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Matemática Discreta
INFERENCIA
LOGICA
“Cuando uno ha eliminado el imposible, lo que
permanece, sin embargo improbable, debe ser la
verdad”.
Sherlock Holmes
INFERENCIA
Es el proceso por el cual se derivan conclusiones a
partir de premisas.
Es la relación entre las premisas y la conclusión de un
argumento o razonamiento.
A partir de dos premisas o más se obtiene una
conclusión.
Ejemplo:
“Todos los hombres son mortales; Sócrates es hombre, luego
Sócrates es mortal ”.
Validez de una proposición:
Dentro del lenguaje lógico, en ocasiones es necesario determinar si un
grupo dado de proposiciones puede garantizar la validez de otra
proposición. Es decir, dadas las proposiciones P1, P2, . . . , Pn, que se
llamarían premisas, y una conclusión Q, se debe decidir si la
proposición es una tautología.
(P1 ∧ P2 ∧ ··· ∧ Pn) ⇒ Q
Si es así, se dice que el argumento (o el razonamiento) es válido.
El razonamiento no será válido si la condicional anterior es falsa, y esto
ocurre cuando P1 ∧ P2 ∧ ·· · ∧ Pn es verdadero y Q es falsa.
ARGUMENTO
En correspondencia a cada inferencia existe un argumento.
Un argumento es cualquier conjunto de proposiciones de las
cuales se dice que una se sigue de las otras, que pretenden
apoyar o fundamentar su verdad.
Premisa - Conclusión
Un argumento tiene una estructura: premisa - conclusión
La conclusión de un argumento es la proposición que se afirma
con base en las otras proposiciones del argumento
Las otras proposiciones afirmadas o supuestas para aceptar la
conclusión son las premisas del argumento.
Premisa
Inductivo
Premisa
Deductivo
Premisa
Inferencia o
Razonamiento
Conclusión
DEFINICION DE UN ARGUMENTO
Clases de Argumentos
• Argumentación deductiva “Si, el algoritmo esta bien
estructurado y las sentencias son correctas, entonces el
programa compilara”.
Esta argumentación es conocida también como razonamiento de
lo general a lo particular.
• Argumentación inductiva “Si pruebo una cucharadita de la taza
de café y siento que esta a mi gusto, entonces la taza de café esta
a mi gusto”.
Esta argumentación es conocida también como razonamiento de
lo particular a los general.
Un Argumento o Argumentación lógica o Razonamiento, es un
proceso que consiste en obtener una proposición como
conclusión a partir de ciertas proposiciones denominadas
premisas que se consideran verdaderas.
Ejemplo
Premisa 1: Carlos estudia o trabaja (V)
Premisa 2: Carlos no estudia (V)
Conclusión : Carlos trabaja
Simbolización de argumentaciones lógicas
Argumentación (considere que las premisas son verdaderas)
Premisa 1: Si el lunes hay ofertas entonces vamos al cine
Premisa 2: El lunes hay ofertas
Conclusión : Vamos al cine
Simbolización
Premisa 1: 𝑝 → 𝑞
Premisa 2: 𝑝
Conclusión: 𝑞
OTRA FORMA
Premisa 1: 𝑝 → 𝑞
Premisa 2: 𝑝
Conclusión: ∴ 𝑞
Razonamientos correctos
¿Como asegurar que el razonamiento es correcto?
Paso 1: Formalizar el razonamiento
𝑝→ 𝑞
𝑝
∴ 𝑞
Paso 2: Formar la implicación condicional , donde el antecedente
es la conjunción de las premisas y el consecuente es la conclusión.
[(𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝] → 𝑞
Paso 3: El razonamiento es correcto si la implicación condicional
es una Tautología
Ejercicio de argumentación
Obtener la conclusión y simbolizar
Premisa 1: Si el lunes hay ofertas entonces vamos al cine
Premisa 2: no vamos al cine
Conclusión : El lunes no hay ofertas
Formalización
Premisa 1:
Premisa 2:
Conclusión:
𝑝→ 𝑞
~𝑞
∴ ~𝑝
Ejercicio de razonamiento correcto
Demostrar si el argumento anterior es correcto
Paso 1: Formalizamos el razonamiento
𝑝→ 𝑞
~q
∴ ~𝑝
Paso 2: Formar la implicación condicional, donde el antecedente es la
conjunción de las premisas y el consecuente es la conclusión.
[(𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞] → ~𝑝
Paso 3: La implicación condicional es una Tautología
Luego el razonamiento es correcto.
EJERCICIOS
1. Obtiene la conclusión y demuestra la validéz del razonamiento
siguiente:
Premisa 1: Si Carlos estudia entonces aprueba el examen.
Premisa 2: Si Carlos apueba el examen entonces viaja al Cuzco.
Conclusión: Si Carlos estudia entonces viaja al Cuzco.
Formalización
𝑝→ 𝑞
Premisa 1:
𝑞→ 𝑟
Premisa 2:
∴𝑝→ 𝑟
Conclusión:
Paso 1: Formalizamos el razonamiento
𝑝→𝑞
q→ 𝑟
∴𝑝→ 𝑟
Paso 2: Formar la implicación condicional , donde el antecedente
es la conjunción de las premisas y el consecuente es la conclusión.
[(𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟)] → (𝑝 → 𝑟)
Paso 3: La implicación condicional es una Tautología
Luego el razonamiento es correcto.
2.
Simbolice el siguiente razonamiento y analice si es válido o no:
Si Juan participa como jurado, entonces saldrá de viaje y
deberá comprar un traje nuevo. Pero salió de viaje o compró
un traje nuevo.
Por lo tanto, Juan participa como jurado.
3.
Simbolice el siguiente razonamiento y analice si es válido o no:
No ocurre que a+b = 7 y b sea positivo. Si b no es positivo,
entonces 2a − 3 < 0. Si el problema tiene solución única,
entonces 2a − 3 ≥ 0. Si el problema no tiene solución única,
entonces no ocurre que a + b = 7 o b no es positivo. Por lo
tanto, se concluye que a + b = 7
4.
Simbolice el siguiente razonamiento y analice si es válido o no:
Si no compro el boleto del tren o no me gusta el arte moderno,
entonces me quedaré en la ciudad y le obsequiaré flores a mi
madre. Si me hubiera quedado en la ciudad, habría asistido a la
recepción. Pero no asistí a la recepción. Por lo tanto, compré el
boleto del tren.
LEYES DE INFERENCIA
Ciertos razonamientos correctos se consideran como leyes de
inferencias, razonamientos, deducciones o demostraciones y
reciben nombres especiales.
Leyes de Inferencia
Leyes de Inferencia
Leyes de Inferencia
Ejemplo:
• Usando equivalencias lógicas y reglas de inferencia demostrar
que el siguiente razonamiento es correcto.
Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación o me hago rico.
No obtengo C como calificación y no me hago rico.
Por tanto, no estudio mucho.
Primero simbolizamos:
p: Estudio mucho
q: Obtengo C en calificaciones
r: Me hago rico
𝑝→𝑞∨ 𝑟
∼ 𝑞 ∧∼ 𝑟
∴ ~𝑝
Hacemos la demostración
Nro.
1
Pasos
𝑝→𝑞∨ 𝑟
Premisa
2
∼ 𝑞 ∧∼ 𝑟
Premisa
3
∼ (𝑞 ∨ 𝑟)
Ley de De Morgan en 2
4
Razones
~𝑝
Modus Tollens en 1 y 3
∴ ~𝑝
Conclusión