UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE INGENIERÍA Actividad de Aprendizaje 1 Grupo 9 Profesor: Eric Hernández Sastoque Estudiante 1: Rina Marcela meza Ospino Estudiante 2: Alexis Felipe Triviño Estudiante 3: Yahir Contreras Mena Fecha: octubre 7 de 2021 Cód: 2021119001 Cód: 2021119068 Cód: 2021115089 Estimado estudiante: Para la realización de la Actividad de Aprendizaje 1 tenga en cuenta las siguientes instrucciones: 1. La Actividad de Aprendizaje 1 se realizará en grupo de tres (3) estudiantes. 2. Usted tendrá un tiempo de hasta dos (2) horas y 30 minutos para resolver la actividad. Es decir: Hora de inicio: 10:00 a.m. Hora de finalización: 12:30 p.m. 3. Desarrolle cada ejercicio de la actividad en hojas de papel y organícelas en un sólo archivo PDF, el cual debe enviar a través de esta asignación. ¡Éxitos! Prof. Eric Hernández Sastoque 1. El cálculo de la siguiente integral indefinida es incorrecto. El error se originó debido a que a) b) c) d) faltó realizar la división de polinomios y aplicar el algoritmo de la división. la descomposición en fracciones parciales no es correcta. la solución del sistema de ecuaciones lineales no es correcta. la respuesta de alguna de las integrales resultantes es incorrecta. Justifique su respuesta presentando el desarrollo detallado de todos los pasos para calcular la integral. 6𝑥2 − 3𝑥 + 1 ∫ 𝑑𝑥. (4𝑥 + 1)(𝑥2 + 1) Solución Al descomponer en fracciones parciales la expresión 2 6𝑥 −3𝑥+1 (4𝑥+1)(𝑥2+1) resulta: 6𝑥2 − 3𝑥 + 1 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 = + . (4𝑥 + 1)(𝑥2 + 1) 4𝑥 + 1 𝑥2 + 1 Para determinar el valor de las constantes 𝐴, 𝐵 y 𝐶 se multiplican ambos miembros por (4𝑥 + 1)(𝑥2 + 1), de tal manera que se obtiene: (1) 6𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥2 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(4𝑥 + 1). Inicialmente, se desarrolla la ecuación (1) y se agrupan los términos semejantes, con lo cual queda de la siguiente manera: Página 1 de 3 6𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 𝐴𝑥2 + 𝐴 + 4𝐵𝑥2 + 4𝐶𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 6𝑥2 − 3𝑥 + 1 = (𝐴 + 4𝐵)𝑥2 + (4𝐶 + 𝐵)𝑥 + (𝐴 + 𝐶). (2) Luego, se igualan los coeficientes de términos semejantes en ambos lados de la ecuación (2), planteando el siguiente sistema de ecuaciones: 6 = 𝐴 + 4𝐵 −3 = 4𝐶 + 𝐵 1 = 𝐴 + 𝐶. 1 11 y𝐶 = . 2 8 2 Al resolver el sistema de ecuaciones se tiene que 𝐴 = , 𝐵 = 1 Por lo tanto, reemplazando los valores de las constantes 𝐴, 𝐵 y 𝐶 en la descomposición en fracciones parciales, se puede plantear la integral inicial de la siguiente manera: 6𝑥2 − 3𝑥 + 1 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ ( + ) 𝑑𝑥 (4𝑥 + 1)(𝑥2 + 1) 4𝑥 + 1 𝑥2 + 1 1 11 1 𝑥+2 = ∫( 2 + 8 ) 𝑑𝑥 4𝑥 + 1 𝑥2 + 1 1 1 𝑥−1 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 2 4𝑥 + 1 𝑥 +1 1 𝑑𝑥 11 𝑥𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 = ∫ + ∫ 2 + ∫ 2 . 2 4𝑥 + 1 8 𝑥 +1 2 𝑥 +1 Luego 1 11 6𝑥2 − 3𝑥 + 1 1 2 + 1) + ln|4𝑥 + 1| + ∫ ( 𝑑𝑥 = ln 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑘. (4𝑥 + 1)(𝑥2 + 1) 4 16 2 2. Al calcular la siguiente integral ∫ 𝑥2 √5 − 2𝑥 − 3𝑥2 𝑑𝑥 la respuesta es: a) 1 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( √3 b) c) 1 √3 1 √3 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 ( 3𝑥 + 1 4 )+ 3𝑥 − 1 4 3𝑥 + 1 4 )− )− 1 1 16 1 2 1 16 1 2 (𝑥 + ) √ − (𝑥 + ) + √ − (𝑥 + ) + 𝐶 3 6 9 3 3 9 √3 1 16 1 (𝑥 − ) √ − (𝑥 − ) 3 9 3 2√3 1 2 + 16 1 2 √ − (𝑥 − ) + 𝐶 3 6√3 9 1 1 1 16 1 2 1 16 1 2 √ − (𝑥 + ) + 𝐶 (𝑥 + ) √ − (𝑥 + ) + 3 9 2√3 3 3 6√3 9 d) Ninguna de las anteriores Justifique su respuesta presentando detalladamente el cálculo de la integral. Página 2 de 3 3. Al calcular la siguiente integral ∫ 𝑐𝑜𝑡3(𝑒𝑥)𝑐𝑠𝑐5(𝑒𝑥)𝑒𝑥 𝑑𝑥 la respuesta es: a) 𝑐𝑠𝑐9(𝑒𝑥) 9 b) − c) − 𝑐𝑠𝑐5(𝑒𝑥) +𝐶 5 𝑐𝑠𝑐7(𝑒𝑥) 𝑐𝑠𝑐5(𝑒𝑥) + +𝐶 7 5 𝑐𝑠𝑐7(𝑒𝑥) 7 − 𝑐𝑠𝑐5(𝑒𝑥) 5 +𝐶 d) Ninguna de las anteriores. Justifique su respuesta presentando detalladamente el cálculo de la integral. 4. Analice si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. i. ii. iii. iv. ∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 = 𝑥−1+1 −1+1 + 𝑘. Si 𝐹(𝑥) y 𝐺(𝑥) son antiderivadas o primitivas de 𝑓(𝑥), entonces 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝑘. ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 Cada antiderivada o primitiva de una función polinomial de grado n es una función polinomial de grado (n +1). De las siguientes opciones seleccione la correcta. Recuerde que debe justificar su respuesta dando una explicación fundamentada en la teoría o si es posible proporcionando un contraejemplo. a) b) c) d) i. V, i. V, i. F, i. F, ii. V, iii. F iv. V ii. F, iii. V iv. F ii. V, iii. F iv. V ii. F, iii. V iv. F Página 3 de 3 Página 4 de 3 Página 5 de 3 Página 6 de 3 Página 7 de 3 Página 8 de 3
