Metodos de integración

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
REALIZADO POR:
TUTOR A CARGO:
CURSO:
CALCULO INTEGRAL
CÓDIGO DEL CURSO:
NÚMERO DEL GRUPO:
UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ECBTI
PROGRAMA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES
ABRIL 2021
INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo se encuentra el desarrollo de los temas Integración por sustitución, Integración por
partes, Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales, Integral Impropias, también a través de un video
el desarrollo y explicación del ejercicio asignado.
Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución.
Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por
sustitución y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del
ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra)
Ejercicio B
∫
𝒙𝟐
𝒅𝒙
√𝒙𝟑 + 𝟏
1
=∫
𝑑𝑢
3√𝑢
1
1
= ∙∫
𝑑𝑢
3
√𝑢
1
1
= ∙ ∫ 1 𝑑𝑢
3
𝑢2
1
1
= ∙ ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢
3
1
1 𝑢−2+1
= ∙
3 −1 + 1
2
1
3
1 (𝑥 + 1)−2+1
= ∙
1
3
− +1
2
2 3
= √𝑥 + 1
3
=
GeoGebra
Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.
𝟐 𝟑
√𝒙 + 𝟏 + 𝑪
𝟑
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes y comprobar su
resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado
obtenido en GeoGebra).
Ejercicio B
𝒙
∫ 𝒆𝟒 𝑪𝒐𝒔(𝟒𝒙)𝒅𝒙
𝑥
GeoGebra
= 𝑒 4 𝐶𝑜𝑠(4𝑡)𝑑𝑡
𝑥
1
= 𝑒 4 ∙ ∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑢) 𝑑𝑢
4
𝑥1
= 𝑒 4 ∙ ∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑢)𝑑𝑢
4
𝑥1
= 𝑒 4 𝑠𝑒𝑛(𝑢)
4
𝑥1
= 𝑒 4 𝑠𝑒𝑛(4𝑡)
4
𝒙𝟏
= 𝒆𝟒 𝒔𝒆𝒏(𝟒𝒕) + 𝑪
𝟒
Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado y comprobar su
resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado
obtenido en GeoGebra).
Ejercicio B
𝟐𝒙 − 𝟑
𝒅𝒙
𝒙𝟑 + 𝒙
2𝑥 − 3
2𝑥
3
= 3
− 3
3
𝑥 +𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 +𝑥
∫
2𝑥
3
𝑑𝑥 − ∫ 3
𝑑𝑥
+𝑥
𝑥 +𝑥
2𝑥
=∫ 3
𝑑𝑥 = 2 arctan(𝑥)
𝑥 +𝑥
3
1
=∫ 3
𝑑𝑥 = 3 (𝑙𝑛|𝑥| − 𝑙𝑛|𝑥 2 + 1|)
𝑥 +𝑥
2
1
= 2 arctan(𝑥) − 3 (𝑙𝑛|𝑥| − 𝑙𝑛|𝑥 2 + 1|)
2
𝟏
= 𝟐 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝒙) − 𝟑 (𝒍𝒏|𝒙| − 𝒍𝒏|𝒙𝟐 + 𝟏|) + 𝑪
𝟐
=∫
GeoGebra
𝑥3
Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias.
Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia y determine si convergen o divergen y
comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo
del resultado obtenido en GeoGebra).
Ejercicio B
𝟐
∫ 𝒙𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒙
𝟎
1
𝑥 2
= [ 𝑥 2 ln(𝑥) − ∫ ]
2
20
2 2
1
𝑥
= [ 𝑥 2 ln(𝑥) − ]
2
4 0
= 2 ln(2) − 1
= 0.386
GeoGebra
Es convergente
DANIEL
1. Integral por sustitución (Primitiva)
Se soluciona por medio de la sustentación ya que no se puede llevar solución de manera
que se hace con una integral inmediata.
𝑒 3𝑥
∫ 9+ 𝑒 3𝑥 dx
Primer Paso: Elegir sustitución
U= 9 + 𝑒 3𝑥
Segundo Paso: calcular du/dx
Du/dx: 3𝑒 3 𝑥 , use la regla de la cadena y de potenciación.
Tercer Paso: despejar du
𝑑𝑢
3
1
= 𝑒 3 𝑥 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑒 3𝑥 dx
Cuarto Paso: encontrar integral
1
Logaritmo natural: ∫
3
𝑑𝑢
𝑢
= In│u│+c
Quinto Paso: reemplazar en términos de la variable inicial
1
In│u│+c = 3In│9 + 𝑒 3𝑥 │+c
Sexto Paso: verificar por medio de la derivación
1Verificación de sustitución
2. Integral por partes: producto de dos funciones donde la derivada de una función es
conocida.
∫ 𝑥 7/3 𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥
7
U= Ln(x) ---dv= 𝑥 3 dx
1
Du = 𝑥
Du=
∫𝑥
𝑑𝑥
𝑥
7/3
3
10
---- v= 10 𝑥 3
𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥=
3 10
𝑥3
10
10
* Ln(x)
7
∫ 𝑥 7/3 𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥=
∫ 𝑥 7/3 𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥=
𝑥 3 𝐿𝑛(𝑥 3 )
10
7
𝑥3
𝐿𝑛(𝑥 3 )
10
-
7
3
𝑥3
∫
10
3
-10 ∗
7
∫𝑥
7/3
𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥=
𝑥 3 𝐿𝑛(𝑥 3 )
10
3
𝑥 3 𝑑𝑥
- ∫
10
𝑑𝑥
dx
10
𝑥3
10
3
3
- 10 + 𝑐
3. Integral sustitución trigonometría y fracciones parciales
∫
3𝑥 2 − 2
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 24𝑥
Factorizar el denominador
3𝑥 2 − 2
(𝑥 2 − 6𝑥)(𝑥 2 + 4𝑥)
Propiedad distributiva en el denominador
3𝑥 2 − 2
(𝑥 2 − 6𝑥)(𝑥 2 + 4𝑥)
Ahora aplicamos Ax a la dos +B + C para con el numerador, porque hay factor cuadrático
y lineal.
𝐴𝑥 2 +𝑏
𝑐
=
(𝑥 2 −6𝑥) (𝑥 2 +4𝑥)
(𝐴𝑥 +𝑏)(𝑥 2 +4𝑥)+𝑐(𝑥 2 −6𝑥)
3𝑥 2 −2
=
(𝑥 2 −6𝑥)(𝑥 2 +4𝑥)
(𝑥 2 −6𝑥)(𝑥 2 +4𝑥)
Simplificar denominadores porque están en igualdad
(𝐴𝑥 +𝑏)(𝑥 2 +4𝑥)+𝑐(𝑥 2 −6𝑥)
3𝑥 2 −2
=
(𝑥 2 −6𝑥)(𝑥 2 +4𝑥)
(𝑥 2 −6𝑥)(𝑥 2 +4𝑥)
3𝑥 2 − 2= 𝐴𝑥 2 + 2Ax + 𝐵𝑥 2 + 4bx + c𝑥 2 −6𝑥
A grupar terminos semejantes
(𝐴𝑥 2 +𝐵𝑥 2 + C𝑥 2 )+( 2Ax + 4bx)-6x)
3𝑥 2 − 2 = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶) 𝑥 2 + (A+B)X -6X
Comparar y simplificar x a la 2
3𝑥 2 = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶) 𝑥 2
3= (A+B+C)
Hallar lo que vale a y b
0X=(A+B)X,
0= A+B, A= -B, -2 = B= A= -(-2)= A=2
3= (A+B+C)
C= (2-2)= 0
Reescribir integral para poder calcularla
3𝑥 2 −2
𝐴𝑥 2 +𝑏
3𝑥 2 −2
2𝑥 2 −2
𝑐
∫ 𝑥 3 −2𝑥2 −24𝑥dx = (𝑥 2 −6𝑥) dx+ (𝑥 2 +4𝑥)dx
∫ 𝑥 3 −2𝑥2 −24𝑥dx = (𝑥 2 −6𝑥) dx
3𝑥 2 −2
3𝑥 2
2𝑑𝑥
∫ 𝑥 3 −2𝑥2 −24𝑥dx = ∫ (𝑥 2 −6𝑥) − ∫ (𝑥 2 −6𝑥)
Ahora podemos simplificar
3𝑥 2
𝑑𝑥
∫ (𝑥 2 −6𝑥) −2 ∫ (𝑥 2 −6𝑥)
3
𝑑𝑥
∫ (−6𝑥) −2 ∫ (𝑥 2 −6𝑥)
Integral hallando la antiderivada del argumento de la integral
3
1
∫ (−6𝑥)= -2 𝐿𝑛(𝑥)+c
Integral mediante la sustitución u.
𝑑𝑥
1
−2 ∫ (𝑥 2 −6𝑥) = 3 (𝐿𝑛(𝑥)) − 𝐿𝑛(𝑥 − 6) + 𝑐
Nos queda:
1
1
- 𝐿𝑛(𝑥) + (𝐿𝑛(𝑥)) − 𝐿𝑛(𝑥 − 6) + 𝑐
2
3
4. Integral impropia
∞
√4𝑥 2 + 3
𝑥
1
5. Integral
∫
JABID
D:
∫
√1 + √𝑥
√𝑥
𝑑𝑥
Aplicamos la integración por sustitución: 𝑢: 1 + √𝑥
∫ 2√𝑢 𝑑𝑢
Sacar la constante : 2 ∗ ∫ √𝑢 𝑑𝑢
1
Aplicar leyes de exponentes: 2 ∗ ∫ 𝑢2 𝑑𝑢
1
𝑢2+1
2∗
1
2+1
1
3
(1 + √𝑥)2+1 4
= 2∗
: (1 + √1)2
1
3
2+1
Se agrega costante
3
4
: (1 + √1)2 + 𝐶
3
Representación en geogebra:
Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.
∫ 𝒆(𝟐𝒕−𝟏) 𝑠𝑒𝑛 (3𝑡 + 2)𝑑𝑡
Aplicando integral por partes
𝑢 = 𝑒 (2𝑡−1)
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2)
1
𝑑𝑢 = 2𝑒 2𝑡−1 𝑑𝑥
𝑣 = − 3 cos(3𝑡 + 2)
Reemplazando en la expresión, aplicando la definición de integral por partes
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
Reemplazando en la integral
1
1
∫ 𝑒 (2𝑡−1) 𝑠𝑒𝑛 (3𝑡 + 2) 𝑑𝑡 = − cos(3𝑡 + 2)𝑒 (2𝑡−1) − ∫ − cos(3𝑡 + 2) ∗ 2𝑒 2𝑡−1 𝑑𝑡
3
3
Simplificando la integral del lado derecho
1
2
= − cos(3𝑡 + 2)𝑒 (2𝑡−1) + ∫ cos(3𝑡 + 2) ∗ 𝑒 2𝑡−1 𝑑𝑡
3
3
Integrando nuevamente por partes
𝑢 = 𝑒 2𝑡−1
𝑑𝑣 = cos(3𝑡 + 2)
1
3
𝑑𝑢 = 2𝑒 2𝑡−1 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2)
Reemplazo los valores de la nueva integral
2
1
1
∫ cos(3𝑡 + 2) ∗ 𝑒 2𝑡−1 𝑑𝑡 = 𝑒 2𝑡−1 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2) − ∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2) 2𝑒 2𝑡−1
3
3
3
2 2𝑡−1 1
2
𝑠𝑒𝑛 (3𝑡 + 2) − ∫ 𝑠𝑒𝑛 (3𝑡 + 2) 𝑒 2𝑡−1 ]
[𝑒
3
3
3
1
2
1
2
− cos(3𝑡 + 2) 𝑒 (2𝑡−1) + [𝑒 2𝑡−1 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2) − ∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2)𝑒 2𝑡−1 ]
3
3
3
3
Observando la integral inicial
∫ 𝑒 (2𝑡−1) 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2) 𝑑𝑥
Observamos que se repite en el resultado
∫ 𝑒 (2𝑡−1) 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2)𝑑𝑥
1
2
1
2
= − cos(3𝑡 + 2)𝑒 (2𝑡−1) + [𝑒 2𝑡−1 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2) − ∫ 𝑠𝑒𝑛 (3𝑡 + 2)𝑒 2𝑡−1 ]
3
3
3
3
Despejando
∫ 𝑒 (2𝑡−1) 𝑠𝑒𝑛 (3𝑡 + 2) 𝑑𝑡 +
4
∫ 𝑒 (2𝑡−1) 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2) 𝑑𝑡
9
1
2
= − cos(3𝑡 + 2)𝑒 (2𝑡−1) + 𝑒 2𝑡−1 𝑠𝑒𝑛 (3𝑡 + 2)
3
9
Realizando las operaciones y despejando
13
1
2
∫ 𝑒 (2𝑡−1) 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2)𝑑𝑡 = − cos(3𝑡 + 2)𝑒 (2𝑡−1) + 𝑒 2𝑡−1 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2)
9
3
9
Despejando
3
2
cos(3𝑡 + 2)𝑒 (2𝑡−1) + 𝑒 2𝑡−1 𝑠𝑒𝑛(3𝑡 + 2) + 𝐶
12
13
Representación en geogebra:
Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.
𝑑𝑡
∫
3
(4 − 3𝑡 2 )2
Aplicando la siguiente propiedad
𝑎𝑏+𝑐 = 𝑎𝑏 ∗ 𝑎𝑐
3
1
(4 − 3𝑡 2 )2 = (4 − 3𝑡 2 )(4 − 3𝑡 2 )2
Aplicando la siguiente sustitución
𝑡=
2
1 𝑠𝑒𝑛
32
𝑑𝑡 =
(𝑢)
2
1 cos(𝑡)
32
Organizando la expresión:
𝑑𝑢
∫
1
4 ∗ 32 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢
Sacando los términos constantes
1
=
4∗
1
32
∫
1
𝑑𝑢
𝑐𝑜𝑠 2 𝑢
1
Solucionando la integral por tabla se sabe que ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑢 = tan(𝑢)
1
Reemplazando =
1
tan(𝑢)
4∗32
Reemplazando en la ecuación el valor u
1
𝑢=
32
𝑠𝑒𝑛−1 ( 2 𝑡)
1
1
1 tan (𝑠𝑒𝑛
4 ∗ 32
−1
32
( 𝑡))
2
Simplificando
=
𝑡
3
4(4 − 3𝑡 2 )2
+𝐶
Representación en geogebra
Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias.
D:
1
∫
4
𝑑𝑥
+1
4𝑥 2
∞
Resolviendo la integral indefinida
∫
4
𝑑𝑥
+1
4𝑥 2
Resolviendo integración por sustitución
4∫
1
𝑑𝑥
+1
4𝑥 2
Por tabla se sabe que
1
𝑑𝑥
4∗ ∫ 2
2 (𝑢 + 1)
Reemplazando estos valores
∫
𝑑𝑥
= arctan(𝑢)
+ 1)
(𝑢2
1
= 4 ∗ arctan(𝑢)
2
Deshaciendo la sustitución
𝑢 = 2𝑥
1
= 4 ∗ arctan(2𝑥)
2
Simplificando
2 arctan(2𝑥) + 𝐶
Evaluando valores
2 arctan(2𝑥)1−∞
= 5.35589
Representación en geogebra
Nombre Estudiante
Ejercicios
sustentados
2
Link video explicativo
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS





https://drive.google.com/file/d/1MY1LU40o99rI3CCFpLBGDxdnCJO6YzX6/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1-XN01jxiSBYRsuhwY_dPhoDPn3pZ5MnU/view?usp=sharing
http://bit.ly/integracionporfraccionesparciales260321
https://drive.google.com/file/d/1-XN01jxiSBYRsuhwY_dPhoDPn3pZ5MnU/view?usp=sharing
https://bit.ly/3lRgMRB
https://youtu.be/LNf5TxdYRXw
 https://www.youtube.com/channel/UCbwfj16sFB0E8Kk1XTLxMsw
 http://bit.ly/integracionporpartes190321
 https://youtu.be/ECDoXwDYnGs