Guı́a - Cálculo
Matemática I (MAT-021)
Lı́mites
1. Determine, si existen, los siguientes lı́mites:
√
√
k ) lı́m ( x + a − x)
x3 + x
x→∞ x4 − 3x2 + 1
a) lı́m
x→∞
p
p
l ) lı́m ( x2 + 1 − x2 − 1)
x4 − 5x
b) lı́m 2
x→∞ x − 3x + 1
x→∞
p
m) lı́m ( x2 + 1 − x)
2
c) lı́m
x→∞
x −1
2x2 + 1
x→∞
2
1 + x − 3x
1 + x2 + 3x3
x3
−x
lı́m
x→∞ x2 + 1
x3
x2
lı́m
−
x→∞ 2x2 − 1
2x + 1
√
√
2
x +1+ x
lı́m √
x→+∞ 4 x3 + x − x
√
√
x2 + 1 − 3 x2 + 1
√
lı́m √
x→∞ 4 x4 + 1 − 5 x4 + 1
√
√
5
x7 + 3 + 4 2x3 − 1
√
lı́m
6
x→+∞
x8 + x7 + 1 − x
√
√
3
x4 + 3 − 5 x3 + 4
√
lı́m
3
x→∞
x7 + 1
n)
d ) lı́m
x→∞
e)
f)
g)
h)
i)
j)
ñ)
o)
p
lı́m x( x2 + 1 − x)
x→±∞
p
lı́m ( (x + a)(x + b) − x)
x→±∞
p
p
lı́m ( x2 − 2x − 1 − x2 − 7x + 3)
x→±∞
p
p
p) lı́m ( 3 (x + 1)2 − 3 (x − 1)2 )
x→∞
p
p
q) lı́m x3/2 ( x3 + 1 − x3 − 1)
x→∞
r)
q
p
√
lı́m x( x2 + x4 + 1 − x x)
x→±∞
s)
ax
x→±∞ ax + 1
t)
ax − a−x
x→±∞ ax + a−x
lı́m
lı́m
2. Determine, si existen, los siguientes lı́mites:
3x2
(2x − 1)(3x2 + x + 2)
a) lı́m
−
x→∞ 2x + 1
4x2
(x + 1)10 + (x + 2)10 + ... + (x + 100)10
x→∞
x10 + 1010
(ax + 1)n
c) lı́m
. Considere separadamente los casos cuando n es:
x→∞ xn + A
b) lı́m
(1) entero positivo,
(2) entero negativo,
(3) cero
(a > 0)
(a > 0)
Guı́a - Cálculo: Lı́mites
2
3. Determine, si existen, los siguientes lı́mites:
x
x
lı́m
x→∞ 1 + x
x
1
lı́m 1 −
x→∞
x
x+1
1 x
lı́m 1 +
x→∞
x
mx
k
lı́m 1 +
x→∞
x
2x−1
x+1
lı́m
x→∞ x − 2
x+1
3x − 4 3
lı́m
x→∞ 3x + 2
2
x2
x +1
lı́m
x→∞ x2 − 1
x
x+1
lı́m
x→±∞ 2x − 1
x
2x + 1
lı́m
x→±∞
x − 1x
1
lı́m 1 + 2
x→∞
x
x2
1
lı́m
1+
x→±∞
2 x
x
x − 2x + 1
lı́m
x→∞ x2 − 4x + 2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m) lı́m (1 + sen(x))csc(x)
x→0
√ 1
n) lı́m 1 + tan2 x 2x
x→0
ln(1 + kx)
x→0
x
ln(a + x) − ln a
lı́m
x→0
x
lı́m {x[ln(x + a) − lnx]}
x→∞
ln x − 1
lı́m
x→e
− e
x
ax − 1
lı́m
x→0
xx e −e
lı́m
x→1
x−1
!
2
ex − cos(x)
lı́m
x→0
x2
x
e − e−x
lı́m
x→0
sen(x)
sen(2x)
e
− esen(x)
lı́m
x→0
x
ax
e − ebx
lı́m
x→0
x ñ) lı́m
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
1
x
x ) lı́m x e x − 1
x→∞ x
1
y) lı́m
1+ n
x→+∞
x
(n > 0)
4. Determine, si existen, los siguientes lı́mites:
tan(ax)
x
sen(ax)
lı́m
x→0 sen(bx)
tan(2x)
lı́m
x→0 sen(5x)
sen(xn )
lı́m
(m y n enteros)
x→0 senm (x)
1 − cos(x)
lı́m
x→0
x2
1 − cos3 (x)
lı́m
x→0 x sen(2x)
tan(x)
lı́m p
x→0 3 (1 − cos(x))2
1 + sen(x) − cos(x)
lı́m
x→0 1 − sen(x) − cos(x)
tan(x) − sen(x)
lı́m
x→0
x3
(1 − cos(x))2
lı́m
x→0 tan3 (x) − sen3 (x)
1
1
lı́m
−
x→0 sen(x)
tan(x)
a) lı́m
x→0
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
5. Determine, si existen, los siguientes lı́mites:
1 − sen(x)
l ) lı́mπ π
x→ 2
−x
2
cos(x)
m) lı́mπ p
3
x→ 2
(1 − sen(x))2
sen(3x)
n) lı́m
x→π sen(2x)
π
ñ) lı́mπ
− x tan(x)
x→ 2
2
sen(x)
o) lı́m
x→π
a2
1− 2
π
πx p) lı́m (1 − x) tan
x→1 2
y−a
πy
q) lı́m sen
· tan
y→a
2
2a
cos(x) − sen(x)
r ) lı́mπ
x→ 4
cos(2x)
π
sen x −
6
s) lı́mπ √
x→ 6
3
− cos(x)
2
Guı́a - Cálculo: Lı́mites
3
π
x→ 2
cos(x)
cos(a + x) − cos(a − x)
b) lı́m
x→0
x
cos(ax) − cos(bx)
c) lı́m
x→0
x2
sen(a + x) − sen(a − x)
d ) lı́m
x→0 tan(a + x) − tan(a − x)
a) lı́mπ
2x tan(x) −
2
k)
l)
m)
n)
2
sen (α) − sen (β)
α2 − β 2
sen(a + 2x) − 2 sen(a + x) + sen(a)
lı́m
x→0
x2
tan(a + 2x) − 2 tan(a + x) + tan(a)
lı́m
x→0
x2
p
√
2 − 1 + cos(x)
lı́m
x→0
sen2 (x)
p
p
1 + sen(x) − 1 − sen(x)
lı́m
x→0
tan(x)
p
√
1 + x sen(x) − 2x
x
lı́m
x→0
tan2
2
e) lı́m
ñ)
f)
o)
α→β
g)
h)
i)
j)
p)
q)
r)
s)
t)
p
1 − cos(x) cos(2x)
lı́m
x→0
x2
p
√
π − arc cos(x)
√
lı́m
x→−1
x+1
sen(x)
lı́m
x→∞
x
arctan(x)
lı́m
x→∞
x
x + sen(x)
lı́m
x→∞ x + cos(x)
1 − cos(1 − cos(x))
lı́m
x→0
x4
1
lı́m 1 − cos
x→∞
x
√
√ lı́m cos x + 1 − cos x
x→∞
π
x+1
−
lı́m arctan
x→∞
x+2
4
x
x+1
− arctan
lı́m arctan
x→∞
x+2
x+2
arc sen(x) − arctan(x)
lı́m
x→0
x3
6. Determine, si existen, los siguientes lı́mites:
sen(a + 3x) − 3 sen(a + 2h) + 3 sen(a + h) − sen(a)
a) lı́m
x→0
x3
p
p
b) lı́mπ tan2 (x)
2 sen2 (x) + 3 sen(x) + 4 − sen2 (x) + 6 sen(x) + 2
x→ 2