12 mv2,
ecuación (6.5), la respuesta a este problema no es tan evidente. El
velero con masa 2m tiene mayor masa, y podríamos suponer que
alcanza mayor energía cinética en la línea de meta; no obstante, el
velero más ligero de masa m tiene mayor aceleración y cruza la meta
con mayor rapidez, por lo que podríamos suponer que este velero tiene
mayor energía cinética. ¿Cómo decidimos?
La clave es recordar que la energía cinética de una partícula es igual
al trabajo total realizado para acelerarla desde el reposo. Ambos veleros recorren la misma distancia s desde el reposo, y solo la fuerza
horizontal F en la dirección del movimiento realiza trabajo sobre ellos.
Por lo tanto, el trabajo total efectuado entre la salida y la meta es el
mismo para los dos veleros, Wtot = Fs. En la meta, cada velero tiene
una energía cinética igual al trabajo Wtot efectuado sobre él, ya que
cada velero partió del reposo. Así, ¡ambos veleros tienen la misma
energía cinética en la meta!
2m
Salida
s
Meta
Quizás el lector piense que se trata de una pregunta “capciosa”,
pero no es así. Si usted entiende realmente el significado físico de cantidades como la energía cinética, será capaz de resolver problemas más
fácilmente y con mayor comprensión.
Observe que no tuvimos necesidad de conocer el tiempo que cada
velero tardó en llegar a la meta. La razón es que el teorema trabajoenergía no hace referencia directa al tiempo, solo al desplazamiento. De hecho, el velero de masa m tiene una mayor aceleración, por lo
que tarda menos tiempo que el velero más grande de masa 2m en llegar a la meta.
Trabajo y energía cinética en sistemas compuestos
En esta sección nos hemos cuidado de aplicar el teorema trabajo-energía solo a cuerpos que podemos representar como partículas, esto es, como masas puntuales en movimiento. En los sistemas complejos que deben representarse en términos de muchas
partículas con diferentes movimientos, surgen aspectos más sutiles que no podemos
ver con detalle en este capítulo; solo veremos un ejemplo.
187
6.3 Trabajo y energía con fuerza variable
Considere a un niño parado en patines, sin fricción, sobre una superficie horizontal
viendo hacia una pared rígida (figura 6.15). Él empuja la pared, poniéndose en moviS
miento hacia la derecha. Las fuerzas que actúan sobre él son su peso w, las fuerzas
S
S
normales, n1 y n2 hacia arriba ejercidas por el suelo sobre sus patines, y la fuerza hoS
rizontal F ejercida sobre el niño por
la pared. No hay desplazamiento vertical, así que
S
S S
S
w, n1 y n2 no efectúan trabajo. F es la fuerza que lo acelera a la derecha, pero las
partes de su cuerpo donde se aplica
esa fuerza (las manos del niño) no se mueven
S
mientras actúa la fuerza, así que F tampoco realiza trabajo. ¿De dónde proviene
entonces la energía cinética del niño?
La explicación es que no es correcto representar al niño como una masa puntual.
Diferentes partes del cuerpo tienen distintos movimientos; las manos están estacionarias contra la pared mientras el torso se aleja de esta. Las diversas partes del
cuerpo interactúan y una puede ejercer fuerzas y realizar trabajo sobre otra. Por lo
tanto, la energía cinética total de este sistema de partes corporales compuesto puede
cambiar, aunque las fuerzas aplicadas por cuerpos externos al sistema (como la pared)
no realicen trabajo. En el capítulo 8 veremos más a fondo el movimiento de un conjunto de partículas que interactúan. Descubriremos que, al igual que sucede con el niño
del ejemplo, la energía cinética total del sistema puede cambiar aun cuando el exterior
no realice trabajo sobre alguna parte del sistema.
6.15 Fuerzas externas que actúan sobre
un patinador que se empuja contra una pared.
El trabajo realizado por estas fuerzas es cero,
pero aun así, la energía cinética del patinador
cambia.
r
F
r
w
nr1
nr2
Evalúe su comprensión de la sección 6.2 Clasifique los siguientes cuerpos
de acuerdo con su energía cinética, de menor a mayor. i. Un cuerpo de 2.0 kg que se
mueve a 5.0 m兾s; ii. un cuerpo de 1.0 kg que inicialmente estaba en reposo y que luego
tiene 30 J de trabajo realizado sobre él; iii. un cuerpo de 1.0 kg que inicialmente estaba
moviéndose a 4.0 m兾s y luego tiene 20 J de trabajo efectuado sobre él; iv. un cuerpo de
2.0 kg que inicialmente estaba moviéndose a 10 m兾s y luego realizó 80 J de trabajo sobre
otro cuerpo.
6.3
Trabajo y energía con fuerza variable
Hasta ahora hemos considerado solo trabajo efectuado por fuerzas constantes. Pero,
¿qué sucede cuando estiramos un resorte? Cuanto más lo estiramos, con más fuerza
debemos tirar, así que la fuerza ejercida no es constante al estirarlo. También hemos
analizado únicamente movimiento rectilíneo. Existen muchas situaciones en las que
una fuerza, que varía en magnitud, dirección o en ambas, actúa sobre un cuerpo
que sigue una trayectoria curva. Necesitamos aprender a calcular el trabajo realizado
por la fuerza en estos casos más generales. Por fortuna, veremos que el teorema trabajo-energía se cumple aun cuando las fuerzas varíen y la trayectoria del cuerpo no
sea recta.
6.16 Cálculo del trabajo efectuado por una
fuerza variable Fx en la dirección x cuando
una partícula se mueve de x1 a x2.
a) La partícula se mueve de x1 a x2 en respuesta
a una fuerza variable en la dirección x
F1x
F2x
x
x1
x2
b)
Trabajo efectuado por una fuerza variable,
movimiento rectilíneo
Para agregar solo una complicación a la vez, consideremos un movimiento rectilíneo
en el eje x con una fuerza cuya componente Fx varía conforme el cuerpo se mueve.
(Un ejemplo de la vida cotidiana es conducir un automóvil en una carretera recta, con
señales de alto, de modo que el conductor pisa el acelerador y frena de manera alternada). Suponga que una partícula se mueve sobre el eje x de x1 a x2 (figura 6.16a).
La figura 6.16b es una gráfica de la componente x de la fuerza en función de la coordenada x de la partícula. Para determinar el trabajo realizado por esta fuerza, se divide
el desplazamiento total en segmentos pequeños, ¢xa, ¢xb, etcétera (figura 6.16c).
Aproximamos el trabajo realizado por la fuerza en el segmento ¢xa como la componente x media de fuerza Fax en ese segmento multiplicada por el desplazamiento ¢xa.
Hacemos esto para cada segmento y después sumamos los resultados de todos los
segmentos. El trabajo realizado por la fuerza en el desplazamiento total de x1 a x2
es aproximadamente
W = Fax ¢x a + Fbx ¢x b + Á
Fx
F2x
Gráfica de la fuerza
en función de la
posición
F1x
O
x1
x2
x2 2 x1
x
c)
Fx La altura de cada franja
representa la fuerza Fex
promedio para Fdx
ese intervalo.
Fcx
Fbx
Fax
O x1 Δxa
Δxb
Δxc
Δxd
Δxe
Ff x
Δxf
x2
x
188
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
En el límite donde el número de segmentos se vuelve muy grande y el ancho de los
segmentos muy pequeño, la suma se convierte en la integral de Fx de x1 a x2:
PhET: Molecular Motors
PhET: Stretching DNA
x2
W =
El área rectangular bajo la línea
representa el trabajo efectuado por
la fuerza constante de magnitud F
Fx durante el desplazamiento s:
W 5 Fs
F
x
x2
x1
s 5 x2 ⫺ x1
x2
W =
Lx1
x2
Fx dx = Fx
dx = Fx1x 2 - x 12
(fuerza constante)
(fuerza requerida para estirar un resorte)
(6.8)
donde k es una constante llamada constante de fuerza (o constante de resorte). Las
unidades de k son de fuerza dividida entre distancia: N兾m en el SI y lb兾ft en unidades
británicas. Un resorte blando de juguete, como un Slinky™, tiene una constante de
fuerza cercana a 1 N兾m; para los resortes mucho más rígidos de la suspensión de un
automóvil, k es del orden de 105 N兾m. La observación de que la fuerza es directamente proporcional al alargamiento, cuando este no es demasiado grande, fue realizada por Robert Hooke en 1678 y se conoce como ley de Hooke; sin embargo, no
debería llamarse “ley”, pues es un enunciado acerca de un dispositivo específico, y
no una ley fundamental de la naturaleza. Los resortes reales no siempre cumplen con
precisión la ecuación (6.8), pero se trata de un modelo idealizado útil. Analizaremos
la ley de Hooke más a fondo en el capítulo 11.
Para estirar un resorte, debemos efectuar trabajo. Aplicamos fuerzas iguales y
opuestas a los extremos del resorte y las aumentamos gradualmente. Mantenemos fijo
el extremo izquierdo, de modo que la fuerza aplicada en este punto no efectúa trabajo. La fuerza en el extremo móvil sí efectúa trabajo. La figura 6.19 es una gráfica
de Fx como función de x, el alargamiento del resorte. El trabajo realizado por esta
fuerza cuando el alargamiento va de cero a un valor máximo X es
6.18 La fuerza necesaria para estirar
un resorte ideal es proporcional a su
alargamiento: Fx = kx.
x
2Fx
Fx 5 kx
6.19 Cálculo del trabajo efectuado para
estirar un resorte una longitud X.
El área bajo la línea representa el trabajo
realizado sobre el resorte cuando este se
estira de x 5 0 a un valor máximo X:
1
W 5 2 kX2
Fx
X
W =
Fx 5 k x
L0
Fx dx =
X
L0
kx dx = 12 kX 2
(6.9)
También podemos obtener este resultado gráficamente. El área del triángulo sombreado de la figura 6.19, que representa el trabajo total realizado por la fuerza, es igual a
la mitad del producto de la base y la altura:
kX
x
X
Lx1
Pero x2 - x1 = s, el desplazamiento total de la partícula. Así, en el caso de una fuerza
constante F, la ecuación (6.7) indica que W = Fs, lo cual coincide con la ecuación
(6.1). La interpretación del trabajo como el área bajo la curva de Fx en función de x
también es válida para una fuerza constante; W = Fs es el área de un rectángulo de
altura F y anchura s (figura 6.17).
Apliquemos ahora lo aprendido al resorte estirado. Para mantener un resorte estirado una distancia x más allá de su longitud sin estirar, debemos aplicar una fuerza
de igual magnitud en cada extremo (figura 6.18). Si el alargamiento x no es excesivo,
la fuerza aplicada al extremo derecho tiene una componente x directamente proporcional a x:
Fx = kx
O
(6.7)
Observe que Fax¢xa es el área de la primera franja vertical de la figura 6.16c, y que la
integral de la ecuación (6.7) representa el área bajo la curva de la figura 6.16b entre x1
y x2. En una gráfica de fuerza como una función de la posición, el trabajo total realizado por la fuerza está representado por el área bajo la curva entre las posiciones
inicial y final. Otra interpretación de la ecuación (6.7) es que el trabajo W es igual a
la fuerza media que actúa a lo largo de todo el desplazamiento, multiplicada por el
desplazamiento.
En el caso especial en que Fx, la componente x de la fuerza, es constante, puede
sacarse de la integral de la ecuación (6.7):
6.17 Trabajo realizado por una fuerza
constante F en la dirección x conforme
una partícula se mueve de x1 a x2.
O
Lx1
(componente x de fuerza variable,
desplazamiento rectilíneo)
Fx dx
W = 121X21kX2 = 12 kX 2
6.3 Trabajo y energía con fuerza variable
Esta ecuación también indica que el trabajo es la fuerza media kX/2 multiplicada por
el desplazamiento total X. Vemos que el trabajo total es proporcional al cuadrado del
alargamiento final X. Para estirar un resorte ideal 2 cm, necesitamos efectuar cuatro
veces más trabajo que para estirarlo 1 cm.
La ecuación (6.9) supone que el resorte no estaba estirado originalmente. Si el resorte ya está estirado una distancia x1, el trabajo necesario para estirarlo a una distancia mayor x2 (figura 6.20a) es
x2
W =
Lx1
189
6.20 Cálculo del trabajo efectuado para
estirar un resorte desde cierta extensión
hasta una extensión mayor.
a) Estiramiento de un resorte de una elongación
x1 a una elongación x 2
x2
Fx dx =
Lx1
kx dx = 12 kx22 - 12 kx12
x
(6.10)
El lector debería utilizar lo que sabe de geometría para convencerse de que el área
trapezoidal bajo la línea en la figura 6.20b está dada por la expresión de la ecuación
(6.10).
Si el resorte tiene espacios entre las espiras cuando no está estirado, puede comprimirse, y la ley de Hooke se cumple también para la compresión. En este caso, la
fuerza y el desplazamiento tienen direcciones opuestas a las de la figura 6.18, así que
Fx y x en la ecuación (6.8) son negativas. Como Fx y x se invierten, de nuevo la fuerza tiene la misma dirección del desplazamiento y el trabajo realizado por Fx otra vez
es positivo. Entonces, el trabajo total sigue siendo el que se encuentra mediante la
ecuación (6.9) o la (6.10), aun si X es negativo o x1 o x2, o ambos, son negativos.
x50
x 5 x1
x 5 x2
b) Gráfica de fuerza contra distancia
El área trapezoidal bajo la línea representa el
trabajo efectuado sobre el resorte para estirarlo
1
1
de x 5 x1 a x 5 x 2: W 5 2 kx 22 2 2 kx 12
Fx
kx 2
kx1
x50
x 5 x1
x 5 x2
x
CUIDADO Trabajo efectuado sobre un resorte contra trabajo efectuado por un resorte Observe que el trabajo que se determina mediante la ecuación (6.10) es el que usted debe efectuar
sobre un resorte para cambiar su longitud. Por ejemplo, si estira un resorte que originalmente
está relajado, x1 = 0, x2 7 0 y W 7 0: la fuerza aplicada por usted a un extremo del resorte tiene
la misma dirección que el desplazamiento, y el trabajo efectuado es positivo. En cambio, el trabajo que el resorte efectúa sobre el objeto al que se une está dado por el negativo de la ecuación
(6.10). Por lo tanto, cuando estiramos un resorte, este efectúa trabajo negativo sobre nosotros.
¡Fíjese bien en el signo del trabajo para evitar confusiones más adelante!
Ejemplo 6.6
Trabajo sobre una balanza de resorte
Una mujer que pesa 600 N se sube a una báscula que contiene un resorte rígido (figura 6.21). En equilibrio, el resorte se comprime 1.0 cm
bajo su peso. Calcule la constante de fuerza del resorte y el trabajo
total efectuado sobre él durante la compresión.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: En equilibrio, la fuerza hacia arriba ejercida por el resorte equilibra la fuerza hacia abajo del peso de la mujer.
Usaremos este principio y la ecuación (6.8) para determinar la constante de fuerza k, y emplearemos la ecuación (6.10) para calcular el
6.21 Compresión de un resorte en una báscula de baño.
Por la elección del eje, tanto la componente
de fuerza como el desplazamiento son
negativos. El trabajo sobre el resorte
es positivo.
trabajo W que la mujer efectúa sobre el resorte para comprimirlo. Hacemos que los valores positivos de x correspondan al alargamiento (hacia
arriba en la figura 6.21), de modo que tanto el desplazamiento del extremo del resorte (x) como la componente x de la fuerza que la mujer
ejerce sobre él (Fx) sean negativos. La fuerza aplicada y el desplazamiento tienen la misma dirección, de modo que el trabajo realizado sobre el resorte es positivo.
EJECUTAR: La parte superior del resorte se desplaza x = -1.0 cm =
-0.010 m, y la fuerza que la mujer aplica al resorte es Fx = -600 N.
De acuerdo con la ecuación (6.8), la constante de fuerza es
k =
Fx
- 600 N
=
= 6.0 * 104 N>m
x
- 0.010 m
Entonces, usando x1 = 0 y x2 = -0.010 m en la ecuación (6.10),
tenemos
W = 12 kx 22 - 12 kx 12
1x
Fx , 0
21.0 cm
= 12 16.0 * 104 N>m21 -0.010 m22 - 0 = 3.0 J
EVALUAR: El trabajo efectuado es positivo, como se esperaba. Nuestra
selección arbitraria de la dirección positiva no afecta el valor de W.
Compruébelo haciendo que la dirección +x sea hacia abajo, correspondiente a la compresión. ¿Obtendrá los mismos valores de k y W?
190
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
Aplicación Los tendones son resortes
no ideales
Los músculos ejercen fuerzas a través de los
tendones que los sujetan a los huesos. Un tendón está formado por fibras largas, rígidas y
elásticas de colágeno. La figura muestra cómo
los tendones de las patas traseras de un
ualabí (un canguro pequeño) se estiran como
respuesta a la fuerza aplicada. El tendón no
presenta el sencillo comportamiento rectilíneo
de un resorte ideal, de modo que el trabajo
realizado se tiene que calcular por integración
[ecuación (6.7)]. Observe que el tendón ejerce
menos fuerza mientras se relaja que cuando
se alarga. Como resultado, el tendón relajado
solo efectúa aproximadamente el 93% del
trabajo realizado para estirarlo.
Teorema trabajo-energía para movimiento rectilíneo,
con fuerzas variables
En la sección 6.2 dedujimos el teorema trabajo-energía, Wtot = K2 - K1, para el caso
especial de movimiento rectilíneo con fuerza neta constante. Ahora podemos demostrar que dicho teorema se cumple aun si la fuerza varía con la posición. Al igual que
en la sección 6.2, consideremos una partícula que experimenta un desplazamiento x
bajo la acción de una fuerza neta F con una componente x, a la que ahora se le permite variar. Como en la figura 6.16, dividimos el desplazamiento total x en muchos
segmentos pequeños ¢x. Podemos aplicar el teorema trabajo-energía, ecuación (6.6),
a cada segmento porque el valor de Fx es aproximadamente constante en cada uno.
El cambio de energía cinética en el segmento ¢xa es igual al trabajo Fax¢xa, y así
sucesivamente. El cambio total de la energía cinética es la suma de los cambios en los
segmentos individuales y, por lo tanto, igual al trabajo total efectuado sobre la partícula en todo el desplazamiento. Así, Wtot = ¢K se cumple para fuerzas variables y
también para fuerzas constantes.
Veamos una deducción alternativa del teorema trabajo-energía para una fuerza que
varía con la posición, lo cual implica hacer un cambio de variable usando vx en lugar de x en la integral del trabajo. Como preámbulo, recordemos que la aceleración
a de una partícula puede expresarse de varias formas, usando ax = dvx兾dt, vx = dx兾dt
y la regla de la cadena para derivadas:
ax =
500
(6.11)
Con este resultado, la ecuación (6.7) nos dice que el trabajo total efectuado por la
fuerza neta Fx es
Fuerza ejercida por
el tendón (N)
1000
dvx
dvx dx
dvx
=
= vx
dt
dx dt
dx
x2
Wtot =
Extensión máxima del tendón
Lx1
x2
Fx dx =
Lx1
x2
max dx =
Lx1
mvx
dvx
dx
dx
(6.12)
Ahora, (dvx兾dx)dx es el cambio de velocidad dvx durante el desplazamiento dx, así que
podemos sustituir (dvx兾dx)dx por dvx en la ecuación (6.12). Esto cambia la variable
de integración de x a vx, así que cambiamos los límites de x1 y x2 a las velocidades
correspondientes v1 y v2 en esos puntos. Esto nos da
Tendón estirándose
v2
Wtot =
Tendón relajado
O
1
2
Extensión (mm)
3
Lv1
mvx dvx
La integral de vx dvx es vx2兾2. Sustituyendo los límites superior e inferior, tenemos
finalmente
Wtot = 12 mv22 - 12 mv12
(6.13)
Esto es lo mismo que la ecuación (6.6); por lo tanto, el teorema trabajo-energía es
válido aun sin el supuesto de que la fuerza neta es constante.
Ejemplo 6.7
Movimiento con fuerza variable
Un deslizador de riel, con aire, de masa igual a 0.100 kg se conecta al
extremo del riel horizontal con un resorte cuya constante de fuerza
es 20.0 N兾m (figura 6.22a). Inicialmente, el resorte no está estirado
y el deslizador se mueve con rapidez de 1.50 m兾s a la derecha. Calcule
la distancia máxima d que el deslizador se mueve a la derecha, a) si el
aire del riel está activado, de modo que no hay fricción; y b) si se corta el suministro de aire al riel, de modo que hay fricción cinética con
coeficiente mk = 0.47.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: La fuerza ejercida por el resorte no es constante, así que no podemos usar las fórmulas de aceleración constante
del capítulo 2 para resolver este problema. En cambio, emplearemos el
teorema trabajo-energía, ya que en el trabajo total realizado interviene
la distancia recorrida (nuestra incógnita). En las figuras 6.22b y 6.22c,
elegimos la dirección +x a la derecha (la dirección del movimiento del
deslizador). Consideramos x = 0 en la posición inicial del deslizador
(donde el resorte está relajado) y x = d (la incógnita) en la posición
donde se detiene el deslizador. El movimiento es exclusivamente horizontal, así que solo las fuerzas horizontales realizan trabajo. Observe
que la ecuación (6.10) da el trabajo efectuado por el deslizador sobre
el resorte al estirarse; no obstante, para usar el teorema trabajo-energía
necesitaremos el trabajo efectuado por el resorte sobre el deslizador,
es decir, el negativo de la ecuación (6.10). Se espera que el deslizador
se mueva más rápido sin fricción que con fricción.
6.3 Trabajo y energía con fuerza variable
tica es, entonces, fk = mkn = mkmg, en dirección opuesta al desplazamiento, y el trabajo que efectúa es
6.22 a) Deslizador sujeto a un riel, con aire, mediante un resorte.
b) y c) Diagramas de cuerpo libre.
b) Sin fricción
a)
k
Wfric = ƒkd cos 180° = - ƒkd = - mkmgd
c) Con fricción
m
v1
El trabajo total es la suma de Wfric y el trabajo efectuado por el resorte,
- 12 kd 2. El teorema trabajo-energía indica que
-mkmgd - 12 kd 2 = 0 - 12 mv12
resorte
1
2
2 kd
resorte
+ mkmgd -
EJECUTAR: a) La ecuación (6.10) dice que conforme el deslizador se
mueve de x1 = 0 a x2 = d, efectúa una cantidad de trabajo W = 12 kd 2 1
1
2
2
2 k(0) = 2 kd sobre el resorte. La cantidad de trabajo que el resorte
efectúa sobre el deslizador es el negativo de este: - 12 kd 2. El resorte se
estira hasta que el deslizador llega instantáneamente al reposo, así
que la energía cinética final es K2 = 0. La energía cinética inicial es
1
2
2 mv1 , donde v1 = 1.50 m兾s es la rapidez inicial del deslizador.
Usando el teorema trabajo-energía, tenemos,
0 .100 kg
m
= 11 .50 m>s2
Ak
C 20 .0 N>m
= 0 .106 m = 10 .6 cm
d = v1
Después, el resorte estirado tira del deslizador hacia la izquierda, así
que este solo se encuentra en reposo instantáneamente.
b) Si se desactiva el aire, debemos incluir el trabajo efectuado por
la fuerza de fricción cinética. La fuerza normal n es igual en magnitud al peso del deslizador, ya que el riel es horizontal y no hay otras
fuerzas verticales. La magnitud constante de la fuerza de fricción ciné-
10.47210.100 kg219.80 m>s22
mkmg
=
= 0.02303 m
k
20.0 N>m
2
mv12 10.100 kg211.50 m>s2
=
= 0.01125 m2
k
20.0 N>m
de manera que
EVALUAR: Observe que si establecemos que mk = 0, la solución algebraica para d en el inciso b) se reduce a d = v1 1m>k, el resultado con
fricción igual a cero del inciso a). Con fricción, el deslizador se mueve una distancia más corta. Una vez más, el deslizador se detiene
instantáneamente y de nuevo la fuerza del resorte tira de él hacia la
izquierda; el hecho de que se mueva o no dependerá de la magnitud
de la fuerza de fricción estática. ¿Qué valor debería tener el coeficiente de fricción estática ms para evitar que el deslizador regrese a la
izquierda?
Podemos generalizar más nuestra definición de trabajo para incluir una fuerza que varía
de dirección y magnitud, con un desplazamiento a lo largo de una trayectoria curva. La
figura 6.23a muestra una partícula que se mueve de P1 a P2 siguiendo una curva.
Dividimos la curva entre esos puntos en Smuchos desplazamientos
vectoriales infiniteS
simales, llamando
a
cada
uno
de
estos
Cada
es
tangente
a
la trayectoria en su
d
l
.
d
l
S
ubicación.
Sea
la
fuerza
en
este
punto
cualquiera
de
la
trayectoria,
y sea f el ángulo
F
S
S
entre F y d l en ese punto. De manera que el pequeño
elemento
de
trabajo dW realiS
zado sobre la partícula durante el desplazamiento d l puede escribirse como
S
#
S
dW = F cos f dl = FΠdl = F d l
S
S
donde F‘ = F cos f es la componente de F en la dirección paralela a d l (figura
S
6.23b). El trabajo total realizado por F sobre la partícula al moverse de P1 a P2 es,
entonces,
LP1
LP1
P2
FΠdl =
mk mg
mk mg 2
mv12
⫾
a
b +
k
C
k
k
Tenemos
Teorema trabajo-energía para movimiento
P2
= 0
La cantidad d es un desplazamiento positivo, de manera que solo tiene
sentido el valor positivo de d. Así, con fricción, el deslizador se mueve
una distancia d = 0.086 m = 8.6 cm.
Despejamos la distancia d que recorre el deslizador:
F cos f dl =
o bien,
d = - 10 .02303 m2 ⫾ 210 .02303 m22 + 0 .01125 m2
= 0 .086 m o bien, -0 .132 m
- 12 kd 2 = 0 - 12 mv12
P2
1
2
2 mv1
Esta es una ecuación cuadrática para d. Las soluciones son
d = -
W =
191
LP1
S
#
S
(trabajo efectuado en
F d l una trayectoria curva)
(6.14)
192
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
6.23 Una partícula sigue una trayectoria
curva de
P a P2 bajo la acción de una
S 1
fuerza F que varía en magnitud y dirección.
a)
P2
S
F
P1
f
S
dl
S
En un desplazamiento
infinitesimal dl, la
S
fuerza F realiza un trabajo dW sobre
la partícula:
S
S
dW 5 F # dl 5 F cos f dl
b)
P2
S
F
F
f
P1
S
F 5 F cos f
Ahora podemos demostrar que el teorema trabajo-energía, ecuación (6.6), se cumple aun con
fuerzas variables y desplazamiento a lo largo de una trayectoriaScurva.
S
La fuerza F es prácticamente constante en cualquier segmento infinitesimal d l de la
trayectoria, así que podemos aplicar el teorema trabajo-energía para movimiento rectilíneo a ese segmento. Entonces, el cambio de energía
cinética, K, de la partícula en
S S
ese segmento es igual al trabajo dW = F‘ dl = Fⴢd l realizado sobre la partícula.
La suma de estos trabajos infinitesimales de todos los segmentos de la trayectoria nos
da el trabajo total realizado, ecuación (6.14), que es igual al cambio total de energía
cinética en toda la trayectoria. Por lo tanto, Wtot = ¢K = K2 - K1 se cumple en general, sean cuales fueren la trayectoria y las características de las fuerzas. Esto puede
demostrarse con mayor rigor siguiendo pasos como los de las ecuaciones (6.11) a
(6.13).
Observe que solo la componente de la fuerza neta paralela a la trayectoria, F‘, realiza trabajo sobre la partícula, así que solo dicha componente puede cambiar la rapidez
y la energía cinética de la partícula. La componente perpendicular a la trayectoria,
F› = F sen f, no afecta la rapidez de la partícula; solo cambia su dirección.
La integral de la ecuación (6.14) se conoce como integral de línea. Para evaluar la
integral en un problema específico,
necesitamos una descripción detallada de la traS
yectoria y de cómo varía F a lo largo de esta. Normalmente expresamos la integral de
línea en términos de alguna variable escalar, como en el ejemplo que sigue.
dl
S
Tan solo la componente de F paralela al
f, contribuye
desplazamiento, F 5 F cos
S
al trabajo efectuado por F.
Ejemplo 6.8
Movimiento en una trayectoria curva
En un día de campo familiar, le piden empujar a su odioso primo Morton en un columpio (figura 6.24a). El peso de Morton es w, la longitud
de las cadenas es R, y usted lo empuja hasta que las cadenas forman un
ángulo u0Scon la vertical. Para ello, usted ejerce una fuerza horizontal
variable F que comienza en cero y aumenta en forma gradual apenas
lo suficiente para que Morton y el columpio se muevan lentamente y
permanezcan casi en equilibrio. ¿Qué trabajo total realizan todas las
fuerzas sobre Morton? ¿Qué trabajo realiza la tensión
T en las cadeS
nas? ¿Qué trabajo efectúa usted aplicando la fuerza F? (Ignore el peso
de las cadenas y el asiento).
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: El movimiento sigue una curva, así que
usaremos la ecuación (6.14) para calcular el trabajoS efectuado por la
fuerza neta, por la fuerza de tensión y por la fuerza F . La figura 6.24b
muestra el diagrama de cuerpo libre y el sistema de coordenadas para
algún punto arbitrario en el movimiento de Morton. Se han sustituido
las dos tensiones de las cadenas por una sola tensión, T.
EJECUTAR: Hay dos formas de determinar el trabajo total efectuado
durante el movimiento: 1. calculando el trabajo efectuado por cada
fuerza y sumando después esas cantidades, y 2. calculando el trabajo
efectuado por la fuerza neta. La segunda estrategia es mucho más fácil
porque Morton está en equilibrio en todos los puntos, así que la fuerza
neta sobre él es cero, la integral de la fuerza neta de la ecuación (6.14)
es cero y el trabajo total realizado sobre él es cero.
También es fácil calcular el trabajo efectuado por la tensión T de
la cadena, porque esta fuerza es perpendicular a la dirección del movimiento en todos los puntos de la trayectoria. Por lo tanto, en todos los
puntos, elS ángulo entre la tensión de la cadena y el vector desplazamiento d l es de 90°, y el producto escalar de la ecuación (6.14) es
cero. De esta manera, el trabajo realizado por la tensión de la cadena
es cero.
6.24 a) Se empuja al primo Morton en un columpio. b) Diagrama
de cuerpo libre.
a)
b) Diagrama de cuerpo libre
de Morton (se desprecia
el peso de las cadenas
y del asiento)
u
R
sen
S
S
F
dl
u
s
S
Para calcular el trabajo realizado por F, debemos averiguar cómo
varía esta fuerza con el ángulo u. La fuerza neta sobre Morton es cero,
así que ©Fx = 0 y ©Fy = 0. A partir de la figura 6.24b obtenemos,
a Fx = F + 1-T sen u2 = 0
a Fy = T cos u + 1- w2 = 0
Eliminando T de estas dos ecuaciones, obtenemos la magnitud
F = w tan u.
S
El punto donde se aplica F se mueve a través del arco s (figura
6.24a). La longitud del arco s es igual al radio R de la trayectoria circular multiplicado por su longitud u (en radianes): s = Ru. Por lo tanto, el
6.4 Potencia
S
desplazamiento d l que corresponde al pequeño cambioSdel ángulo du
tiene magnitud dl = ds = R du. El trabajo efectuado por F es
W =
F # dl
S
L
S
S
d l ⴝ nı ds cos u ⴙ n≥ ds sen u. De forma análoga, podemos representar las tres fuerzas como
S
=
L
T ⴝ nı 1- T sen u2 ⴙ n≥ T cos u
S
w ⴝ n≥ 1-w2
F cos u ds
Expresando ahora F y ds en términos del ángulo u, cuyo valor se incrementa de 0 a u0:
u0
W =
193
u0
1w tan u2 cos u 1R du2 = wR
L0
= wR11 - cos u02
L0
S
F ⴝ nı F
Se usa la ecuación (1.21)
para calcular el producto escalar de cada una
S
de estas fuerzas con d l :
T # d l = 1 -T sen u21ds cos u2 + 1T cos u21ds sen u2 = 0
S
sen u du
EVALUAR: Si u0 = 0, no hay desplazamiento; en tal caso, cos u0 = 1 y
W = 0, como se esperaba. Si u0 = 90°, entonces, cos u0 = 0 y W = wR.
Aquí el trabajo que usted realiza es el mismo que efectuaría si levantara
a Morton verticalmente una distancia R con una fuerza igual a su peso w.
De hecho (como tal vez quiera confirmar), la cantidad R(1 - cos u0) es
el aumento en su altura sobre el suelo durante el desplazamiento, por
S
lo que, para cualquier valor de u0, el trabajo efectuado por la fuerza F
es el cambio de altura multiplicado por el peso. Este es un ejemplo
de un resultado más general que demostraremos en la sección 7.1.
Se pueden comprobar los Sresultados expresando las fuerzas y el
desplazamiento infinitesimalSd l en términos de sus componentes x y y.
La figura 6.24a indica que d l tiene una magnitud ds, una componente
x igual a ds cos u, y una componente y igual a ds sen u. Por lo tanto,
S
w # d l = 1- w21ds sen u2 = - w sen u ds
S
S
F # d l = F 1ds cos u2 = F cos u ds
S
S
Puesto que T # d l = 0, la integral de esta cantidad es cero y el trabajo
efectuado por la tensión de la cadena es cero, lo mismo que obtuvimos
anteriormente. Utilizando ds = R du, el trabajo efectuado por la fuerza
de gravedad es
S
w # dl =
S
L
S
S
u
1 -w sen u2R du = - wR
L
= - wR11 - cos u02
0
L0
sen u du
El trabajo efectuado por la gravedad es negativo porque la gravedad
tira hacia abajo mientras MortonSse mueve hacia arriba. Por último,
S
S
el trabajo efectuado por la fuerza F es la misma integral 1 F # d l =
1 F cos u ds que calculamos antes. El método de componentes suele ser
la forma más cómoda de calcular productos escalares, ¡Úselo cuando
facilite las cosas!
Evalúe su comprensión de la sección 6.3 En el ejemplo 5.20 (sección 5.4),
analizamos un péndulo cónico. La rapidez de la lenteja del péndulo permanece constante mientras viaja por el círculo que se muestra en la figura 5.32a. a) En un círculo
completo, ¿cuánto trabajo ejerce la fuerza de tensión F sobre la lenteja? i. Una cantidad positiva;
ii. una cantidad negativa; iii. cero. b) En un círculo completo, ¿cuánto trabajo realiza el peso
sobre la lenteja? i. Una cantidad positiva; ii. una cantidad negativa; iii. cero.
6.4
Potencia
La definición de trabajo no hace referencia al tiempo utilizado para realizarlo. Si usted
levanta una barra que pesa 100 N una distancia vertical de 1.0 m con velocidad constante, realiza (100 N)(1.0 m) = 100 J de trabajo, ya sea que tarde 1 segundo, 1 hora o
1 año para hacerlo. No obstante, muchas veces necesitamos saber con qué rapidez
se efectúa el trabajo. Describimos esto en términos de potencia. En el habla cotidiana,
“potencia” suele emplearse como sinónimo de “energía” o “fuerza”. En física usamos
una definición mucho más precisa: potencia es la rapidez con que se efectúa trabajo;
al igual que el trabajo y la energía, la potencia es una cantidad escalar.
Si se realiza un trabajo ¢W en un intervalo ¢t, el trabajo medio efectuado por unidad de tiempo o potencia media Pmed se define como
Pmed =
¢W
¢t
(potencia media)
(6.15)
La rapidez con que se efectúa trabajo quizá no sea constante. Podemos definir la potencia instantánea P como el cociente de la ecuación (6.15) cuando ¢t se aproxima
a cero:
¢W
dW
=
0 ¢t
dt
P = lím
S
¢t
(potencia instantánea)
6.25 En ambas situaciones se efectúa la
misma cantidad de trabajo, pero la potencia
(la rapidez a la que se realiza el trabajo) es
diferente.
t55s
Trabajo que efectúa usted
sobre la caja para levantarla
en 5 s:
W 5 100 J
Su potencia de salida:
W
100 J
P5
5
5 20 W
t
5s
t50
t51s
(6.16)
En el SI la unidad de potencia es el watt (W), llamado así en honor del inventor
inglés James Watt. Un watt es igual a un joule por segundo: 1 W = 1 J兾s (figura 6.25).
Trabajo que efectúa usted
sobre la misma caja para
levantarla la misma distancia
en 1 s:
W 5 100 J
Su potencia de salida:
W
100 J
P5
5
5 100 W
t
1s
t50
194
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
6.26 El valor del caballo de potencia se
dedujo de los experimentos de James Watt,
quien midió que un caballo podría realizar
33,000 pie-libras de trabajo por minuto,
al levantar carbón en una mina abierta.
También son de uso común el kilowatt (1 kW = 103 W) y el megawatt (1 MW = 106 W).
En el sistema británico, el trabajo se expresa en pie-libras, y la unidad de potencia
es el pie-libra por segundo. También se usa una unidad mayor llamada caballo de potencia (hp) (figura 6.26):
1 hp = 550 ft # lb>s = 33,000 ft # lb>min
Es decir, un motor de 1 hp que trabaja con carga completa realiza 33,000 ft ⴢlb de trabajo cada minuto. Un factor de conversión útil es
1 hp = 746 W = 0.746 kW
El watt es una unidad común de potencia eléctrica; una bombilla eléctrica de 100 W
convierte 100 J de energía eléctrica en luz y calor cada segundo. Sin embargo, los
watts no son inherentemente eléctricos. Una bombilla podría especificarse en términos de caballos de potencia; y un motor de automóvil en términos de kilowatts.
El kilowatt-hora (kW ⴢh) es la unidad comercial usual de energía eléctrica. Un kilowatt-hora es el trabajo total realizado en 1 hora (3600 s) cuando la potencia es 1 kilowatt
(103 J兾s), así que
1 kW # h = 110 3 J>s213600 s2 = 3.6 * 10 6 J = 3.6 MJ
El kilowatt-hora es una unidad de trabajo o energía, no de potencia.
En mecánica, también podemos
expresar la potencia en términos de fuerza y veloS
cidad. Suponga que una fuerza F actúa sobre
un cuerpo que tiene un desplazamiento
S
S
S
vectorial ¢ s . Si F‘ es la componente de F tangente a la trayectoria (paralela a ¢ s ),
entonces el trabajo realizado por la fuerza es ¢W = F‘ ¢s, y la potencia media es
Pmed =
FŒ ¢s
¢s
= FŒ
= FΠvmed
¢t
¢t
(6.17)
La potencia instantánea P es el límite de esta expresión cuando ¢t S 0:
P = FΠv
(6.18)
donde v es la magnitud de la velocidad instantánea. También podemos expresar la ecuación (6.18) en términos del producto escalar:
S
#
S
(rapidez instantánea con que la fuerza F
realiza trabajo sobre una partícula)
S
P = F v
Ejemplo 6.9
(6.19)
Fuerza y potencia
Cada uno de los cuatro motores a reacción de un avión Airbus A380
desarrolla un empuje (fuerza hacia adelante sobre el avión) de 322,000 N
(72,000 lb). Cuando el avión está volando a 250 m兾s (900 km兾h o aproximadamente 560 mi兾h), ¿cuántos caballos de potencia desarrolla cada
motor?
6.27 a) Avión impulsado por hélice y b) avión con motor a reacción.
a)
b)
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: La incógnita es la potencia
instantánea P, que es la rapidez con que el empuje efectúa trabajo.
Se usa la ecuación (6.18). El empuje tiene la dirección del movimiento, así que F‘ es simplemente igual al empuje. Con v = 250 m兾s, cada
motor desarrolla una potencia de:
P = FŒv = 13 .22 * 10 N21250 m>s2 = 8 .05 * 10 W
5
= 18 .05 * 10 7 W2
7
1 hp
= 108,000 hp
746 W
EVALUAR: La rapidez de los aviones comerciales modernos se relaciona directamente con la potencia de los motores (figura 6.27). Los
motores más grandes de los aviones de hélice de la década de 1950
desarrollaban aproximadamente 3400 hp (2.5 * 106 W) y tenían rapideces máximas del orden de 600 km兾h (370 mi兾h), aproximadamente. La
potencia de cada motor de un Airbus A380 es más de 30 veces mayor,
y permite al avión volar a cerca de 900 km兾h (560 mi兾h) y llevar una
carga mucho más pesada.
Si los motores producen el empuje máximo mientras el avión está
en reposo en tierra, de manera que v = 0, la potencia desarrollada por
los motores es cero. ¡Fuerza y potencia no son lo mismo!
6.4 Potencia
Ejemplo 6.10
195
Un “ascenso potente”
Una maratonista de 50.0 kg sube corriendo las escaleras de la Torre
Willis de Chicago de 443 m de altura, el edificio más alto de Estados
Unidos (figura 6.28). ¿Qué potencia media desarrolla si llega a la azotea en 15.0 minutos? Exprese su respuesta en watts, en kilowatts y en
caballos de potencia.
6.28 ¿Cuánta potencia se necesita para subir corriendo las escaleras
de la Torre Willis de Chicago en 15 minutos?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Trataremos a la corredora como una partícula de masa m. La potencia media que desarrolla Pmed debe ser suficiente para subirla a una rapidez constante contra la gravedad.
Podemos calcular Pmed de dos maneras: 1. determinando primero
cuánto trabajo debe efectuar y luego dividiendo ese trabajo entre el
tiempo transcurrido, como en la ecuación (6.15); o bien, 2. calculando
la fuerza media hacia arriba que la corredora debe ejercer (en dirección
del ascenso) y después multiplicándola por su velocidad hacia arriba,
como en la ecuación (6.17).
EJECUTAR: 1. Como en el ejemplo 6.8, para levantar una masa m contra la gravedad se requiere una cantidad de trabajo igual al peso mg
multiplicado por la altura h que se levanta. Por lo tanto, el trabajo que
la corredora debe efectuar es
W = mgh = 150 .0 kg219 .80 m>s221443 m2
= 2 .17 * 10 5 J
Ella realiza el trabajo en 15.0 min = 900 s, así que, de acuerdo con la
ecuación (6.15), la potencia media es
Pmed =
2 .17 * 10 5 J
= 241 W = 0 .241 kW = 0 .323 hp
900 s
2. La fuerza ejercida es vertical, y la componente vertical media
de la velocidad es (443 m)兾(900 s) = 0.492 m兾s; así, de acuerdo con la
ecuación (6.17), la potencia media es
Pmed = FŒvmed = (mg)vmed
= 150.0 kg219.80 m>s2210.492 m>s2 = 241 W
que es el mismo resultado de antes.
EVALUAR: La potencia total desarrollada por la corredora será muchas
veces mayor que 241 W, porque ella no es una partícula, sino un conjunto de partes que ejercen fuerzas unas sobre otras y realizan trabajo,
como el necesario para inhalar, exhalar y mover piernas y brazos. Lo
que calculamos es solo la parte de su gasto de potencia que se invierte
en subirla a la azotea del edificio.
Evalúe su comprensión de la sección 6.4 El aire que circunda un avión
en vuelo ejerce una fuerza de arrastre que actúa de manera opuesta al movimiento
del avión. Cuando el Airbus A380 del ejemplo 6.9 vuela en línea recta a una altura
constante a 250 m兾s constantes, ¿cuál es la tasa con que la fuerza de arrastre efectúa
trabajo sobre él? i. 432,000 hp; ii. 108,000 hp; iii. 0; iv. -108,000 hp; v. -432,000 hp.
6
Video Tutor
Solutions
CAPÍTULO
RESUMEN
#
S
S
Trabajo efectuado
por una fuerza: Cuando una fuerza
S
constante F actúa sobre una partícula que experimenta
S
un desplazamiento rectilíneo s , el trabajo realizado por
la fuerza sobre
la partícula se define como el producto
S
S
escalar de F y s . La unidad de trabajo en el SI es 1 joule =
1 newton-metro (1 J = 1 Nⴢm). El trabajo es una cantidad
escalar, ya que puede ser positivo o negativo, pero no tiene
dirección en el espacio. (Véase los ejemplos 6.1 y 6.2).
W = F s = Fs cos f
Energía cinética: La energía cinética K de una partícula
es igual a la cantidad de trabajo necesario para acelerarla
desde el reposo hasta la rapidez v. También es igual al
trabajo que la partícula puede efectuar en el proceso de
detenerse. La energía cinética es una cantidad escalar
sin dirección en el espacio; siempre es positiva o cero,
y sus unidades son las mismas que las de trabajo:
1 J = 1 Nⴢm = 1 kgⴢm2兾s2.
K = 12 mv2
S
S
(6.2), (6.3)
S
f = ángulo entre F y s
W 5 Fis
5 (F cosf)s
F
F'
f
Fi 5 F cosf
m
(6.5)
2m
S
S
v
v
Al duplicar m, K se duplica.
m
m
S
S
v
2v
Al duplicar v, K se cuadruplica.
Teorema trabajo-energía: Cuando actúan fuerzas sobre
una partícula mientras esta experimenta un desplazamiento,
la energía cinética de la partícula cambia en una cantidad
igual al trabajo total realizado sobre ella por todas las
fuerzas. Esta relación, llamada teorema trabajo-energía,
es válida para fuerzas tanto constantes como variables, y
para trayectorias de la partícula tanto rectas como curvas;
sin embargo, solo es aplicable a cuerpos que pueden
tratarse como partículas. (Véase los ejemplos 6.3 a 6.5).
Wtot = K2 - K1 = ¢K
Trabajo efectuado por una fuerza variable o en una trayectoria
curva: Si la fuerza varía durante un desplazamiento rectilíneo, el trabajo que realiza está dado por una integral,
ecuación (6.7). (Véase los ejemplos 6.6 y 6.7). Si la
partícula tiene una trayectoria
curva, el trabajo efectuado
S
sobre ella por una fuerza F está dado por una integral en
la que interviene el ángulo f entre la fuerza y el desplazamiento. Esta expresión es válida aun cuando la magnitud
de la fuerza y el ángulo f varían durante el desplazamiento.
(Véase el ejemplo 6.8).
W =
Potencia: La potencia es la rapidez con que se efectúa
trabajo. La potencia media Pmed es la cantidad de trabajo
¢W realizada en un tiempo ¢t dividida entre ese tiempo.
La potencia instantánea es el límite de la potencia
media
S
cuando ¢t se acerca a cero. Cuando una fuerza F actúa
S
sobre una partícula que se mueve con velocidad v, la
potencia instantánea (rapidez con Sque la fuerza efectúa
S
trabajo) es el producto escalar de F y v. Al igual que
el trabajo y la energía cinética, la potencia es una cantidad
escalar. Su unidad en el SI es 1 watt = 1 joule兾segundo
(1 W = 1 J兾s). (Véase los ejemplos 6.9 y 6.10).
196
(6.6)
m
K1 5
1
2
v1
mv12
Wtot 5 Trabajo total realizado
sobre una partícula a lo largo
de una trayectoria
v2
m
K2 5
1
2
mv22 5 K1 1 Wtot
x2
Fx dx
Lx1
P2
F cos f dl =
LP1
P2
=
#
S
¢W
¢t
P = lím
S
¢t 0
S
S
#
LP1
FΠdl
(6.14)
F dl
LP1
Pmed =
Área = Trabajo realizado
por una fuerza durante
el desplazamiento
Fx
P2
W =
(6.7)
¢W
dW
=
¢t
dt
S
P = F v
(6.15)
O
t55s
(6.16)
x2
x1
Trabajo que se realiza sobre
la caja para elevarla en 5 s:
W 5 100 J
La potencia de salida:
100 J
W
5
t
5s
5 20 W
P5
(6.19)
t50
x
Preguntas para análisis
PROBLEMA PRÁCTICO
197
Resorte que no cumple la ley de Hooke
Considere un resorte colgado, de masa despreciable, que no cumple la
ley de Hooke. Cuando el resorte se estira una distancia x, la fuerza
ejercida por el resorte tiene una magnitud ax2, donde a es una constante positiva. El resorte no está estirado cuando un bloque de masa m
se sujeta a él. Luego el bloque se libera, estirando el resorte conforme
cae (figura 6.29). a) ¿Con qué rapidez se mueve el bloque cuando cae
una distancia x1? b) ¿A qué tasa realiza trabajo el resorte sobre el
bloque en este punto? c) Calcule la distancia máxima x2 que se estira
el resorte. d) ¿El bloque permanecerá en el punto determinado en el
inciso c)?
6.29 El bloque está sujeto a un resorte que no cumple la ley
de Hooke.
m
x
GUÍA DE SOLUCIÓN
Véase el área de estudio MasteringPhysics® para consultar
una solución con Video Tutor.
IDENTIFICAR y PLANTEAR
1. La fuerza del resorte en este problema no es constante, de modo
que se tiene que usar el teorema de trabajo-energía. También se
necesita la ecuación (6.7) para calcular el trabajo realizado por
el resorte a lo largo de un desplazamiento determinado.
2. Elabore un diagrama de cuerpo libre para el bloque, incluyendo
la elección de los ejes de coordenadas. Observe que x representa la
distancia que se estira el resorte, así que seleccione la +x de manera adecuada. Sobre su eje de coordenadas, identifique los puntos
x = x1 y x = x2.
3. Elabore una lista de las cantidades desconocidas e identifique cuáles son las incógnitas.
EJECUTAR
4. Calcule el trabajo realizado por el resorte sobre el bloque conforme
este cae una distancia x arbitraria. (La integral no es difícil. Consulte el apéndice B si necesita un recordatorio). ¿El trabajo realizado
por el resorte es positivo, negativo o cero?
Problemas
5. Calcule el trabajo realizado sobre el bloque por cualesquiera otras
fuerzas conforme el bloque cae una distancia arbitraria x. ¿El trabajo es positivo, negativo o cero?
6. Use el teorema trabajo-energía para calcular las incógnitas. (También
necesita usar una ecuación para la potencia). Sugerencia: Pregúntese lo siguiente: cuando el resorte tiene su máxima elongación,
¿cuál es la rapidez del bloque?
7. Para contestar el inciso d ) considere la fuerza neta que actúa sobre
el bloque cuando se encuentra en el punto calculado en el inciso c).
EVALUAR
8. En el capítulo 2 vimos que después de que un objeto cae partiendo
del reposo y ha caído libremente una distancia x1, su rapidez es
12gx1 . Use esto para determinar si su respuesta del inciso a) es lógica. Además, pregúntese si el signo algebraico de su respuesta en
el inciso b) es lógico.
9. Calcule el valor de x donde la fuerza neta sobre el bloque sería cero.
¿Cómo se compara esto con su resultado de x2? ¿Es congruente con
su respuesta del inciso d)?
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. , .. , ... : Problemas de dificultad creciente. PA: Problemas acumulativos que incorporan material de capítulos anteriores.
CALC: Problemas que requieren cálculo. BIO: Problemas de ciencias biológicas.
PREGUNTAS PARA ANÁLISIS
P6.1 El signo de muchas cantidades físicas depende de la elección
de las coordenadas. Por ejemplo, el valor de ay para el movimiento en
caída libre puede ser negativo o positivo, dependiendo de si elegimos
como positiva la dirección hacia arriba o hacia abajo. ¿Lo mismo es
válido para el trabajo? En otras palabras, ¿podemos hacer negativo
el trabajo positivo con una elección diferente de las coordenadas?
Explique su respuesta.
P6.2 Un elevador es levantado por sus cables con rapidez constante.
¿El trabajo realizado sobre él es positivo, negativo o cero? Explique.
P6.3 Se tira de una cuerda atada a un cuerpo y este se acelera. Según
la tercera ley de Newton, el cuerpo tira de la cuerda con una fuerza
igual y opuesta. Entonces, ¿el trabajo total realizado es cero? Si así
es, ¿cómo puede cambiar la energía cinética del cuerpo? Explique su
respuesta.
P6.4 Si se requiere un trabajo total W para dar a un objeto una rapidez v y una energía cinética K, partiendo del reposo, ¿cuáles serán la
rapidez (en términos de v) y la energía cinética (en términos de K) del
objeto, si efectuamos el doble de trabajo sobre él partiendo nuevamente del reposo?
P6.5 Si hubiera una fuerza neta distinta de cero sobre un objeto en movimiento, ¿el trabajo total realizado sobre él podría ser cero? Explique
ilustrando su respuesta con un ejemplo.
P6.6 En el ejemplo 5.5 (sección 5.1), compare el trabajo realizado sobre la cubeta por la tensión del cable y el trabajo realizado sobre el
carro por dicha tensión?
P6.7 En el péndulo cónico del ejemplo 5.20 (sección 5.4), ¿qué fuerza
realiza trabajo sobre la lenteja conforme esta gira?
P6.8 En los casos que se ilustran en la figura P6.8, el objeto se suelta
desde el reposo en la parte superior y no experimenta fricción ni resis-
198
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
Figura P6.8
a)
b)
m
h
c)
m
h
2m
h
tencia del aire. ¿En cuál situación, si acaso, la masa tendrá i. la mayor
rapidez en la parte inferior y ii. el mayor trabajo efectuado sobre ella
en el tiempo que tarda
en llegar a la parte inferior?
S
P6.9 Una fuerza F sobre el eje x tiene magnitud que depende de x.
Dibuje una posible gráfica de F contra x tal que la fuerza no realice trabajo sobre un objeto que se mueve de x1 a x2, aunque la magnitud de
la fuerza nunca sea cero en este intervalo.
P6.10 ¿La energía cinética de un automóvil cambia más al acelerar
de 10 a 15 m兾s o de 15 a 20 m兾s? Explique su respuesta.
P6.11 Un ladrillo con masa de 1.5 kg cae verticalmente con una rapidez de 5.0 m/s. Un libro de física de 1.5 kg se desliza sobre el piso a
5.0 m兾s. Un melón de 1.5 kg viaja con una componente de velocidad
horizontal de 3.0 m兾s a la derecha y una componente vertical de 4.0 m兾s
hacia arriba. ¿Todos estos objetos tienen la misma velocidad? ¿Tienen la
misma energía cinética? Para cada pregunta, describa su razonamiento.
P6.12 ¿El trabajo total efectuado sobre un objeto durante un desplazamiento puede ser negativo? Explique su respuesta. Si el trabajo total
es negativo, ¿su magnitud puede ser mayor que la energía cinética inicial del objeto? Explique su respuesta.
P6.13 Una fuerza neta actúa sobre un objeto y lo acelera desde el
reposo hasta una rapidez v1, efectuando un trabajo W1. ¿En qué factor
debe aumentarse ese trabajo para lograr una rapidez final tres veces
mayor, si el objeto parte del reposo?
P6.14 Un camión que va frenando por una autopista tiene mucha energía cinética relativa a un auto de la policía que se encuentra detenido,
pero ninguna relativa al conductor del camión. En estos dos marcos
de referencia, ¿se requiere el mismo trabajo para detener el camión?
Explique su respuesta.
P6.15 Imagine que usted sostiene un portafolio por el asa, con el brazo recto a su costado. ¿La fuerza que ejerce la mano efectúa trabajo
sobre el portafolio a) cuando usted camina con rapidez constante por
un pasillo horizontal y b) cuando usa una escalera eléctrica para subir
del primer piso al segundo de un edificio? Justifique su respuesta en
cada caso.
P6.16 Si un libro se desliza sobre una mesa, la fuerza de fricción realiza
trabajo negativo sobre él. ¿Existe algún caso en que la fricción realice trabajo positivo? Explique su respuesta. (Sugerencia: Piense en una caja
que se encuentra en la parte de atrás de un camión que acelera).
P6.17 Tómese el tiempo al subir corriendo una escalera y calcule
la tasa media con que efectúa trabajo contra la fuerza de gravedad.
Exprese su respuesta en watts y en caballos de potencia.
P6.18 Física fracturada. Muchos términos de la física se utilizan de
manera inadecuada en el lenguaje cotidiano. En cada caso, explique
los errores que hay. a) A una persona fuerte se le llama llena de potencia. ¿Qué error implica este uso del término potencia? b) Cuando
un trabajador carga una bolsa de cemento siguiendo una trayectoria
horizontal en una obra en construcción, la gente dice que él realizó
mucho trabajo. ¿Es verdad?
P6.19 Un anuncio de un generador eléctrico portátil asegura que el
motor a diesel produce 28,000 hp para impulsar un generador eléctrico
que produce 30 MW de potencia eléctrica. ¿Es esto posible? Explique
su respuesta.
P6.20 Un automóvil aumenta su rapidez mientras el motor produce
potencia constante. ¿La aceleración es mayor al inicio de este proceso
o al final? Explique su respuesta.
P6.21 Considere una gráfica de potencia instantánea contra tiempo,
cuyo eje P vertical comienza en P = 0. ¿Qué significado físico tiene
el área bajo la curva P contra t entre dos líneas verticales en t1 y t2?
¿Cómo podría calcular la potencia media a partir de la gráfica? Dibuje
una curva de P contra t que conste de dos secciones rectas y donde la
potencia máxima sea igual al doble de la potencia media.
P6.22 Una fuerza neta distinta de cero actúa sobre un objeto. ¿Alguna
de las siguientes cantidades puede ser constante? a) La rapidez del objeto; b) la velocidad del objeto; c) la energía cinética del objeto.
P6.23 Cuando se aplica cierta fuerza a un resorte ideal, este se estira
una distancia x desde su longitud relajada (sin estirar) y efectúa un
trabajo W. Si ahora se aplica el doble de fuerza, ¿qué distancia (en términos de x) se estira el resorte desde su longitud relajada y cuánto trabajo (en términos de W) se requiere para estirarlo esta distancia?
P6.24 Si se requiere un trabajo W para estirar un resorte una distancia x
desde su longitud relajada, ¿qué trabajo (en términos de W) se requiere
para estirar el resorte una distancia x adicional?
EJERCICIOS
Sección 6.1 Trabajo
6.1 . Usted empuja su libro de física 1.50 m a lo largo de una mesa
horizontal con un empuje horizontal de 2.40 N mientras que la fuerza de fricción opuesta es de 0.600 N. ¿Cuánto trabajo realiza cada
una de las siguientes fuerzas sobre el libro? a) El empuje de 2.40 N,
b) la fuerza de fricción, c) la fuerza normal de la mesa y d) la gravedad. e) ¿Cuál es la fuerza neta sobre el libro?
6.2 . Un camión de remolque tira de un automóvil 5.00 km por
una carretera horizontal usando un cable cuya tensión es de 850 N.
a) ¿Cuánto trabajo realiza el cable sobre el automóvil si tira de él horizontalmente? ¿Y si tira a 35.0° sobre la horizontal? b) ¿Cuánto trabajo realiza el cable sobre el camión de remolque en ambos casos del
inciso a)? c) ¿Cuánto trabajo efectúa la gravedad sobre el automóvil
en el inciso a)?
6.3 . Un obrero empuja horizontalmente una caja de 30.0 kg una
distancia de 4.5 m en un piso plano, con velocidad constante. El coeficiente de fricción cinética entre el piso y la caja es de 0.25. a) ¿Qué
magnitud de fuerza debe aplicar el obrero? b) ¿Cuánto trabajo efectúa
dicha fuerza sobre la caja? c) ¿Cuánto trabajo efectúa la fricción sobre
la caja? d) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza normal sobre la caja? ¿Y la
gravedad? e) ¿Qué trabajo total se efectúa sobre la caja?
6.4 .. Suponga que el obrero del ejercicio 6.3 empuja hacia abajo con
un ángulo de 30° bajo la horizontal. a) ¿Qué magnitud de fuerza debe
aplicar el obrero para mover la caja con velocidad constante? b) ¿Qué
trabajo realiza esta fuerza sobre la caja si se empuja por una distancia
de 4.5 m? c) ¿Qué trabajo realiza la fricción sobre la caja en este desplazamiento? d) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza normal sobre la caja?
¿Y la gravedad? e) ¿Qué trabajo total se efectúa sobre la caja?
6.5 .. Un pintor de 75.0 kg sube por una escalera de 2.75 m que
está inclinada contra una pared vertical. La escalera forma un ángulo
de 30.0° con la pared. a) ¿Cuánto trabajo realiza la gravedad sobre
el pintor? b) ¿La respuesta del inciso a) depende de si el pintor sube a
rapidez constante o de si acelera hacia arriba de la escalera?
6.6 .. Dos botes remolcadores tiran de un buque tanque averiado. Cada
uno ejerce una fuerza constante de 1.80 * 106 N, uno 14° al oeste del
norte y el otro 14° al este del norte, tirando del buque tanque 0.75 km
al norte. ¿Qué trabajo total efectúan sobre el buque tanque?
6.7 . Dos bloques están unidos por una cuerda muy ligera que pasa
por una polea sin masa y sin fricción (figura E6.7). Al viajar a rapidez
constante, el bloque de 20.0 N se mueve 75.0 cm a la derecha y el
bloque de 12.0 N se mueve 75.0 cm hacia abajo. Durante este proceso,
¿cuánto trabajo efectúan a) sobre el bloque de 12.0 N, i. la gravedad y
ii. la tensión en la cuerda? b) ¿Cuánto trabajo efectúan sobre el bloque
de 20.0 N, i. la gravedad, ii. la tensión en la cuerda, iii. la fricción y
iv. la fuerza normal? c) Obtenga el trabajo total efectuado sobre cada
bloque.
Ejercicios
Figura E6.7
20.0
N
12.0
N
6.8 .. Un carrito de supermercado cargado rueda por un estacionamiento por el que sopla un viento fuerte. Usted aplica una fuerza consS
tante F = (30 N)nı ⴚ (40 N)n≥ al carrito mientras este experimenta un
S
desplazamiento s ⴝ (-9.0 m)nı ⴚ (3.0 m)n≥ . ¿Cuánto trabajo efectúa la
fuerza que usted aplica al carrito?
6.9 . Una pelota de 0.800 kg se ata al extremo de una cuerda de 1.60 m
de longitud y se hace girar en un círculo vertical. a) Durante un círculo
completo, iniciando en cualquier punto, calcule el trabajo total efectuado sobre la pelota por: i. la tensión en la cuerda; ii. la gravedad.
b) Repita el inciso a) para el movimiento a lo largo del semicírculo que
va de la parte más baja a la más alta de la trayectoria.
6.10 .. En el área de clasificación del correo, un paquete de 8.00 kg
se desliza 2.00 m hacia abajo de una rampa con una pendiente de 53.0°
por debajo de la horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el
paquete y la superficie de la rampa es de 0.40. Calcule el trabajo realizado sobre el paquete por a) la fuerza de fricción, b) la gravedad y c) la
fuerza normal. d) ¿Cuál es el trabajo neto realizado sobre el paquete?
6.11 .. Un monitor de computadora empacado, de 10.0 kg, es arrastrado hacia arriba, por la fricción, 5.50 m sobre una banda transportadora inclinada un ángulo de 36.9° por arriba de la horizontal. Si la
rapidez del monitor es de 2.10 cm/s constantes, ¿cuánto trabajo se realiza sobre el monitor por a) la fricción, b) la gravedad y c) la fuerza
normal de la banda transportadora?
S
6.12 .. Usted aplica una fuerza constante F ⴝ (-68.0 N)nı ⴙ (36.0 N)n≥
a un automóvil de 380 kg conforme este avanza 48.0 m en una dirección a 240.0° en sentido antihorario a partir del eje +x. ¿Cuánto trabajo
realiza la fuerza que usted aplica sobre el automóvil?
Sección 6.2 Energía cinética y el teorema trabajo-energía
6.13 .. Energía animal. BIO Los guepardos adultos, los felinos grandes más rápidos, tienen una masa de 70 kg aproximadamente, y se les
ha cronometrado corriendo con una rapidez de hasta 72 mph (32 m兾s).
a) ¿Cuántos joules de energía cinética tienen estos guepardos tan veloces? b) ¿Por qué factor cambiaría su energía cinética si la rapidez
se duplicara?
6.14 .. Un libro de 1.50 kg se desliza a lo largo de una superficie horizontal áspera. En el punto A se mueve a 3.21 m兾s, y en el punto B ha
disminuido a 1.25 m兾s. a) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el libro entre A y B? b) Si se realizan -0.750 J de trabajo sobre el libro de B a C,
¿con qué rapidez se mueve en el punto C? c) ¿Con qué rapidez se movería en C si se realizaran +0.750 J de trabajo sobre él de B a C?
6.15 . Cráter de meteorito. Hace aproximadamente 50,000 años,
un meteorito se estrelló contra la Tierra cerca de lo que actualmente
es la ciudad de Flagstaff, en Arizona. Mediciones realizadas en 2005
estiman que dicho meteorito tenía una masa aproximada de 1.4 * 108 kg
(unas 150,000 toneladas) y se impactó contra el suelo a 12 km/s.
a) ¿Cuánta energía cinética transmitió este meteorito al suelo? b) ¿Cómo
se compara esta energía con la energía liberada por una bomba nuclear de 1.0 megatón? (Una bomba de un megatón libera la misma cantidad de energía que un millón de toneladas de TNT, y 1.0 ton de TNT
libera 4.184 * 109 J de energía).
6.16 . Algunas energías cinéticas comunes. a) ¿En el modelo atómico de Bohr, el electrón del hidrógeno en estado fundamental tiene
una rapidez orbital de 2190 km/s. ¿Cuál es su energía cinética? (Consulte el apéndice F). b) Si usted deja caer un peso de 1.0 kg (aproxi-
199
madamente 2 lb) desde una altura de 1.0 m, ¿cuántos joules de energía
cinética tendrá cuando llegue al suelo? c) ¿Es razonable que un niño
de 30 kg pueda correr lo suficientemente rápido para tener 100 J de
energía cinética?
6.17 .. En la figura E6.7 suponga que no hay fuerza de fricción sobre
el bloque de 20.0 N que descansa sobre la mesa. La polea es ligera y
sin fricción. a) Calcule la tensión T en la cuerda ligera que une los bloques. b) Para un desplazamiento en el cual el bloque de 12.0 N desciende 1.20 m, calcule el trabajo total realizado sobre i. el bloque de
20.0 N y ii. el bloque de 12.0 N. c) Para el desplazamiento del inciso
b), calcule el trabajo total realizado sobre el sistema de dos bloques.
¿Cómo se compara su respuesta con el trabajo realizado sobre el bloque de 12.0 N por la gravedad? d) Si el sistema se libera del reposo,
¿cuál es la rapidez del bloque de 12.0 N cuando ha descendido 1.20 m?
6.18 . Una sandía de 4.80 kg se deja caer del reposo desde la azotea de
un edificio de 25.0 m y no experimenta una resistencia significativa del
aire. a) Calcule el trabajo realizado por la gravedad sobre la sandía durante su desplazamiento desde la azotea hasta el suelo. b) Justo antes
de estrellarse contra el suelo, ¿cuáles son i. la energía cinética y ii. la
rapidez de la sandía? c) ¿Cuál de las respuestas en los incisos a) y b)
sería diferente si hubiera una resistencia considerable del aire?
6.19 .. Use el teorema trabajo-energía para resolver los siguientes
problemas. Utilice las leyes de Newton para comprobar sus respuestas.
Ignore la resistencia del aire en todos los casos. a) Una rama cae desde
la parte superior de una secuoya de 95.0 m de altura, partiendo del reposo. ¿Con qué rapidez se mueve cuando llega al suelo? b) Un volcán
expulsa una roca directamente hacia arriba 525 m en el aire. ¿Con qué
rapidez se movía la roca justo al salir del volcán? c) Una esquiadora
que se desplaza a 5.00 m兾s llega a una zona de nieve horizontal, áspera
y larga, cuyo coeficiente de fricción cinética con los esquíes es de
0.220. ¿Qué tan lejos viaja ella sobre esta zona antes de detenerse?
d) Suponga que la zona áspera del inciso c) solo tiene 2.90 m de longitud. ¿Con qué rapidez se movería la esquiadora al llegar al extremo
de dicha zona? e) En la base de una colina congelada sin fricción que se
eleva a 25.0° sobre la horizontal, un trineo tiene una rapidez de 12.0 m兾s
hacia la colina. ¿A qué altura vertical sobre la base llegará antes de
detenerse?
6.20 .. Se lanza una piedra de 20 N verticalmente hacia arriba desde
el suelo. Se observa que, cuando está 15.0 m sobre el suelo, viaja a
25.0 m兾s hacia arriba. Use el teorema trabajo-energía para determinar
a) su rapidez en el momento de ser lanzada y b) su altura máxima.
6.21 .. Imagine que pertenece a la Cuadrilla de Rescate Alpino y debe
proyectar hacia arriba una caja de suministros por una pendiente de
ángulo constante a, de modo que llegue a un esquiador varado que está
a una distancia vertical h sobre la base de la pendiente. La pendiente
es resbalosa, pero hay cierta fricción presente, con coeficiente de fricción cinética mk. Use el teorema trabajo-energía para calcular la rapidez mínima que debe impartir a la caja en la base de la pendiente
para que llegue al esquiador. Exprese su respuesta en términos de g, h,
mk y a.
6.22 .. Una masa m baja deslizándose por un plano inclinado liso que
forma un ángulo a con la horizontal, desde una altura vertical inicial h.
a) El trabajo efectuado por una fuerza es la suma del trabajo efectuado
por las componentes de la fuerza. Considere las componentes de la
gravedad paralela y perpendicular al plano. Calcule el trabajo efectuado sobre la masa por cada componente y use estos resultados para demostrar que el trabajo efectuado por la gravedad es exactamente el
mismo que efectuaría si la masa cayera verticalmente por el aire desde
una altura h. b) Use el teorema trabajo-energía para demostrar que la
rapidez de la masa en la base del plano inclinado es la misma que tendría
si se hubiera dejado caer desde la altura h, sea cual fuere el ángulo a
del plano. Explique cómo esta rapidez puede ser independiente del
ángulo del plano. c) Use los resultados del inciso b) para obtener la rapidez de una piedra que baja deslizándose por una colina congelada sin
fricción, partiendo del reposo 15.0 m arriba del pie de la colina.
200
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
6.23 . Un trineo con masa de 8.00 kg se mueve en línea recta sobre
una superficie horizontal sin fricción. En cierto punto, su rapidez es de
4.00 m兾s; 2.50 m más adelante, su rapidez es de 6.00 m兾s. Use el teorema trabajo-energía para determinar la fuerza que actúa sobre el trineo, suponiendo que tal fuerza es constante y actúa en la dirección del
movimiento del trineo.
6.24 .. Un balón de fútbol soccer de 0.420 kg se mueve inicialmente con rapidez de 2.00 m兾s. Un jugador lo patea, ejerciendo una fuerza
constante de 40.0 N en la dirección del movimiento del balón. ¿A lo
largo de qué distancia debe estar su pie en contacto con el balón para
aumentar la rapidez de este a 6.00 m兾s?
6.25 . Un “12-pack” de Omni-Cola (masa de 4.30 kg) está en reposo
en un piso horizontal. Luego, un perro entrenado que ejerce una fuerza
horizontal con magnitud de 36.0 N lo empuja 1.20 m en línea recta.
Use el teorema trabajo-energía para determinar la rapidez final si a) no
hay fricción entre el 12-pack y el piso; b) el coeficiente de fricción
cinética entre el 12-pack y el piso es de 0.30.
6.26 . Un bateador golpea una pelota de béisbol con masa de 0.145 kg
y la lanza hacia arriba con rapidez inicial de 25.0 m兾s. a) ¿Cuánto trabajo habrá realizado la gravedad sobre la pelota cuando esta alcanza
una altura de 20.0 m sobre el bate? b) Use el teorema trabajo-energía
para calcular la rapidez de la pelota a una altura de 20.0 m sobre el
bate. Ignore la resistencia del aire. c) ¿La respuesta al inciso b) depende de si la pelota se mueve hacia arriba o hacia abajo cuando está a la
altura de 20.0 m? Explique su respuesta.
6.27 . Un vagón de juguete con masa de 7.00 kg se mueve en línea
recta sobre una superficie horizontal sin fricción. Tiene una rapidez
inicial de 4.00 m兾s y luego es empujado 3.0 m, en la dirección de la
velocidad inicial, por una fuerza cuya magnitud es de 10.0 N. a) Use
el teorema trabajo-energía para calcular la rapidez final del vagón.
b) Calcule la aceleración producida por la fuerza y úsela en las relaciones de cinemática del capítulo 2 para calcular la rapidez final del
vagón. Compare este resultado con el calculado en el inciso a).
6.28 .. Un bloque de hielo con masa de 2.00 kg se desliza 0.750 m
hacia abajo por un plano inclinado a un ángulo de 36.9° bajo la horizontal. Si el bloque parte del reposo, ¿cuál será su rapidez final? Puede
despreciarse la fricción.
6.29 . Distancia para detenerse. Un automóvil viaja por un camino horizontal con rapidez v0 en el instante en que los frenos se bloquean, de modo que las llantas se deslizan en vez de rodar. a) Use el
teorema trabajo-energía para calcular la distancia mínima en que puede detenerse el auto en términos de v0, g y el coeficiente de fricción
cinética mk entre los neumáticos y el camino. b) ¿En qué factor cambiaría la distancia mínima de frenado, si i. se duplicara el coeficiente
de fricción cinética, ii. se duplicara la rapidez inicial, o iii. se duplicaran tanto el coeficiente de fricción cinética como la rapidez inicial?
6.30 .. Una caja de 30.0 kg se mueve inicialmente con una velocidad
de magnitud igual a 3.90 m兾s en una dirección 37.0° al oeste del norte.
¿Cuánto trabajo se debe realizar sobre la caja para cambiar su velocidad a 5.62 m兾s en una dirección 63.0° al sur del este?
Sección 6.3 Trabajo y energía con fuerza variable
6.31 . BIO Reparación del corazón. Un cirujano usa material de
un corazón donado para reparar la aorta dañada de un paciente y necesita conocer las características de elasticidad del material de la aorta.
Pruebas realizadas sobre una tira de 16.0 cm de la aorta donada revelan que se estira 3.75 cm cuando se aplica un tirón de 1.50 N sobre
ella. a) ¿Cuál es la fuerza constante de esta tira de material? b) Si la
distancia máxima que debe estirarse cuando se sustituya la aorta del
corazón dañado es de 1.14 cm, ¿cuál es la fuerza máxima que podrá
ejercer allí?
6.32 .. Se requiere un trabajo de 12.0 J para estirar un resorte 3.00 cm
con respecto a su longitud no estirada. a) ¿Cuál es la constante de
fuerza de este resorte? b) ¿Qué fuerza se necesita para estirar 3.00 cm
el resorte desde su longitud sin estirar? c) ¿Cuánto trabajo debe efectuarse para comprimir ese resorte 4.00 cm con respecto a su longitud
no estirada, y qué fuerza se necesita para compriFigura E6.33
mirlo esta distancia?
6.33 . Tres masas idénticas de 6.40 kg cuelgan de
tres resortes idénticos, como se muestra en la figura
E6.33. Cada resorte tiene una constante de fuerza
de 7.80 kN兾m y tenía 12.0 cm de longitud antes de
que se le sujetara una masa. a) Dibuje un diagrama
de cuerpo libre de cada masa. b) ¿Qué longitud tiene cada resorte cuando cuelga como se muestra?
(Sugerencia: Aísle primero la masa de la parte inferior. Luego maneje las dos masas inferiores como
un sistema. Por último, considere las tres masas
como un sistema).
. Una niña aplica una fuerza
6.34
S
Figura E6.34
F paralela al eje x a un trineo de
Fx (N)
10.0 kg que se mueve sobre la superficie congelada de un estanque 10
pequeño. La niña controla la rapidez del trineo, y la componente x
de la fuerza que aplica varía con la
5
coordenada x del trineo, como se
muestra en la figura E6.34.SCalcule
el trabajo efectuado por F cuanx (m)
0
4
8
12
do el trineo se mueve a) de x = 0
a x = 8.0 m; b) de x = 8.0 m a
x = 12.0 m; c) de x = 0 a x = 12.0 m.
6.35 .. Suponga que el trineo del ejercicio 6.34 está inicialmente
en reposo en x = 0. Use el teorema trabajo-energía para determinar
la rapidez del trineo en a) x = 8.0 m, y b) x = 12.0 m. Puede despreciarse la fricción entre el trineo y la superficie del estanque.
6.36 . Una caja de 2.0 kg y otra de 3.0 kg que se encuentran sobre un
piso horizontal perfectamente liso tienen un resorte comprimido entre
ellas con una constante de fuerza de 250 N兾m. Si la compresión inicial del resorte es de 6.0 cm, calcule la aceleración de cada caja un
instante después de ser liberadas. Asegúrese de incluir los diagramas
de cuerpo libre de cada caja como parte de la solución.
6.37 .. Una caja de 6.0 kg que se mueve a 3.0 m兾s, sobre una superficie horizontal sin fricción, choca con un resorte ligero cuya constante
de fuerza es de 75 N兾cm. Use el teorema trabajo-energía para determinar la compresión máxima del resorte.
6.38 .. Presión con las piernas. Como parte de su rutina diaria de
ejercicio, usted se acuesta boca arriba y empuja con los pies una plataforma conectada a dos resortes rígidos paralelos entre sí. Al empujar la plataforma, comprime los resortes. Realiza 80.0 J de trabajo al
comprimir los resortes 0.200 m con respecto a su longitud no comprimida. a) ¿Qué fuerza debe aplicar para mantener la plataforma en
esta posición? b) ¿Cuánto trabajo adicional debe realizar para mover
la plataforma otros 0.200 m, y qué fuerza máxima debe aplicar?
6.39 .. a) En el ejemplo 6.7 (sección 6.3), se calcula que, con el riel
de aire desactivado, el deslizador viaja 8.6 cm antes de detenerse
instantáneamente. ¿Qué tan grande debe ser el coeficiente de fricción
estática ms para evitar que el deslizador regrese a la izquierda? b) Si el
coeficiente de fricción estática entre el deslizador y el riel es ms = 0.60,
¿qué rapidez inicial máxima v1 puede imprimirse al deslizador y
aun así permanecer en reposo luego de detenerse instantáneamente?
Ejercicios
Con el riel de aire desactivado, el coeficiente de fricción cinética es
mk = 0.47.
6.40 . Un bloque de hielo de 4.00 kg se coloca contra un resorte horizontal que tiene constante de fuerza k = 200 N兾m, y está comprimido
0.025 m. El resorte se suelta y acelera al bloque sobre una superficie horizontal. Pueden despreciarse la fricción y la masa del resorte. a) Calcule
el trabajo efectuado por el resorte sobre el bloque, durante el movimiento del bloque desde su posición inicial hasta que el resorte recupera su longitud no comprimida. b) ¿Qué rapidez tiene el bloque al
perder contacto con el resorte?
6.41 . A un automóvil
a escala, de 2.0 kg, controlado por radio, se le
S
aplica una fuerza F paralela al eje x, mientras el automóvil se mueve
por una pista recta. La componente x de la fuerza varía con la coordenada x del automóvil, como S
se indica en la figura E6.41. Calcule el
trabajo efectuado por la fuerza F cuando el auto se mueve de a) x = 0 a
x = 3.0 m; b) x = 3.0 m a x = 4.0 m; c) x = 4.0 m a x = 7.0 m; d) x = 0 m
a x = 7.0 m; e) x = 7.0 m a x = 2.0 m.
Figura E6.41
Fx (N)
2
1
0
21
22
x (m)
1 2 3 4 5 6 7
6.42 . Suponga que el automóvil a escalaSde 2.0 kg del ejercicio 6.41
está inicialmente en reposo en x = 0 y que F es la fuerza neta que actúa
sobre él. Use el teorema trabajo-energía para determinar la rapidez del
auto en a) x = 3.0 m; b) x = 4.0 m; c) x = 7.0 m.
6.43 .. En un parque acuático, trineos con pasajeros se impulsan por
una superficie horizontal resbaladiza liberando un resorte grande comprimido. El resorte, con una constante de fuerza k = 40.0 N兾cm y
masa despreciable, descansa sobre la superficie horizontal sin fricción.
Un extremo está en contacto con una pared fija; un trineo con pasajero,
cuya masa total es de 70.0 kg, se empuja contra el otro extremo, comprimiendo el resorte 0.375 m. Luego se libera el trineo con velocidad
inicial cero. ¿Qué rapidez tiene el trineo cuando el resorte a) regresa a
su longitud no comprimida, y b) cuando aún está comprimido 0.200 m?
6.44 . La mitad de un resorte. a) Suponga que usted corta a la
mitad un resorte ideal sin masa. Si el resorte completo tiene una constante de fuerza k, ¿cuál es la constante de fuerza de cada mitad, en
términos de k? (Sugerencia: Piense en el resorte original como dos
mitades iguales, y que cada mitad produce la misma fuerza que el
resorte completo. ¿Nota usted por qué las fuerzas deben ser iguales?)
b) Si ahora corta el resorte en tres segmentos iguales, ¿cuál será la
constante de fuerza de cada uno en términos de k?
6.45 .. Un deslizador pequeño con masa de 0.0900 kg se coloca contra
un resorte comprimido en la base de un riel de aire que tiene una pendiente de 40.0° sobre la horizontal. El resorte tiene una constante de
fuerza k = 640 N兾m y masa despreciable. Al soltarse el resorte, el deslizador viaja una distancia máxima de 1.80 m sobre el riel antes de deslizarse hacia abajo. Antes de alcanzar esta distancia máxima, el deslizador
pierde contacto con el resorte. a) ¿Qué distancia se comprimió originalmente el resorte? b) Cuando el deslizador haya recorrido 0.80 m por el
riel de aire desde su posición inicial contra el resorte comprimido,
¿estará todavía en contacto con el resorte? ¿Qué energía cinética tiene
el deslizador en ese punto?
201
6.46 .. Un albañil ingenioso construye un dispositivo para lanzar ladrillos hacia arriba de la pared donde está trabajando. Se coloca un
ladrillo sobre un resorte vertical comprimido con constante de fuerza
k = 450 N兾m y masa despreciable. Al soltarse el resorte, el ladrillo es
empujado hacia arriba. Si un ladrillo con masa de 1.80 kg debe alcanzar una altura máxima de 3.6 m sobre su posición inicial, ¿qué distancia deberá comprimirse el resorte? (El ladrillo pierde contacto con
el resorte cuando este recupera su longitud no comprimida. ¿Por qué?)
6.47 .. CALC Se aplica una fuerza F(x) = 18.0 N - (0.530 N兾m)x en
la dirección +x a una caja de 6.00 kg que descansa sobre la superficie horizontal, sin fricción, de un lago congelado. F(x) es la única
fuerza horizontal sobre la caja. Si esta última se encuentra inicialmente
en reposo en x = 0, ¿cuál es la rapidez después de viajar 14.0 m?
Sección 6.4 Potencia
6.48 .. Una caja sobre una carreta motorizada parte del reposo y
se mueve con una aceleración constante hacia el este, cuyo valor es
a = 2.80 m兾s2. Un trabajador ayuda a la carreta empujándola con una
fuerza hacia el este de una magnitud que depende del tiempo, de
acuerdo con F(t) = (5.40 N兾s)t. ¿Cuál es la potencia instantánea suministrada por esta fuerza en t = 5.00 s?
6.49 . ¿Cuántos joules de energía consume una bombilla eléctrica de
100 watts cada hora? ¿Con qué rapidez tendría que correr una persona
de 70 kg para tener esa cantidad de energía cinética?
6.50 .. BIO ¿Debe caminar o correr? Hay 5.0 km de su casa al laboratorio de física. Como parte de su programa de acondicionamiento
físico, usted podría correr esa distancia a 10 km兾h (lo cual consume
energía a una tasa de 700 W), o caminarla tranquilamente a 3.0 km兾h
(lo cual consume una energía de 290 W). ¿Con cuál opción quemaría
más energía, y cuánta (en joules) se quemaría? ¿Por qué el ejercicio más
intenso quema menos energía que el ejercicio menos intenso?
6.51 .. Magnetoestrella. El 27 de diciembre de 2004 los astrónomos
observaron el destello de luz más grande jamás registrado, proveniente
del exterior del Sistema Solar. Provenía de la estrella de neutrones altamente magnética SGR 1806-20 (una magnetar o magnetoestrella).
Durante 0.20 s, dicha estrella liberó tanta energía como nuestro Sol
liberó durante 250,000 años. Si P es la potencia de salida media de
nuestro Sol, ¿cuál era la potencia de salida media (en términos de P)
de esta magnetoestrella?
6.52 .. Una piedra de 20.0 kg se desliza por una superficie horizontal
áspera a 8.00 m兾s y finalmente se detiene debido a la fricción. El coeficiente de fricción cinética entre la piedra y la superficie es de 0.200.
¿Qué potencia media se produce por fricción hasta que la piedra se
detiene?
6.53 . Un equipo de dos personas en una bicicleta tándem debe superar una fuerza de 165 N para mantener una rapidez de 9.00 m兾s.
Calcule la potencia requerida por ciclista, suponiendo contribuciones
iguales. Exprese su respuesta en watts y en caballos de potencia.
6.54 .. Un pequeño avión monomotor con masa de 700 kg gana altitud a razón de 2.5 m兾s (150 m兾min, o 500 ft兾min) cuando su motor de
75 kW (100 hp) está desarrollando su potencia máxima. ¿Qué fracción
de la potencia del motor se está invirtiendo en hacer que el avión
ascienda? (El resto se usa para vencer la resistencia del aire o se pierde
por ineficiencias en la hélice y el motor).
6.55 .. Trabajar como caballo. Imagine que su trabajo es levantar cajas de 30 kg una distancia vertical de 0.90 m del suelo a un
camión. a) ¿Cuántas cajas tendría que cargar en el camión en 1 min,
para que su gasto medio de potencia invertido en levantar las cajas sea
de 0.50 hp? b) ¿Y para que fuera de 100 W?
6.56 .. Un elevador sin pasajeros tiene masa de 600 kg y está diseñado para subir con rapidez constante una distancia vertical de 20.0 m
202
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
(5 pisos) en 16.0 s; es impulsado por un motor capaz de suministrar
40 hp al elevador. ¿Cuántos pasajeros como máximo pueden subir en
el elevador? Suponga una masa de 65.0 kg por pasajero.
6.57 .. Un remolcador de esquiadores opera en una ladera a 15.0° con
longitud de 300 m. La cuerda se mueve a 12.0 km兾h y se suministra
potencia para remolcar 50 pasajeros (de 70.0 kg en promedio) a la vez.
Estime la potencia requerida para operar el remolcador.
6.58 .. El portaaviones John F. Kennedy tiene una masa de 7.4 * 107 kg.
Cuando sus motores desarrollan su potencia máxima de 280,000 hp,
la nave viaja con su rapidez máxima de 35 nudos (65 km兾h). Si el 70%
de esa potencia se dedica a impulsar la nave por el agua, ¿qué magnitud tiene la fuerza de resistencia del agua que se opone al movimiento
del portaaviones con esta rapidez?
6.59 . BIO Un insecto volador común aplica una fuerza media igual al
doble de su peso durante cada aleteo hacia abajo cuando está suspendido en el aire. Suponga que la masa del insecto es de 10 g y que las
alas recorren una distancia media vertical hacia abajo de 1.0 cm en
cada aleteo. Suponiendo 100 aleteos por segundo, estime el gasto medio de potencia del insecto.
PROBLEMAS
6.60 ... CALC Una vaca terca intenta salirse del establo mientras usted
la empuja cada vez con más fuerza para impedirlo. En coordenadas cuyo origen es la puerta del establo, la vaca se desplaza de x = 0
a x = 6.9 m, mientras usted aplica una fuerza con una componente
Fx = -[20.0 N + (3.0 N兾m)x]. ¿Cuánto trabajo efectúa sobre la vaca
la fuerza que usted aplica a lo largo de este desplazamiento?
6.61 .. CALC Barra giratoria. Una barra delgada y uniforme de 12.0 kg
y longitud de 2.00 m gira uniformemente alrededor de un pivote en un
extremo, describiendo 5.00 revoluciones completas cada 3.00 segundos.
¿Qué energía cinética tiene esta barra? (Sugerencia: Considere que los
diferentes puntos de la barra tienen diferente rapidez. Divida la barra en
segmentos infinitesimales de masa dm e integre para obtener la energía
cinética total de todos estos segmentos).
6.62 .. Un asteroide cercano a la Tierra. El 13 de abril de 2029
(¡un viernes 13!), el asteroide 99942 Apophis pasará a 18,600 millas
1
de la Tierra, ¡aproximadamente 13 de la distancia a la Luna! Tiene una
3
densidad de 2600 kg兾m , puede modelarse como una esfera de 320 m de
diámetro y viajará a 12.6 km兾s. a) Si, debido a una pequeña perturbación en su órbita, el asteroide fuera a chocar contra la Tierra, ¿cuánta
energía cinética produciría? b) El arma nuclear más grande probada
por Estados Unidos fue la bomba “Castle-Bravo”, que produjo 15 megatones de TNT. (Un megatón de TNT libera 4.184 * 1015 J de energía). ¿Cuántas bombas Castle-Bravo serían equivalentes a la energía
del Apophis?
6.63 . Un transportador de equipaje tira de una maleta de 20.0 kg,
para subirla
por una rampa inclinada 25.0° sobre la horizontal, con una
S
fuerza F de magnitud 140 N que actúa paralela a la rampa. El coeficiente de fricción cinética entre la rampa y la suitcase es mk = 0.300.
Si la maleta viaja 3.80
m en la rampa, calcule a) el trabajo realizado
S
sobre la maleta por F; b) la fuerza gravitacional, c) la fuerza normal,
d) la fuerza de fricción. e) Calcule el trabajo total realizado sobre la
maleta. f) Si la rapidez de la maleta es cero en la base de la rampa,
¿qué rapidez tiene después de haber subido 3.80 m por la rampa?
6.64 . BIO Flexiones de brazos. Al hacer una flexión de brazos en
una barra, un hombre levanta su cuerpo 0.40 m. a) ¿Cuánto trabajo
efectúa por kilogramo de masa corporal? b) Los músculos que intervienen en el movimiento pueden generar aproximadamente 70 J de
trabajo por kilogramo de masa muscular. Si el hombre apenas logra
levantarse 0.40 m, ¿qué porcentaje de la masa corporal corresponde a
esos músculos? (Como comparación, el porcentaje total de músculo en
un hombre común de 70 kg con el 14% de grasa corporal es cercano al
43%). c) Repita el inciso b) para el pequeño hijo de tal hombre, cuyos
brazos tienen la mitad de la longitud que los de su padre, pero cuyos músculos también pueden generar 70 J de trabajo por kilogramo
de masa muscular. d) Los adultos y niños tienen aproximadamente el
mismo porcentaje de músculo en su cuerpo. Explique por qué para
los niños suele ser más fácil que para sus padres hacer flexiones de
brazos en una barra.
6.65 ... PA Una caja de 20.0 kg descansa al pie de una rampa de 15.0 m
de longitud e inclinada 34.0° por arriba de la horizontal. Se aplica a la
caja una fuerza constante horizontal de 290 N, para empujarla hacia
arriba de la rampa. Mientras la caja se mueve, la rampa ejerce sobre
ella una fuerza de fricción constante de 65.0 N de magnitud. a) ¿Cuál
es el trabajo total realizado sobre la caja durante el movimiento desde
la parte inferior a la superior de la rampa? b) ¿Cuánto tiempo le toma
a la caja llegar a la parte superior de la rampa?
6.66 ... Considere los bloques del ejercicio 6.7 conforme se mueven
75.0 cm. Calcule el trabajo total realizado sobre cada uno a) si no
hay fricción entre la mesa y el bloque de 20.0 N, y b) si ms = 0.500 y
mk = 0.325 entre la mesa y el bloque de 20.0 N.
6.67 . El transbordador espacial, con masa de 86,400 kg, está en una
órbita circular con radio de 6.66 * 106 m alrededor de la Tierra, y tarda 90.1 min en completar una órbita. En una misión de reparación,
la nave se acerca cuidadosamente 1.00 m cada 3.00 s a un satélite averiado. Calcule la energía cinética del transbordador a) relativa a la
Tierra, y b) relativa al satélite.
6.68 .. Un paquete de 5.00 kg baja 1.50 m deslizándose por una larga
rampa con pendiente de 24.0° bajo la horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el paquete y la rampa es mk = 0.310. Calcule el trabajo realizado sobre el paquete por a) la fricción, b) la gravedad, c) la
fuerza normal. d) Calcule el trabajo total realizado sobre el paquete.
e) Si el paquete tiene una rapidez de 2.20 m兾s en la parte superior de
la rampa, ¿qué rapidez tiene después de bajar deslizándose 1.50 m?
6.69 .. PA BIO Latigazo cervical. Cuando un automóvil es golpeado por detrás, los pasajeros experimentan una aceleración repentina
hacia adelante, la cual puede provocar un daño severo al cuello, conocido como latigazo cervical. Durante una aceleración normal, los músculos del cuello desempeñan un papel importante en la aceleración de la
cabeza, de modo que los huesos no se dañan. Pero durante una aceleración muy repentina, los músculos no reaccionan de inmediato porque
son flexibles, de manera que la mayor parte de la aceleración es absorbida por los huesos del cuello. Pruebas experimentales han demostrado
que estos huesos se fracturan si absorben más de 8.0 J de energía. a) Si
un automóvil que espera en el semáforo es colisionado por atrás durante 10.0 ms, ¿cuál es la máxima rapidez que este automóvil y su conductor pueden alcanzar sin que se rompan los huesos del cuello, si la
cabeza del conductor tiene una masa de 5.0 kg (la cual es la masa correcta para una persona de 70 kg)? Exprese su respuesta en m兾s y en
mph. b) ¿Cuál es la aceleración de los pasajeros durante la colisión
del inciso a), y qué tan grande es la fuerza que actúa para acelerar sus
cabezas? Exprese la aceleración en m兾s2 y en g.
6.70 .. CALC Una fuerza neta a lo largo del eje x que tiene una componente Fx = -12.0 N + (0.300 N兾m2)x2 se aplica a un objeto de 5.00 kg
que inicialmente se encuentra en el origen y se mueve en la dirección
-x con una rapidez de 6.00 m兾s. ¿Cuál es la rapidez del objeto cuando
alcanza el punto x = 5.00 m?
6.71 . CALC Un objeto es atraído hacia el origen con una fuerza dada
por Fx = -k兾x2. (Las fuerzas gravitacional y eléctrica tienen esta dependencia de la distancia). a) Calcule el trabajo realizado por la fuerza
Fx cuando el objeto se mueve en la dirección x de x1 a x2. Si x2 7 x1, ¿el
trabajo realizado por Fx es positivo o negativo? b) La otra fuerza que
actúa sobre el objeto es la que usted ejerce con la mano para moverlo
Problemas
lentamente de x1 a x2. ¿Qué tanto trabajo efectúa usted? Si x2 7 x1,
¿el trabajo que usted realiza es positivo o negativo? c) Explique las
similitudes y diferencias entre sus respuestas a los incisos a) y b).
6.72 ... CALC La atracción gravitacional de la Tierra sobre un objeto
es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el objeto y el centro de la Tierra. En la superficie terrestre, esa fuerza es
igual al peso normal del objeto, mg, donde g = 9.8 m兾s2; en tanto que a
grandes distancias la fuerza es cero. Si un asteroide de 20,000 kg cae
a la Tierra desde un punto muy lejano, ¿qué rapidez mínima tendrá al
chocar contra la superficie terrestre y cuánta energía cinética impartirá
a nuestro planeta? Puede ignorar los efectos de la atmósfera terrestre.
6.73 . CALC Coeficientes de fricción variables. Una caja resbala con
una rapidez de 4.50 m兾s por una superficie horizontal cuando, en el
punto P, encuentra una sección áspera. Aquí, el coeficiente de fricción
no es constante: inicia en 0.100 en P y aumenta linealmente con la
distancia después de P, alcanzando un valor de 0.600 en 12.5 m más
allá de P. a) Use el teorema trabajo-energía para obtener la distancia
que la caja se desliza antes de detenerse. b) Determine el coeficiente de
fricción en el punto donde se detuvo. c) ¿Qué distancia se habría deslizado la caja si el coeficiente de fricción, en vez de aumentar, se hubiera
mantenido en 0.100?
6.74 .. CALC Considere un resorte que no obedece fielmente la ley
de Hooke. Un extremo del resorte se encuentra fijo. Para mantenerlo
estirado o comprimido una distancia x, se debe aplicar al extremo libre una fuerza con una componente Fx = kx – bx2 + cx3. Aquí, k =
100 N兾m, b = 700 N兾m2 y c = 12,000 N兾m3. Observe que x 7 0
cuando se estira el resorte y x 6 0 cuando se comprime. a) ¿Cuánto trabajo debe realizarse para estirar este resorte 0.050 m con respecto a su
longitud no estirada? b) ¿Cuánto trabajo debe realizarse para comprimirlo 0.050 m con respecto a su longitud no estirada? c) ¿Es más fácil
estirar o comprimir este resorte? Explique lo anterior en términos de
la dependencia de Fx de x. (Muchos resortes reales tienen el mismo
comportamiento cualitativo).
6.75 .. PA Un pequeño bloque con Figura P6.75
masa de 0.0900 kg se conecta a
una cuerda que pasa por un agujero
en una superficie horizontal sin
fricción (figura P6.75). El bloque
está girando a una distancia de
0.40 m del agujero con rapidez
de 0.70 m兾s. Luego, se tira de la
cuerda por abajo, acortando el
radio de la trayectoria del bloque
a 0.10 m. Ahora la rapidez del
bloque es de 2.80 m兾s. a) ¿Qué
tensión hay en la cuerda en la situación original cuando el bloque tiene una rapidez v = 0.70 m兾s)? b) ¿Qué tensión hay en la cuerda en
la situación final cuando el bloque tiene una rapidez v = 2.80 m兾s?
c) ¿Cuánto trabajo efectuó la persona que tiró de la cuerda?
6.76 .. CALC Bombardeo con protones. Un protón con masa de
1.67 * 10-27 kg es impulsado con una rapidez inicial de 3.00 *
105 m兾s directamente hacia un núcleo de uranio que está a 5.00 m.
El protón es repelido por el núcleo de uranio con una fuerza de magnitud F = a兾x2, donde x es la separación entre los dos objetos y a =
2.12 * 10-26 N ⴢ m2. Suponga que el núcleo de uranio permanece en
reposo. a) ¿Qué rapidez tiene el protón cuando está a 8.00 * 10-10 m
del núcleo de uranio? b) Al acercarse el protón al núcleo de uranio, la
fuerza de repulsión lo frena hasta detenerlo momentáneamente, después de lo cual el protón se aleja del núcleo de uranio. ¿Qué tanto se
203
acerca el protón al núcleo? c) ¿Qué rapidez tiene el protón cuando está
otra vez a 5.00 m del núcleo de uranio?
6.77 .. PA CALC Un bloque de hielo con masa de 4.00 kg está inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal
sin fricción. Un
S
obrero le aplica entonces una fuerza horizontal F y el bloque se mueve sobre el eje x, de modo que su posición en función del tiempo está
dada por x(t) = at2 + bt3, donde a = 0.200 m兾s2, b = 0.0200 m兾s3.
a) Calcule
la velocidad del objeto en t = 4.00 s. b) Calcule la magnitud
S
S
de F en t = 4.00 s. c) Calcule el trabajo efectuado por la fuerza F
durante los primeros 4.00 s del movimiento.
6.78 .. Un hombre y su bicicleta tienen una masa combinada de
80.0 kg. Al llegar a la base de un puente, el hombre viaja a 5.00 m兾s
(figura P6.78). La altura vertical del puente que debe subir es de 5.20 m,
y en la cima la rapidez del ciclista disminuyó a 1.50 m兾s. Ignore la
fricción y cualquier ineficiencia de la bicicleta o de las piernas del
ciclista. a) ¿Qué trabajo total se efectúa sobre el hombre y su bicicleta
al subir de la base a la cima del puente? b) ¿Cuánto trabajo realizó el
hombre con la fuerza que aplicó a los pedales?
Figura P6.78
m 5 80.0 kg
5.20 m
6.79 .. Imagine que le piden diseñar amortiguadores de resorte para
las paredes de un estacionamiento. Un automóvil de 1200 kg que rueda
libremente a 0.65 m兾s no debe comprimir el resorte más de 0.090 m
antes de detenerse. ¿Qué constante de fuerza debería tener el resorte?
Suponga que la masa del resorte es despreciable.
6.80 .. El resorte de un rifle de resorte tiene masa despreciable y una
constante de fuerza k = 400 N兾m. El resorte se comprime 6.00 cm y
una esfera con masa de 0.0300 kg se coloca en el cañón horizontal
contra el resorte comprimido. El resorte se libera y la esfera sale por
el cañón. Este mide 6.00 cm de largo, así que la esfera sale de él en el
instante en que pierde contacto con el resorte. El rifle se sostiene con
el cañón horizontal. a) Calcule la rapidez con que la esfera sale del
cañón, ignorando la fricción. b) Calcule la rapidez con que la esfera
sale del cañón, suponiendo que una fuerza de resistencia constante de
6.00 N actúa sobre la esfera mientras se mueve dentro del cañón. c)
Para la situación del inciso b), ¿en qué posición dentro del cañón la
esfera tiene mayor rapidez y cuál es esa rapidez? (En este caso, la rapidez máxima no se alcanza en el extremo del cañón).
6.81 ... Un libro de 2.50 kg se empuja contra un resorte horizontal
de masa despreciable con una fuerza constante de 250 N兾m, comprimiéndolo 0.250 m. Al soltarse, el libro se desliza sobre una mesa horizontal que tiene coeficiente de fricción cinética mk = 0.30. Use el
204
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
teorema trabajo-energía para averiguar qué distancia recorre el libro
desde su posición inicial hasta detenerse.
6.82 ... Empujar un gato. Su gato Micifuz (masa de 7.00 kg) está
tratando de llegar a la parte más alta de una rampa sin fricción de 2.00 m
de longitud, que tiene una inclinación de 30.0° sobre la horizontal.
Puesto que el pobre felino no tiene tracción alguna sobre la rampa,
usted lo empuja en todo momento ejerciendo una fuerza constante de
100 N paralela a la rampa. Si Micifuz empieza a correr desde más atrás,
de modo que tenga una rapidez de 2.40 m兾s en la base de la rampa,
¿qué rapidez tendrá al llegar a la parte más alta? Use el teorema trabajo-energía.
6.83 .. Barrera protectora. Un estudiante propone un diseño para
una barrera contra choques de automóviles consistente en un resorte
con masa despreciable capaz de detener una camioneta de 1700 kg que
se desplaza a 20.0 m兾s. Para no lastimar a los pasajeros, la aceleración
del auto al frenarse no puede ser mayor que 5.00g. a) Calcule la constante del resorte k requerida, y la distancia que el resorte se comprimirá
para detener el vehículo. No considere la deformación sufrida por el
vehículo ni la fricción entre el vehículo y el piso. b) ¿Qué desventajas
tiene este diseño?
6.84 ... Un grupo de estudiantes empuja a un profesor de física sentado en una silla provista de ruedas sin fricción, para subirlo 2.50 m
por una rampa con una pendiente de 30.0° sobre la horizontal. La
masa combinada del profesor y la silla es de 85.0 kg. Los estudiantes
aplican una fuerza horizontal constante de 600 N. La rapidez del profesor en la base de la rampa es de 2.00 m兾s. Use el teorema trabajo-energía para calcular su rapidez en la parte superior de la rampa.
6.85 . Un bloque de 5.00 kg se Figura P6.85
mueve con v0 = 6.00 m兾s en una
v0 5 6.00 m/s
superficie horizontal sin fricción
k 5 500 N/m
hacia un resorte, con una constante
5.00
k = 500 N兾m, que está unido a una
kg
pared (figura P6.85). El resorte
tiene masa despreciable. a) Calcule la distancia máxima que se comprimirá el resorte. b) Si dicha distancia no debe ser mayor que 0.150 m, ¿qué valor máximo puede
tener v0?
6.86 .. Considere el sistema de Figura P6.86
la figura P6.86. La cuerda y la
8.00 kg
polea tienen masas despreciables,
y la polea no tiene fricción. Entre
el bloque de 8.00 kg y la mesa, el
coeficiente de fricción cinética es
mk = 0.250. Los bloques se sueltan del reposo. Use métodos de
energía para calcular la rapidez
6.00 kg
del bloque de 6.00 kg después de
descender 1.50 m.
6.87 .. Considere el sistema de la figura P6.86. La cuerda y la polea
tienen masas despreciables, y la polea no tiene fricción. El bloque de
6.00 kg se mueve inicialmente hacia abajo, y el bloque de 8.00 kg se
mueve a la derecha, ambos con rapidez de 0.900 m兾s. Los bloques
se detienen después de moverse 2.00 m. Use el teorema trabajo-energía para calcular el coeficiente de fricción cinética entre el bloque de
8.00 kg y la mesa.
6.88 ... CALC Arco y flecha. La figura P6.88 muestra cómo la
fuerza ejercida por la cuerda de un arco compuesto sobre una flecha
varía en función de qué tan atrás se tira de la flecha (la longitud
de tensado). Suponga que la misma fuerza se ejerce sobre la flecha
cuando esta se mueve hacia adelante después de soltarse. El tensado
máximo de este arco es una longitud de 75.0 cm. Si el arco dispara
una flecha de 0.0250 kg con tensado máximo, ¿qué rapidez tiene la
flecha al salir del arco?
Figura P6.88
Fx (N)
200
160
120
80
40
O
Longitud
de tensado
(cm)
20 40 60 80 100
6.89 .. En una pista de hielo horizontal, prácticamente sin fricción,
una patinadora que se mueve a 3.0 m兾s encuentra una zona áspera que
reduce su rapidez a 1.65 m兾s debido a una fuerza de fricción que es del
25% del peso de la patinadora. Use el teorema trabajo-energía para
determinar la longitud de la zona áspera.
6.90 . Rescate. Imagine que una amiga (con masa de 65.0 kg) está
de pie en medio de un estanque congelado. Hay muy poca fricción
entre sus pies y el hielo, de modo que no puede caminar. Por fortuna,
tiene una cuerda ligera atada a la cintura y usted está en la orilla sosteniendo el otro extremo. Usted tira de la cuerda durante 3.00 s y acelera
a su amiga desde el reposo hasta tener una rapidez de 6.00 m兾s, mientras usted permanece en reposo. ¿Qué potencia media suministra la
fuerza que aplicó?
6.91 .. Se requiere una bomba para elevar 800 kg de agua (aproximadamente 210 galones) por minuto desde un pozo de 14.0 m, expulsándola con una rapidez de 18.0 m兾s. a) ¿Cuánto trabajo se efectuará
por minuto para subir el agua? b) ¿Cuánto trabajo se efectuará para
impartirle la energía cinética que tiene al salir? c) ¿Qué potencia desarrolla la bomba?
6.92 .. BIO Todas las aves, sea cual fuere su tamaño, deben desarrollar continuamente una potencia de entre 10 y 25 watts por kilogramo
de masa corporal para volar batiendo las alas. a) El colibrí gigante de
los Andes (Patagona gigas) tiene una masa de 70 g y aletea 10 veces
por segundo al quedar suspendido. Estime el trabajo efectuado por ese
colibrí en cada aleteo. b) Un atleta de 70 kg puede desarrollar una potencia de 1.4 kW durante unos cuantos segundos como máximo; la
potencia de salida constante de un atleta común es del orden de solo
500 W. ¿Es posible para un vehículo aéreo de propulsión humana poder volar por periodos largos batiendo las alas? Explique su respuesta.
6.93 ... Una estudiante de física pasa una parte del día caminando
entre clases o por esparcimiento, y durante ese tiempo gasta energía
a una tasa media de 280 W. El resto del día está sentada en clase, estudiando o descansando; durante estas actividades, gasta energía a una
tasa media de 100 W. Si en un día ella gasta en total 1.1 * 107 J de
energía, ¿cuánto tiempo dedicó a caminar?
6.94 ... La presa Grand Coulee mide 1270 m de longitud y 170 m de
altura. La potencia eléctrica producida por los generadores en su base
es de aproximadamente 2000 MW. ¿Cuántos metros cúbicos de agua
deben fluir cada segundo desde la parte superior de la presa, para producir esta potencia si el 92% del trabajo realizado sobre el agua por
la gravedad se convierte en energía eléctrica? (Cada metro cúbico de
agua tiene 1000 kg de masa).
Problemas de desafío
6.95 . BIO Potencia del corazón humano. El corazón humano es
una bomba potente y muy confiable; cada día admite y descarga unos
7500 L de sangre. Suponga que el trabajo que realiza el corazón es
igual al requerido para levantar esa cantidad de sangre a la altura
media de una mujer estadounidense (1.63 m). La densidad (masa por
unidad de volumen) de la sangre es de 1.05 * 103 kg兾m3. a) ¿Cuánto
trabajo realiza el corazón en un día? b) ¿Qué potencia desarrolla en
watts?
6.96 ... Seis unidades diesel en serie pueden suministrar 13.4 MW al
primer vagón de un tren de carga. Las unidades diesel tienen una masa
total de 1.10 * 106 kg. Los vagones tienen una masa media de 8.2 *
104 kg y cada uno requiere un tirón horizontal de 2.8 kN para moverse
a 27 m兾s constantes en vías horizontales. a) ¿Cuántos vagones puede
tener el tren en estas condiciones? b) En tal caso, no sobraría potencia
para acelerar ni para subir cuestas. Demuestre que la fuerza adicional
requerida para acelerar el tren es aproximadamente la misma para lograr una aceleración de 0.10 m兾s2, que para subir una pendiente de 1.0%
(ángulo de pendiente a = arctan 0.010). c) Con la pendiente de 1.0%, demuestre que se necesitan 2.9 MW más para mantener la rapidez de
27 m兾s de las unidades diesel. d) Con 2.9 MW menos de potencia disponible, ¿cuántos vagones pueden arrastrar las seis unidades diesel subiendo una cuesta de 1.0% con rapidez constante de 27 m兾s?
6.97 . Se necesita una fuerza de 53 kN aplicada al primer vagón de
un tren de 16 vagones con masa de 9.1 * 105 kg, para tirar de él con
rapidez constante de 45 m兾s (101 mi兾h) sobre rieles horizontales.
a) ¿Qué potencia debe suministrar la locomotora al primer vagón?
b) ¿Cuánta potencia adicional a la calculada en a) se necesitaría para
impartir al tren una aceleración de 1.5 m兾s2 en el instante en que el
tren va a 45 m兾s sobre vías horizontales? c) ¿Cuánta potencia adicional a la calculada en a) se necesitaría para tirar del tren subiendo
una cuesta de 1.5% (ángulo de pendiente a = arctan 0.015) con rapidez
constante de 45 m兾s?
6.98 . CALC Varias fuerzas actúan sobre un objeto. Una de ellas es
S
F ⴝ axyın, una fuerza en la dirección x cuya magnitud depende de la
posición del objeto, con a = 2.50 N兾m2. Calcule el trabajo realizado
por esta fuerza sobre el objeto para cada uno de los siguientes desplazamientos del objeto: a) El objeto parte del punto x = 0, y = 3.00 m y
se mueve paralelo al eje x hasta el punto x = 2.00 m, y = 3.00 m. b) El
objeto parte del punto x = 2.00 m, y = 0 y se mueve en la dirección y
hasta el punto x = 2.00 m, y = 3.00 m. c) El objeto parte del origen y se
mueve sobre la línea y = 1.5x hasta el punto x = 2.00 m, y = 3.00 m.
6.99 .. Ciclismo. Para una ciclista de ruta, el coeficiente de arrastre
C 1ƒ aire = 12 CArv2 2 es 1.00, el área frontal A es de 0.463 m2 y el coeficiente de fricción por rodamiento es de 0.0045. Ella tiene una masa
de 50.0 kg, y su bicicleta, 12.0 kg. a) Para mantener una rapidez de
12.0 m兾s (unas 27 mi兾h) en un camino plano, ¿qué potencia debe suministrar la ciclista a la rueda trasera? b) En carreras de velocidad,
la misma ciclista usa otra bicicleta con coeficiente de fricción por rodamiento de 0.0030 y masa de 9.00 kg. Además, la ciclista se encorva
para reducir su coeficiente de arrastre a 0.88 y su área frontal a 0.366 m2.
¿Qué potencia debe suministrar ahora a la rueda trasera para mantener
una rapidez de 12.0 m兾s? c) En la situación del inciso b), ¿qué potencia se requiere para mantener una rapidez de 6.0 m兾s? Considere la
gran reducción en la potencia requerida cuando la rapidez solo se reduce a la mitad. (Si desea saber más acerca de las limitaciones aerodinámicas de la rapidez para una amplia variedad de vehículos de propulsión humana, véase “The Aerodynamics of Human-Powered Land
Vehicles”, Scientific American, diciembre de 1983).
6.100 .. Potencia automotriz I. El motor de un camión transmite
28.0 kW (37.5 hp) a las ruedas de tracción cuando el camión viaja con
velocidad constante de magnitud 60.0 km兾h (37.3 mi兾h) sobre una
205
carretera horizontal. a) Determine la fuerza de resistencia que actúa
sobre el camión. b) Suponga que el 65% de tal fuerza se debe a la fricción por rodamiento, y el resto, a la resistencia del aire. Si la fuerza de
fricción por rodamiento es independiente de la rapidez, y la fuerza
de resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la rapidez, ¿qué
potencia impulsará el camión a 30.0 km兾h? ¿Y a 120.0 km兾h? Dé
sus respuestas en kilowatts y en caballos de potencia.
6.101 .. Potencia automotriz II. a) Si se requieren 8.00 hp para impulsar un automóvil de 1800 kg a 60.0 km兾h en una carretera horizontal, calcule la fuerza retardadora total debida a la fricción, la resistencia
del aire, etcétera. b) ¿Qué potencia se requiere para impulsar el auto
a 60.0 km兾h hacia arriba en una pendiente de 10.0% (que sube 10.0 m
por cada 100.0 m de distancia horizontal)? c) ¿Qué potencia se requiere para impulsar el auto a 60.0 km兾h en una bajada de 1.00%?
d) ¿Qué inclinación debe tener una pendiente para que el auto avance
a 60.0 km兾h en neutral?
PROBLEMAS DE DESAFÍO
6.102 ... CALC En un día invernal en Maine, un bodeguero está empujando cajas hacia arriba, por una tabla áspera inclinada un ángulo a
sobre la horizontal. La tabla está cubierta en parte con hielo, y hay más
hielo cerca de la base de la tabla que cerca del tope, de modo que el
coeficiente de fricción aumenta con la distancia x a lo largo de la tabla:
m = Ax, donde A es una constante positiva y la base de la tabla está en
x = 0. (Para esta tabla, los coeficientes de fricción cinética y estática
son iguales: mk = ms = m). El bodeguero empuja una caja tabla arriba,
de modo que sale de la base de la tabla con rapidez v0. Demuestre que
cuando la caja se detiene, permanecerá en reposo si
v02 Ú
3g sen 2 a
A cos a
6.103 ... CALC Un resorte con masa. Normalmente ignoramos la
energía cinética de las espiras en movimiento de un resorte; sin embargo, intentemos obtener una aproximación razonable de esta cantidad. Considere un resorte de masa M, longitud en equilibrio L0 y
constante de resorte k. El trabajo efectuado para estirar o comprimir el
1
resorte en una distancia L es 2 kX 2, donde X = L - L0. Considere que
el resorte descrito tiene un extremo fijo y el otro moviéndose con rapidez v. Suponga que la rapidez de los puntos a lo largo del resorte varía
linealmente con la distancia l medida desde el extremo fijo. Suponga
también que la masa M del resorte se distribuye uniformemente a lo
largo del mismo. a) Calcule la energía cinética del resorte en términos
de M y v. (Sugerencia: Divida el resorte en segmentos de longitud dl;
determine la rapidez de cada segmento en términos de l, v y L; calcule
la masa de cada segmento en términos de dl, M y L, e integre desde 0
1
hasta L. El resultado no es 2 Mv2, ya que no todo el resorte se mueve
con la misma rapidez). En un rifle de resorte, un resorte de masa 0.243 kg
y constante de 3200 N兾m se comprime 2.50 cm con respecto a su longitud no estirada. Cuando se tira del gatillo, el resorte empuja horizontalmente una esfera de 0.053 kg. El trabajo efectuado por la fricción es despreciable. Calcule la rapidez de la esfera cuando el resorte
recupera su longitud no comprimida b) despreciando la masa del resorte y c) incluyendo, con ayuda de los resultados del inciso a), la masa
del resorte. d) En el inciso c), ¿qué energía cinética final tienen la esfera y el resorte?
6.104 ... CALC Un avión en vuelo está sujeto a una fuerza de resistencia del aire proporcional al cuadrado de su rapidez v. Sin embargo, hay
una fuerza de resistencia adicional porque el avión tiene alas. El aire
que fluye sobre las alas es empujado hacia abajo y ligeramente hacia
adelante de modo que, por la tercera ley de Newton, el aire ejerce una
206
CAPÍTULO 6 Trabajo y energía cinética
fuerza sobre las alas y el avión que es hacia arriba y ligeramente hacia
atrás (figura P6.104). La fuerza hacia arriba es la fuerza de sustentación que mantiene al avión en vuelo, en tanto que la fuerza hacia atrás
se denomina arrastre inducido. A las rapideces de vuelo, el arrastre inducido es inversamente proporcional a v2, así que la fuerza de resistencia
total del aire se puede expresar como Faire = av2 + b兾v2, donde a y b
son constantes positivas que dependen de la forma y el tamaño del
avión y de la densidad del aire. Para un Cessna 150, un avión pequeño
de un solo motor, a = 0.30 Nⴢs2兾m2 y b = 3.5 * 105 Nⴢm2兾s2. En
vuelo estable, el motor debe suministrar una fuerza hacia adelante que
equilibre exactamente la fuerza de resistencia del aire. a) Calcule la
rapidez (en km兾h) a la que este avión tiene el alcance máximo (es decir, viaja mayor distancia) para una cantidad dada de combustible.
b) Calcule la rapidez (en km兾h) con la que el avión tendrá permanencia máxima en el aire.
Figura P6.104
Arrastre inducido
Sustentación
Fuerza del aire
sobre las alas
Respuestas
Pregunta inicial del capítulo
?
La respuesta es sí. Mientras la hormiga estuvo ejerciendo una fuerza
hacia arriba sobre el trozo de cereal, este ejercía una fuerza hacia abajo,
de la misma magnitud, sobre la hormiga (debido a la tercera ley de
Newton). Sin embargo, como el cuerpo de la hormiga tuvo un desplazamiento hacia arriba, el trabajo que el cereal realizó sobre la hormiga fue
negativo (véase la sección 6.1).
Preguntas de las secciones
Evalúe su comprensión
6.1 Respuesta: iii. El electrón tiene velocidad constante, por lo que su
aceleración es cero y (por la segunda ley de Newton), la fuerza neta
sobre el electrón también es cero. De esta manera, el trabajo total efectuado por todas las fuerzas (igual al trabajo realizado por la fuerza
neta) también debe ser cero. Las fuerzas individuales pueden efectuar
trabajo diferente de cero, pero eso no es lo que se pregunta.
6.2 Respueta: iv, i, iii, ii El cuerpo i tiene energía cinética K = 12 mv2 =
1
2
2 (2.0 kg)(5.0 m兾s) = 25 J. El cuerpo ii tiene inicialmente energía
cinética cero y después tiene 30 J de trabajo realizado sobre él, de
manera que su energía cinética final es K2 = K1 + W = 0 + 30 J = 30 J.
El cuerpo iii tenía energía cinética inicial K1 = 12 mv12 = 12 (1.0 kg)
(4.0 m兾s)2 = 8.0 J y luego tenía 20 J de trabajo realizado sobre él, por
lo que su energía cinética final es K2 = K1 + W = 8.0 J + 20 J = 28 J. El
cuerpo iv tenía inicialmente energía cinética K1 = 21 mv12 = 12 (2.0 kg)
(10 m兾s)2 = 100 J; cuando efectuó 80 J de trabajo sobre otro cuerpo,
este realizó -80 J de trabajo sobre el cuerpo iv, así que la energía
cinética final del cuerpo iv es K2 = K1 + W = 100 J + (-80 J) = 20 J.
6.3 Respuestas: a) iii, b) iii En cualquier punto del movimiento de la
lenteja del péndulo, tanto la fuerza de tensión como el peso actúan de
forma perpendicular al movimiento,
es decir, perpendicular a un desS
plazamiento infinitesimal
de
la
lenteja. (En la figura 5.32b, el
d
l
S
desplazamiento d l estaría dirigido hacia afuera del plano del diagrama de cuerpo libre). Por lo tanto, para cualquier fuerza,
el producto
S
S
escalar dentro de la integral de la ecuación (6.14) es F d l = 0, y el
trabajo realizado en cualquier parte deSla trayectoria
circular (incluS
yendo un círculo completo) es W = 1 F d l = 0.
6.4 Respuesta: v. El avión tiene una velocidad horizontal constante,
así que la fuerza horizontal neta sobre él debe ser cero. Entonces, la
fuerza de arrastre hacia atrás debe tener la misma magnitud que la fuerza hacia adelante debida al empuje combinado de los cuatro motores.
Esto significa que la fuerza de arrastre debe efectuar trabajo negativo
sobre el avión con la misma tasa con que la fuerza de empuje combinada realiza trabajo positivo. El empuje combinado efectúa trabajo a
una tasa de 4(108,000 hp) = 432,000 hp, por lo que la fuerza de arrastre
debe realizar trabajo a una tasa de -432,000 hp.
#
#
Problema práctico
Respuestas: a) v1 =
2ax13
2
1mgx1 - 13 ax13 2 =
2gx1 Am
C
3m
b) P = - Fresorte - 1 v1 = - ax12
3mg
c) x2 =
A a
d ) No
C
2gx1 -
2ax13
3m