Calculo Aplicado - Guia 1a

Cálculo Aplicado – Guía 1a
Funciones de varias variables
1. Determine el dominio de las siguientes funciones:
1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 1
2) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
6) 𝑧 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦)
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
7) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √16 − 4𝑥 2 − 𝑦 2
3) 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 2
8) 𝑓(𝑥, 𝑦) = sin⁡(𝑥𝑦)
4) 𝑧 2 = 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2
9) 𝑧 = √𝑦 − 𝑥 2
5) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
2+𝑦
𝑥
10) 𝑧 = √𝑥 2 − 1
1. Respuestas
1) 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜⁡𝑥𝑦
2) 𝑦 ≠ x
3) 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜⁡𝑥𝑦
5)⁡𝑥 ≠ 0
6) 𝑥𝑦 > 0
7)
9) 𝑦 ≥ 𝑥 2
10) 𝑥 ≥ 1; 𝑥 ≤ −1
𝑥2
4
+
𝑦2
16
4) 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4
≤1
8) 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜⁡𝑥𝑦
2. Calcule los siguientes límites:
1)
2)
3)
4)
5)
lim
(𝑥,𝑦)→(3,−2)
𝑥−𝑦+1
4
6)
3𝑥 2 −𝑦 2 +5
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 +𝑦2 +2
lim
7)
𝑦
lim
𝑥−𝑦+3
8)
lim
√𝑥 2 + 𝑦 2 − 1
9)
(𝑥,𝑦)→(4,8)
(𝑥,𝑦)→(3,4)
√𝑥
𝑒 𝑦 sin⁡(𝑥)
𝑥
(𝑥,𝑦)→(0,0)
lim
lim
(𝑥,𝑦)→(0,𝐿𝑛2)
𝑒 𝑥−𝑦
𝑥 2 −2𝑥𝑦+𝑦 2
𝑥−𝑦
(𝑥,𝑦)→(1,1)
lim
lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)
𝑥𝑦−𝑦−2𝑥+2
𝑥−1
𝑥 3 +𝑦 3
(𝑥,𝑦)→(1,−1) 𝑥+𝑦
10)
lim
lim
𝑦+4
(𝑥,𝑦)→(2,−4) 𝑥 2 𝑦−𝑥𝑦+4𝑥 2 −4𝑥
2. Respuestas
1) = 3/2
2) = 2,5
3) = −2
4) = 4,89
5) = 1
6) = 0,5
7) = 0
8) = −1
9) = 3
10) = 1/2
3. Dada las siguientes funciones calcule 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 :
𝑥
1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥 2 + 𝑦 3
11) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 +𝑦2
21) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)𝑐𝑜𝑠 2 (𝑦)
2) 𝑧 = 2𝑥 2 + 𝑥𝑦
12) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦−1
22) 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos(𝑥) e−4y
3) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2
13) 𝑧 = sin(𝑥 + 𝑦) + 𝑒 𝑥𝑦
23) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦sin(𝑥𝑦)
4) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2
14) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
5) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 − 1)(𝑦 + 2)
15) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 2𝑥−3𝑦 + tan(3𝑥 − 2𝑦)
6) 𝑧 = 5𝑥𝑦 − 7𝑥 2 − 𝑦 2 + 3𝑥 − 6𝑦
16) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥
7) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (1 + 𝑥𝑦)2
17) 𝑓(𝑥, 𝑦) = tan (𝑦)
8) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 + 𝑦 2 )3
18) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦 𝐿𝑛𝑦
9) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2
19) 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥 + 2𝑦)
𝑥+𝑦
cos⁡(𝑥𝑦)
2
1
24) 𝑧 = 𝐿𝑛(𝑥 − 𝑦)𝑒 𝑦−𝑥
− 𝑥𝑦
2 +𝑦 2
sin⁡(𝑥 + 𝑦)
𝑥
2
10) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥−𝑦
20) 𝑧 = 20 + 𝑙𝑜𝑔𝑦 𝑥
3. Respuestas
1) 𝑓𝑥 = 2𝑥⁡, 𝑓𝑦 = 3𝑦 2
2) 𝑓𝑥 = 4𝑥 + 𝑦⁡, 𝑓𝑦 = 𝑥
3) 𝑓𝑥 = 2𝑥𝑦⁡, 𝑓𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑦
4) 𝑓𝑥 = 2𝑥 − 𝑦⁡, 𝑓𝑦 = −𝑥 + 2𝑦
5) 𝑓𝑥 = 2𝑥(𝑦 + 2), 𝑓𝑦 = 𝑥 2 − 1
6) 𝑓𝑥 = 5𝑦 − 14𝑥 + 3⁡, 𝑓𝑦 = 5𝑥 − 2𝑦 − 6
7) 𝑓𝑥 = 2𝑦(1 + 𝑥𝑦)2 ⁡, 𝑓𝑦 = 2𝑥(1 + 𝑥𝑦)2
8) 𝑓𝑥 = 6𝑥(𝑥 2 + 𝑦 2 )2 ⁡, 𝑓𝑦 = 6𝑦(𝑥 2 + 𝑦 2 )2
9) 𝑓𝑥 =
𝑥
√𝑥 2 +𝑦 2
⁡, 𝑓𝑦 =
𝑦 2 −𝑥 2
⁡, 𝑓𝑦
+𝑦 2 )2
11) 𝑓𝑥 = (𝑥 2
𝑦
−2
2
10) 𝑓𝑥 = (𝑥−𝑦)2 ⁡, 𝑓𝑦 = (𝑥−𝑦)2
√𝑥 2 +𝑦 2
−𝑦 2 −1
−2𝑥𝑦
+𝑦 2 )2
= (𝑥2
−𝑥 2 −1
12) 𝑓𝑥 = (𝑥𝑦−1)2 ⁡, 𝑓𝑦 = (𝑥𝑦−1)2
13) 𝑓𝑥 = cos(𝑥 + 𝑦) + 𝑦𝑒 𝑥𝑦 ⁡, 𝑓𝑦 = cos(𝑥 + 𝑦) + 𝑥𝑒 𝑥𝑦
14) 𝑓𝑥 =
−𝑦𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦)
2
1
+ 𝑥 2 𝑦 ⁡, 𝑓𝑦 =
−𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦)
2
15) 𝑓𝑥 = 2𝑒 2𝑥−3𝑦 + 3𝑠𝑒𝑐 2 (3𝑥 − 2𝑦), 𝑓𝑦 = −3𝑒 2𝑥−3𝑦 − 2𝑠𝑒𝑐 2 (3𝑥 − 2𝑦)
16) 𝑓𝑥 = 𝑒 𝑥
1
2 +𝑦 2
cos(𝑥 + 𝑦) + 2𝑥𝑒 𝑥
𝑥
𝑥
2 +𝑦 2
𝑥
17) 𝑓𝑥 = 𝑦 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)⁡, 𝑓𝑦 = − 𝑦2 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)
19)…
sin⁡(𝑥 + 𝑦)⁡, 𝑓𝑦 = 𝑒 𝑥
2 +𝑦2
cos(𝑥 + 𝑦) + 2𝑦𝑒 𝑥
18) 𝑓𝑥 = 𝑦𝑒 𝑥𝑦 𝐿𝑛𝑦⁡, 𝑓𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝐿𝑛𝑦 +
2 +𝑦 2
𝑒 𝑥𝑦
𝑦
1
+ 𝑥𝑦2
sin⁡(𝑥 + 𝑦)