Ecuación de los Tres Momentos: Análisis de Vigas Continuas

,
- ...
ste capítulo comprende dos métodos de particular importancia. La ecuación de los
tres momentos es sumar{¡ente útil en la solución de vigas continuas, y el método de
Ángulos de giro y dejlexión introduce conceptos fundamentales, indispensables
para una mejor comprensión de otros métodos que se verán más adelante.
5.1 ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS
5.1.1 Teoría
Supóngase la viga mostrada en la figura, de la cual se sabe que en los apoyos extremos no
existe momento.
A
arn
lA l l
!
A
(a)
==~~=
(b)
b
(e)
Ln+1
Considerando la pendiente de la elástica en un apoyo intermedio cualquiera, de la semejanza de los triángulos formados en la figura (b) se obtiene:
ab
cd
•
(a)
162
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
Nótese que es indispensable tener en cuenta los signos. En la figura (e) se presentan
separados los tramos respectivos de viga, que se pueden tratar entonces como vigas
simplemente apoyadas con momentos redundantes en sus extremos.
En el caso general, los diagramas de momentos 4ebidos a las cargas aplicadas tendrán
áreas ~ y ~+ 1 con sus centroides localizados como se indica en las siguientes figuras.
En la parte inferior, a su vez, se han dibujado los diagramas correspondientes a los
momentos en los apoyos. Obsérvese que los signos empleados son los correspondientes a
momentos internos de las vigas .
•
~v
1
_________L_"--------~v1
~v
_________L_n+_,________~v
1
1
Aplicando el segundo teorema del área de momentos, se obtiene:
Si la viga tiene inercia constante en todas las luces, al reemplazar estos valores en la
ecuación (a) y simplificar se llega a:
2
2
L +M (LJ L
(A n a n}Ln+l +M n-1 (LJ
6
n+l
n 3
n+l
,,
~
1:
'1
= -An+l bn+l Ln- Mn (Ln+l
3
f Ln- Mn+l (Ln+l6 f Ln
•
y dividiendo ámbos lados por L" Ln+l:
M
L
6
L
n 3
L
n 3
-"+M-"+M~+M
n-1
L
n+l
a
L
~=-A-"-A
6
_n
n
b
n+l
n+l L
n +1
ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS Y MÉTODO DE ÁNGULOS DE GIRO
163
Finalmente, al multiplicar todos los términos por seis se obtiene:
6A a
6An+l bn+l
Ln
L n+l
==---~~-"-
(5.1)
que constituye 1~ Ecuación de los tres momentos para vigas continuas de sección constante.
El procedimiento consiste, entonces, en tomar porciones de viga formadas por dos tramos
consecutivos y aplicarles la ecuación (5.1 ).
Resulta, así, un sistema de ecuaciones cuya solución da los momentos en los apoyos.
Una forma alterna de la Ecuación de los tres momentos se obtiene al observar que los
términos de la derecha de la ecuación son simplemente las reacciones de las vigas
conjugadas correspondientes, multiplicadas por El.
Queda entonces:
(5:2)
Para aplicar la ecuación anterior resultan útiles tablas como la (5.1 ), que dan de una vez
las reacciones de la viga conjugada para diversas solicitaciones de carga.
Cuando los extremos de las vigas descansan sobre apoyos simples o están en voladizo, se
empieza por establecer los valores de los momentos correspondientes: por el contrario, en
un extremo empotrado no se puede determinar a priori el valor del momento. En este
caso, dado que la condición geométrica requerida es que la pendiente en dicho apo¡'o
debe ser cero, se puede añadir una luz imaginaria adyacente al empotramiento de
cualquier ldngitud L simplemente apoyada en el apoyo opuesto y de inercia infinita,
como se observa en la primera figura de la página 166.
0
,
164
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
Tabla 5.1
Momentos de empotramiento y rotaciones en los apoyos para casos comunes de carga
Diagramas
de carga
2
1
~
~
~
'PH
w
.
w
L
.
~
1
L
1~
~d'Ol :--cñ~~
1.
2
2
L•~fa~
w
-~L/2
M¡ = -
M2
ws (3L2
=24L
1~~
~,
{
U2
~,
U2
,r
'~'
w
-S
ws 2
2)
a1 = a2
12L2
ws 2
2
24L
2
a 2 = ws ( 2L2 - s2)
24L
a 1 = -(2L- s)
(4L- 3s)
5wL2
1
M 1 =-M 2 = - -
a 1 =a 2 =
96
M 1 = M 2 = - ws (3L2 - 2s 2)
5wL3
192
--
a 1 = a 2 = ws( 3L2 - 2s 2)
24L
48
wL2
wL3
64
M 1 =-M 2 = - -
a 1 = a 2 = --
32
ws 2
12L
2
M 1 =-M 2 = -(2L-s)
L
(3L2 - s2)
= ws
48
ws 2 ·
a, 1 = a 2 = l2(2L +a)
2
w
'8'
24
M 1 = -2 [2L(3L- 4s) + 3s ]
M 2 =- -
a2
we
ws 2
6L
12L
ws 3
a.1
~
a 1 = a 2 = --
M 1 =M 2 = -(2L+a)
w
w
-kniiiiiiillil
wL2
12
r
~u2
M2
~ -.....__....... /1
M 1 = -M 2 = - -
w
1
M1
a1
ws
=a 2 = -(2L-s)
24
..
M 1 =-M 2
=~[U -a 2 (2L-a)]
12L
a1
=a
2
=~[e -a2 (2L-a)] "
165
ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS Y MÉTODO DE ÁNGULOS DE GIRO
Tabla 5.1
Momentos de empotramiento y rotaciones en los apoyos para casos comunes de carga (cont.)
Diagramas
de carga
w
2
1~
al
wr!
--¡s
=
!'-,
a _ 7wr!
2 -
\
360 /
.
PL
8
M~=-M2=-
1@b·2
pa
p
M _-M _ Pa(L-a)
1-
L
2-
'
al= a2 =
Pa(L- a)
2
L
5PL
M~=-M2=-
16
1~
19PL
MI=- M2 = - -
72
19PL2
---
al= a2 = - -
144
(n-1)P
a·~a
a a a a
2
111"¡1~
2
1
~
MI =-M2 =
PL n -1
u·-n-
L=na
rr .t q,
na
1
~r
PL 2n 2 +1
24
n
MI= -M2 = - . - - -
PL2 2n 2 + 1
48
n
al= a2 = - · - - -
Pab
a
=
-(b
+ L)
1
6L
Pab
a2
r~ s~~(J})
-~--
--;~
u
=-(a+ L)
6L
ru,
L. r "J
~~
L-
'·-
'