APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
REALIZADO POR:
TUTOR A CARGO:
CURSO:
CALCULO INTEGRAL
CÓDIGO DEL CURSO:
NÚMERO DEL GRUPO:
UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ECBTI
PROGRAMA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES
MAYO 2021
INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo se encuentra el desarrollo de los temas de análisis de gráficas, solidos de
revolución, aplicaciones de las integrales en las ciencias y aplicaciones de las integrales en general,
también a través de un video el desarrollo y explicación del ejercicio asignado.
A partir de este trabajo se permitirá desarrollar destrezas para solución de métodos de integración
en los cuales nos permitirá encontrar la integración de partes a lo que aplicaremos el reemplazo de
los valores para una nueva integral. Así también se aplicará la sustitución trigonometría empleado
para simplificar el integrado a una forma inmediatamente integrable.
Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas.
Ejercicio b.
Determine el área de la región limitada entre las curvas 𝑓(𝑥)=𝑥3−16𝑥 y 𝑔(𝑥)=9𝑥. Interprete el
resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra.
𝑏
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑎
Planteamos la integral definida:
0
5
𝐴 = ∫ [(𝑥 3 − 16𝑥) − (9𝑥)]𝑑𝑥 + ∫ [(𝑥 3 − 16𝑥) − (9𝑥)]𝑑𝑥
−5
0
0
5
𝐴 = ∫ [(𝑥 3 − 25𝑥)]𝑑𝑥 + ∫ [(𝑥 3 − 25𝑥)]𝑑𝑥
−5
0
𝑥 4 25𝑥 2 0
𝑥 4 25𝑥 2 5
𝐴=[ −
]
+[ −
]
4
2 −5
4
2 0
𝐴=−
625
625
− (−
) = 0𝑢2
4
2
Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución.
Ejercicio b.
Hallar el volumen generado en la rotación del área comprendida entre la parábola 𝑦=3𝑥−𝑥2 y el
eje x con respecto a la recta 𝑦=4. Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar un
pantallazo.
Igualamos las funciones para ver los limites
3𝑥 − 𝑥 2 = 0
𝑥(3 − 𝑥) = 0
𝑥 = 0, 𝑥 = 3
Hallamos el radio Rg, donde k=4
𝑑𝑉 = 𝜋(𝑅𝑔2 )𝑑𝑥
𝑅𝑔 = 𝑓(𝑥) − 𝑘 = 3𝑥 − 𝑥 2 − 4
𝑑𝑉 = 𝜋(3𝑥 − 𝑥 2 − 4)2 𝑑𝑥
Entonces el volumen del solido de revolución se define como:
3
𝑉 = ∫ 𝜋(3𝑥 − 𝑥 2 − 4)2 𝑑𝑥
0
3
𝑉 = 𝜋 ∫ (3𝑥 − 𝑥 2 − 4)2 𝑑𝑥
3
0
𝑉 = 𝜋 ∫ −6𝑥 3 + 𝑥 4 + 17𝑥 2 − 24 𝑑𝑥
0
−6𝑥 3 𝑥 5 17𝑥 3
3
𝑉 = 𝜋[
+ +
− 24𝑥]
0
3
5
3
243 243
𝑉 = 𝜋 [−
+
+ 153 − 108 + 48]
2
5
201𝜋 3
𝑉=
𝑢
10
Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias.
Ejercicio b.
Un barril lleno de petróleo hasta la mitad descansa de lado. Si cada extremo es circular, de 10 pies
de diámetro, determine la fuerza total ejercida por el petróleo contra un extremo. Suponga que la
densidad de petróleo es 𝛿=50 libras por pie cúbico.
La fuerza que ejerce el líquido sobre las paredes del barril se define como:
𝐹 =𝑃∗𝑠
Pero la presión varía con la altura h, entonces
𝑃 =𝛿∗𝑔∗ℎ
Entonces tenemos un diferencial de fuerza en función de la profundidad que se define como:
𝑑𝐹 = 𝛿 ∗ 𝑔 ∗ ℎ ∗ 𝑑𝑠 = 𝛿 ∗ 𝑔 ∗ ℎ ∗ 𝐴 ∗ 𝑑ℎ
Donde A es el área de la sección del cilindro, que esta dada como:
𝐴 = √𝑅 2 − ℎ2
Y la expresión queda:
𝑑𝐹 = 𝛿 ∗ 𝑔 ∗ ℎ ∗ √𝑅 2 − ℎ2 ∗ 𝑑ℎ
Con esta expresión definimos la integral para hallar la fuerza
𝑅
𝐹 = ∫ 𝛿 ∗ 𝑔 ∗ ℎ ∗ √𝑅 2 − ℎ2 ∗ 𝑑ℎ
0
Realizamos una sustitución para facilitar el desarrollo de la integral
𝑢 = 𝑅 2 − ℎ2
𝑑𝑢 = −2ℎ
Reemplazamos esto en la integral
𝑅
𝐹 = −2𝛿 ∗ 𝑔 ∫ √𝑢𝑑𝑢
0
3
(𝑅2 − ℎ2 )2 𝑅
𝐹 = −2𝛿 ∗ 𝑔 [
]
3
0
2
3
𝐹
𝐹
𝐹
𝐹
𝐹
3
(𝑅2 − 𝑅 2 )2 (𝑅2 )2
= −2𝛿 ∗ 𝑔 [
−
]
3
3
2
2
𝑅3
= −2𝛿 ∗ 𝑔
3
2
𝑙𝑏
𝑓𝑡 10𝑓𝑡 3
= 2.5 3 32,25 2
3
𝑓𝑡
𝑠
2
𝑓𝑡
= 6,67𝑥105 𝑙𝑏 ∗ 32,25 2
𝑠
= 6,67𝑥105 𝑙𝑏𝑓
Tipo de ejercicios 4 –Aplicaciones de las integrales en general.
Ejercicio b.
Para cierto producto, la función de Ingreso Marginal es 4𝑥3−9𝑥+2 y su correspondiente función de
Costo Marginal es 12𝑥2+12𝑥−1, donde 𝑥 representa el número de unidades fabricadas. Obtenga la
función de Utilidad Total y evalúe la Utilidad Total para 20 unidades del producto.
Sabiendo que:
𝐼 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 − 9𝑥 + 2
𝐶
= 12𝑥 2 + 12𝑥 − 1
′ (𝑥)
Para saber la función de ingreso total y de costo total, debemos integrar las dos funciones
𝐼(𝑥) = ∫ 4𝑥 3 − 9𝑥 + 2 𝑑𝑥
𝐼(𝑥) = 𝑥 4 −
9𝑥 2
+ 2𝑥
2
𝐶(𝑥) = ∫ 12𝑥 2 + 12𝑥 − 1
𝐶(𝑥) = 4𝑥 3 + 6𝑥 2 − 𝑥
Calculamos el ingreso y costo total para las 20 unidades
9𝑥 2
+ 2𝑥
2
𝐼(20) = 158240
𝐼(𝑥) = 𝑥 4 −
𝐶(𝑥) = 4𝑥 3 + 6𝑥 2 − 𝑥
𝐶(20) = 34380
Ahora calculamos la utilidad
𝑈 = 158240 − 34380 = 123860
SUSTENTACIÓN
Ejercicio 3:
Calcular el volumen del sólido que se genera al girar la región plana 𝑦=𝑥2 y 𝑦=√8𝑥 alrededor del
eje 𝑦. Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar el sólido resultante
Igualamos las funciones para saber los límites de integración
𝑥 2 = √8𝑥
𝑥 = 8𝑥
𝑥=0
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 1 → 𝑥 = 0, 𝑦 = 0
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 2 → 𝑥 = √8, 𝑦 = 8
Planteamos la integral
√8
2
𝑉 = 𝜋 ∫ (√8𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥
0
√8
𝑉 = 𝜋 ∫ 8𝑥 2 − 2√8𝑥 3 + 𝑥 4 𝑑𝑥
0
8𝑥 3
𝑥5
𝑉 = 𝜋[
− √2𝑥 4 + ] √8
3
5 0
3
𝑉 = 117,33𝜋 𝑢
Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas
Ejercicio d.
Determine el área encerrada entre las curvas 𝑥=4𝑦−𝑦2 y la recta 𝑥=0
Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra.
𝑏
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑎
0
0
∫ 0 − (4𝑦 − 𝑦
2 )𝑑𝑥
−1
0
= ∫ 𝑦 2 − 4𝑦𝑑𝑦 ¿ =
−1
1
3
∫ 4𝑦𝑑𝑦 = −2
−1
=
1
7
− (−2) =
3
3
Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución
Ejercicio d.
Determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje x la
región limitada por la curva 𝑦 = √3𝑥 + 2 entre las rectas 𝑥 = 2 y 𝑥 = 8, utilizando
métodos de anillos. Representar en geogebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo.
𝑦 = √3𝑥 + 2
𝑥 = 2𝑦
𝑥=8
𝑥 =3+8
𝑥 = 11
𝑦 =2+2=4
Formula de volumen.
𝑎
𝑣 = 𝜋 ∫ (𝑓(𝑥))2 ∗ 𝑑𝑥
𝑏
11
11
𝑣 = 𝜋 ∫ (3𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥𝑑𝑥 =
4
11
4
315
2
∫ 2𝑑𝑥 = 14
4
315
343
+ 14 =
𝑉 = 𝜋[171.5]
2
2
Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias.
Ejercicio d.
Dada la curva 𝑦 3 = 8𝑥 2
Determine su longitud desde (1,2) a (8,8). (Sugerencia: Tomar la integral en términos de y)
𝑏
𝐿 = ∫ √1 + 𝑓´(𝑥)2 𝑑𝑥
𝑎
𝑦 2 = 8𝑥 2 = 𝑦 = 2√2𝑥, 𝑦 = −2√2𝑥
Tabla links videos explicativos.
Nombre Estudiante Ejercicios sustentados
Ejercicio 3
Link video explicativo