Ejercicio 1: Considere el sistema mecánico que aparece en la Figura 2-15. Se supone que el sistema es lineal. La fuerza externa 𝑢(𝑡) es la entrada al sistema, y el desplazamiento 𝑦(𝑡) de la masa es la salida. El desplazamiento 𝑦(𝑡) se mide a partir de la posición de equilibrio en ausencia de una fuerza externa. Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida. A partir del diagrama, la ecuación del sistema es: 𝑚𝑦̈ + 𝑏𝑦̇ + 𝑘𝑦 = 𝑢 Donde 𝑚 es la masa, 𝑏 es la constante de fricción y 𝑘 es la constante del resorte. Este sistema es de segundo orden, lo cual significa que contiene dos integradores. Si se definen las variables de estado 𝑥1 (𝑡) y 𝑥2 (𝑡) como: 𝑥1 (𝑡) = 𝑦(𝑡) 𝑥2 (𝑡) = 𝑦̇ (𝑡) A continuación se obtiene en el primer análisis 𝑥1̇ = 𝑥2 Se despeja el término 𝑚𝑦̈ : 𝑚𝑦̈ = −𝑏𝑦̇ − 𝑘𝑦 + 𝑢 Considerando que 𝑥2 (𝑡) = 𝑦̇ (𝑡), entonces: 𝑚𝑥2̇ (𝑡) = −𝑏𝑦̇ − 𝑘𝑦 + 𝑢 𝑥2̇ (𝑡) = −𝑏𝑦̇ − 𝑘𝑦 + 𝑢 1 𝑢 = (−𝑏𝑦̇ − 𝑘𝑦) + 𝑚 𝑚 𝑚 𝑥2 (𝑡) = 𝑦̇ (𝑡) Sustituyendo por las variables de estado: 𝑥2̇ (𝑡) = 1 𝑢 −𝑏𝑥2 𝑘𝑥1 𝑢 (−𝑏𝑥2 − 𝑘𝑥1 ) + = − + 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 Otro análisis: 𝑚𝑦̈ + 𝑏𝑦̇ + 𝑘𝑦 = 𝑢 𝑥1̇ = 𝑥2 𝑥2̇ = −𝑏𝑥2 𝑘𝑥1 𝑢 − + 𝑚 𝑚 𝑚 Al final se llega al mismo resultado: 𝒙𝟏̇ = 𝒙𝟐 𝒙𝟐̇ = 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏 −𝐛 𝐤 𝟏 𝐱𝟐 − 𝐱𝟏 + 𝒖 𝐦 𝐦 𝐦 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐 La ecuación de salida es: 𝒚 = 𝐱 𝟏 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟑 En una forma matricial, las ecuaciones 1 y 2 se escriben como: 0 𝒙𝟏̇ [ ]=[ 𝐤 𝒙𝟐̇ − 𝐦 1 𝐱 0 −𝐛] [ 𝟏 ] + [ 𝟏 ] 𝑢 𝐱𝟐 𝐦 𝐦 , 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 4 La ecuación de salida, representada por la ecuación 3, se escribe como: 𝐱𝟏 𝑦 = [1 0] [𝐱 ] 𝟐 , 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 La ecuación 4 es una ecuación de estado y la ecuación 5 es una ecuación de salida para el sistema. Las ecuaciones 4 y 5 están en la forma estándar: 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 Donde: 𝐴=[ 0 1 𝐤 −𝐛] , − 𝐦 𝐦 0 𝐵 = [𝟏], 𝐦 𝐶 = [1 0], 𝐷=0 A es la matriz de estado; B es la matriz de entrada; C es la matriz de salida; D es la matriz de transmisión directa. La Figura 2-16 es un diagrama de bloques para el sistema. Observe que las salidas de los integradores son variables de estado. Ejercicio 2: Sistema masa resorte amortiguador 𝑚𝑦̈ + 𝑐𝑦̇ + 𝑘𝑦 = 𝑓(𝑡) Donde la masa 𝑚 se multiplica por la aceleración 𝑦̈ ; la constante de fricción 𝑐 se multiplica por la velocidad 𝑦̇ ; la constante del resorte 𝑘 se multiplica por el desplazamiento 𝑦. Este sistema es de segundo orden, lo cual significa que contiene dos integradores. Si se definen las variables de estado 𝑥1 (𝑡) y 𝑥2 (𝑡) como: 𝑥1 (𝑡) = 𝑦(𝑡) 𝑥2 (𝑡) = 𝑦̇ (𝑡) 𝑥1̇ = 1𝑥2 𝑦̈ = −𝑐𝑦̇ − 𝑘𝑦 + 𝑓(𝑡) 𝑚 𝑥2̇ (𝑡) = 1 𝑓(𝑡) (−𝑐𝑦̇ − 𝑘𝑦) + 𝑚 𝑚 𝑥2̇ (𝑡) = −𝑐 𝑘 𝑓(𝑡) (𝑥2 ) − 𝑥1 + 𝑚 𝑚 𝑚 Pasar las ecuaciones a su forma estándar matricial: 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 A es la matriz de estado; B es la matriz de entrada; C es la matriz de salida; D es la matriz de transmisión directa 0 [ ]=[ 𝑘 𝑥2̇ − 𝑚 𝑥1̇ 1 𝑥 0 −𝑐 ] [ 1 ] + [ 1 ] 𝑓(𝑡) 𝑥2 𝑚 𝑚 Salida del sistema: 𝑦 = 𝑥1 En forma matricial la ecuación de salida sería: 𝑥1 𝑦 = [1 0] [𝑥 ] 2 Ejercicio 3: Circuito eléctrico El modelado se realiza en los componentes que almacenan energía con el paso del tiempo, lo que significa que su modelo matemático contiene una derivada. Paso 1: Encontrar voltajes o corrientes cuya función contenga una derivada. 𝑖𝑐 = 𝐶 𝑑𝑉𝑐 𝑑𝑡 𝑉𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡 Salida del sistema 𝑦 = 𝑉𝐿 = 𝑉𝐶 Variables de estado: 𝑥1 = 𝑉𝐶 𝑥2 = 𝑖𝐿 Derivadas de las variables de estado: 𝑥1̇ = 𝑑𝑉𝐶 , 𝑑𝑡 𝑥2̇ = 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡 Paso 2: Para sustituir a 𝑖𝑐 por una función que contenga las variables de estado 𝑉𝑐 , 𝑖𝐿 𝑜 𝑉𝐴 ( 𝑉𝐴 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎), usaremos la ley de corrientes de Kirchoff: Para sustituir 𝑖𝑐 : 𝑖𝑅 = 𝑖𝐿 + 𝑖𝑐 , 𝑉𝐴 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐶 ; 𝑖𝑐 = 𝑖𝑅 − 𝑖𝐿 ; 𝑖𝑅 = 𝑉𝑅 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 𝑉𝑅 𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 = 𝑅 𝑅 𝑖𝑐 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 − 𝑖𝐿 𝑅 Para sustituir 𝑉𝐿 : 𝑉𝐿 = 𝑉𝐶 Paso 3: Sustituir los valores obtenidos en el paso 2 en las ecuaciones diferenciales del paso 1: 𝑑𝑉𝑐 , 𝑑𝑡 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑖𝑐 : 𝑉𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖𝐿 , 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑉𝐿 : 𝑑𝑡 𝑖𝑐 = 𝐶 𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 𝑑𝑉𝑐 − 𝑖𝐿 = 𝐶 𝑅 𝑑𝑡 𝑉𝐶 = 𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡 Despejar las derivadas: 𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 𝑑𝑉𝑐 − 𝑖𝐿 = 𝐶 𝑅 𝑑𝑡 𝑑𝑉𝑐 𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 𝑖𝐿 𝑉𝐴 𝑉𝐶 𝑖𝐿 = − = − − 𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝐶 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝐶 𝑉𝐶 = 𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿 𝑉𝐶 = 𝑑𝑡 𝐿 Paso 4: Formamos las Matrices A, B y C: 𝑥1 = 𝑉𝐶 𝑥1̇ = 𝑥1̇ = 𝑥2 = 𝑖𝐿 𝑉𝐴 𝑉𝐶 𝑖𝐿 − − , 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝐶 𝑥2̇ = 𝑉𝐴 1 𝑥2 − 𝑥1 − , 𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝐶 1 𝑥̇ [ 1 ] = [ 𝑅𝐶 𝑥2̇ 1 𝐿 − 𝑥2̇ = Salida: 𝑦 = [1 𝑥1 𝐿 1 1 𝐶 ] [ 𝑥1 ] + [ ] 𝑉 𝑅𝐶 𝐴 𝑥2 0 0 − 𝑦 = 𝑉𝐶 ; 𝑉𝐶 𝐿 𝑦 = 𝑥1 𝑥1 0] [𝑥 ] 2 Ejercicio 4: Circuito eléctrico en serie 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿 + 𝑉𝐶 𝑣(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) + 𝐿 Despejar 𝑑𝑖(𝑡) 1 + ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑖(𝑡) 𝑣(𝑡) 𝑅𝑖(𝑡) 1 = − − ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐿 𝐿 𝐶𝐿 Sugerir las variables de estado: 𝑥1 = 𝑖(𝑡) 𝑥2 = ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 Derivar las variables de estado: 𝑥1̇ = 𝑥1̇ = 𝑑𝑖(𝑡) ; 𝑑𝑡 𝑥2̇ = 𝑖(𝑡) 𝑣(𝑡) 𝑅𝑖(𝑡) 1 − − ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝐿 𝐿 𝐶𝐿 Cambio de variables: 1 𝑅𝑥1 1 𝑥1̇ = 𝑣(𝑡) − − 𝑥 𝐿 𝐿 𝐶𝐿 2 𝑥2̇ = 𝑥1 Representación en matrices: 𝑅 𝑥1̇ − [ ]=[ 𝐿 𝑥2̇ 1 − 1 𝑥 1 1 𝐶𝐿] [𝑥2 ] + [𝐿] 𝑣(𝑡) 0 0 Salida del sistema con respecto a la corriente: 𝑦(𝑡) = 𝑥1 𝑦(𝑡) = [1 𝑥1 0] [𝑥 ] 2 Salida del sistema con respecto al voltaje en el capacitor: 1 ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝐶 𝑦 = 𝑥2 𝑦(𝑡) = [0 𝑥1 1] [𝑥 ] 2
