Matemáticas Programa Cuarto Continuación Material : MC-25 UNIDAD: GEOMETRÍA GEOMETRÍA X CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS CUERPOS DE REVOLUCIÓN Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje ESFERA CILINDRO CONO TRONCO DE CILINDRO CON eje de giro CONO DOS CONOS TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana: Prisma triangular Prisma trapezoidal Prisma pentagonal Prisma hexagonal Cilindro circular recto EJEMPLOS 1. Dado un triángulo ABC, rectángulo en C, de la figura adjunta. ¿Cuál es el cuerpo generado por la rotación de dicho triángulo en torno a su hipotenusa? C A A) B) B C) D) E) CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS NOMBRE PARALELEPÍPED O RECTANGULAR FORMA h VOLUMEN 2(ab +bh + ah) a·b·h 6a2 a3 a b a HEXAEDRO REGULAR (CUBO) a a PRISMA RECTO RECTANGULAR h a b Volumen Área de la base por la altura B CILINDRO RECTO BASE CIRCULAR ÁREA h(a + b + c)+ 2B B = área basal Bh 2rh + 2r2 r2 · h c h r EJEMPLOS 1. Si la diagonal del hexaedro regular que muestra la figura adjunta, mide 2 6 cm, entonces el área de la figura sombreada es A) 8 cm2 B) 8 2 cm2 C) 6 2 cm2 D) 4 2 cm2 E) 6 cm2 2 2. Cada una de las caras del hexaedro regular se han achurado como se muestra en la figura adjunta. Si la superficie total achurada es de 24 cm2, ¿cuál es el volumen de cubo? (considere = 3) A) B) C) D) E) 3. 8 cm3 48 cm3 96 cm3 48 6 cm3 64 cm3 La figura adjunta, muestra un tubo cilíndrico de 3 m de altura y de radio 0,5 m. ¿Cuál es el área del manto del cilindro? A) 1,5 m2 B) 3 m2 C) 6 m2 3 2 D) m 2 E) 2 m2 4. h = 3m La figura adjunta, muestra un paralelepípedo cuyas aristas miden 2 cm, 3 cm y 6 cm. De las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s): I) II) III) A) B) C) D) E) El área total del cuerpo es 72 cm 2. El volumen del cuerpo es 36 cm 3. La mayor longitud rectilínea entre dos vértices del paralelepípedo es 7 cm. Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III 2 cm 3 cm 6 cm 5. Al desplazar n cm un triángulo equilátero de altura 3 de la figura adjunta y obtener un prisma recto de volumen 9 cm3 el valor de n debe ser A) 81 cm B) 27 cm C) 9 3 cm D) 3 3 cm E) 3 3 cm 4 n cm 3 NOMBRE FORMA PIRÁMIDE RECTA BASE CUADRADA g h a a CONO RECTO BASE CIRCULAR ÁREA h g VOLUMEN 1 2 2ag + a2 a ·h g = apotema 3 lateral Volumen Área de la base por la altura dividido por tres rg + r2 g= generatriz 1 2 r · h 3 r EJEMPLOS 1. En la figura adjunta, la pirámide EFGIP está inscrita en el hexaedro regular. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) Solo Solo Solo Solo Solo La diferencia entre el volumen del cubo y la pirámide es el doble del volumen de la pirámide. El volumen del cubo es tres veces el volumen de la pirámide. El área del cubo es tres veces el área de la pirámide. P I II I y II I y III II y III E 2. G I F Al girar en torno al lado AB del rectángulo ABCD de la figura adjunta, se obtiene un cilindro de volumen D A) B) C) D) E) 32 32 12 16 16 C 2 A 4 4 B NOMBRE ESFERA FORMA ÁREA VOLUMEN 4r2 r 4 3 r 3 EJEMPLOS 1. Para que el volumen de una esfera sea igual a 288 cm3 es necesario que su diámetro mida A) 3 cm B) 6 cm C) 9 cm D) 12 cm E) 16 cm 2. ¿Cuál es el menor volumen del paralelepípedo rectangular de la figura adjunta, que contiene tres esferas congruentes de volumen 36 cm3 cada una? A) B) C) D) E) 3. 36 27 27 36 36 · 18 cm3 · 9 cm3 · 3 cm3 · 27 cm3 · 3 cm3 En la figura adjunta, ¿qué radio debe tener una esfera para que su volumen y área sean iguales numéricamente? A) B) C) D) E) 1 3 3 4 5 6 r 5 PUNTOS EN EL ESPACIO En la figura adjunta observamos tres ejes X, Y, Z mutuamente perpendiculares que generan también tres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ. El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes en tanto que el punto K está en el plano YZ, el punto L, en el plano XZ y el punto M en el plano XY, pero el punto A está “suspendido” en el espacio encerrado por los tres planos. Este punto A tiene coordenadas (a, b, c). Z c K A L Y b a M X OBSERVACIONES: Dados los puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2 Distancia entre dos puntos: d = Coordenadas del punto medio: x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 , , 2 2 2 Vector AB: AB (x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z1) EJEMPLOS 1. En la figura adjunta, ¿cuál es la distancia entre el punto A (0, 4, 0) y el punto (6, 4, 8)? z A) 5 B) 4 5 C) 10 10 D) E) 8 A 2 13 4 6 x 6 y 2. El triángulo EFG de la figura adjunta, tiene sus vértices ubicados en las coordenadas E = (4, 0, 0), F = (0,4, 0) y G = (0, 0, 4). ¿Cuánto mide la superficie de la pirámide de base triangular que se forma con los ejes coordenados? z A) 48 + 8 3 B) 96 + 8 3 C) 48 D) 24 + 8 3 E) 96 G F y E x 3. Un hexaedro regular tiene tres de sus vértices ubicados en las coordenadas (3, 1, 0), (3, 1, 3) y (3, 4, 0) de la figura adjunta. ¿Cuál de las siguientes alternativas podrían considerarse las coordenadas de los vértices faltantes? z A) (3,4 3), (0,1,3) y (0,0,3) B) (3,4 3), (0,4,3) y (3,1,3) C) (0,1, 3), (3,1,3) y (3,3,3) D) (3,4 3), (0,1,3) y (0,4,3) y E) (0,4, 3), (0,0,3) y (3,3,3) x 4. En el cubo de la figura adjunta, la arista es 4 cm y un vértice está en el origen del sistema cartesiano. Si el punto A tiene coordenadas (4, 2, 0) y cada arista se ha dividido en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas del punto B? A) B) C) D) E) (3, (4, (3, (3, (4, 3, 3, 4, 4, 3, 3) 4) 3) 4) 3) z B y A x 7 EJERCICIOS 1. En la figura adjunta, se muestra un cuerpo de revolución. Este cuerpo puede ser generado por la rotación de la región I) A) 2. Solo I B) Solo II III) C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III Un cuadrado de lado 3 cm se traslada 4 cm apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura adjunto. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado? A) B) C) D) E) 3. II) 9 cm3 12 cm3 27 cm3 36 cm3 64 cm3 En la figura adjunta, el cuadrilátero ABCD es un rectángulo de área 45 cm2 y perímetro 36 cm, entonces el volumen del cilindro generado al rotar el rectángulo respecto al lado mayor AD es D A) B) C) D) E) 135 125 108 117 45 C 3 cm cm3 cm3 cm3 cm3 A 8 B 4. Con respecto a un cubo que tiene área 108 cm2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) 5. Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III La mitad del cilindro. La mitad de la esfera. La cuarta parte del cilindro. El doble de la esfera. Las dos terceras partes del cilindro. La figura adjunta, muestra una caja rectangular de volumen 128 cm3, que contiene bombones en forma de esfera, ¿cuál es el área de estos bombones? A) B) C) D) E) 7. Su volumen es 54 2 cm3. Se inserta una esfera de radio R en un cilindro cuyas paredes son tangentes a la esfera como muestra la figura adjunta, el volumen que no ocupa la esfera es A) B) C) D) E) 6. La diagonal en la cara superior del cubo es 3 2 cm. La diagonal del cubo es 3 6 cm. 54 36 32 28 24 cm2 cm2 cm2 cm2 cm2 Si el contenido de un cilindro circular recto con un volumen de 175 cm3, se vacía en un cono recto de base circular de radio y altura iguales a la del cilindro de la figura adjunta, entonces ¿cuál es la cantidad de líquido que no se alcanza a traspasar? 1 cm3 3 175 B) cm3 3 175 C) cm3 3 350 D) cm3 3 350 E) cm3 3 A) 9 8. El trapecio rectángulo que muestra la figura adjunta se hace girar indefinidamente en torno al lado AC . Si las medidas de sus bases son 6 cm y 2 cm, respectivamente y su generatriz mide 5 cm, entonces el volumen del cuerpo generado es A) B) C) D) E) 28 30 32 34 52 cm2 cm2 cm2 cm2 cm2 A 5 cm C 9. 2 cm 6 cm 20a2 cm3 y el perímetro de su base 3 cuadrada es 8a cm. ¿Cuál es la longitud de la altura de dicha pirámide? En la figura adjunta, el volumen de la pirámide es A) B) C) D) E) 5 cm 4 2 cm 4 cm 5 cm 10 cm 10. La distancia entre el punto A (0, 5, -5) y el punto B (-5, 0, 5) es A) 10 B) 15 C) 5 2 D) 5 3 E) 5 6 11. Se tiene un rombo, cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm, el cual se hace rotar indefinidamente en torno a sus diagonales, entonces la razón entre los volúmenes generados es A) B) C) D) E) 1:3 3:4 2:3 9:8 27 : 64 10 12. Los puntos A, B, C y D de la figura adjunta, son los vértices de la base de una pirámide de base cuadrada. ¿Cuáles son las coordenadas correspondientes al vértice de la cúspide de la pirámide para que su volumen sea 48 cm 3? z A) B) C) D) E) (2, (3, (3, (3, (4, 1, 2, 6, 4, 9, 7 6 5 4 3 2 1 6) 9) 9) 9) 3) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 B C D y A x 13. Al sumergir completamente un cubo en un tubo cilíndrico de 3 cm de radio, como muestra la figura adjunta, el nivel del agua sube 3 cm, entonces la arista del cubo sumergido mide (considere = 3) A) 6 cm B) 3 3 cm C) 3 3 3 cm D) 3 6 cm E) 3 3 6 cm 14. La figura adjunta muestra un triángulo ABC obtusángulo de área 24 cm2 que se gira indefinidamente en torno al eje y, entonces el volumen del cuerpo geométrico generado por el área achurada es y 3 A) 192 cm A B) 128 cm3 C) 124 cm3 D) 120 cm3 E) 96 cm3 B C 0 2 4 x 15. La figura adjunta, muestra una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm y volumen 12 3 cm3, entonces el valor de su apotema es S A) 3 3 cm B) 2 3 cm C) 3 2 cm D) 4 cm E) 5 cm C 11 A B 16. En la figura adjunta, se tiene un prisma recto cuya base es un hexágono regular de lado L y altura 4L. ¿Cuál es el volumen del prisma? A) 6L3 3 B) 4L3 C) L3 3 3 3 D) L 3 4 9 3 E) L 4 4L L 17. La figura adjunta, representa una piscina generada al trasladar n metros el trapecio achurado. El largo de la piscina es 8 m y tiene 1,5 m de profundidad mínima y 2,5 m de profundidad máxima. Para que el volumen de la piscina sea 56 m 3 el valor de n debe ser A) B) C) D) E) 1,5 2,5 3,5 4,0 4,5 m m m m m n 18. La figura adjunta muestra un cubo de área 150 cm2, donde M es el punto medio de su arista AB , entonces el área del triángulo MCD es A) 25 25 B) 4 25 C) 2 25 D) 2 25 E) 4 5 D 5 D 5 C 3 A 3 M B 19. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al rotar el triángulo achurado de la figura adjunta, en torno a la recta L? ( = 3) 4 cm A) 198 cm3 B) 192 cm3 C) 96 cm3 D) 24 cm3 E) 12 cm3 6 cm L 12 20. En la figura adjunta se muestra un cuarto de circunferencia y un triángulo rectángulo isósceles, que se hace girar indefinidamente en torno al eje y, entonces el volumen del cuerpo generado es y A) 192 B) 128 C) 96 D) 64 E) 32 4 x 21. ABCD es un cuadrado de lado a cm y el trapecio EFBA es isósceles AE = BF = a. ¿Cuál es el volumen del cuerpo de la figura adjunta? A) 2a2 + 3 a2 3 a cm3 4 B) 3 2 3 a + 4 a 3 2a cm a C) (1 + 3 3 )2a3 cm3 D) E) A a2 a + 3 a cm3 4 B 2 2+ a 3 3 a3 cm3 2 E 22. El área del manto del cono, se puede determinar, si: (1) Se conoce la generatriz del cono. (2) Se conoce la razón entre la generatriz y el radio. A) B) C) D) E) C D (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional 13 2a 2a F 23. Las caras A y B de la caja de la figura adjunta, son cuadradas y el resto son rectangulares. El volumen de la caja se puede determinar, si: (1) El área de una de las caras cuadradas es de 36 cm2. (2) El perímetro de una de las caras rectangulares es de 32 cm. A) B) C) D) E) B (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional A 24. Se puede determinar el área total de un paralelepipedo, si: (1) Tiene su base cuadrada. (2) Se conoce el área basal del peralelepípedo. A) B) C) D) E) (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional 25. Se puede determinar la razón entre los volúmenes de los cuerpos generados por los triángulos ABC y DEF de la figura adjunta, al hacerlas girar en torno al eje indicado, si: (1) ABC DFE (2) BC = EF = 2 cm A) B) C) D) E) C (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional F 60° A 14 60° B D E EJEMPLOS RESPUESTAS Ejemplos Págs. 1 2y3 4 5 6y7 1 2 3 4 5 A D C D C E E A D B E D B D B EJERCICIOS PÁGINA 8 RESPUESTAS 1. E 6. C 11. B 16. A 21. E 2. D 7. E 12. D 17. C 22. C 3. A 8. E 13. C 18. B 23. C 4. D 9. D 14. E 19. B 24. E 5. B 10. E 15. B 20. D 25. D Revisa Tema 9: Geometría III, módulo: Volúmenes de Cuerpo Geométricos, en www.preupdvonline.cl MC-25 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/ 15
