DEMOSTRACION MATEMATICAS DEL RECTANGULO AUREO 30 DE AGOSTO DE 2021 SANCHEZ RAMIREZ LUIS FELIPE DEMOSTRACION MATEMATICAS DEL RECTANGULO AUREO Un rectángulo se puede dividir en dos piezas: un cuadrado sobre el lado más corto y otro rectángulo. Para una determinada proporción de los lados del rectángulo inicial, usando este procedimieto obtenemos un rectángulo áureo. La proporción áurea A partir de la definición de Euclides de la división de un segmento en su razón media y extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimos la ecuación y el valor de la proporción áurea. Si partimos de un rectángulo áureo el procedimiento se puede repetir indefinidamente. La proporción áurea puede expresarse de esta manera: Un segmento se dice que está dividido en su razón extrema y media cuando el total del segmento es a la parte mayor como la parte mayor a la menor. (Euclides) Así podemos obtener el número áureo El hecho de que el proceso de obtención de rectángulos áureos es infinito sugiere que el número áureo es inconmensurable, es decir, que el número áureo es irracional. Puesto que el lado de un pentágono regular y su diagonal están en proporción áurea y el pentágono y el pentagrama fueron los símbolos de los pitagóricos cabe la posibilidad de que se conociera que la diagonal de un pentágono y su lado son inconmensurables. Siendo éstos los primeros inconmensurables conocidos. Sin embargo, la primera demostración de la inconmensurabilidad de dos segmentos de la que tenemos constancia corresponde al lado y diagonal de un cuadrado (Euclides). La diagonal de un pentágono regular y la razón áurea La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporción áurea. El punto de intersección de dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón áurea o 'en razón extrema y media'. Podemos ver que el rectángulo ABDF y el rectángulo CDFH son semejantes y que CDFH se ha rotado un cuarto de vuelta. Entonces Llamaremos O al punto de intersección. Ahora podemos considerar la recta OC: Puesto que Entonces OC biseca el ángulo recto BOD Análogamente O está en la recta CG. Lo mismo para AE y entonces Estas cuatro rectas, perpendiculares a pares, contienen todos los vértices de todos los infinitos rectángulos áureos. Cada pareja es la bisectriz de la otra pareja de rectas
