PRODUCTO INTERIOR Sea U un espacio vectorial real o complejo U y V elemento de V se le asigna un escalar <u.v> Є k esta aplicación se llama producto interno, si satisface los siguientes axiomas: i) Para todo vector u Є V, u u > 0 cuando u y = 0 ii) Para todo par de vectores u, v Є V, u v = v u. iii) Para todo u,v,w Є V u (v + w) = u v + u w iv) Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar real k, se cumple la homogeneidad:ku v = ku v. Ejemplo: x . y 3 x 1 y 1 10 x 2 y 2 en ² x x1 , x 2 y y1 , y 2 z z1 , z 2 1) x x1 , x 2 x . x 3 x1 x1 10 x 2 x 2 x x1 , x 2 x . x 3 x1 10 x 2 0 2 2 Si x 0 , 0 x . x 0 2) x . y 3 x1 y 1 10 x 2 y 2 3 y1 x1 10 y 2 x 2 y . x 3) x ( y z ) x . y x . z x x1 , x 2 y z w w1 , w 2 y z y1 , y 2 z1 , z 2 y1 z1 , y 2 z 2 x . w 3 x1 w1 10 x 2 w 2 x . w 3 x1 y1 z1 10 x 2 x 2 z 2 x . w 3 x1 y1 3 x1 z1 10 x 2 y 2 10 x 2 z 2 x . w 3 x1 y1 10 x 2 y 2 3 x1 z1 10 x 2 z 2 x . w x . y x . z 4) . x . y x . y . x . y 3 ( , x1 ) y1 10 ( , x 2 ) y 2 . x . y ( 3 x1 y1 10 x 2 y 2 ) . x . y x . y Ejemplo: u .v x1 y1 x1 y 2 x 2 y1 3 x 2 y 2 1) u .v 0 u .u x1 x1 x1 x 2 x 2 x1 3 x 2 x 2 u .v 0 u .u x1 2 x1 x 2 3 x 2 2 x 2 u .v 0 u .u x1 2 x1 x 2 x 2 2 x 2 u .v 0 u .u 2 1 2 2 x2 2 x2 0 2 u 0 , x1 0 , x 2 0 u .u 0 2) u .v x1 y1 x1 y 2 x 2 y1 3 x 2 y 2 u .v y1 x1 y1 x 2 y 2 x1 3 y 2 x 2 u .v y1 x1 y1 x 2 y 2 x1 3 y 2 x 2 v .u 3) z1 w z2 u (v w ) y1 z1 y1 z1 v w y2 z2 y2 z2 u ( v w ) x1 ( y1 z1 ) x1 ( y 2 z 2 ) x 2 ( y1 z1 ) 3 x 2 ( y 2 z 2 ) u ( v w ) x1 y1 x1 z1 x1 y 2 x1 z 2 x 2 y1 x 2 z1 3 x 2 y 2 3 x 2 z 2 u ( v w ) ( x1 y1 x1 y 2 x 2 y1 3 x 2 y 2 ) ( x1 z1 x1 z 2 x 2 z1 3 x 2 z 2 ) u ( v w ) u .v u .w 4) . x . y x . y . x1 .u .x2 .u .v ( . x1 ) y1 . x1 y 2 . x 2 y1 3 . x 2 y 2 .u .v ( x1 y1 x1 y 2 x 2 y1 3 x 2 y 2 ) OTRA DEFINICIÓN.- El producto interior de dos vectores u y v en el espacio tridimensional se escribe u.v y se define como: u .. v u . v cos u 0, v 0 u .v 0 Si u v 0 aquí: ( 0 ) es el ángulo entre u y v v v v u u u.v u.v=0 u.v<0 ESPACIO EUCLIDIO Es un espacio vectorial real con un producto interno se llama espacio vectorial euclidio, y un espacio vectorial complejo con producto interno se llama ESPACIO UNITARIO O ESPACIO HERMITICO. NORMA Y DISTACIA Sean u y v Є V en n , u ( u1 , u 2 ,..., u n ) y v ( v1 , v 2 ,..., v n ) la distancia entre los puntos u y v se define por : d (u , v ) ( u 1 v1 ) ( u 2 v 2 ) ... ( u n v n ) 2 2 2 LA NORMA o longitud del vector u: Se escribe u u .u u 1 u 2 ... u n 2 2 d (u , v ) u v v u 2 ( u v ).( u v ) ORTOGONALIDAD (TEOREMA) Dos vectores diferentes de cero son ortogonales (perpendiculares ) si su producto interno es cero u .v u . v cos u .v cos u .v u .v u .u v .v Ejemplo: 1) Si V M 2 * 2 con P.i Hallar la norma de A 1 A 2 A 3 1 1 2 3 1 2 2 2 2 15 2) Sean A=(5,2) y B=(-2,3) encontrar la distancia entre los puntos: d ( A. B ) y v u x (5 2 ) ( 2 3) 2 OTRA FORMA: U V ( 5 , 2 ) ( 2 ,3 ) ( 7 , 1) d (U .V ) 7 ( 1) 2 2 5 2 3) Dados los vectores A y B encontrar el coseno del ángulo A=(1,1) B=(1,0). cos (1)( 1) (1)( 0 ) 1 1 2 45 2 1 0 2 2 1 2 2 2 4 y γ x 3) Dados los vértices de un cuadrilátero demostrar que sus diagonales son perpendiculares. 2 5 2 CONJUNTOS ORTOGONALES Sea V un espacio vectorial Euclidio y sea π un subconjunto de V 1 se dice que π es un conjunto ortogonal si cada par de vectores distintos en π son ortogonales, es decir x i x j 0 i j Ejemplo: 1 2 0 x 1 , y 1 , z 3 1 1 3 x . y 2 1 1 0 x . z 0 3 2 0 y . z 0 3 3 0 π es conjunto ortogonal El conjunto ortogonal π se dice que ortonormal, si es ortogonal y si cada Xi tiene longitud 1 es decir: x i x i 0 , i j x i x i 1, i N Siempre es posible obtener un conjunto ortonormal a partir de un conjunto ortogonal, al normalizar un vector u haciendo: v u (v un vector unitario de longitud 1) u Ejemplo (anterior): u x (1,1,1) 1 1 1 2 x v y z 2 1 1 1 , , 3 3 3 ( 2 , 1, 1) 1 1 2 , , 4 11 6 6 6 y w 2 ( 0 ,3, 3 ) z 3 0, , 99 18 3 18 u , v , w es conjunto ortonormal. TEOREMA: En todo espacio vectorial euclidio de dimensión finita, existe una base ORTONORMALIZADA y cualquier vector x puede ser escrito como: x x . y1 y1 x . y 2 ... x . y n y n y1 , y 2 ,..., y n Vectores de la base ortonormalizada. Dado un conjunto de vectores probar que es ortonormal con el producto interno canónico y expresar x como combinación lineal de los vectores de s . 2 / 3 2 / 3 1 / 3 S 2 / 3 ; 1 / 3 ; 2 / 3 1 / 3 2 / 3 2 / 3 Y1 Y2 Y3 x (6, 6, 9 ) y1 . y 2 y1 . y 3 y 2 . y 3 4 2 9 2 9 9 2 4 2 0 9 2 9 0 9 9 2 4 9 0 9 ORTOGONAL y1 . y1 y 2 . y 2 y 3 . y 3 4 9 4 9 9 9 1 4 1 1 4 9 4 1 9 1 9 9 4 1 9 ORTONORMAL Combinación Lineal x ay 1 by 2 cy 3 6 6 2 / 3 6 2 / 3 6 1 / 3 6 6 2 / 3 y1 6 1 / 3 y 2 6 2 / 3 y 3 9 9 1 / 3 9 2 / 3 9 2 / 3 6 6 ( 4 4 3 ) y1 ( 4 2 6 ) y 2 ( 2 4 6 ) y 3 9 6 6 3 y1 12 y 2 0 y 3 9 6 6 3 y1 12 y 2 9 COMPROBACIÓN: 6 2/3 2/3 6 6 3 2 / 3 12 1 / 3 6 9 1/ 3 2 / 3 9 PROYECCIONES PERPENDICULARES V´´ Β. v u C=α.u Sean U y V Є no nulos la proyección de V sobre U es el vector C=α.u con α a determinarse. Determinar primero si existe un único α Є tal que v-α.u es perpendicular a u. U x v (por suma de vectores) entonces v .u comprobar que <x.u>=0 x .u ( v .u ) u x .u vu .u .u 0 v .u u .u u u 2 u .u u .u v .u u 2 v .u u D 2 C 2 u 2 v .u 2 u .v v 2 *u Proyección de v sobre u *v Proyección de u sobre v Dado los valores A y B encontrar la proyección del vector A sobre B y B sobre A. y A=(5,8) A B=(3,2) Α.B B x C A.B 2 B C C *B (15 16 ) (9 4 ) *B 93 62 ( 3, 2 ) , 13 13 13 31 A/B D A.B D A 2 A 155 248 ( 5 ,8 ) , 25 64 89 89 31 B/A Encontrar la proyección uv y vu u=(1,5,7,-2) v=(-2,0,I,5) C u .v v C *v ( 2 0 7 10 ) ( 4 0 1 25 ) C u /v 2 *v 1 5 1 * v ,0 , , 30 6 6 3 5 D u .v u D 2 u 5 1 25 49 4 5 u u 79 u /v PRODUCTO VESCTORIAL (CRUZ) El producto vectorial o producto cruz de dos vectores u y v se define como sigue: Si u y v tienen la misma dirección son opuestas, uno de estos vectores es cero entonces: W U V 0 En cualquier otro caso W U V es el vector cuya longitud es igual al área del paralelogramo que tiene a U y V como lados adyacentes y cuya dirección es perpendicular tanto a U como a V, y es tal que u,v,w en este orden forman una TERNA O TRIADA DERECHA (regla de la mano derecha). W V AREA U w AREA Area u . v sen w u . v sen u v u . v sen uv 2 u . v sen 2 2 uv 2 u . v (1 cos ) 2 2 2 uv 2 u .v 2 2 u . v cos uv 2 u .v 2 2 u .v 2 2 2 2 2 2 ( u .v ) 2 u .v uv 2 u .v 2 uv 2 ( u .u )( v .v ) ( u .v ) uv 2 ( u .v ) 2 2 ( u .u )( v .v ) ( u .v ) 2 2 2 PRODUCTO VECTORIAL EN TERMINOS DE COMPONENTES Con respecto a un sistema derecho (regla de la mano derecha ) de coordenadas U 1 , U 2 , U 3 y V1 , V 2 , V 3 entonces: u v ( u 2 v 3 u 3 v 2 ) i ( u 3 v1 u1v 3 ) j ( u1v 2 u 2 v1 ) k o escrito en términos de determinantes: uv u2 v2 u3 v3 i u3 v3 u1 v1 i j k w u v u1 u2 u3 v1 v2 v3 i j k 4 0 2 1 j u1 v1 u2 v2 k i j k Ejemplo: U=4i-k V=-2i+j+3k w uv 1 i 10 j 4 k 3 w 1 100 16 w ( u .u )( v .v ) ( u .v ) w (16 1)( 4 1 9 ) ( 8 3 ) 117 2 2 117 Encuentre el área del paralelogramo que tiene los vértices siguientes en el plano x,y (0,0),(4,1),(2,3),(6,4) TRANSFORMACIONES LINEALES Sean U y V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo k una función F:VU es una aplicación lineal o transformación lineal, u HOMORFISMO de espacio vectorial si satisface las condiciones siguientes: i) Para todo u, v Є U: F(u + v) = F(u) + F(v). ii) Para todo u Є U y para todo escalar k: F(ku) = kF(u). V U U F(U) DOMINIO F: ² ³ a x x F b y y c F : 4 x y z w En general a,b k u, v V F ( au bv ) aF ( u ) bF ( v ) F: ² ² x1 x1 F x 3 x x 2 1 2 x1 y1 u , v x2 y2 CODOMINIO y1 y1 F y 2 3 y1 y 2 x1 y1 F au bv F a b x y2 2 ax 1 by 1 F au bv F ax 2 by 2 ax 1 by 1 F au bv F 3 ( ax 1 by ) ( ax 2 by 2 ) ax 1 by 1 F au bv F ( 3 ax 1 ax 2 ) ( 3 by 1 by 2 ) ax 1 by 1 F au bv F 3 ax 1 ax 2 3 by 1 by 2 x1 y1 b F au bv a 3 x1 x 2 3 y1 y 2 x1 y1 F au bv aF bF aF ( u ) bF ( v ) x y 2 2 F: 4 x y F x y 2 z 3w z w x1 x2 y1 y2 u , v z z 1 2 w w 1 2 x1 y1 F ( u ) F x1 y 1 2 z 1 3 w 1 z 1 w 1 x2 y2 F (w) F x2 y2 2 z2 3w2 z2 w 2 x1 x2 y1 y2 F ( au bv ) F a b z z 1 2 w w 2 1 ax 1 ay 1 F ( au bv ) F az 1 aw 1 bx 2 by 2 bz 2 bw 2 F ( au bv ) ( ax 1 bx 2 ) ( ay 1 by 2 ) 2 ( az 1 bz 2 ) 3 ( aw 1 bw 2 ) F ( au bv ) ax 1 bx 2 ay 1 by 2 2 az 1 2 bz 2 3 aw 1 3 bw 2 F ( au bv ) a ( x1 y1 2 z1 3 w1 ) b ( x 2 y 2 2 z 2 3 w 2 ) F ( au bv ) aF ( u ) bF ( v ) F: ² ³ x y x F 2 y 2 y 3y x1 y1 u , v x2 y2 x1 y 1 x1 F ( u ) F 2 y1 2 y 1 3y 1 x2 y2 x2 F ( v ) F 2 y 2 2 y 2 3y 2 x1 x2 F au bv F a b y2 y1 ax 1 bx 2 aF ( u ) bF ( v ) F ay by 2 1 ( ax 1 bx 2 ) ( ay 1 by 2 ) aF ( u ) bF ( v ) 2 ( ay 1 by 2 ) 2 3 ( ay 1 by 2 ) ( ax 1 bx 2 ) ( ay 1 by 2 ) aF ( u ) bF ( v ) 2 ay 1 2 by 2 2 3 ay 1 3 by 2 ax 1 ay 1 bx 2 by 2 aF ( u ) bF ( v ) 2 ay 1 2 2 by 2 3 ay 3 by 1 2 x1 y 1 x2 y2 aF ( u ) bF ( v ) a 2 y1 2 / a b 2 y 2 3y 3 y1 2 F ( au bv ) aF ( u ) bF ( v ) No es transformación lineal. Hallar F: ³ 1 F 1 3 1 0 F 1 1 2 0 F 0 2 1 a Fb c a 1 0 0 b x1 y 1 z 0 c 1 2 1 1 1 1 0 0 1 0 2 1 a b c x a x y b x 2y z c z 3a 2b c a 1 0 0 b a 1 (b a ) 1 ( 3 a 2 b c ) 0 c 1 2 1 a 1 0 0 F b F a 1 (b a ) 1 ( 3 a 2 b c ) 0 2 1 c 1 a 1 0 0 F b aF 1 ( b a ) F 1 ( 3 a 2 b c ) F 0 1 2 1 c a F b a ( 3 ) ( b a )( 1) ( 3 a 2 b c )( 2 ) c a F b 8 a 3b 2 c c Comprobación: 1 F 1 8 (1) 3 (1) 2 (1) 3 1 0 F 1 8 ( 0 ) 3 ( 1) 2 ( 2 ) 1 2 0 F 0 8 ( 0 ) 3 ( 0 ) 2 (1) 2 1 a F b 3 2 0 1 F: ² ³ definido F 1 , F 1 2 5 1 1 a 1 0 x y b 2 1 1 2 0 1 a b x a y b 2a a 1 0 a ( b 2 a ) b 2 1 a 1 0 F aF ( b 2 a ) F b 2 1 3 2 a F a 1 ( b 2 a ) 1 b 5 1 a F ( 3 a 2 b 4 a ), ( a b 2 a ), ( 5 a b 2 a ) b a 2b a F 3 a b b 7a b 1 4 3 1 F 3 2 1 2 7 2 5 2 1 F 1 0 1 F: ³ ³ 1 1 2 0 8 F 0 1 ; F 1 2 ; F 3 ? 1 3 0 1 2 a 1 2 b x 0 y 1 c 1 0 1 0 1 2 1 0 a x 2 y a c 2b a b y b c x c a 1 2 b c 0 b 1 c 1 0 a 1 2 F b cF 0 bF 1 c 1 0 a 1 0 F b c 1 b 2 3 1 c a c F b c 2b c 3c b 8 2 2 F 3 2 6 4 2 6 3 9 REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DEFINICIÓN.- Sean x ( x1 , x 2 ,..., x n ) e y ( y1 , y 2 ,..., y n ) dos vectores cuyos componentes estan referidas a la misma, si las coordenadas de x y y vienen dadas por: y1 a11 x1 a12 x 2 ... a1 n x n y 2 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ... y n a ni x1 a n 2 x 2 ... a nn x n o abreviadamente: y A. x Siendo A=(aij) una matriz definida sobre un cuerpo k, se denomina MATRIZ DE LA TRASFORMACION LINEAL F, entonces F es una transformación lineal que aplicada a un vector x lo convierte en otro y que se llama IMAGEN del primero. Definición.-Sean U y V espacio vectorial sobre el mismo cuerpo k, dimV=m y dimU=n, además, sean e e1 , e 2 ,..., e n y f f1 , f 2 ,..., f n bases arbitrarias pero fijas de V y U respectivamente, suponiendo que F: V U es una transformación lineal entonces los vectores F(e1),...,F(en) pertenecen a U y por lo tanto cada uno de ellos es una combinación lineal de los vectores de f. F ( e1 ) a11 f 1 a12 f 2 ... a1 n f n F ( e 2 ) a 21 f 1 a 22 f 2 ... a 2 n f n ... F ( e m ) a ni f 1 a n 2 f 2 ... a nn f n La traspuesta de la matriz de coeficientes denotada por F se le llama la representación matricial de F respecto a las bases ei y f i o matriz de F en las bases e y f. f Ejemplo: F: ³ ³ F i) base canónica (e) F e 1 1 1 ii) e y f 1 , 1 , 1 1 0 0 x x y y y z z z x F ef iii)base f F f 1 0 0 e 0 , 1 , 0 0 0 1 1 1 1 0 0 F 0 0 a 0 b 1 c 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 F 1 1 a 0 b 1 c 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 F 0 1 a 0 b 1 c 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 F e 1 0 1 0 1 1 1 0 0 a 1 1 b 0 1 c 1 a 1 a 0 b 1 b 1 c 0 c 1 1 1 1 1 1 F 0 0 a 1 b 1 c 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 F 1 1 a 1 b 1 c 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 F 0 1 a 1 b 1 c 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 a 1 a 0 a 1 b 1 b 1 b 0 c 1 c 0 c 1 1 1 1 F e f 1 0 1 0 1 0 1 2 1 1 1 F 1 2 a 1 b 1 c 0 1 0 0 1 2 1 2 1 1 1 F 1 1 a 1 b 1 c 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 F 0 0 a 1 b 1 c 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 0 2 1 0 0 2 1 1 0 1 a 2 a 1 a 1 b 0 b 0 b 1 c 1 c 1 c 1 F f 2 0 0 1 0 1 1 1 1 F :M 2*2 M 3* 2 x F z x y y w w y z 1 F 0 1 0 0 0 0 0 1 1 a 0 0 0 0 F 0 1 1 0 0 1 0 a 0 c 1 e b d f 0 F 1 0 0 0 0 1 1 a 1 c 0 e b d f 0 F 0 0 0 1 1 0 0 a 0 c 1 e b d f F e 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 x z y w z 0 0 0 b 0 0 0 1 0 0 c 1 0 0 0 0 0 d0 0 0 0 0 1 e 0 1 0 0 0 0 f 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 TEOREMA: Para todo vector v Є V se cumple que : F ef V e F (V ) f Multiplicando el vector coordenado de v en la bese e por la matriz F e se obtiene el vector coordenado F(V) en la base f. Ejemplo: Sea T: ³ ³ f T x 2y z y x 4y z 3 x T f V f T (V ) f 1 1 1 f 1 , 1 , 0 1 0 0 1 x i) v 2 , v y 3 z T f 1 3 1 1 1 F 1 3 a 1 b 1 c 0 1 0 0 1 3 1 2 1 1 1 F 1 3 a 1 b 1 c 0 1 0 0 0 3 1 0 1 1 1 F 0 1 a 1 b 1 c 0 1 0 0 0 3 1 1 1 1 1 3 2 1 0 3 3 0 0 3 3 0 1 3 a 3 ab 2 b 5 v f abc 1 c 1 3 5 1 T (V ) f 1 1 1 1 1 T 2 7 a 1 b 1 c 0 1 0 0 3 3 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 7 3 a 3 a b 7 b 10 abc 1 c 8 T (V ) f 3 10 8 3 6 6 T f V f 3 6 5 3 3 3 2 5 10 T (V ) f 1 1 8 x -Para cualquier vector y z T f V f 3 6 6 3 6 5 3 2 1 x y z f x 1 1 1 y a 1 b 1 c 0 z 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 x y z a z ab y b y z a b c c x y V f z y z x y T (V ) f x 2 y z 1 1 1 T y x 4 y a 1 b 1 c 0 1 0 0 z 3x 1 1 1 1 1 1 0 0 0 2y z x 4y 3 x a 3x a b x 4 y b 2 x 4 y a b c 2y z c x 6y z 3x 2x 4 y x 6y z T (V ) f T f V f 3 6 6 3 6 5 3 z 3 z 3 y 3 z 3 x 3 y 3x 2 y z 6 z 6 y 6 z 2 x 2 y 2 x 4 y T (V ) f 1 x y 6 z 5 y 5 z x y x 6 y z OPERACIONES CON TRANSFORMACIONES LINEALES SUMA DE 2 TRANFORMACIONES LINEALES .- Sean F: V U y G: V U dos transformaciones lineales de V en U respectivamente entonces la suma F+G, es la transformación lineal de V en U, denotada F+G: V U y definida x V por la ecuación: F G x F ( x ) G ( x ) La matriz de la transformación lineal F+G, se obtiene sumando termino a termino los elementos de las matrices de F y G respectivamente. Ejemplo: Sea F: ³ ² F x 2x y y z z G: ³ ² G x x z y y z F G v F ( v ) G ( v ) F 2x x z G v y z y F 3x z G v 2y z F 3 G v 0 0 2 1 1 OTRA FORMA (Dando valores mínimos) 2 0 0 1 1 0 0 F G 1 0 1 1 0 F 2 G 0 ( F G )(x) 0 1 3 0 0 1 1 0 0 2 0 1 1 3 0 0 0 2 1 1 x 1 y 1 z PRODUCTO POR ESCALAR DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DEFINICIÓN.- El producto de un numero real λ y una transformación lineal F: VU es la transformación lineal λF: V U, definida por ( F ) x F ( x ) x V F ( x ) U La matriz asociada a la transformación lineal λF se obtiene multiplicando el escalar λ por todos los elementos de la matriz F. F: ³ ² x 2x F y z y z PRODUCTO DE DOS TRANSFORMACIONES LINEALES Sean V,U y W espacios vectoriales y sea F y G transformación lineal tales que F: VU y G: V W entonces x V , F ( x ) es un escalar en U y al aplicar G al vector F(x) se obtiene el vector G(F(x)) en W, así F y G pueden multiplicarse para producir una función en W denotada por GF y que se denomina el producto de F y G en ese orden y se define por : GF GF G F ( x ) G ( F ( x )) F 2 F F ( x ) F ( F ( x )) F 3 F F F ( x ) F ( F ( F ( x ))) La matriz asociada a la transformación lineal G o F se obtiene multiplicando las matrices de G y F respectivamente. Ejemplo: Sea x x y F y y z z z x x y z F y x z z x y F 3 * 3 G 3 * 3 3 3 3 x y GF G ( F ( x )) G y z z x y z z x x y 2z GF x y z x 2 x y z x y y z x 2y z 1 GF 2 1 2 1 1 1 1 2 OTRA FORMA 0 G 1 1 1 1 F 0 1 1 1 GF 2 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 2 2 1 1 3 F x 2x y y z z 3 2 x F y x x 2 F.G G.F GF G ( F ( x )) 2x GF G y z 2x y z GF 2x y z 2x y z 2 0 GF 2 2 0 1 1 1 0 1 1 1 OTRA FORMA 1 0 G 1 1 F GF x 2 0 0 1 1 1 0 1 2 0 2 2 0 1 0 1 1 1 0 2x x 1 y z y 1 2 x y z z 2x y z 1 4 y y y x