AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES Cuando a una cantidad inicial, C, se le añade un tanto por ciento de la misma cantidad, se habla de aumentos porcentuales. Para aumentar un porcentaje a una cantidad se multiplica esa cantidad por 1 + r, siendo r la tasa unitaria. Por tanto, la cantidad final, CF, se obtiene multiplicando C por (1 + r): CF = C · (1 + r). Ejemplos: a. El Impuesto sobre el Valor Añadido (IVA), para gran cantidad de productos es del 21%. Esto significa que, si un producto vale 100 euros, deben pagarse 121€. Este resultado lo encontramos de aplicar CF = 100 · (1 + 0,21). Si ese producto, en vez de costar 100€, costase 500€, habría que pagar: CF = 500 · (1 + 0,21) = 605€. b. Si los nacimientos en una determinada región han aumentado el último año en un 10%, entonces, si se sabe que el año pasado nacieron 12000 niños, este último año habrán nacido: CF = 12000 · (1 + 0,10) = 13200 niños. En el caso de una disminución porcentual, nos referimos a cuando a una cantidad inicial, C, le quitamos un tanto por ciento de la misma cantidad. Para disminuir un porcentaje a una cantidad se multiplica esa cantidad por 1 – r, siendo r la tasa de descuento unitaria. La cantidad final, CF, se obtiene multiplicando C por (1 – r): CF = C · (1 – r). Ejemplos: a. Si se anuncian rebajas del 30%, ¿cuál es el precio que asume el cliente? Ante un descuento del 30%, la tasa unitaria de descuento es 0,30. Por tanto, el precio que el cliente asume es de 1 – 0,30 = 0,70. Esto significa que lo que valía 100€, ahora vale 30€ menos; esto es, 100 – 30 = 70€. Y lo que valía 1€, valdrá 0,70€. Para calcular los precios rebajados habrá que multiplicar los iniciales por 0,70. Así, si un teléfono móvil costaba 300€, su precio rebajado será: CF = 300 · (1 – 0,30) = 300 · 0,70 = 210€. b. Si un frigorífico que costaba 450 € se ha rebajado un 40%, ahora valdrá: CF = C · (1 – 0,40) = 450 · 0,60 = 270€. Los problemas de aumentos y disminuciones porcentuales son los más sencillos, pues son los más directos. Pero, en la vida corriente pueden plantearse situaciones no tan claras. A continuación, se plantean, con ejemplos, algunas de esas situaciones. • Conocemos la cantidad final del producto y la tasa unitaria de aumento/descuento pero desconocemos la cantidad inicial a. El precio final de un ordenador es de 600€ tras haber sufrido una aumento de su precio del 20%. ¿Cuál es su precio inicial? Recordemos que CF = C · (1 + r). En este caso, conocemos CF = 600€ y la tasa de aumento porcentual es del (r) es del 20%. Por lo tanto, 600 = C · (1 + 0,20). Si hallamos C, obtenemos que el precio inicial era de 500€. • Conocemos la cantidad inicial y final del producto pero desconocemos la tasa unitaria de aumento/descuento a. Se conoce que el número de despidos en España ha sido de 1500 millones de personas en el año 2020, mientras que en el año 2019 esa cifra era de 1000 millones. ¿Cuál es el porcentaje de aumento/disminución porcentual? Estamos ante un caso de aumento porcentual y, por lo tanto, utilizamos la siguiente expresión: CF = C · (1 + r). En este caso, conocemos C = 1000 y CF = 1500. Por lo tanto, 1500 = 1000 · (1 + r). Si hallamos r, obtenemos que la tasa unitaria de aumento es del 0,50 (50%). • Porcentajes sucesivos a. Elite Sports Academy consiguió becar a 20 jugadoras en el año 2019. Esta cifra fue inferior en un 20% a la de 2018; mientras que en 2020 aumentó un 30%. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento desde 2013 a 2015? ¿Y el número de jugadoras que becó la empresa en el año 2020? En primer lugar, deberemos de calcular el número de jugadoras becadas en el año 2018. Para ello utilizamos la expresión vista anteriormente: CF = C · (1 – r), donde CF = 20 y r = 0,10. Por lo tanto, tenemos que 20 = C · (1 – 0,20); 20 = C · 0,80. Si hallamos C, obtenemos que la cantidad de jugadoras becadas en el año 2018 fue de 25. A continuación, calcularemos el número de jugadoras becadas en el año 2020: CF = C · (1 + r). Si sustituimos, CF = 20 · (1 + 0,30) = 26 jugadoras becadas. Con esto, el porcentaje de aumento/disminución desde 2018 a 2020 se calcula dividiendo las cantidades respectivas: CF 2020 / CF 2018 = 26 / 25 = 1,04 → El porcentaje de variación fue del 4% (positivo). OBSERVACIÓN: El porcentaje acumulado se puede obtener mediante la multiplicación de porcentajes sucesivos. Disminución del 20% → (1 – 0,20) = 0,80 Aumento del 30% → (1 + 0,30) = 1,30 Si calculamos el producto entre ambas cantidades (0,80 · 1,30), obtenemos el porcentaje de variación (4%).
