Guía Energía Magnética 1

FS-415
Electricidad y Magnetismo II
UNAH
Universidad Nacional Autónoma de Honduras
Facultad de Ciencias
Escuela de Fı́sica
FS-415 Electricidad y Magnetismo II
Practica No.5: “Energı́a Magnética”
1.
Objetivos
Identificar las ventajas energéticas que tiene el uso de núcleo ferromagnéticos en embobinados en función
de variables como la densidad de energı́a y la auto inductancia.
Analizar el comportamiento de la inductancia mutua y su factor de acoplamiento en un sistema de dos
embobinados, uno dentro del otro.
Determinar que variables intervienen en las pérdidas por calentamiento en los núcleos de los trasformadores.
2.
Introducción
Para el caso de electrostática se ha definido la energı́a de un sistema en función del trabajo reversible
necesario para establecer la configuración de cargas dada. También se requiere trabajo para producir un
conjunto determinado de corrientes en los circuitos, nuestro objetivo es encontrarla y con ello asociar una
energı́a magnética al sistema. Dado que en el caso magnético no se cuenta con un análogo de la carga puntual electrostática se debe proceder de manera distinta; se expresara la energı́a en función de la inducción
magnética interpretada como distribuida en todo el espacio.
Plantee el problema y cómo se propone resolverlo en sus propias palabras.
3.
Marco Teórico
Energı́a de un Sistema de Corrientes Libres
Se considera un sistema de corrientes en un grupo de de circuitos, de manera tal que lo que realmente se
estará evaluando será la energı́a de corrientes libres, y mas especı́ficamente de corrientes de conducción. Se
desea calcular el trabajo reversible que se requiere para comenzar con una situación inicial en la que todas las
corrientes son cero y terminar con una situación en la que la corriente del circuito j tenga el valor final Ij con
j desde 1 hasta N, donde N es el número total de circuitos. Por las leyes de ampere, sabemos que existiran
fuerzas de atracción y repulsión entre estos circuitos, supondremos que son rigı́dos y fijos en el espacio, asi
no tenemos que considerar energı́a mecánica debida a deformaciones o movimientos de los circuitos. Dado
que la existencia misma de corrientes implica una conversión de energı́a eléctrica en calor se pensaria si es
necesario considerar esto, pero dicha energı́a no forma parte del trabajo reversible requerido para establecer
las corrientes, por lo que se puede excluir de la consideración presente.
Se supone una etapa intermedia del proceso, en la que la corriente de cada Cj está dada por sus ij , de
modo que las corrientes no han alcanzado sus valores finales Ij . Cualquier cambio en una de las corrientes en
un lapso dt provocara un cambio dφj en el flujo a través de Cj asi como una fem inducida en el según la Ley
Energı́a Magnéticfa
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de Faraday. La fuente externa debe suministrar una fem igual pero en sentido opuesto. Durante ese tiempo
pasará por el una carga dqi = ij dt de tal forma que el trabajo realizado por la fuente externa sera:
dWext,j = Eext dqj = −Ej,ind ij dt = ij dΦj
Se tiene entonces
dWext,j = ij dΦj
(1)
como el trabajo reversible realizado por la fuente externa, y por lo tanto, es la energı́a magnética. Al sumar
todas las contribuciones tendremos entonces el trabajo total como:
dWext = dUm =
N
X
ij dΦj
(2)
j=1
que ya se puede escribir como el incremento, dUm de la energı́a magnética.
Dado que los circuitos rı́gidos son constantes en forma y configuración relativa, de la definicion para las
inductancias mutuas:
I I
dsj · dsk
µ0
Mjk =
4π Cj Ck Rjk
se desprende que las inductancias serán constantes y de acuerdo con la definicion para el flujo como la suma
del producto de las autoinductancias con la corriente. La única forma en que el flujo puede cambiar es que
se tengan cambios en las corrientes.
N
X
Mjk dik
(3)
dΦj =
k=1
Ahora, juntando 3 con 3 tenemos:
dUm =
N X
N
X
Mjk ij dik
(4)
j=1 k=1
que se sumara a medida las corrientes aumentan desde sus valores iniciales cero hasta sus valores finales. El
resultado final para la energı́a debe depender solo del estado final y ser independiente del proceso.
Supóngase que en un instante dado, t cada una de las corrientes se encuentra a la misma fracción f de
su valor final, de tal forma que ij (t) = f (t)Ij donde f(t) es independiente de j. Entonces dik = Ik df . Por lo
que podemos reescribir la ecuación 4 como:
XX
dUm =
Mjk Ij Ik f df
(5)
j
k
Al sumar estos cambios desde el valor inicial hasta el final, escogiendo cero de energı́a el punto donde Um = 0,
para el estado inicial donde no hay corriente, se tiene que la energı́a magnética esta dada por:
Um =
XX
j
k
Z
Mjk Ij Ik
N
1
f df =
0
N
1 XX
Mjk Ij Ik
2 j=1
(6)
k=1
Ecuación que se puede observar, es independiente de la manera precisa en que cambia f durante el tiempo
del proceso y, en ese sentido, es independiente del proceso mismo, siempre que los cambios sean lentos, para
que el proceso se pueda considerar reversible.
Ya podemos entonces finalmente, escribir la energı́a en función de las corrientes y flujos utilizando la ecuación
del flujo.
1X
Um =
I j Φj
(7)
2 j
Siendo Φj el flujo total a través de Cj proveniente de todas las fuentes, inclusive ella misma.
Energı́a Magnéticfa
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Energı́a en Función de la Inducción Magnética
La energı́a según la ecuación 6 queda en función de autoinductancias y corrientes, pero los resultados
que se han obtenido hasta el momento, son apropiados para corrientes filamentales, si lo queremos expresar
de manera que puedan aplicarse a corrientes distribuidas, utilizaremos la relación del flujo con el potencial
vector haciendo ese cambio en la ecuación 7.
I
1X
Um =
A(rj ) · Ij dsj
(8)
2 j Cj
Aca, A(rj ) es el potencial vectorial total en la posición rj del elemento de corriente del circuito. Ası́, la
integral sobre Cj da la contribución a Um de todos los elementos de corriente de Cj , y entonces la suma
sobre j da la suma de las contribuciones de todo el sistema bajo consideración. Por lo que, usando relaciones
de corrientes y recordando que estamos trabajando con corrientes libres, se integrara respecto a todas las
regiones que contienen corrientes. Quedando:
Z
1
Jf (r) · A(r)dτ
(9)
Um =
2 v
Ecuación que se puede extender a todo el espacio, dada la nula contribución de las regiones en que no hay
corriente.
La forma de esta ecuación resulta apropiada para interpretar la energı́a como asociada con las corrientes
y localizada en ellas. Este punto de vista es consistente con la propiedad de acción a distancia de la Ley de
Ampere y su enfasis en los elementos de corrientes y sus orientaciones relativas. Nuestro principal interés es
describir los fenómenos en términos de los campos, por lo que deseamos expresar la energı́a en funcion de ellos.
Partiendo de la ecuación para el rotacional de la inducción, podemos expresar Jf = (∇ × B)/µ0 , como
de momento solo estamos considerando corrientes libres, nos queda:
Z
1
Um =
(∇ × B) · Adτ
(10)
2µ0
Que utilizando identidades vectoriales para lo que esta dentro de la integral, y apoyándonos con el teorema
de la divergencia podemos reescribir la ecuación como:
Z
I
1
1
Um =
B 2 dτ −
(A × B) · da
(11)
2µ0 V
2µ0 S
Ahora, recordando que la ecuación 9 se debı́a realizar sobre todo el espacio, la integral en 11 se debe considerar
V como un volumen muy grande y S como su inmensa superficie de frontera. A medida que V tiende a infinito,
S también se extiende a infinito. Supondremos que la distribución de corrientes esta contenida en un volumen
finito. A medida que S se aleja mucho, la distribución total de corrientes parecerá estar contenida en un
volumen muy pequeño a una distancia R. A medida que R → ∞
A∼
1
R
B∼
1
R2
A×B ∼
1
R3
(12)
de modo que la magnitud del integrando disminuye a razon de R3 . Aunque luego se vera que a grandes distancias la distribución de corrientes parecerá una espira cerrada lo que cambia un poco nuestras suposiciones
iniciales quedando:
A∼
1
R2
B∼
1
R3
A×B ∼
1
R5
Por lo que la superficie de integración este creciendo como R2 , entonces, para un R muy grande
I
1
1
(A × B) · da ∼ 5 · R2 ∼ 3 → 0
R
R
Energı́a Magnéticfa
(13)
(14)
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Cuando V se incrementa para incluir todo el espacio, la integral de superficie se anula, dejando la expresión
para la energı́a mas simple:
Z
B2
Um =
dτ
(15)
todo el espacio 2µ0
Este resultado tiene la misma forma general que en el caso eléctrico, por lo que tiene una interpretación similar,
la energı́a magnética se encuentra distribuida de forma continua a través del espacio con una densidad de
energı́a um dada por:
B2
(16)
um =
2µ0
de manera que podemos expresar la energı́a magnética como:
Z
Um =
um dτ
(17)
todo el espacio
donde las unidades de um son joule(metro)3 .
Recordar tambien que como en el caso electrico, la energı́a electrostática era útil para calcular la capacitancia.
De forma similar la energı́a magnética resulta útil en el cálculo de la inductancia aprovechando que Um =
1 2
LI . Que nos dice que Um es proporcional a I 2 podemos despejar para L. Si ya se ha encontrado B por
2
otros medios.
Efecto Joule
Se conoce como “Efecto Joule” o “Calentamiento de Joule” al proceso irreversible mediante el cual el
paso de una corriente eléctrica a través de un conductor produce calor.
El calentamiento Joule es causado por interacciones entre los portadores de carga (generalmente electrones) y el cuerpo del conductor (generalmente iones atómicos).
Una diferencia de voltaje entre dos puntos de un conductor crea un campo eléctrico que acelera los portadores
de carga en la dirección del campo eléctrico, dándoles energı́a cinética. Cuando las partı́culas cargadas chocan
con los iones en el conductor, las partı́culas se dispersan; su dirección de movimiento se vuelve aleatoria en
lugar de alinearse con el campo eléctrico, que constituye el movimiento térmico. Por tanto, la energı́a del
campo eléctrico se convierte en energı́a térmica.
El calentamiento por Joule se conoce como calentamiento óhmico o calentamiento resistivo debido a su
relación con la ley de Ohm. Constituye la base de un gran número de aplicaciones prácticas relacionadas con
la calefacción eléctrica. Sin embargo, en aplicaciones donde el calentamiento es un subproducto no deseado
del uso de corriente (por ejemplo, pérdidas de carga en transformadores eléctricos), la desviación de energı́a
a menudo se denomina pérdida resistiva. El uso de altos voltajes en los sistemas de transmisión de energı́a
eléctrica está diseñado especı́ficamente para reducir tales pérdidas en el cableado al operar con corrientes
proporcionalmente más bajas. Los circuitos en anillo, o red eléctrica en anillo, que se utilizan en los hogares
del Reino Unido son otro ejemplo, donde la energı́a se entrega a los enchufes a corrientes más bajas (por cable,
utilizando dos rutas en paralelo), lo que reduce el calentamiento por Joule en los cables. El calentamiento
Joule no ocurre en materiales superconductores, ya que estos materiales tienen una resistencia eléctrica cero
en el estado superconductor.
La forma mas fundamental y generalizada de este efecto visto directamente en su forma macroscópica es:
P = I(VA − VB )
(18)
Lo que viene a ser la energı́a disipada por unidad de tiempo igual a la carga pasando por el resistor por
unidad de tiempo, multiplicado por la energı́a disipada por carga pasando a través del conductor.
Si asumimos que el elemento se comporta como un resistor perfecto y que la potencia se transforma totalmente
Energı́a Magnéticfa
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en calor, la formula se puede reescribir apoyandose con la ley de Ohm.
V =I ·R
P = IV = I 2 R =
V2
R
Ahora, si buscamos una definición mas formal, el calentamiento Joule también se puede calcular en una
ubicación particular en el espacio. La forma diferencial de la ecuación de calentamiento de Joule da la
potencia por unidad de volumen.
dP
=J ·E
(19)
dV
Donde para un material con conductividad σ J = σE
dP
J2
= J · Jρ =
dV
σ
(20)
donde ρ = 1/σ es la resistividad. Lo que se asemeja bastante a I 2 R visto directamente en la forma macroscópica.
4.
Actividades
Para cada actividad utilice el archivo manipulable de Mathematicas correspondiente que le proporciones
su instructor. (La actividad 3 no requerirá de archivo alguno)
Actividad 1: Energı́a almacenada en un embobinado inductor
Antes de mostrar cualquier dato , cálculo o respuesta a pregunta de esta actividad, describa de qué va
el sistema que se estudia en la actividad y explique brevemente los conceptos teóricos necesarios para
comprenderla.
Considere un embobinado 1 enrollado en un núcleo ferromagnético y otro embobinado 2 en el aire (este
medio se puede aproximar al vacı́o por cuestiones prácticas). Ambos embobinados están aislados, tienen una
densidad de vueltas de 500 vueltas/m. El embobinado 1 tiene una longitud de 70 cm, un radio de 4cm y
circula por el mismo una corriente de 100 mA.
En el documento en Mathematicas correspondiente para el desarrollo de esta actividad veráá un gráfico
manipulable, en él se muestra la energı́a almacenada en cada uno de los embobinados descritos anteriormente, donde puede modificar los parámetros de longitud (m),radio (m) y corriente (A) del embobinado 2 y
observar como cambia la energı́a almacenada en el mismo como se muestra en la siguiente figura.
Figura 1: Manipulate de la Actividad 1
Energı́a Magnéticfa
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Parte 1-Corriente del embobinado 2 constate e igual al del embobinado 1.
Ponga el valor de la corriente del embobinado 2 en el mismo valor que la corriente que circula por el
embobinado 1 y modifique la longitud y radio del embobinado 2 hasta obtener una energı́a almacenada
igual a la que se almacena en el embobinado 1 (con núcleo ferromagnético), tome captura de ese estado del
Manipulete, para presentarlo y responda a lo siguiente:
De acuerdo a los parámetros que modificó en el embobinado 2, podrı́a decirse que tuvo que aumentar el
volumen encerrado por el embobinado 2 para igualar
la energı́a almacenada en el embobinado 1. Si la
R
energı́a magnética se puede definir como Ue = µm dτ donde µm es la densidad de energı́a magnética
por unidad de volumen, ¿Cuál de los dos embobinados presenta una densidad de energı́a magnética
mayor? ¿Por qué?
También se puede definir la energı́a magnética almacenada en un embobinado en términos de su auto
inductancia como Um = 12 Li2 Para el valor de energı́a almacenada encuentre la auto inductancia que
tienen ambos embobinados.
Antes de la modificación realizada para obtener la misma energı́a almacenada ¿Cuál de los dos embobinados tenı́a una mayor auto inductancia?¿Por qué?
Parte 2 -Volumen del embobinado 2 constante e igual al del embobinado 1.
Ahora fije las dimensiones del embobinado 2 iguales a las del embobinado 1 y fije la corriente inicialmente
en 0.1 A, luego aumente la corriente hasta que la energı́a almacenada en el embobinado 2 sea igual a la del
embobinado 1 (con núcleo ferromagnético), , tome captura de ese estado del Manipulete, para presentarlo y
responda a lo siguinte:
En este caso que no aumenta ningún volumen encerrado por el embobinado 2 ¿Qué podrı́a decir de
como son las densidades de energı́a magnética después obtener la energı́a almacenada en el embobinado
2 igual a la del embobinado 1?¿Inicialmente como son una respecto a la otra?
Después de obtener la igualdad en las energı́as almacenadas por ambos embobinados ¿Cuál de los dos
embobinados cree que deberı́a tener una mayor auto inductancia?
Antes de obtener la igualdad en las energı́as almacenadas por ambos embobinados ¿Cuál de los dos
embobinados tenı́a una mayor auto inductancia?
Parte 3- Modificación combinada de corriente y volumen del embobinado 2
Como se habrá dado cuenta en la Parte 1, para que el segundo embobinado pueda almacenar la misma
energı́a que en el embobinado 1 sin modificar la corriente, se requiere que el segundo embobinado tenga unas
dimensiones exorbitantes, que no son para nada prácticas, mientras que en la Parte 2 si no modificamos
las dimensiones del embobinado 2 requiere de una corriente mayor. Si bien la segunda opción es más viable,
podemos reducir esa corriente si hacemos modificaciones simultáneas de volumen y corriente. Entonces, ahora
use parámetros más realistas para las dimensiones del embobinado 2, pero ahora modifique la corriente que
circula por el mismo, siempre con el fin de igualar la energı́a almacenada en el embobinado 1. (Recordar
mantener una longitud del embobinado mayor que su radio para mantener condiciones de modelo ideal), ,
tome captura de ese estado del Manipulete, para presentarlo y responda a lo siguiente:
De acuerdo a los resultados de la Parte 1 un aumento en el volumen encerrado por el embobinado 2
¿Se traduce en un aumento de su auto inductancia o de su densidad de energı́a magnética?
De acuerdo a los resultados de la Parte 2 un aumento en corriente por el embobinado 2 ¿Se traduce en
un aumento de su auto inductancia o de su densidad de energı́a magnética?
De acuerdo a lo analizado anteriormente con la modificación simultánea de volumen y corriente del
embobinado 2 que ha realizado para igualar la energı́a almacenada del embobinado 1 ¿Cuál de los
dos embobinados presenta una densidad de energı́a magnética mayor? ¿Cuál tiene una mayor auto
inductancia?
Energı́a Magnéticfa
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Antes de hacer la modificación es decir si ambos embobinados tuviese las misma dimensiones y por
ellos circula una corriente con el mismo valor. ¿Cuál de los dos debı́a tener una densidad de energı́a
magnética mayor? ¿Cuál debı́a tener una auto inductancia mayor?
¿Qué embobinado presenta una ventaja en cuanto a la almacenación de energı́a se refiere? ¿Por qué?
Actividad 2: Energı́a magnética en dos embobinados, uno dentro de otro
Antes de mostrar cualquier dato , cálculo o respuesta a pregunta de esta actividad, describa de qué va
el sistema que se estudia en la actividad y explique brevemente los conceptos teóricos necesarios para
comprenderla.
El sistema para este problema consiste en un primer embobinado con un determinado radio, número de
vueltas y longitud, fijo con uno de sus extremos en la posición y = 0 y se enrolla a lo largo del eje y Por otro
lado tenemos un segundo embobinado en el cual podemos variar su radio, número de vueltas y la posición
del mismo a través del eje y, de forma que podemos introducir este segundo embobinado dentro del primero.
En el archivo en Mathematicas respectivo a esta actividad , se le muestra una ilustración del sistema y puede
manipular en el mismo lo siguiente:
a. La posición en y del borde del segundo embobinado que se encuentra más alejado del primer embobinado
(m).
b. La corriente que pasa por cada embobinado (A).
c. El radio del segundo embobinado (m), este no puede superar el radio del solenoide más grande.
d. Número de vueltas del segundo embobinado.
Los datos del sistema que son fijos son:
a. Radio del primer embobinado = 0.07m
b. Longitud del primer embobinado=0.8m
c. Número de vueltas del primer embobinado=80
d. La densidad de vueltas de cada embobinado es la misma (n1=n2=n)
En la parte inferior de la ilustración de los embobinados, verá la lectura de la energı́a magnética almacenada en los embobinados, para el estado que usted coloque en las variables modificables.
Figura 2: Manipulate de la Actividad 2
Energı́a Magnéticfa
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Parte A-Comportamiento de la inductancia mutua del sistema a través de un análisis de energı́a
En esta parte se desea analizar el comportamiento de la inductancia mutua del sistema conforme el embobinado móvil pasa por el interior del embobinado fijo.
MEDICIONES PARA EL SISTEMA CON CORRIENTES EN EL MISMO SENTIDO
1. Coloque inicialmente los siguientes parámetros: Nv =40, yo=-0.45m, las corrientes i1 = i2 con valor
positivo a su elección y el radio r también a su elección.
2. Anote la posición del borde del embobinado móvil que está más alejado del embobinado fijo (yo) y la
energı́a almacenada en el sistema para esa ubicación del embobinado móvil.
3. Varı́e la posición yo aumentando 0.1m, anote esta posición y el valor de energı́a almacenada que le
corresponde. No es necesario ser exactos al aumentar 0.1m, solo toman nota de los valores como los
obtengan.
4. Repita este proceso hasta que el embobinado móvil salga por el otro extremo del embobinado fijo.
MEDICIONES PARA EL SISTEMA CON CORRIENTES EN SENTIDO CONTRARIO
1. Coloque inicialmente los parametros que asignó en las mediciones del sistema con corrientes en el mismo
sentido, con la única diferencia que ahora debe asignar i1 = −i2.
2. Repita los paso del 2-4 de las mediciones que realizó anteriormente.
Tratamiento de datos de la Parte A
1. Definición de la inductancia mutua en función de las variables que se modifican y la energı́a magnética
almacenada en el sistema:
• Encuentre la auto inductancia del embobinado fijo L1.
• Encuentre la auto inductancia del embobinado móvil, definiéndola en función del número de vueltas
y el radio.(L2(Nv,r)=Expresión )
• Encuentre la expresión equivalente de energı́a magnética en función de las auto inductancias y la
inductancia mutua.
• En la expresión anterior usted ya conoce la auto inductancia del embobinado fijo, conoce la auto inductancia del embobinado móvil si la evalúa en las condiciones que estableció de Nv y r,
conoce las corrientes que estableció para cada embobinado y conoce la energı́a magnética del sistema medida para diferentes ubicaciones del embobinado móvil, por tanto puede despejar para la
inductancia mutua M.
• Defina entonces la inductancia mutua en función de: las corrientes i1 yi2 el número de vueltas Nv
el radio r y la energı́a almacenada(M(i1,i2,r,Nv,Um)=Expresión)
2. Para los datos del sistema con corrientes en el mismo sentido:
• Encuentre para cada uno de sus datos medidos la ubicación en y del borde del embobinado móvil
qué está más CERCANO al embobinado móvil. (yn = yo+l2 donde l2 es la longitud del embobinado
móvil).
• Encuentre para cada uno de sus datos medidos la inductancia mutua, evaluando respectivamente
i1, i2 , Nv , r y Um
• Construya los datos yn vs M (inductancia mutua) y grafı́quelos utilizando ListPlot[].
• De acuerdo al gráfico, ¿qué puede decir sobre el comportamiento de la inductancia mutua respecto a la ubicación del embobinado móvil del sistema? ¿como es la inductancia mutua cuando el
embobinado móvil se encuentra totalmente fuera del embobinado fijo?¿y cuando está totalmente
dentro?¿Como explica este comportamiento de acuerdo a la definición de la inductancia mutua?
Energı́a Magnéticfa
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3. Para los datos del sistema con corrientes en sentido contrario
• Encuentre para cada uno de sus datos medidos la ubicación en y del borde del embobinado móvil
qué está más CERCANO al embobinado móvil. (yn = yo+l2 donde l2 es la longitud del embobinado
móvil).
• Encuentre para cada uno de sus datos medidos la inductancia mutua, evaluando respectivamente
i1, i2 , Nv , r y Um
• Construya los datos yn vs M (inductancia mutua) y grafı́quelos utilizando ListPlot[].
• De acuerdo al gráfico, ¿qué puede decir sobre el comportamiento de la inductancia mutua respecto
a la ubicación del embobinado móvil del sistema?¿Es este comportamiento válido? Explique el por
qué, basándose en la definición de la inductancia mutua.
Parte B-Comportamiento del factor de acoplamiento magnético entre los embobinados
Como se habrá observado en la parte anterior, para ciertas ubicaciones del embobinado móvil, la inductancia alcanza su máximo. Por otro lado para sistemas similares al estudiado en esta sección, la inductancia
mutua puede relacionarse con las√
auto inductancias de los dos circuitos que se encuentran acoplados magnéticamente, esta relación es M = k L1 L2 donde la constante k se denomina constante de acoplamiento y nos
indica que tan bien acoplados magnéticamente se encuentran dos circuitos, encontrándose su valor entre 0 y
1, donde 0 significa no que no hay acoplamiento, y 1 que están perfectamente acoplados. Deseamos analizar
el comportamiento de este factor de acoplamiento k para diferentes condiciones, en nuestro sistema de estudio.
MEDICIONES
1. En esta parte solo se harán mediciones de la energı́a almacenada con el embobinado móvil ubicado
totalmente dentro del embobinado fijo para obtener valores máximos de energı́a. Dicho esto, establezca
las mismas condiciones iniciales que usó en la Parte A para el sistema con corrientes en el mismo sentido,
y anote la energı́a magnética almacenada, máxima para tal sistema.
2. Modifique solamente el radio de embobinado a 0.055 m anote la energı́a magnética almacenada, máxima
para tal sistema.
3. Coloque el radio del embobinado de nuevo en 0.04 m y modifique el número de vueltas a 60 y anote la
energı́a magnética almacenada, máxima para tal sistema.
4. Modifique el número de vueltas a 20 y anote la energı́a magnética almacenada, máxima para tal sistema.
5. Modifique el radio del embobinado a 0.06 m y el número de vueltas a 70 y anote la energı́a magnética
almacenada, máxima para tal sistema.
Tratamiento de datos de la Parte B
Utilice la función de la inductancia mutua que definió en la Parte A de esta actividad,para obtener la
inductancia mutua para cada una de las 5 mediciones hechas anteriormente, simplemente evaluando.
Utilice la función de la auto inductancia del embobinado móvil que definió en la Parte A de esta
actividad,para obtener la auto inductancia del embobinado móvil para cada una de las condiciones
establecidas en las 5 mediciones hechas anteriormente.
Encuentre
el factor de acoplamiento k para cada una de las 5 mediciones, utilizando la relación M =
√
k L1 L2 (Recordar que L1 es fijo porque corresponde a la auto inductancia del embobinado fijo).
Haga un gráfico de discrepancia con las 5 mediciones realizadas anteriormente. En el tı́tulo del gráfico
indicar las corrientes de cada embobinado usadas, etiquetar cada punto de la forma : r04/N40, por
ejemplo para el dato con el radio 0.04 m y número de vueltas 40 .
Energı́a Magnéticfa
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De acuerdo al comportamiento exhibido anteriormente ¿de qué depende el acoplamiento magnético
entre los dos circuitos en el sistema estudiado?
¿Bajo qué condiciones posibles del sistema, se puede obtener el máximo acoplamiento? Establezca esas
condiciones y encuentre el factor de acoplamiento para verificar sus predicción.
Actividad 3: Pérdidas de energı́a en núcleos ferromagnéticos de los transformadores.
Antes de mostrar cualquier dato , cálculo o respuesta a pregunta de esta actividad, describa de qué va
el sistema que se estudia en la actividad y explique brevemente los conceptos teóricos necesarios para
comprenderla.
Para efectos prácticos, solo se va analizar el sistema con un solo devanado enrollado al rededor de un
núcleo ferromagnético. Se ha cerrado el núcleo para lograr confinar el mayor campo de inducción magnética
producido por el embobinado cuando se hace circular una corriente y por otro lado dado que los materiales
ferromagnéticos tienen una elevada permeabilidad relativa el campo de inducción que es proporcional a
la permeabilidad magnética del medio también sera alto comparado con un medio como el aire. Si por el
embobinado circula una corriente variable en el tiempo, el flujo variable del campo de inducción generado en
el interior del embobinado inducirá una Fem por ley de Faraday en el material ferromagnético, que genera
corrientes circulares en el material mismo con magnitudes según su conductividad. Estas corrientes que
circulan por el material, llegan calentar el núcleo, produciendo pérdidas de energı́a por el Efecto Joules.
Figura 3: Embobinado en un nucleo ferromagnético
Considere la imagen 4. En ella se presenta el plano de la sección transversal del núcleo en que se enrolla
el embobinado. Considere que el núcleo tiene sección transversal cuadrada con lado “a” y la dimensión “c”
es aproximadamente la longitud del núcleo.
Energı́a Magnéticfa
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Figura 4: Sección transversal del nucleo
Los puntos azules de la figura anterior representan que el campo B viene saliendo del plano (cuando la
corriente gira en el sentido contrareloj). Entonces por la Ley de Faraday-Lenz la circulación de las corrientes
es como se representa en la siguiente figura:
Figura 5: Trayectorias de circulación de la corriente al núcleo
Podemos notar que tenemos diferentes trayectorias de la circulación de la corriente en el núcleo. Entonces
vamos a considerar una trayectoria cualquiera situada a una distancia x de un eje horizontal que pasa por
el centro del la sección transversal del núcleo, y puede verse dicha trayectoria como un hilo de anchura dx y
profundidad c, que transporta una corriente i y tiene una resistencia. La siguiente imagen ilustra la situación:
Figura 6: Trayectoria a considerar
Energı́a Magnéticfa
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De acuerdo a lo planteado anteriormente, podemos tratar las trayectorias de circulación de corriente como
un hilo conductor con área transversal en función de dx. Ahora bien cada trayectoria de circulación ya sea
cercana al centro o cercana al borde, encierra un área por el cual pasa el campo de inducción magnética,
en otras palabras el flujo que pasa por área de cada trayectoria es diferente, puesto que es función del área
encerrada por la circulación. Realice los siguientes pasos para continuar con el desarrollo:
1. Define el área encerrada por una circulación cualquiera en función de x
2. Defina la corriente que circula por el embobinado con una amplitud io y con variación en el tiempo
sinusoidal con frecuencia ω
3. Utilice el modelo de solenoide infinito para definir el campo de inducción magnética B dentro del
embobinado de forma aproximada. Recuerde que la permeabilidad del medio ya no es el vacı́o.
4. Obtenga el flujo que pasa por el área encerrada por cualquier circulación.
5. Encuentre la resistencia del hilo conductor de una circulación cualquiera. Para ello recuerde que R =
1 l
donde l es la longitud del conductor, At es el área transversal del conductor y σc la conductividad
σ c At
del conductor. Siga los siguientes pasos para encontrar estas variables.
Defina la longitud del hilo conductor para una trayectoria cualquiera en función de x.
Defina el área transversal del hilo conductor para una trayectoria cualquiera en función de dx y
una de las dimensiones del núcleo. (Escribir dx como variable esta representa la componente del
diferencial dx no vector, luego a la hora de integrar le asignará el valor de 1)
Evalúe las definiciones anteriores y la conductividad en la fórmula para obtener R. Esta debe
quedar en términos de la conductividad y dimensiones.
6. Encuentre la Fem inducida en un hilo conductor cualquiera en el núcleo ferromagnético utilizando la
Ley de Faraday.
7. Encuentre la corriente que circula por un hilo conductor cualquiera utilizando la relación de la ley de
Ohm, recordando que la Fem se puede ver también como un nivel de tensión aplicado.
8. Encuentre ahora la potencia disipada por un hilo conductor cualquiera, utilizando la definición: P =
1 RT
V · idt donde V es la Fem inducida, i la corriente y T el periodo de oscilación de la corriente. Para
T 0
la realización de esta integral defina primero la frecuencia ω en función del periodo de oscilación de la
corriente.
9. Luego defina el periodo de oscilación en función de la frecuencia. Y muestre de nuevo cual es la potencia
disipada por un hilo conductor cualquiera en el núcleo.
10. Como observará la potencia disipada por un hilo conductor cualquiera en el núcleo está en función de
un diferencial dx, esto quiere decir que la potencia disipada que se ha encontrado es un diferencial de
potencia disipada en todo el volumen del núcleo. Realice la integración con los lı́mites correspondientes
para obtener la potencia total disipada en el núcleo. (Recuerde establecer dx como 1, y el diferencial de
la integral va en el comando Integrate[], para fijar los lı́mites de integración, analice la Figura en que
apareció la variable x ).
11. Multiplique el resultado anterior por el siguiente factor V /(a · a · c), donde V es el volumen del núcleo.
12. Si multiplica la potencia disipada total en el núcleo por un intervalo de tiempo t ¿Qué cantidad fı́sica
obtiene?
13. El resultado de la potencia disipada en un núcleo que se ha obtenido, muestra que variables son las
que contribuyen en la pérdida de energı́a por calentamiento de núcleos en transformadores, puesto que
en un transformador en estado estable tendrı́amos dos devanados con un flujo mutuo circulando por el
núcleo y este al ser variable en el tiempo induce las corrientes circulares en el núcleo. Entonces analice:
Energı́a Magnéticfa
12
FS-415
Electricidad y Magnetismo II
UNAH
¿Qué opciones tiene para diseñar el núcleo de un transformador buscando reducir sus pérdidas por
calentamiento en el núcleo?
Si cuenta con un transformador ya construido ¿Cómo podria reducir sus pérdidas por calentamiento
del núcleo?
Investigue sobre la construcción de núcleos formados de láminas delgadas barnizadas con aislante
5.
Conclusiones
Energı́a Magnéticfa
13