TEMA 09 - INECUACIONES

Academia Preuniversitaria Exitus
Grupo 2021
¡La Disciplina es la Clave del Éxito!
R.D.R. 2827
Curso
Álgebra
Grupo I – 2021
Separata N°9
INECUACIONES
CONTENIDO TEÓRICO:
1. INECUACIONES
1.1. DEFINICIÓN
Es aquella relación de orden que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos una variable y que se
satisface para un determinado conjunto de valores reales.
Por ejemplo, la desigualdad: 2x + 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene una variable “x”, y se verifica para valores de x
mayores que 2.
¿Qué necesito conocer para resolver una inecuación?
Rpta:
Representar los números en la recta. Operaciones algebraicas: Factorización, productos notables, etc.
Métodos y axiomas de los números reales.
Simbología y escritura de un intervalo.Conjunto solución.
Intersección de intervalos.
Nota:
Conjunto Solución
Es un intervalo que representa el conjunto de números reales que verifican la inecuación, según el sentido fijado.
Si la inecuación no tiene solución, entonces decimos que C.S. es el conjunto vacío.
1.2. ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS
DESIGUALDADES:
1) Si a > b  -a < -b
2) Si a > 0  -a < 0
3) Si a > b  1/a < 1/b
4) Si a > b y b > c  a > c
5) Si c > 0 y a > b  a.c > b.c
6) Si c < 0 y a > b  a.c < b.c
7) Si a.b < 0  (a < 0  b > 0)  (a > 0  b < 0)
8) Si a.b > 0  (a < 0  b < 0)  (a > 0  b > 0)
9) Si b > 0, a < b  - b < a <
2
10) Si b  0, a > b  a >
2
b
b a<- b
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2. FORMA GENERAL DE LA INECUACIÓN
>
<
F(x)
0
donde F es una expresión matemática en variable x. Dependiendo de F la inecuación puede ser:
3
2
x – 2x + 1 > 0 Inecuación polinomial
x
3
 0
Inecuación fraccionaria
x5 x
x  2  3 x  0 Inecuación irracional
2
log x – 2 < 14
x
3 – 81 < 0
Inecuación logarítmica
Inecuación exponencial
1
 0 Inecuación trigonométrica
2
sen x -
3. SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN
Es aquel valor (o valores) de la incógnita (o incógnitas) que verifica la inecuación.
RESOLVER UNA INECUACIÓN
Significa hallar su conjunto solución. La resolución se realiza sólo empleando pasos equivalentes, por ejemplo, si queremos
resolver la inecuación:
3x + 2 > 2x + 7, diremos:
3x+2 > 2x + 7  3x + 2 + (-2) > 2x + 7+(-2)
 3x 2x + 5
 3x + (-2x) > 2x + 5 + (-2x)
x>5
Gráficamente:


5
Luego C.S. = x  IR / x>5 = 5; +
3.1. INECUACIÓN LINEAL
Forma general:
P(x)=ax+b
>
<
0
;a  0
Ejemplos:
 3x – 7 > 0
Resuelva ax + b  0; a < 0
ax + b  0  ax + b + (-b)  0 + (-b)
 ax  -b; a < 0
 1/a . ax  1/a (-b); pues 1/a <0
x 
b
a
x
-
Gráficamente:
-b
a
+
b 
b

Luego C.S. = x R / x       ; 
a
a

 

Nota:
Cuando formamos la inecuación polinomial los valores de las raíces del polinomio toman el nombre de puntos críticos.
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3.2. INECUACIÓN CUADRÁTICA
Forma General
2
P(x)=ax +bx+c
>
<
0
a; b; c  IR
Resolución
2
Para resolver una inecuación cuadrática hay que analizar el discriminante  =b – 4ac del polinomio P. Luego se tiene 3 casos.
Primer caso  = 0
2
Aquí el polinomio P(x) = ax + bx + c, es un trinomio cuadrado perfecto.
En general para los casos de la forma: Si   0
ax 2  bx  c  00
ax 2  bx  c  00 
;
T.C.P
Resuelva
2
P(x)=x - 18x+81 >
< 0
2
P(x) = (x - 9) ; luego
2
 (x - 9)  0  C.S. = IR
2
 (x - 9) > 0  C.S. = IR - 9
2
 (x - 9) < 0  C.S. = 
2
 (x - 9)  0  C.S. = 9
Segundo caso  > 0
2
Aquí el polinomio P(x) = ax + bx + c es factorizable sobre IR, es decir: P(x) = a(x – x1) (x – x2)
Donde x1 y x2 son la raíces.
Luego para resolver los
P(x) >
< 0 aplicamos el criterio de los puntos críticos.
Resuelva

2
P(x) = x -
2 x-
3 x+
6 0
2
Sea P(x) = x –( 2 x+ 3 x) + 6
Observemos que  > 0, luego factorizando
C.S. = -;
P(x)=x 2- x( 2 + 3 )+ 6
x
- 3
x
- 2
P(x) = (x-
-
+
+
2
3
-6
x
1
+
-
2 , 3
x
(x - 6) (x + 1) < 0 los puntos críticos serán –1, 6;
luego:
3 )(x - 2 )  0
Puntos críticos
2    3 ; 
P(x)=x 2- 5x - 6 < 0
+
-1
6
+
Entonces x  -1; 6 = C.S.
+
Tercer caso  < 0
Aquí emplearemos el Teorema del Trinomio Positivo.
Sea:




2
2
 x  b   b  4 ac 

2

2a 
P(x) = ax + bx +c = a 
a 2 



4

(*)


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Si: b –4ac<0  a >0, entonces P(x) > 0;  x  IR
2
Teorema
2
Sea P(x) = ax + bx + c ; a 0, luego:
P(x)  0; x  R  a  0    0
Ejemplo:
1. x 2 + 2x + 3 > 0  Su C.S. = R pues  = 2 2 - 4(3) = -8 < 0, y su coeficiente principal es positivo.
2. x 2 + 4x + 7 < 0  Su C.S. = 
Pues  = 4 2 - 4(7) < 0, y su coeficiente principal es positivo.
 0 < x 2 + 4x + 7 < 0  0 < 0 ¡Absurdo!
C.S.  
Otros Ejemplos:
2
 P(x) = 3x – 2x + 7 > 0  C.S. = IR
2
 P(x) = x – x + 4 < 0  C.S. = 
4. MÉTODO DE LOS PUNTOS CRITICOS:
Para utilizar éste método debemos conocer la naturaleza de las raíces de un polinomio, nos referimos a raíces reales y
diferentes, reales e iguales, e imaginarias. Veremos unos ejemplos.
2
1) En el polinomio: x – 5x – 6 al factorizarlo obtenemos (x – 6 )( x + 1) dos raíces reales y diferentes:
x1 = 6 ; x2 = -1
2) En el polinomio: x – 6x + 9  (x – 3 ) ( x -3 ) = (x – 3 ) dos raíces reales e iguales:
2
2
x1 = 3 ; x2 = 3
Si tuviera: (x – 3)  significa que tenga 4 raíces iguales : x = 3
2
3) En el polinomio: x + 3x + 4 al analizarlo observamos que no es factorizable, ni podemos hallar las raíces por la fórmula
4
general:
x
 b  b 2  4ac
2a
Entonces debemos pensar en la posibilidad de que tenga RAÍCES IMAGINARIAS; esto lo podemos verificar de una
manera fácil y práctica, mediante la fórmula del discriminante (  )
  b2  4ac
En nuestro ejemplo a = 1; b = 3; c = 4
 = (3)2 – 4(1) (4)  d = -7
Si el discriminante es < 0  las raíces son imaginarias
Descripción del Método
Se hallan las raíces o puntos críticos del polinomio mediante factorización, fórmula general o completando cuadrados.
Se colocan las raíces en la recta numérica.
Se trazan los intervalos desde el + hacia cada raíz, empezando de derecha a izquierda.
Si asignan signos + y – alternadamente, empezando de derecha a izquierda.
Si el sentido de la desigualdad es > ó  , el conjunto solución (Cs) será la unión de todas las zonas con signo +.
  : Intervalo abierto
.
  : Intervalo cerrado
Considerando: 
Si el polinomio tiene sentido < ó  el conjunto solución (Cs) será la unión de todos los intervalos con signo –.
  : Intervalo abierto
.
  : Intervalo cerrado
Considerando: 
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5. INECUACIONES EXPONENCIALES:
I) Siendo a > 1, tenemos :
x
y
a a xy
x
y
a a xy
x
y
a <a x<y
x
y
a >a x>y
6.
II) Siendo 0 < a < 1, tenemos :
x
y
a a xy
x
y
a a xy
x
y
a <a x>y
x
y
a >a x<y
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Forma
general:
P(x)
=
a n x n  a n 1 x n 1  a 1 x  a 0  0
a i  R; i  0,1,2,3, , n
donde
an  0
:
,
además
cada
Como nosotros recordamos por un Corolario del Teorema Fundamental del Álgebra, se tienen raíces a las que llamamos
x1 , x 2 , x 3 , x 4 ,, x n
Bien, si es que todas son reales, podemos factorizar:
a n x  x1 x  x2 x  x3  x  xn   0
Entonces para resolverla, aplicaremos el Método de Puntos Críticos. Pero en general previamente simplificar, algunos
factores de la que ya conocemos el signo. Para ello notemos que:
Teorema: a; b  R; n  R
2n
I) a . b  0  b  0  a = 0
II)
+
-
a .b  0  b  0  a  0
2n
III) a .b  0  b  0  a  0
2n
IV) a . b < 0  b < 0  a  0
2n+1
V) a
. b  0  a.b  0
2n
2 n 1
.b  0  ab  0
2 n 1
a .b  0  ab  0
VI) a
VII)
2n+1
VIII) a
. b < 0  a.b < 0
1
-
+
2
3
de lo cual el C.S. = ;1
2.
+
+
4
2; 3 

 x 1  x  3 x  2 x  7 
2
4

4;  
0.
Simplificando x  3 x  2  0
Los puntos críticos son -2; 3
Por ejemplo podemos resolver:
1.
x  1x  2x  3x  4   0
Los puntos críticos son: 1,2,3,4.
Notemos que el C.S. =
+
-
+
-2
3
+
2;3 , pero ¡cuidado! el factor x  12 , cancelado x = 1 es un valor que anula el factor y que
reemplazando en la inecuación original tendríamos el absurdo (0 < 0).
Esto quiere decir que x = 1 es un valor no solución:
 C.S.  2; 3  1
Nota:
Lo mismo pasa con x=7, pero como no
está en el C.S. no le afecta.
7.
INECUACIONES FRACCIONARIAS E IRRACIONALES
CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (C.V.A)
Es aquel conjunto que garantiza la existencia del valor de las variables para que una expresión matemática esté bien
definida.
Ejemplos:
x

P(x) =
3
x2
, el C.V.A está dado por todos aquellos valores reales para x, tal que x-2  0; es decir
C.V.A.=x  IR / x  2= IR - 2.
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 H(x) = 3  x el C.V.A. está dado por todos aquellos valores reales para x, tal que el radicando no es negativo, es decir
3 – x  0, de donde: C.V.A. = x  IR / x  3=-; 3

M(x)=
3
x 7
, el C.V.A. =IR, ya que una expresión irracional de índice impar está definida para cualquier valor real.
7.1. INECUACIÓN FRACCIONARIA
DEFINICIÓN:
Es aquella inecuación que se caracteriza, porque la variable esta presente en el denominador de cualquier expresión que
forma parte de la inecuación.
Forma
P (x)
>
0; < Q(x)  0
>
<
Q(x)
Donde P(x), Q(x) son polinomios
Resolución: Se sigue los siguientes pasos:
I. Se factoriza los polinomios P(x) y Q(x) en R.
II. Se halla el C.V.A. de la expresión
P (x)
Q(x)
P
Q
C.V.A. 

 = R - {x/Q(x)  0}

III. Multiplicando a la inecuación por
Q  x  
2

, se obtiene la inecuación equivalente P(x) . Q(x)  0 la cual será resuelta por el método de los puntos críticos.
IV. El conjunto solución es la intersección del C.V.A. con la solución de III.
Ejemplo:
x2  x  2
Resolver:
 0
x 2  x  12
I. Factorizando:
(x  1)(x  2)
(x  3)(x  4 )
 0
II. C.V.A. = R - {-3, 4}
2
2
III. Multiplicando la inecuación por (x+3) (x-4) , la inecuación es equivalente a:
(x-1)(x+2)(x+3)(x-4)  0
-
+
-3
-
+
1
-2
+
4
CS = x  <-; -3> U [-2; 1] U <4; +>
ECUACIÓN IRRACIONAL
Se llama así, si por lo menos una incógnita está bajo el símbolo radical.
En general:
P(x)  0
Para resolver esta ecuación se seguirá el siguiente orden.
Ejemplo 1: Resolver:
2x  11  x  10  x  1
 Primero debemos hallar el C.V.A.
2x – 11  0  x - 10  0  x – 1  0
x
11
2
 x  10

x  1
interceptando x  10
C.V.A. = 10; 
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 Segundo, la ecuación original se reduce a otra más simple
2x – 11 = x – 10 + x – 1 +2

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2x  11  x  10  x  1 al cuadrado
(x  10 )(x  1)
0 = 2 (x  10 )(x  1) al cuadrado
0 = 4(x –10) (x - 1)
De donde: x = 10  x = 1
Tercero, ahora tenemos que comprobar que estos valores estén en el C.V.A., vemos que 1 pertenece al C.V.A., entonces
C.S. = 10.
Ejemplo 2: Resolver: 2x  1  x  5 
C.V.A: 2x - 1  0  x - 5  0  x + 4  0
x4
7.2. INECUACIÓN IRRACIONAL
 
Es toda inecuación que tiene la incógnita afectada por radicales. Presenta la siguiente forma general. F x  0 Siendo
F(x) una expresión irracional sobre R.
Resolución:
1. Hallar la existencia (CVA) de la expresión irracional F(x)
2. Se transforma la inecuación, elevando a ambos miembros a un exponente que elimine el radical. (Si el índice del radical
es par, ambos miembros de la inecuación deben ser positivos obteniendo el conjunto de posibles soluciones Sp).
3. El conjunto solución se obtiene intersectando el CVA con Sp.
Ejemplo: Hallar el conjunto solución de:
x2  9 < 4
Solución: Se trata de una inecuación irracional cuyo Cs será: S1

S2
Donde: S1: x – 9  0
S1:  - , -3] U [3,  
2
S2: x – 25 < 0  (x + 5) (x – 5) < 0
S2:  - 5, 5 
Luego el Cs será la intersección de S1 y S2
2
Cs: -5, -3] U [3, 5
Teorema 1: Para inecuaciones con raíz cuadrada se
tiene:
 b  0  c.s  

2
I) a  b 
 b  0  a  0  a  b

2


a, b   a  0  b  0  a  b 
b  0  a  0

2
b  0  a  0  a  b
a  b
a, b   a  0 


b  0  b  0  a  b 2 

II)


Teorema 2: Para inecuaciones con radicales de
índice superior se tiene:
I)
2n
II)
III)
IV)
a .b  0  a  0   a  0  b  0
2n
a .b  0   a  0  b  0
V)
VI)
a .b  0  ab  0
2n  1
a .b  0  ab  0
Teorema 3:
2n
a .b  0  a  0  b  0
I)
2n
a .b  0  a  0  b  0
II)
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2n  1
2n
a  2n b  0  a  0  b  0
a  b  b0  ab
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8.
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Inecuaciones Con Máximo entero :
De la definición:
 x  n  n  x  n  1
Se tiene las siguientes propiedades:
 x  n  x  n  1
 x   n  x  n
I)
II)
 x   n  x  n
 x  n  x  n  1  x  n  1
III)
IV)
PRÁCTICA
1. Dar el conjunto solución de:
3
a)
7 x  x  3  2  x 5 x 1
0
2018
0; 2
e)
12
3; 
b)
0;  
d)
6. Resolver:
7
c)
 2;3
0; 2  3; 
2. Resolver la inecuación:
6 x 2  8 x  3x  2  0
a)
 1 
 2 ;1



c)
e)
b)
1
;1
2
d)
 1 2 
;


 2 3
3
a)
 ;  9
1 1
;
2 3
d)
8;  3
35 x 1 / 3  93 x 1 / 5
b)
e)
,11
c)
 11, 

2
b) 2
e) 3
| x 1|
1
. 
2
| x 1|
5.
Resolver: 32
33
x  7;  1  17; 
b)
x  7;  2  1; 
c)
x  7;  1  10; 
d)
x  7;1  10; 
e)
x  7;2  18; 
6
15
0
x 1 2
 , si a  2b  0
bx  a a
a
; 
a  2b
a)
x   a; 
b)
x
c)
x   a;b
d)
x   a  2b; 
e)
 a
x
; 
 a  2b
resolver
la
inecuación
x  2  2  3  x  36m  0
2
en
" x" :
se
tiene
C.S   2  4,  2  9 .Calcular:     m
A  xN / x 4 5 x 4 6  0
a) 4
d) 0
2
a)
8. Al
11;  
4. Calcular el número de elementos de:

3
7. Resolver:
 1 1
 2; 3

3. Resolver:
 x  1  x  5  x  7   x  8  x  10
c) 1
| x 1|
1
. 
4
 512
Dar como respuesta la suma de soluciones.
a) – 1
b) 2
c) 1
d) – 2
e) 3
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a) 1
d) 5
b) 2
e) 4
c) 3
9. Resolver:
 x  1  x  5  x  7   x  8  x  10
3
2
33
a)
x  7;  1  17; 
b)
x  7;  2  1; 
c)
x  7;  1  10; 
d)
x  7;1  10; 
e)
x  7;2  18; 
6
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15
0
Pág.8
Academia Preuniversitaria Exitus
x  4  x 1  1
10. Hallar el conjunto solución de
a)
d)
[1,5
1,5
b)
,5
c){5}
e) R
 0.25
  0.5
2 x 3
4
  0.0625
3 x4
6
.  0.125
4 x2
9
a)
x  1/ 41; 
b)
x  1/ 24; 
c)
x  1; 
d)
x  1/18; 
e)
x  1/14; 
12. Resolver:
a)
x  3; 
b)
x  
 4; 
c)
x  
 5; 
d)
x  
 3; 
e)
x  4;   3
a)
x  
 7; 
b)
x  5; 
c)
x  7, 
d)
x  
 1, 
e)
x   7, 7 
14. Si:
2
1
 6 x 1   1;8 ,
2 x 6 encontrar el valor reducido de:
M  8x  10  x  7  7 x  50
17. Si:
a) 37
d) 27
que
d)
limites
" n " para que la
 2; 1  10; 
c)  2;0  10; 
e) ; 2   0;10
1
1
n
4
2
c) 2  n  3
e) 1  n  3
 12;1  10; 
d)  2;0  5; 
inecuación
b)
a)
x  2;8
b)
x  2;7
c)
x  1;8
d)
x  3;9
e)
x  4;8
x   4;1  6; 
d) x   4; 
c)
hallar el intervalo de
e)
0;806
debe
c) 17
x  3;0  4; 
b) x   3;0   4; 
estar
x  ; 3  0; 4
21. Hallar la solución de la ecuación:

7, 5

a) 7, 5
comprendido
x 2  2nx  n 
3
se
16
x?
1
3
b)  n 
4
4
1
5
d)  n 
4
4
verifique que para todo valor real
a)
b) 57
e) 47
18. Resolver:
d)
15. ¿Entre
1  a  1
a 1
a)
 25 x 2  16 


4


a) 0;896
b) 896;0
0;896
e)  0; 296
e)
c)
20. Resolver:
variación de:
c)
b) a  1
se
19. Resolver:
x2  7  6 x
13. Resolver:
0  a 1
a  a 2  a3 , donde : a 
a)
x2  4 x  3  8 x2  7 x  12
8
16. Dada la relación:
cumple sólo si:
a) 1  a  0
d)
11. Resolver:
6 x4
3
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Grupo 2021
9,11 e) 1,5
22. Resolver la inecuación:
Dar como respuesta un número entero par y
positivo.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
23. Si
x  , a
inecuación :
a) 1/3
d) 3/7
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
c) 7,1
b) 0,1
b, 
es la solución de la
. Calcular :
a.b
b) 2/3
e) 1/6
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c) 1/2
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Academia Preuniversitaria Exitus
x  3  3
b) 
6, 
 3,  
24. Resolver:
a)
d) 
 6,  
25. Hallar
la
solución
de
:
3 x  x 3  0
a)
3, 0
b)
d)
e)
3, 
c)
6, 
e)
la
0,3
inecuación
3,3
c)

d)
 12 , 2
e)
e) <-; 0>  <1; +>
34. Determine los valores de
en
x6  x9  x2
b)
x 1  x 1
3
3
33. Resolver:
a) <-; 1>  <4; 3>
b) <-; 3>  < 3; +>
c) <-; 0>  <4; +>
d) <-; 1>  <2; +>
2,3
para que la
c)
1, 4
.
x  kx  1
2
x2  1
a)
d)
27. Qué condición deberá cumplir " n " para que una
de
las
raíces
de
la
ecuación
:
x2  2(n  5) x  20n  0 sea mayor que cuatro?
a) n  2
b) n  2
c) n  2
d) n  2
e) n  2
2
" x"
2

28. Si: 1  x  4  A  x
Hallar: AMAX + BMIN
a) 5
b) 6
d) – 6
e) 7
"k "
inecuación se cumpla para cualquier valor de
26. Hallar la solución de la ecuación:
a) 1
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Grupo 2021
- 4x  5  B .
c) – 5
0, 
2, 2
b)
1,1
e)
2, 
c)
3,3
35. Determine el conjunto solución de la inecuación,
cuya variable es
" x":
a
b
 x  a  x   x  b
b
a
a  0,
b0
a)
, a 
b)
,b
d)
, a  b
e)
0, 
c)
, 0
29. Hallar todos los valores de “ x ” para que la
expresión: E
número real.
a) [-2; 3/ 4]
c)
[-2; 4 / 3]
 4  3x  x  2 , resulte un
[4 / 3;   
d) <-; -2]
e) [4 / 3; 2]
b)
E  2    3  2  12  
31. Si:
b)  3
d) 3
raíces de la ecuación : x  4 x  k  0
encuentren en el intervalo  2 , 6 
2
a)  4 ,12 
b)  4 ,12 
c)  4 , 6 
d)  4 , 6 
37. hallar el valor del parámetro b para que .
e)

1  x  3 . Encuentra el valor reducido de:
x 2  bx  9  0 tenga como solución 1,9
a) 10
c) 9
b) -10
d) -9
E  2x  1  x - 4  6x - 5
a)
c)
32. Si
0
4x
b)
d)
7x
10
38. Hallar los valores de
e)
-7x
cumple :
-3  x  4 . ¿A que es igual?
E  x2  6 x  9  x 2  8x  16
a)
c)
2 x -1
2x 1
b)
d)
1- 2x
1
, se
e)  6 ,12 
30. Indicar el valor reducido de:
a) 0
c) 2
36. En que intervalo debe variar k , de modo que sus
a) 5/7,4/3
d) 4/3,5/7
e)
e) 5
1 
A y B  x   ,1 si se
2 
1 x2 1


B x3 A
b) 3/4,5/7
e) 4/3,7/5
c) 7/5,4/3
7
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Academia Preuniversitaria Exitus
39. Resolver :
a)
 2,5
c)
1,5
5  8 x  x 2  12  5  x  0
b) 2,5
d)
7
40. Resolver:

22
a)  8, 
x
2
9, 
solución
2 5 
3
x
c) x  8
32, 
e)
64, 
 1600
a) -9
c)-11
c) x  3
 x  2  x  3  x  1 x  4  x  8  x 10
15
31
0
3, 1  4,8  10, 
a)
b)
13
3, 1  4,8  10, 
3, 1  4,8  10, 
 3, 1   4,8  10, 
 3, 1  4,8  10, 
e)
d)
2  x .11 x  1.17 x2  9  0 ;
a) 5
d) 8
b) 6
e) 9
es
b) 591
e) 390
c) 39
" x"
que
b)-10
d)-8
e)7
x2  x  5  x2  5
a) 0
c) 2
. Indicar:
b)1
d)3
e) 4
1
x 2  x   0 ?:
8
a) 1
d) 4
el
conjunto
a c  bd
c) 7
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b) 2
e) 5
c) 3
51. Si a una fracción propia e irreducible se le agrega
su mitad, se obtiene por lo menos uno; pero si se le
resta la cuarta parte de la fracción a lo más se
obtiene un medio. La fracción es:
1
3
3
d)
4
a)
45. Resolver:
a, b  c, d
ax 2   a  b  x  c
0
5x2  2 x  1
50. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación
44. Jorge tenía cierto número de monedas de S/. 1,
cuadriplica este número y le presta a Luís S/. 200
quedándole menos de 104 monedas. Después le
presta a Pedro S/. 50 quedándole más de S/. 42.
¿Cuántas monedas tenía al inicio, sabiendo que era
un número impar?
a) 55
b) 65
c) 75
d) 85
e) 95
solución es:
si se sabe que el intervalo
49. Un remolque lleva 3, 4 ó 5 bultos en un viaje. Cada
bulto pesa no menos de 125 Kg. y no más de 250
Kg. ¿Cuál es el peso mínimo de los bultos en un
solo viaje?
a) 625
b) 600
c) 375
d) 250
e) 125
c) 
5
de
c
48. El número de soluciones que cumplen:
:
9
2
2 x  5 y  30..........(1)
x  3 y  22..........(2)
y  8...........(3)
 25
b) 16, 
43. Resolver
6
b
47. Hallar la suma de los valores enteros de
cumplan:
b) x  10
e) x  8
a) x  1
d) x  6
a) 576
d) 490
x 2
d)
a
3
 5
 2 , 2   2, 2 



b) x  4
e) x  9
41. Resolver:
42. Resolver:
e)  2,5
46. Halle:
216  2 x
2
2 x  22
a) x  2
d) x  9
c)
1,5
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Grupo 2021
2
3
1
e)
2
b)
c)
1
4
52. La suma de los 7 primeros menores divisores de 42
que pertenecen al conjunto solución de:
x  2  x  4  2x  6 , es:
a) 13
b)14
c) 15
d) 16
e) 17
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53. Siendo x, y, z los valores enteros que satisfacen
el
siguiente
sistema
de
inecuaciones:
x  y  z  14 .......  
x  y  z  6 .......   
yz
.......   
z7
.......  
Hallar:
a) 11
d) 14
54. Luego
x
2
 3  4x
a)
, 2
b)
d)
3, 7
e)
 x  1
c)13
de
resolver:
 x  11  x  2   x  33  x  4 
2
4
x 1 5 9  x
6
5
 0 se
x  42
obtuvo como conjunto solución
a, b
. Calcular:
c) 7
55. Resolver:
 x 1  x  2  1  x  x  2   x
a)
, 1  3, 
b)
3, 
c)
, 1  3, 
d)
,3
e)
 1,3
2
6


x2  5
 0 y dar
, 1
2  x
x 1
1
2x  3
c)
3,5
x  1, 7
b)
e)
. Hallar
2

x2  x
c) 2 x  1
3
3  2x
E
si:
2 x  3  5x  3
x
3
c) 5
2
6  3x
d) 6 
e)
x
x
5 x  48  3 2 x  16
59. Si; x  0,3 .Hallar E 
x
7
a) x  4
b) 12 
c) 11
x
d) 7
e) x  4
a)
b) 9
e) 5
2
a)
d)
58. Si:
"b  a "
a) 13
d) 11
56. Resolver:
x2  4
57. Reducir:
b) 12
e) 15
444
 x  2  x  2 
como respuesta un intervalo de la solución:
" y  z"
2
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7
b)
60. Resolver la inecuación:
a)
c)
1, 2
1, 2
x
x2  x  2
b)
2,3
d)
1,3
1
e)
1,3
Ver21 Sep Alg9
MVPP/ Exitus
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