TEMARIO ADJUNTO DE MATE - - pdf

TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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1. NÚMEROS REALES
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la
recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e
irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y
más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente
dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino
que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R ↓
1.2 Dominio de los números reales
Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números
comprendidos entre los extremos infinitos. Es decir, no incluiremos estos infinitos
en el conjunto.
Dominio de los números reales.
Números reales en la recta real
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella
todos los números reales.
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2.3 Los números reales y la Matrioshka
Tenemos que entender el conjunto de reales como la Matrioshka, es decir, como
el conjunto de muñecas tradicionales rusas organizadas de mayor a menor.
La serie de las muñecas sería tal que la muñeca más grande contiene la
siguientes muñecas más pequeñas. Este conjunto de muñecas recogido dentro de
la muñeca más grande se llama Matrioshka. Esquemáticamente:
(Muñeca A > Muñeca B > Muñeca C) = Matrioshka
Esquema Martioshka
La Matrioshka la podemos ver de lado (figura a la izquierda del igual) y también
desde arriba o abajo (figura a la derecha del igual). De las dos formas podemos
ver claramente la jerarquía de dimensiones que sigue la serie.
Entonces, de la misma manera que recogemos las muñecas rusas también
podemos organizar los números reales siguiendo el mismo método.
Esquema de los números reales
En este esquema podemos ver claramente que la organización de los números
reales es similar al juego de muñecas rusas visto desde arriba o abajo.
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2.4 Clasificación de los números reales
Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números
naturales, enteros, racionales e irracionales.
2.4.1Números naturales
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de
pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se
especifique lo contrario (cero neutral).
Expresión:
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Pista → Nos podemos acordar de los números naturales
pensando en que son los números que usamos “naturalmente” para contar.
Cuando contamos con la mano obviamos el cero, lo mismo para los números
naturales.
Primeros elementos del conjunto de números naturales.
2.4.2 Números enteros
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y
todos los números negativos.
Expresión:
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros.
Ejemplos de números reales
En el siguiente ejemplo sobre los números reales, comprueba que los siguientes
números corresponden a punto en la recta real.

Números naturales: 1,2,3,4…

Números enteros: …,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…

Números racionales: cualquier fracción de números enteros.
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Números irracionales:
2. PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES
1. La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈
ℜ.
2. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
3. La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
4. La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
5. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual
a 0: a+(-a)=0
6. La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a. b ∈
ℜ.
7. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a. b= b. a.
8. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
9. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a. 1= a.
10. Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el
inverso multiplicativo, tal que: a. a-1 = 1.
11. Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)
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3. EXPONENTES Y RADICALES
La operación de elevar un número a potencia es un caso especial de
multiplicación en el que los factores son todos iguales. En ejemplos tales como
42 = 4 x 4 = 16 y 53 = 5 x 5 x 5 = 125, el número 16 es la segunda potencia de 4 y
el número 125 es la tercera potencia de 5. La expresión 5 3 significa que tres 5 se
multiplican entre sí. Similarmente, 42 significa 4 x 4. La primera potencia de
cualquier número es el número mismo. La potencia es el número de veces que el
número mismo debe ser tomado como factor.
El proceso de determinar una raíz es la inversa de elevar un número a una
potencia. Una raíz es un factor especial de un número, tal como cuatro en la
expresión 42 = 16. Cuando un número se toma como factor dos veces, como en la
expresión 4 x 4 = 16, se llama raíz cuadrada. Entonces, 4 es una raíz cuadrada de
16. Por el mismo razonamiento 2 es una raíz cúbica de 8, dado que 2 x 2 x 2 = 8.
Esta relación se escribe generalmente como 23 = 8.
La potencia de un número está indicada por un EXPONENTE, que es un número
más pequeño colocado a la derecha y arriba de la parte superior del número.
Entonces, en 43 = 64, el número 3 es el EXPONENTE del número 4. El exponente
3 indica que el número 4, llamado BASE, se eleva a su tercera potencia. La
expresión se lee "cuatro a la tercera potencia (o cuatro al cubo) igual sesenta y
cuatro". Similarmente, 52 = 25 se lee "cinco a la segunda potencia (o cinco al
cuadrado) igual veinticinco". Las potencias más elevadas se leen de acuerdo con
el grado indicado; por ejemplo, "cuarta potencia", "quinta potencia” etcétera.
Cuando aparece un exponente siempre se debe escribirlo, a no ser que su valor
sea 1. El exponente 1 por lo general no se escribe, pero se sobreentiende. Por
ejemplo, el número 5 es en realidad 51. Cuando trabajamos con exponentes es
importante recordar que todo número que no tiene exponente escrito posee en
realidad un exponente igual a 1.
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La raíz de un número puede indicarse colocando un signo
radical
sobre la cantidad y designando la raíz con un pequeño número dentro
del ángulo del signo radical.
Entonces,
indica la raíz cúbica de 64, y
señala la quinta raíz de 32. El
número que indica la raíz se llama ÍNDICE de la raíz; en el caso de la raíz
cuadrada, el índice 2 generalmente no se indica. Cuando un radical no tiene índice
se sobreentiende que se trata de una raíz cuadrada. Por ejemplo,
señala la
raíz cuadrada de 36. La línea por encima del número cuya raíz debe determinarse
es un símbolo de agrupamiento llamado vínculo. Cuando se usa un símbolo
radical debe trazarse un vínculo lo bastante largo para que se extienda sobre la
totalidad de la expresión cuya raíz debe determinarse.
3.1 Enteros negativos
La elevación a potencia es una multiplicación en la cual todos los números que se
multiplican entre sí son iguales. El signo del producto está determinado, como en
la multiplicación común, por el número de signos negativos. El número de signos
negativos es par o impar, dependiendo de si el exponente de la potencia es par o
impar. Por ejemplo, en el problema
(-2)3 = (-2)(-2)(-2) = -8
hay tres signos menos. El resultado es negativo. En
(-2)6 = 64
hay seis signos menos. El resultado es positivo. Entonces, cuando el exponente
de un número negativo es impar la potencia es negativa; cuando el exponente es
par, la potencia es positiva.
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Para dar otros ejemplos, consideremos los siguientes:
Los números positivos y negativos pertenecen a la clase llamada números
REALES. El cuadrado de un número real es positivo. Por ejemplo, (- 7) 2 = 49, y
72 = 49. La expresión (-7)2 se lee "menos siete al cuadrado". Observe que siete al
cuadrado o menos siete al cuadrado nos dan + 49. No podemos obtener - 49 o
cualquier otro número negativo elevando al cuadrado un número real, positivo o
negativo.
Puesto que no hay números reales cuyos cuadrados sean números negativos, se
dice a veces que la raíz cuadrada de un número negativo no existe. Sin embargo,
una expresión bajo un signo de raíz cuadrada podría tomar valor negativo. Si bien
no es posible determinar la raíz cuadrada de un número negativo se puede
indicarla.
La raíz cuadrada indicada de un número negativo se llama NÚMERO
IMAGINARIO. El numero
, por ejemplo, se dice que es imaginario. Se lee
"raíz cuadrada de menos siete". Los números imaginarios serán explicados mas
adelante en este curso.
3.2 Fracciones
Recordamos que el exponente de un número nos dice la cantidad de veces que el
número se toma como factor. Una fracción se eleva a potencia elevando el
numerador y el denominador separadamente a la potencia indicada. La expresión
(3/7)2 significa 3/7 tomado dos veces como factor. Entonces,
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Dado que un signo menos puede ocupar cualquiera de las tres posiciones en una
fracción, observe que calcular (-1/5)2 equivale a
El proceso de extraer una raíz de un número es el inverso del proceso de elevar
un número a una potencia, y el método de extraer la raíz de una fracción es
similar. Extraemos simplemente la raíz de cada término por separado y escribimos
el resultado como una fracción. Consideremos los siguientes ejemplos:
3.3 Decimales
Cuando un decimal se eleva a una potencia, el número de lugares decimales en el
resultado es igual al número de lugares en el decimal multiplicado por el
exponente. Por ejemplo, consideremos (0,12)3. Hay dos lugares decimales en 0,12
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y 3 es el exponente; por tanto, el número de lugares en la
potencia será 3 (2) = 6. El resultado es como sigue:
(0,12)3 = 00001728
Lo cierto de esto es evidente cuando recordamos la regla para multiplicar
decimales. Parte de la regla establece: Marcar tantos lugares decimales en el
producto como lugares decimales haya en los factores juntos. Si efectuamos la
multiplicación (0,12) x (0,12) x (0,12) es obvio que hay seis lugares decimales en
los tres factores juntos. La regla puede demostrarse para cualquier decimal
elevado a cualquier potencia, simplemente efectuando la multiplicación indicada
por el exponente.
Consideremos estos ejemplos:
Determinar una raíz de un número es la inversa de elevar un número a una
potencia. Para determinar el número de lugares decimales en la raíz de una
potencia perfecta dividimos el número de lugares decimales en el radicando por el
índice de la raíz. Observe que esto es exactamente lo opuesto de lo que se hizo al
elevar un número a una potencia.
Consideremos
. La raíz cuadrada de 625 es 25. Hay cuatro lugares
decimales en el radicando 0,0625 y el índice de la raíz es 2. En consecuencia 4/2
= 2 es el número de lugares decimales en la raíz. Tenemos:
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3.4 LEYES DE LOS EXPONENTES
Todas las leyes de los exponentes pueden desarrollarse de manera directa de la
definición de los exponentes. Para los cinco casos que siguen se han establecido
leyes separadas:
1. Multiplicación.
2. División.
3. Potencia de una potencia.
4. Potencia de un producto.
5. Potencia de un cociente.
3.5 Multiplicación
Para ilustrar la ley de la multiplicación examinemos el siguiente problema:
43 x 4 2 = ?
Recordando que 43 significa 4 x 4 x 4 y 42 significa 4 x 4, vemos que 4 se usa
como factor cinco veces. Por tanto, 43 x 42 es lo mismo que 45. Este resultado
podría escribirse como sigue:
43 x 4 2 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4 5
Observe que tres de los cinco 4 provienen de la expresión 43 y los otros dos 4
provienen de la expresión 42. Entonces podríamos volver a escribir el problema
como sigue:
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La ley de los exponentes para la multiplicación puede establecerse del modo
siguiente: Para multiplicar dos o más potencias de la misma base se suman los
exponentes y se eleva la base común a la suma de los exponentes. Esta ley se
ilustra con los ejemplos que siguen:
Sea a ≠ 0, un número real, y sea n un número natural. Entonces se define
Si n = 0, se define a0 = 1.
Así por ejemplo :
Así, hemos definido am, cuando m es un entero. Para extender esta definición a
exponente racional no entero se necesita definir la raíz n-ésima de un número real,
donde n es un entero positivo.
Sea a un número real y n un número natural, tal que existe un número real b tal
que bn = a, entonces se llamará a b la raíz n-ésima de a. Este número b lo
denotaremos por a 1/n ó
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Si n= 2, entonces a 1/2 se llamará la raíz cuadrada de a y
escribimos
. Si n = 3, entonces a 1/3, se llamará la raíz cúbica de a y escribimos
.
Dado un número real a y un número natural n, no siempre existe un número real b
tal que bn = a. Por ejemplo si a es negativo y n es par nunca existe un número real
b verificando bn = a.
Como se observa en los ejemplos anteriores, un número real positivo puede tener
dos raíces, de hecho cada número real positivo tiene dos raíces cuadradas. Por
notación cuando escribamos √a denotaremos la raíz cuadrada positiva de a y por √a denotaremos la raíz cuadrada negativa de a, cuando se quiera denotar ambas,
pondremos ± √a.
Así, por ejemplo
Dados tres números reales am, an y bn distintos de cero. Se tiene que verifican las
siguientes propiedades:
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División
La ley de los exponentes para la división puede desarrollarse a partir del siguiente
ejemplo:
La simplificación de cinco 6 en el divisor con cinco de los 6 en el dividendo nos
deja solamente dos 6, el producto de los cuales es 62.
Este resultado puede alcanzarse en forma directa observando que 62 es
equivalente a 6 (7-5). En otras palabras, tenemos lo siguiente:
67 ÷ 65 = 6(7-5) = 62
En consecuencia, la ley de los exponentes para la división es esta: para dividir una
potencia por otra que tenga la misma base, restamos el exponente del divisor del
exponente del dividendo. El número resultante de esta división se emplea como
exponente de la base en el cociente.
El empleo de esta regla produce a veces un exponente negativo o un exponente
cuyo valor es cero. Estos dos tipos especiales de exponentes se explican más
adelante en el presente capítulo.
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Potencia de una potencia
Consideremos el ejemplo (32)4. Recordando que un exponente indica el número de
veces que la base se toma como factor y teniendo en cuenta que en este caso
32 es considerada la base, resulta
(3 2)4 = 3 2 . 32 . 32 . 32
También en la multiplicación sumamos los exponentes. Entonces,
3 2 . 32 . 32 . 32 = 3(2+2+2+2) = 38
Por tanto,
(3 2)4 = 3(4 x 2 ) = 38
Las leyes de los exponentes para la potencia de una potencia pueden
establecerse como sigue: para determinar la potencia de una potencia se
multiplican los exponentes. Se observará que este caso es el único en el cual se
realiza la multiplicación de los exponentes.
3.6 Potencia de un producto
Consideremos el ejemplo (3. 2. 5) 3. Sabemos que
(3 .2 .5) 3 = (3 .2 .5) (3 .2 .5) (3 .2 .5)
Entonces, 3, 2 y 5 aparecen tres veces cada uno como factores, y podemos
demostrar esto con exponentes como 33, 23 y 53. Por tanto,
(3 .2 .5)3 = 3 3 .23 .53
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La ley de los exponentes para la potencia de un producto es como sigue: La
potencia de un producto es igual al producto obtenido cuando cada uno de los
factores originales se eleva a la potencia indicada y las potencias resultantes se
multiplican entre sí.
3.7 Potencia de un cociente
La ley de los exponentes para la potencia de un cociente indicado puede
desarrollarse a partir del siguiente ejemplo:
La ley se establece así: La potencia de un cociente es igual a un cociente obtenido
cuando el dividendo y el divisor se elevan cada uno a la potencia indicada
separadamente, antes de realizar la división.
4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es unas combinaciones de letras y números ligadas
por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división
y potenciación.
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Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo,
hallar áreas y volúmenes.
Longitud de la circunferencia: L = 2
r, donde r es el radio de la circunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor númerico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el
número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las
operaciones indicadas.
L(r) = 2
r = 5 cm.
r
L (5)= 2 ·
· 5 = 10
cm
S(l) = l2
l = 5 cm
A(5) = 52 = 25 cm2
V(a) = a3
a = 5 cm
V(5) = 53 = 125 cm3
4.1 Tipos de expresiones algebraicas:
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término.
Binomio
Es una expresión algebraica formada por dos términos.
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.
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Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.
4.2 Expresión algebraica
es una expresión matemática en la que se combinan números y letras.
3a + 2
Los números se denominan “coeficiente” y las letras “parte literal”.
La letra “a” representa una incógnita, es decir una variable de la que
desconocemos su valor y que hay que calcular. El número que acompaña a la
letra la va multiplicando.
3a = 3 x a
Por ejemplo:
Pedro tiene el doble de años que Juan. ¿Qué edad tiene Pedro?
Edad de Pedro = 2a
La “a” representa la edad de Juan; es una incógnita ya que por el momento
desconocemos su valor
El coeficiente 2 quiere decir que Pedro tiene el doble de edad que Juan.
Si alguien nos dice la edad de Juan, por ejemplo 7 años, sabremos el valor de la
“a”.
a = 7 años
Luego ya podemos calcular la edad de Pedro.
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Edad de Pedro = 2a = 2 x 7 = 14 años
La expresión algebraica puede tener varios sumandos. Cada sumando se
denomina término.
3a + 5b + 3c – 7a
“3a” es un término, “5b” es otro término…
Cuando llego a conocer los valores de las letras (incógnitas) la expresión
algebraica se transforma en una expresión numérica.
Por ejemplo, si en el ejemplo anterior el valor de las letras fuera:
a=3
b=2
c=5
La expresión algebraica se transformaría:
3a + 5b + 3c – 7a = (3 x 3) + (5 x 2) + (3 x 5) – (7 x 3) = 13
A.- Monomios
Cuando una expresión algebraica tan sólo tiene un término se denomina
monomio.
3b
Dos monomios que tienen la misma parte literal se dice que son semejantes:
Por ejemplo: En el jardín hay dos piedras, la primera pesa el doble que un ladrillo,
y la segunda el triple.
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Peso de la primera piedra: 2a
Peso de la segunda piedra: 3a
Ambos monomios, 2a y 3a, tiene la misma parte literal, la letra “a” (que representa
el peso del ladrillo), luego ambos monomios son semejantes.
B.- Suma y resta de monomios
Si son monomios semejantes se mantiene la parte literal y se suman (restan) sus
coeficientes:
3a + 4a = 7a
8a - 5a = 3a
Si los monomios no son semejantes no se pueden agrupar sus términos.
5a + 3b
9a – 8c
C.- Multiplicación y división de un monomio por un número
Se multiplica (o divide) el coeficiente por el número y se mantiene la parte literal.
4a x 2 = 8a
6a : 3 = 2a
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5. SUMA DE POLINOMIOS
Para realizar la suma de dos o más polinomios, se debe sumar los coeficientes
de los términos cuya parte literal sean iguales, es decir, las variables y
exponentes (o grados) deben ser los mismos en los términos a sumar.
Método 1 para sumar polinomios
Pasos:
5.1 Ordenar los polinomios del término de mayor grado al de menor.
5.2 Agrupar los monomios del mismo grado.
5.3 Sumar los monomios semejantes.
Ejemplo del primer método para sumar polinomios
Sumar los polinomios P(x) = 2x³ + 5x − 3,
Q(x) = 4x − 3x² + 2x³.
Ordenamos los polinomios, si no lo están.
P(x) = 2x³ + 5x − 3
Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)
P(x) + Q(x) = (2x³ + 2x³) + (− 3 x²) + (5x + 4x) + (− 3)
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Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x – 3
Método 2 para sumar polinomios
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma
que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
¿Necesitas un profesor de matemáticas?
Ejemplo del segundo método para sumar polinomios
Sumar los polinomios P(x) = 7x4 + 4x² + 7x + 2, Q(x) = 6x³ + 8x +3.
Acomodar en columnas a los términos de mayor a menor grado, y sumar.
Así,
P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x³ + 4x² + 15x + 5
sí pues, una suma de polinomios se puede realizar de dos formas distintas: con el
método vertical o con el método horizontal. A continuación tienes la explicación de
ambos procedimientos, pero te aconsejamos que primero aprendas cómo sumar
polinomios de manera vertical y luego pases al método horizontal. Aunque
evidentemente quédate con el que tú prefieras.
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Suma de polinomios vertical
A continuación vamos a ver cómo se suman dos polinomios de manera vertical
mediante un ejemplo:

Realiza la suma de los siguientes dos polinomios:
Lo primero que debemos hacer es colocar un polinomio debajo de otro, de manera
que los términos semejantes de los dos polinomios estén alineados por columnas:
Atención: Si un polinomio no tiene término de un determinado grado, debemos
dejar el espacio en blanco. Por ejemplo
no
tiene monomio de grado 2, por eso hay un espacio en blanco en su sitio.
Una vez hemos puesto todos los términos por orden de mayor a menor grado,
sumamos los coeficientes de cada columna manteniendo las partes literales
iguales:
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Por lo tanto, el resultado obtenido de la suma de los 2
polinomios
Ahora que ya entiendes la suma de polinomios, debes saber que también se
pueden hacer sumas de fracciones formadas por polinomios. A este tipo de
operación se le llama suma de fracciones algebraicas. Haz click en este enlace
y descubre no solo cómo se calculan las sumas de fracciones algebraicas, sino
también cómo se resuelven todas las operaciones con fracciones algebraicas.
Suma de polinomios horizontal
Acabamos de ver cómo se suman los polinomios verticalmente, pero ahora vamos
a ver el otro método que hay para hacer una suma de polinomios: sumar
polinomios horizontalmente. Seguramente este procedimiento es más rápido que
el anterior, sin embargo es necesario tener más dominio de los conceptos de los
polinomios.
Así pues, veamos en qué consiste este método de sumar polinomios mediante un
ejemplo. Y para que puedas ver las diferencias entre los dos métodos, sumaremos
los mismos polinomios que en el ejemplo anterior:

Calcula la suma de los siguientes dos polinomios:
En primer lugar, tenemos que posicionar los dos polinomios en una misma
operación, o dicho con otras palabras, uno detrás del otro:
Y ahora sumamos los términos que tienen partes literales idénticas, es decir, los
términos con las mismas variables (letras) y los mismos exponentes. Los términos
que no son semejantes no se pueden sumar.
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De modo que el polinomio resultante de la suma es:
Como puedes comprobar, hemos obtenido el mismo resultado con los dos
métodos, así que cuando hagas una adición de polinomios puedes usar el que te
vaya mejor.
La suma de polinomios cumple con las siguientes características:

Propiedad asociativa: cuando se suman 3 o más polinomios no importa
cómo se agrupen los polinomios, ya que el resultado siempre es el mismo.
Es decir, se cumple la siguiente igualdad:

Propiedad conmutativa: en la suma de polinomios el orden de los
sumandos no altera el resultado de la suma.
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
Elemento neutro: evidentemente, sumar un polinomio
más cualquier otro polinomio de valor numérico cero es equivalente al
primer polinomio.

Elemento opuesto: el resultado de sumar cualquier polinomio más su
polinomio opuesto siempre es nulo.
6. Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
Para realizar una resta de polinomios, es necesario agrupar los monomios (las
expresiones de un único término) de acuerdo a sus características y proceder a la
simplificación de aquellos que resultan semejantes. La operación en sí se
realiza sumando el opuesto del sustraendo al minuendo.
Tomemos el siguiente ejemplo: P(x) − Q(x) = (4×3 + 2x − 5) − (3×3 − 4×2 + 5x)
Para realizar una resta de polinomios, es necesario agrupar los monomios (las
expresiones de un único término) de acuerdo a sus características y proceder a la
simplificación de aquellos que resultan semejantes. La operación en sí se
realiza sumando el opuesto del sustraendo al minuendo.
Tomemos el siguiente ejemplo: P(x) − Q(x) = (4×3 + 2x − 5) − (3×3 − 4×2 + 5x)
Según lo explicado anteriormente, tenemos que modificar los signos del
sustraendo para realizar la operación: 4×3 + 2x − 5 − 3×3 + 4×2 − 5x. Como se
puede advertir, los signos del minuendo no cambian (4×3 + 2x − 5).
Hecho esto, debemos agrupar y simplificar los monomios: 4×3 − 3×3 + 4×2 + 2x −
5x − 5.
Finalmente completamos la operación de acuerdo a los monomios que
quedaron: x3 + 4×2 − 3x − 5.
El resultado de la resta de polinomios (4×3 + 2x − 5) − (3×3 − 4×2 + 5x) es, en
definitiva, x3 + 4×2 − 3x − 5.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Otra forma de restar polinomios consiste en escribir el opuesto de cada uno
debajo del otro. Así, los monomios semejantes quedarán encolumnados y
podemos proceder a sumarlos.
Ejemplo de resta de polinomios:
6.1 Restar los polinomios
P(x) = 2x3 + 5x - 3, Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x.
P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)
6.2 Obtenemos el opuesto al sustraendo de Q(x).
P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x
6.3 Agrupamos.
P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x – 3
6.4 Resultado de la resta.
P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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7. PRODUCTO DE POLINOMIOS
¿Qué es un polinomio?
Los Polinomios son expresiones algebraicas racionales enteras y están constituidos
por un conjunto finito de variables no determinadas (o desconocidas) y constantes
llamadas coeficientes, con las operaciones de suma, resta y multiplicación, así como
también exponentes enteros positivos.
Todo polinomio puede tener una o más variables y dependiendo cuantos términos
presenten pueden ser:

Monomio al tener un término,

Binomio al tener dos términos.

Trinomio cuando tiene tres términos y así sucesivamente.
Veamos el siguiente recuadro:
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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“Por definición y en forma práctica se dice que un polinomio es
la suma de monomios”.
Ejemplos de Polinomios
Son Polinomios los siguientes ejemplos:

P(x) = 7x2 + 2x + 7

Q(y) = 3x – 9

R(x) = x3 + 4x2 + π

M(x) = x – 2x3 + 8x5 + 4x2 + √3

T (x, y) = 4x3y + 3x2y2 + 8
Las notaciones: P(x), Q(x), R(x) y M(x) representan el polinomio de variable «x». En
el caso T (x, y) representa a un polinomio de variable «x» e «y».
Nota:
Recuerde que en todo polinomio los exponentes deben ser números enteros
positivos. Además, el mayor exponente expresa el Grado del Polinomio.
7.1 Elementos y Partes de un Polinomio
Los polinomios tienen elementos y podemos describirlos a partir del siguiente
polinomio de una sola variable:
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + …+ an
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Tenemos los siguientes elementos o partes del Polinomio:

Variable: La variable para este polinomio es «x».

Grado del Polinomio: Es el mayor exponente de la variable “x”, entonces sería:
«n «.

Coeficientes: Son los siguientes números reales: a0, a1, a2, …, an.

Coeficiente principal: Es el coeficiente del término que contiene el grado del
polinomio: a0.

Término Independiente: Es aquel donde no está presente la variable “x”, en
este caso sería: an.
A continuación, un ejemplo gráfico de un Polinomio con sus partes.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Partes de un polinomio
7.2 Polinomio de una sola Variable
Los polinomios de una variable son expresiones algebraicas de la forma:
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + …+ an
Donde:

n: es el grado del polinomio, además n ∈ Z+

a0: coeficiente principal, tal que a0 ≠ 0

an: es el término independiente
¡Importante!
Por lo general, aunque no es una regla, se ordena el polinomio de forma
descendente con respecto al exponente de la variable.
Por ejemplo:
1. x + 3
2. x² + x + 1
3. 5x² – 7
4. 7x³ + 1
5. 3x³ + 2x² + x + 5
¿Qué hacemos?
La multiplicación y división de monomios y polinomios son operaciones que se
resuelven siguiendo algunos algoritmos.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Un algoritmo se refiere a seguir una serie de pasos definidos,
y como todo algoritmo, seguir los pasos en la solución de estas operaciones
demanda que se realicen con orden y lógica.
Para lograrlo, el saber nombrar e identificar a cada objeto matemático por su nombre
te ayudará en el camino.
Los polinomios se pueden nombrar según el número de términos que lo forman, así,
con un sólo término se le llama monomio.
El prefijo mono hace referencia a 1, como en monociclo a una sola rueda o en
monoaural a un canal de audio.
Con dos términos se llama binomio.
Con tres términos, trinomio.
Igual que con el prefijo mono, los prefijos bi y tri significan 2 y 3.
Y de cuatro términos en adelante, se utiliza en general: polinomios. Porque el prefijo
“poli” hace referencia a varios términos.
Cuando se refiere a un término es importante tener en mente todos sus elementos
y saber que siempre están presentes, aun cuando no estén escritos.
Los elementos de un término son: el signo, el cual, si no está escrito, es positivo.
Por ejemplo, en el monomio 5x^2, el primer elemento de este término es el signo
que, si no está escrito, es positivo.
El segundo elemento es el coeficiente, que es el número que multiplica a la literal.
Este número puede ser entero, una fracción, un decimal, entre otros.
Cuando el coeficiente no está escrito, su valor es 1.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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El tercer elemento es la literal, que representa un número
desconocido o variable.
Las literales que usarás con más frecuencia son la “x” y la “ye”, pero puedes usar
cualquier letra del abecedario del español y también del griego, o del ruso e inclusive
del japonés.
Sólo debes tener en mente que representa un número que no se conoce o que toma
varios valores diferentes.
Entonces, es posible que un término tenga más de una literal. Por ejemplo: 3
negativo x^2y es un término con dos literales, y 0.25abcd es un término con cuatro
literales.
Y el cuarto elemento de un término es el exponente de la literal, que indica cuántas
veces se multiplica por sí mismo el valor de la literal, que en este caso es 2.
En la multiplicación de polinomios se emplean siempre estos cuatro elementos para
realizar la operación.
Primero, el signo.
Segundo, el coeficiente.
Tercero, la literal o literales.
Y cuarto, el exponente de cada literal.
Y con ese mismo orden es que se iniciará a multiplicar dos monomios.
Por ejemplo, si se multiplica el monomio 3x por el monomio 5x se inicia por el signo.
Para la multiplicación de signos positivo y negativo se sigue la regla de los signos
de la multiplicación.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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La regla de los signos de la multiplicación de números enteros
y el plano cartesiano
Cuando se multiplican números con igual signo, se obtiene un número positivo.
Y al multiplicar números con signo distinto se obtiene un número negativo.
En esta primera multiplicación, ambos términos tienen signo positivo, y su resultado
es positivo.
El siguiente elemento es el coeficiente y se realiza la multiplicación de ambos
números.
En este caso, la multiplicación es 3 por 5 y el resultado es 15.
¿Cuál es el siguiente elemento por multiplicar?
Si ya terminaste con los signos y con los coeficientes, siguen las literales. Pero
¿cómo es posible multiplicar las literales?
Para comprenderlo se necesita tener presente que una literal únicamente está
ocupando el lugar de un número y se debe tratar como tal.
Si la multiplicación es “a” por “b” y, como no se conoce su valor numérico, se queda
la operación expresada “ab” y, en álgebra, se deben de ver dos literales juntas como
una multiplicación de esos dos valores, aunque no tengan los paréntesis.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Entonces, al multiplicar (d) por (e), el resultado es “de” y el resultado de multiplicar
(abc) por (xy) es “abcxy”.
Falta hacer una observación; cuando es la misma literal, como multiplicar (y) por (y),
no se puede tener como resultado “yy”, lo correcto es usar exponentes que indican
cuántas veces se multiplica por sí misma esa literal.
En este caso, lo correcto es “y2”.
El último elemento de un término son los exponentes. ¿Y cómo se operan estos
exponentes en la multiplicación? Sólo se tienen que sumar cuando se trata de la
misma literal, ¿estoy en lo correcto?
Regresa al ejemplo: al multiplicar (3x) (5x), los exponentes de las literales “x” son 1,
al sumarlos 1+1 es igual a 2 y se escribe “x” con superíndice 2
Entonces, el resultado de multiplicar 3x por 5x es igual a positivo 15x al cuadrado,
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Ya se ha completado la multiplicación de dos monomios. Y este
recorrido por las partes de un término ayudó a realizarlo.
Otro ejemplo es: 3ax al cuadrado por menos 4bx.
Se multiplica cada una de las partes de los términos, y se llega al resultado.
Comienzas por los signos.
En el primer término no está presente el signo, por lo que es positivo y el segundo
término es negativo. Y el resultado, por ser signos diferentes, es negativo.
Lo siguiente son los coeficientes, en el primer término, el coeficiente es 3 y en el
segundo término, el coeficiente es 4. Al multiplicarlos, el resultado es 12.
Y las literales, al no ser las mismas, se indican las de ambos términos.
En este caso, la literal “a” y la “b” son únicas, pero puedes ver que hay dos literales
“x” con exponente 1 que dan como resultado x^2.
De esta manera, se terminan de multiplicar los dos monomios, de los cuales se tiene
como resultado 12abx ^2 negativo.
Para continuar con la sesión se va a multiplicar un monomio por un binomio. Y la
forma en que se va a operar es multiplicar el monomio por cada uno de los términos
del binomio.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Al multiplicar el monomio 5d por el binomio (-3d +8x), se tiene
la opción de separarlos en dos multiplicaciones, facilidad que permite la propiedad
distributiva.
La primera multiplicación es 5d por 3d negativo y la segunda multiplicación es 5d
por 8x.
Si se separa la operación en dos partes, se están resolviendo multiplicaciones de
monomios como los que acabas de realizar.
Realiza las dos operaciones al aire.
Primero 5d por 3d negativo.
Primero los signos, que al ser diferentes el resultado es negativo.
Los coeficientes, al multiplicarlos 5 por 3, el resultado es 15. Y las literales, como
son iguales, se suman los exponentes 1+1 y se obtiene “d” al cuadrado.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Entonces, al multiplicar 5d por 3d negativo, el resultado es 15
d al cuadrado negativo.
Has completado la primera parte de la operación. Y ya logras hacer las literales y
sus exponentes al mismo tiempo.
Continúa, con la siguiente operación:
5d por 8x
5 positivo por 8 positivo, es igual a 40 positivo.
En cuanto a las literales, son distintas y se escriben juntas, indicando su
multiplicación.
El resultado de multiplicar 5d por 8x es 40 dx positivo.
Sólo falta formar un polinomio con ambos resultados. Para este ejercicio, la
respuesta final es el binomio 15d cuadrada negativo más 40 dx.
Ahora observa el siguiente video del minuto 08:22 a 11:08 donde a través de un
problema se aplica lo que has estudiado.
 ¿Cómo multiplicar y dividir polinomios?
La siguiente operación es la división de monomios, y se resuelve con la misma
estrategia, operando cada uno de los elementos de cada término.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Recuerda que se comienza por los signos. Si son signos
iguales, el resultado es positivo y cuando son signos diferentes, el resultado es
negativo. Si se dividen los monomios 15 x^2 entre 5x, los signos de ambos son
positivos, y el resultado de la división es positivo.
A continuación, opera los coeficientes y, en este caso, se divide el 15 entre 5, el
resultado, 3.
Ya se terminó con los signos y los coeficientes, ahora ¿cómo se operan las literales?
Operan como en la multiplicación, cuando son literales distintas, únicamente se deja
indicada la división.
Por ejemplo, “a” entre “b” es igual a “a” entre “b” y, si fuera 3abc entre 5xy2z, la
respuesta es 0.6 abc entre xy2z, y no se puede hacer nada más.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Pero si son literales iguales, como en el ejercicio que se está
resolviendo, se debe de restar:
El exponente del dividendo, que es 2, menos el exponente del divisor, que es 1 y
cuyo resultado es “x” al exponente 1.
Pero ¿por qué se puede hacer esto? Si se escriben las dos “x” que se multiplican
en lugar de tener x^2 y se divide entre una “x”, queda un mismo elemento que
multiplica y divide, eso es igual a 1. Este 1 multiplica a los factores que quedan, en
este caso sólo una “x” que, al multiplicarla por 1, queda la misma “x”.
Entonces, el resultado final es 3x.
Un par de casos especiales con este tipo de notación que se está utilizando son:
Resuelve la siguiente división: 12d^7 negativo entre 3d^7.
Se inicia con la división de 12 negativo entre 3, esto es igual a 4 negativo.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Y como es la misma literal, se resta el exponente del dividendo
del exponente del divisor, es decir, 7 menos 7, que es igual a cero.
¿Entonces el resultado final es 4d^0 negativo?
Y, como ya se sabe, cualquier literal elevada a la potencia cero es uno.
Entonces, el resultado final es 4 negativo. Este es el primer caso.
Ahora, continúa con el siguiente ejercicio. Divide el monomio 8x cuadrada entre el
monomio 2x a la séptima potencia.
La división de 8 entre 2 da como resultado 4.
Las literales son iguales, se resta el exponente del dividendo menos el exponente
del divisor, 2 menos 7 y el resultado es igual a 5 negativo.
El resultado final es 4x a la potencia 5 negativo.
Cuando esto suceda, se puede escribir el resultado de la siguiente manera: 4 entre
“x” a la quinta potencia. Se puede ver que la potencia ya no es negativa y que la “x”
es parte del divisor.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Pero, ¿por qué pasa esto? Al separar en factores, el dividendo
es “x” por “x” y el divisor es “x”, por “x”, por “x”, por “x”, por “x”, por “x”, por “x”.
Ahora, al operar la división, “x” entre “x” es igual a 1 y se realiza con las dos “x” del
dividendo, quedando sin literales y, en el caso del divisor únicamente hay 5 “x”, por
eso es “x” a la quinta potencia.
Es el caso de que sea un binomio entre un monomio.
Bien, que sean el binomio (-4a2b + 6 x) entre el monomio 3a.
Primero, se procede a separar la operación en dos divisiones.
La primera, 4a^2b negativo entre 3a y la segunda 6x entre 3a.
En la primera operación se divide 4 negativo entre 3, pero como el resultado de esa
división es un número con decimal periódico, entonces se queda indicada la
operación.
Con las literales, la “a” cuadrada del dividendo se divide entre “a” del divisor, y queda
el resultado “a”.
La literal b no tiene con quien dividirse y se queda igual.
El resultado es 4ab negativo entre 3
Para la segunda operación, la división 6x entre 3, los coeficientes 6 y 3, al dividirse,
dan como resultado 2.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Y las literales se quedan como están, porque no hay literal “x”
en el divisor ni “a” en el dividendo.
Así, el resultado de esta división es 2x entre a.
Ya con los dos resultados se forma un polinomio que es el resultado de la división
original.
En el ejercicio (-4a2b + 6 x) entre el monomio 3a, el resultado es 4 tercios de ab
negativo, más 2x entre a.
Con este ejercicio se aplica la división de un binomio entre un monomio.
Ahora observa el siguiente video del minuto 11:22 a 12:29 en donde se resuelve un
problema ocupando la división de polinomios, pero con un método complementario.
 ¿Cómo multiplicar y dividir polinomios?
La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma o de manera abreviada
la propiedad distributiva, es la que dice que el resultado de un número multiplicado
por la suma de dos o más sumandos es igual a la suma de los productos de cada
sumando por ese número.
Un ejemplo es:
5(2+3) = 5(2) + 5(3)
En el primer miembro, primero resuelves lo que está en el paréntesis, 2+3, que es
igual a 5 y 5 por 5 es igual a 25.
el segundo miembro: 5(2) es 10 y 5(3) es 15, al sumar las dos cantidades da como
resultado 25. Que es igual al primer resultado.
Un error común, cuando se aprende división de polinomios, es querer usar la
propiedad distributiva si el divisor es un binomio.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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(a+b) entre “c” sí es igual a “a/c” más “b/c”.
Pero c entre (a+b) no es igual a “c/a” más “c/b”.
Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada término del primer polinomio
por todos los términos del segundo polinomio.
Ejemplo:
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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8. PRODUCTO NOTABLES
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También
sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran
frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin
necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente
porque son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación, veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la
igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el
cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos
encontramos con una expresión de la forma a 2 + 2ab + b 2 debemos identificarla de
inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b) 2.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más
el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a 2 – 2ab + b 2 debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (a – b) 2.
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos
binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a 2 – b 2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de
la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como a 2 – b 2.
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x 2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x 2 + 9 x + 14
Obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7).
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x 2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)
x=9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
Así, tenemos:
x 2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7)
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma x 2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factorizarla como (x + a) (x + b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x 2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma x 2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
x 2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)
Demostración:
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos
encontramos con una expresión de la forma x 2 – (a + b)x + ab debemos identificarla
de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma
mnx 2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada
binomio (mx y nx).
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma mnx 2 + ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b) .
Cubo de una suma
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (a + b) 3 .
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
Cubo de una diferencia
a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 = (a – b) 3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (a – b) 3 .
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la
expresión algebraica que lo representa:
Producto notable
Expresión algebraica
Nombre
(a + b) 2
=
a 2 + 2ab + b 2
Binomio al cuadrado
(a + b) 3
=
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Binomio al cubo
a 2- b 2
=
(a + b) (a - b)
Diferencia de cuadrados
a 3- b 3
=
(a - b) (a 2 + b 2 + ab)
Diferencia de cubos
a 3+ b 3
=
(a + b) (a 2 + b 2 - ab)
Suma de cubos
a 4- b 4
=
(a + b) (a - b) (a 2 + b 2 )
Diferencia cuarta
(a + b + c) 2
=
a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + Trinomio al cuadrado
2bc
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Identidades Notables Principales
 Binomio al Cuadrado:
El desarrollo de un binomio al cuadrado nos da un trinomio cuadrado perfecto,
esto es «el cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el
segundo término, más el cuadrado del segundo término».
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Análogamente con el binomio diferencia al cuadrado:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
El binomio al cuadrado es el más conocido de los productos notables y quizá el
más utilizado en los problemas algebraicos.
 Identidades de Legendre:
Las
identidades
de
Legendre
son
dos
identidades
que
relacionan
los binomios suma y diferencia.
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
 Diferencia de Cuadrados:
La diferencia de cuadrados nos dice que el producto de dos binomios; uno que
presenta la suma de dos expresiones y el otro la diferencia de las mismas
expresiones nos da el cuadrado de la primera, menos el cuadrado de la segunda.
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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 Trinomio al Cuadrado:
Al desarrollar el trinomio de un cuadrado se obtiene la suma de los cuadrados de
los tres términos, más el doble de la suma de los productos tomados de dos en dos
(productos binarios).
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
 Binomio al Cubo:
Al desarrollar un binomio al cubo se obtiene el cubo del primer término, más el
producto del triple del primero al cuadrado por el segundo, más el producto del triple
del primero por el segundo al cuadrado, más el cubo del segundo término.
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b
3
3
2
2
3
Análogamente con el binomio diferencia al cubo:
(a – b) = a – 3a b + 3ab – b
3
3
2
2
3
Asimismo, si le damos forma a estas dos expresiones tendremos los siguientes
resultados del binomio al cubo, el cual puede ser muy importante para la
resolución de los ejercicios.
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b)
 Suma y Diferencia de Cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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 Trinomio al Cubo
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (a + c)
 Multiplicación de Binomios con un Término en Común:
Al multiplicar dos binomios con un término en común se obtiene: el común al
cuadrado, más el producto de la suma de no comunes por el común, más el
producto de no comunes.
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
 Identidad de Argan´d
(x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
 Identidad de Gauss
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
Ejemplo No. 1
Si: a + b = 4 y ab = 5
Calcular: a3 + b3
Resolución:
Nos piden la suma de cubos, para este caso vamos a elevar al cubo el binomio que
tenemos como dato.
Tenemos: (a + b)3 = 43
Desarrollamos el binomio al cubo:
a3 + b3 + 3ab(a + b) = 43
a3 + b3 = 43 – 3ab(a + b)
= 64 – 3(5)(4) = 4
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
Ejemplo No. 2
Si: a + b + c = 0; calcular:
Resolución:
Nos dicen que a + b + c = 0; si buscamos una identidad para aprovechar esta
condición, tendría que ser la Identidad de Gauss. Entonces la expresión se reduce
a lo siguiente:
a3 + b3 + c3 = 3abc
En lo sucesivo se tendrá que recordar esta propiedad especial de producto
notable, lo vamos a colocar como nota.
Ejemplo No. 3
Simplificar la expresión:
Resolución:
En este ejercicio notamos que la parte del numerador de la fracción podemos aplicar
la identidad de Legendre y en el denominador diferencia de cuadrados.
Tenemos:
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Ejemplos No. 4
Si:
x4 – 4x2 + 1 = 0; x ≠ 0
Se pide hallar:
Resolución:
Para resolver este ejercicio daremos forma al dato para llegar a lo que nos piden.
Note como se hace:
x4 – 4x2 + 1 = 0
Dividiremos entre x2 cada término, así:
Sumamos «+6» a ambos miembros para formar un Trinomio Cuadrado Perfecto.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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De acuerdo a la teoría vista, el trinomio cuadrado
perfecto es el resultado de un binomio al cuadrado, entonces:
9. FACTORIZACIÓN
Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los
siguientes conceptos:
Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.
Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor
de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables, pero
no para otros, la ecuación es condicional.
Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes
y variables; 2x, – a, 3x son algunos ejemplos de términos.
La parte numérica de un término se denomina coeficiente.
Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, – 1, y 3.
Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio; si contiene dos
términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio.
Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.
En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio.
Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax 3 + bx 2 + cx, el
polinomio es de tercer grado.
Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado;
es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula
de una línea recta en la geometría analítica.
Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo
grado, es decir, de la forma ax 2 + bx + c = 0.
Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir
exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.
Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del
número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se
puede expresar como a·a·a o a 3.
Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se
puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el
producto de números primos y sus potencias.
Descomposición de números naturales en sus factores primos
Por ejemplo, un número natural como 20 puede expresarse como un producto de
números de diferentes formas:
20 = 2 • 10 = 1 • 20 = 4 • 5
En cada uno de estos casos, los números que forman el producto son los factores.
Es decir, cuando expresamos el número 20 como el producto 2 • 10, a cada uno de
los números (2 y 10) se les denomina factor.
En el caso de 1 • 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 • 5, los
factores son 4 y 5.
Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 se denominan a su vez divisores de 20.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo
modo, como 60 = 2 2 • 3 • 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.
Debe recordarse, además, que cuando un número es divisible únicamente por sí
mismo y por la unidad el número se denomina primo.
9.1 Factorización y productos notables
Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o
más números, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o
más factores algebraicos.
Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos
en que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como el producto del
número 1 por la expresión original.
Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le
denomina factorización.
El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de
multiplicar.
Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los
términos y agruparlos.
Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos
los términos de una expresión algebraica.
Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras.
Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados
factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.
Por ejemplo, 2x 3 + 8x 2 y se puede factorizar, o reescribir, como 2x 2 (x + 4y).
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Algunos ejemplos:
De la expresión ab 2 + 3cb - b 3 podemos factorizar b
y obtenemos la expresión: b (ab + 3c - b 2) (1)
Veamos paso a paso cómo se obtuvo la expresión:
Ahora podríamos reacomodar la expresión que queda dentro del paréntesis:
Finalmente, si sustituimos este último resultado en (1), obtenemos:
ab 2 + 3cb - b 3 = b (b (a - b) + 3c)
ab 2 + 3cb - b 3 = b (ab – b 2 + 3c)
ab 2 + 3cb - b 3 = b (ab + 3c – b 2)
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y
que pueden ser evaluados de forma directa se denominan Productos notables .
En general los casos de factorización corresponden a los casos de productos
notables.
Antes de mostrar ejercicios de aplicación de factorización y productos notables, es
necesario recordar la forma de hallar el máximo común divisor (mcd) de un
conjunto de números dados.
Ejemplo: Determinar el máximo común divisor (mcd) de los números 56, 42 y 28.
El máximo común divisor de un conjunto de números dados corresponde al mayor
número natural que los divide simultáneamente, con residuo cero.
Para hallar el mcd de un conjunto determinado de números, estos se dividen
simultáneamente por los diferentes números primos (tomados en orden ascendente,
y desechando los números primos por los cuales no se pueda hacer la división con
residuo cero de todos los números de la fila) según el arreglo mostrado a
continuación.
El proceso termina, cuando los números que aparecen en la fila inmediatamente
inferior a la última división simultánea, no pueden dividirse simultáneamente por
algún número primo.
El mcd buscado es el producto de los números primos que aparecen a la derecha:
56
42
28
÷ 2
28
21
14
÷ 7
4
3
2
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
Los números originales (56, 42, 28) se escriben desde la
izquierda hacia la derecha.
A la derecha de ellos se escribe el 2 (primer número primo de la lista) y se divide
cada uno de estos números por 2, escribiendo el resultado obtenido en la misma
columna del número original.
La segunda fila muestra estos resultados.
Como los números 28, 21 y 14 no pueden dividirse simultáneamente por 3, este
número primo se desecha.
De forma similar se desecha el 5.
El siguiente número primo en la lista es 7.
En este caso se puede hacer la división simultáneamente obteniéndose los números
4, 3 y 2.
Esta última fila no puede dividirse simultáneamente ni por 2 ni por 3.
Como el siguiente número primo (5) es mayor que 4, el proceso termina.
Por lo tanto, el mcd de los números 56, 42 y 28 es el producto de los números primos
de la derecha: 2 • 7 = 14
Lo anterior se expresa como: mcd (56, 42, 28) = 14 (el máximo común divisor de los
números 56, 42 y 28 es igual a 14)
Ejemplo: Factorizar 9x + 6y - 12z
Este es un ejemplo sencillo de la factorización por factor común.
Dada una expresión algebraica se encuentra el máximo común divisor (mcd) de los
coeficientes de los términos de la expresión algebraica.
Este mcd corresponde al coeficiente del factor común.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
Para la parte literal se toman las variables comunes a todos los
términos con el menor exponente que aparezca.
Para este ejercicio el mcd de 9, 6 y 12 es 3; además como no hay variables
comunes en los tres términos tenemos:
9x + 6y - 12z = 3(3x + 2y - 4z)
es decir, 9x + 6y - 12z se ha expresado como el producto de los factores 3 y 3x +
2y - 4z.
Ejemplo: Factorizar 9xy 2 + 6y 4 - 12 y 3 z
En este caso además del factor común 3 (mcd de 9, 6, 12) la variable y es común a
los tres términos. La menor potencia común es y 2 por lo tanto la factorización queda:
9xy 2 + 6y 4 - 12y 3 z = 3y 2 (3x + 2y 2 - 4yz)
Los factores en este caso son 3x + 2y
2
- 4yz y 3y
2.
Para verificar, al realizar el
producto indicado se obtiene la expresión original:
3y 2 (3x + 2y 2 - 4yz) = (3y 2 * 3x) + (3y 2 * 2y 2) - (3y 2 * 4yz)
= 9xy 2 + 6y 4 - 12y 3 z
Nótese que se ha aplicado la propiedad distributiva del producto. En general no
es necesario hacer la verificación de la factorización, pero es conveniente cuando
existan dudas sobre el resultado obtenido.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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10. TIPOS DE FACTORIZACIÓN
La factorización se clasifica en factorización de un monomio, común monomio,
común polinomio, común por agrupación de términos, diferencia de cuadrados
perfectos, sumo de cubos perfectos, trinomio cuadrado perfectos y trinomio de la
forma X2 + BX + C.
La factorización obedece a un procedimiento matemático conforme a la cual, se
procede a la descomposición de una operación aritmética en bloques conocidos
como factores.
Para los expertos en las ciencias exactas, la factorización viene siendo una
operación contraria a la multiplicación, ya que, si en esta se procede a la búsqueda
del producto por medio de los factores, en la factorización pasa todo lo contrario,
esta consiste en la búsqueda de los factores del producto ya dado, que viene siendo
la expresión matemática ya propuesta.
El procedimiento para factorizar una expresión consiste en representarla en su
producto, mientras en la multiplicación es al revés, veamos con un ejemplo, para
esta última expresaremos que cinco (5) por dos (2) da como resultado diez (10),
mientras que en el caso de la factorización tenemos diez (10), cuyos factores son
cinco (5) por dos (2).
10.1 ¿Cuáles son los tipos de factorización?
 Factorización de un monomio
Consistente en llevar los números o bien letras a sus factores, es decir, de modo
tal, que lo único que debes es multiplicarlos entre sí, para que dé como resultado el
monomio inicial.
En este tipo de factorización se llega a buscar con cuales factores es que un término
puede ser descompuesto: Ejemplo: 18ab = 3 x 5 a b.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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 Común monomio
Consistente en la búsqueda de un factor que tiende a repetirse en la ecuación, por
medio de este, se puede llegar a la ubicación del producto.
Sucede al momento de buscar un factor que se llega a repetir en ambos términos.
Ejemplo: b² + 3b = b (b + 3).
 Común polinomio
Implica la repetición de un binomio en varios procesos matemáticos, es decir, en la
identificación de dos factores en común, cuya expresión se haya de forma continua
en la operación aritmética.
Basta con encontrar el factor común del término, para luego proceder a dividir todo
el resto de la operación entre este y poder determinar así el resultado.
Ocurre cuando el factor se llega a repetir en varios términos, el cual es: (a + b), este
se llega a representar como el factor de otro binomio.
Ejemplo: x (a + b) + m (a + b) = (x + m) (a + b).
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Esta factorización es la más sencilla, donde se debe encontrar
cuál es el factor común de un término, y luego se debe dividir todo entre este.
Este tipo de factorización es muy similar a la factorización común monomio, sin
embargo, el factor común a emplear será un binomio. Aquí se agrupan todos los
términos y luego se suman aquellos que son semejantes.
 Común por agrupación de términos
Es menester que existan más de cuatro caracteres o bien términos, para hacer la
operación mucho más sencilla, se procede a agrupar los términos que pueden ser
factorizados con facilidad, verbigracia los monomios, luego los de factor común
monomio y para finalizar el común polinomio.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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 Diferencia de cuadrados perfectos
Implica la factorización de términos que presentan cuadrados perfectos, siendo
necesaria la obtención de las raíces de dichos términos, cuya utilización será
necesaria para el producto, se procede a la multiplicación de las diferencias y se
adicionan las raíces.
 Suma de cubos perfectos
Factorización de igual presentación a la anterior, a excepción de la modificación que
sufre el signo en el producto.
Factorización muy similar a la diferencia de cuadrados, donde solamente cambia el
signo de la respuesta.
 Trinomios cuadrados perfectos
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
Amerita la inclusión de tres términos, los cuales serán
sujetados a análisis para determinar con posterioridad cual método de los ya
descritos resulta idóneo para la resolución del trinomio.
 Trinomio de la forma X2 + BX + C
Factorización que procede exclusivamente con tres términos, los cuales pueden
ser resueltos por medio de varios métodos, verbigracia el método cruzado, el cual
se utiliza para la resolución de fracciones que implica la multiplicación del
denominador de una fracción por el numerador de la otra, y viceversa para obtener
el resultado.
Se trata de las factorizaciones que se realizan únicamente con tres términos.
Suele emplear tres métodos diferentes para factorizar, estos son:

Método cruzado.

Método de agrupación.

Método de sustitución.
Este trinomio suele llevar un coeficiente en el primer término.
También puede ser resuelto por el método de agrupación, el
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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cual aplica a expresiones que presentan más de 4 elementos,
para proceder a su agrupación en dos o más grupos para su fácil resolución, la idea
es encontrar un factor común que haga sencilla su procesamiento, y con
posterioridad se aplica el método de resolución de binomios y trinomios.
Aunado a la clasificación de factorización que acabamos de describir, conviene
aclarar que existen ciertas teorías para la resolución de los mismos cuales son:

Teoría fundamental de la aritmética, que alude a los números enteros, se
entiende por estos el conjunto de números naturales, que incluyen los positivos
y los negativos.
Ahora bien, en lo que respecta al teorema, este afirma que todo número entero de
mayor valor a uno (1) equivale a un número primo o bien que el producto se
corresponde con números primos.
Se trata de un teorema de procedencia griega, que tiene por antecedentes el
principio de reducción del absurdo y las pruebas constructivas, las cuales muestran
en ocasiones los métodos correctos de obtener la factorización.
Este se encuentra formado por medio de una serie de principios conforme a los
cuales se demuestra, la relevancia que tienen los números primos en la resolución
de los problemas.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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
Teorema fundamental de álgebra, conforme a la cual se
resuelve, la factorización de polinomios, conforme a la cual se establece que
todo polinomio con un grado mayor a cero debe tener una raíz, la variable que
se presenta está formada por un conjunto de números complejos.
Muchos consideran que el dominio de este teorema, amerita en gran medida una
suma de pericia y conocimientos sólidos en matemática.
Su postulado fundamental indica que el cuerpo de los números enteros es siempre
cerrado algebraicamente.
En efecto, factorizar consiste en expresar un determinado elemento como producto
de otra operación más pequeña, donde se procede a la multiplicación que arrogará
como objetivo el resultado o producto inicial. Se considera que esta es una
operación que se encuentra de forma adversa a la multiplicación.
Antes de proceder a la factorización es necesario evaluar la expresión aritmética
frente a la cual nos encontramos, siendo necesario determinar si en todo el
polinomio y sus términos existe un factor en común, a través del cual se llega a
factorizar, ya que la idea es simplificar la operación expresada en tantos factores en
común sea posible encontrar o formar.
La idea de la factorización es sintetizar el proceso de multiplicación, lo cual hace en
el campo de las ciencias exactas, relativamente más sencillo la simplificación de
fracciones algebraicas, la resolución de ecuaciones y el desenvolvimiento de ciertos
problemas matemáticos.
En efecto, la idea es simplificar los trámites para la resolución de una operación
matemática o algebraica compleja, que permite el salto de sumas y restas a simples
multiplicaciones que hacen más sencilla la operación y evidentemente permiten
ahorrar más tiempo en la resolución.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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11. EXPRESIONES FRACCIONARIAS
Las expresiones algebraicas fraccionarias son aquellas en las que las variables
están en los denominadores, o forman parte de un numerador con exponente
negativo.
Podemos definirlas como el cociente entre dos polinomios P(x)/Q(x), siempre que
el divisor no sea el polinomio nulo o el de grado cero.
Las operaciones que se pueden realizar con las expresiones algebraicas no enteras,
son la suma, resta, multiplicación y división.
 Suma de Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Si tenemos dos expresiones de la forma P(x)/Q(x) y M(x)/N(x), entonces, podemos
definir la suma como
Para poder realizar la operación, antes, definiremos el mínimo común múltiplo de
un grupo de polinomios.
Si tenemos dos o más polinomios, se los factores y se considera el producto de los
factores comunes, y no comunes, con su mayor exponente (esto sería el mínimo
común múltiplo).
Sea P(x)/Q(x) y M(x)/N(x), y sea, además, C(x) el mínimo común múltiplo de Q(x) y
N(x) es:
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Ejemplo de suma algebraica fraccionaria:
 Resta de Expresiones Algebraicas Fraccionarias
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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La
diferencia
o
resta
entre
expresiones
racionales
fraccionarias, se define en términos de la suma, como la adición de una expresión,
al opuesto de la otra. Es decir, se usa el opuesto del polinomio numerador del
sustraendo.
Sea P(x)/Q(x) y M(x)/N(x), la resta es:
Ejemplo de resta algebraica fraccionaria:
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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 Multiplicación
de
Expresiones
Algebraicas
Fraccionarias
Dada dos expresiones algebraicas fraccionarias, se define la multiplicación de la
siguiente manera:
Ejemplo de multiplicación algebraica fraccionaria:
 División de Expresiones Algebraicas Fraccionarias
Para definir la división de expresiones algebraicas fraccionarias, se define "la
recíproca" para poder realizar dicha división, como una multiplicación.
Sea M(x)/N(x) con M(x)≠0, la expresión N(x)/M(x) se llama recíproca de la anterior.
Y con esto, la división se define en términos de la multiplicación:
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Ejemplo de división algebraica fraccionaria:
 Obtener el valor numérico de una Expresión Algebraica Fraccionaria
Las expresiones algebraicas fraccionarias pueden evaluarse asignando números a
las variables.
Hay que tener en cuenta de excluir en estos casos, los números αi que sean raíz de
algunos de los polinomios denominadores, ya que la expresión carece de sentido.
Sea P(x)/Q(x), y x=αi, que es raíz de Q(x), es decir, que Q(αi) =0, entonces:
Siendo que P(αi) /0 no está definido.
Por consecuencia, se pueden evaluar las expresiones algebraicas fraccionarias,
pero podemos hacerlo para todos aquellos números que no sean raíz de algún
denominador.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Ejemplo de valor numérico de una expresión algebraica
fraccionaria:
en el siguiente ejemplo, P(x)/Q(x) puede evaluarse para cualquier x, siempre y
cuando, sea distinto de 3
12. ECUACIONES
Una ecuación en matemática se define como una igualdad establecida entre dos
expresiones, en la cual puede haber una o más incógnitas que deben ser resueltas.
Las ecuaciones sirven para resolver diferentes problemas matemáticos,
geométricos, químicos, físicos o de cualquier otra índole, que tienen aplicaciones
tanto en la vida cotidiana como en la investigación y desarrollo de proyectos
científicos.
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas, y también puede darse el caso
de que no tengan ninguna solución o de que sea posible más de una solución.
12.1 Partes de una ecuación
Las ecuaciones están formadas por diferentes elementos. Veamos cada uno de
ellos.
Cada ecuación tiene dos miembros, y estos se separan mediante el uso del signo
igual (=).
Cada miembro está conformado por términos, que corresponden a cada uno de los
monomios.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Los valores de cada monomio de la ecuación pueden ser de
diferente tenor. Por ejemplo:

constantes;

coeficientes;

variables;

funciones;

vectores.
Las incógnitas, es decir, los valores que se desean encontrar, se representan con
letras. Veamos un ejemplo de ecuación.
12.2 Tipos de ecuaciones
Existen diferentes tipos de ecuaciones de acuerdo a su función. Conozcamos cuáles
son.
 Ecuaciones algebraicas
Las ecuaciones algebraicas, que son las fundamentales, se clasifican o subdividen
en los diversos tipos que se describen a continuación.
a. Ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales
Son las que involucran una o más variables a la primera potencia y no presenta
producto entre variables.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Por ejemplo: a x + b = 0
Vea también: Ecuación de primer grado
b. Ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas
En este tipo de ecuaciones, el término desconocido está elevado al cuadrado.
Por ejemplo: ax2 + bx + c = 0
c. Ecuaciones de tercer grado o ecuaciones cúbicas
En este tipo de ecuaciones, el término desconocido está elevado al cubo.
Por ejemplo: ax3+ bx2 + cx + d =
d. Ecuaciones de cuarto grado
Aquellas en las que a, b, c y d son números que forman parte de un cuerpo que
puede ser ℝ o a ℂ.
Por ejemplo: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
 Ecuaciones trascendentes
Son un tipo de ecuación que no se puede resolver solo mediante operaciones
algebraicas, es decir, cuando incluye al menos una función no algebraica.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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 Ecuaciones funcionales
Son aquellas cuya incógnita son una función de una variable.
Por ejemplo:
 Ecuaciones integrales
Aquella en que la función incógnita se encuentra en el integrando.
 Ecuaciones diferenciales
Aquellas que ponen en relación una función con sus derivadas.
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13. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Un problema matemático es una incógnita acerca de una cierta entidad
matemática que debe resolverse a partir de otra entidad del mismo tipo que hay
que descubrir. Para resolver un problema de esta clase, se deben completar
ciertos pasos que permitan llegar a la respuesta y que sirvan como demostración
del razonamiento.
En otras palabras, un problema matemático plantea una pregunta y fija ciertas
condiciones, tras lo cual se debe hallar un número u otra clase de entidad
matemática que, cumpliendo con las condiciones fijadas, posibilite la resolución
de la incógnita.
Veamos un ejemplo sencillo de problema matemático:
Un automóvil que se desplaza a una velocidad constante de 80 kilómetros por
hora pasa por una ciudad X y, noventa minutos después, arriba a una ciudad Y.
¿A qué distancia se ubican ambas ciudades?
Este problema matemático nos ofrece varios datos. Por un lado, sabemos que
el automóvil se moviliza a una velocidad de 80 kilómetros por hora, lo que quiere
decir que recorre 80 kilómetros cada sesenta minutos. Por otra parte, el
enunciado informa que el vehículo tarda noventa minutos para recorrer el
trayecto entre la ciudad X y la ciudad Y.
Si llevamos estos datos a enunciados matemáticos:
60 minutos = 80 kilómetros
90 minutos = x kilómetros
(80 x 90) / 60 = 120
La ciudad X y la ciudad Y, por lo tanto, están separadas por 120 kilómetros.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Como se puede apreciar, en este caso nos encontramos
ante un problema matemático sencillo que puede resolverse con la llamada regla
de tres simple. Esta regla puede utilizarse para solucionar un problema de
proporcionalidad en el que se conocen tres valores y se debe encontrar el cuarto.
Lejos de los enunciados que todos hemos debido enfrentar en nuestra etapa
estudiantil, hay problemas matemáticos que llevan siglos sin ser resueltos, a
causa de basarse en cuestiones demasiado complejas o bien de requerir
comprobaciones muy difíciles de llevar a cabo. Encontramos un claro ejemplo
de esto en el trabajo de Johannes Kepler, un importantísimo matemático y
astrónomo alemán nacido en el siglo XVI, quien propuso hace ya más de 400
años que la manera más eficaz de apilar objetos esféricos era armando una
pirámide.
Si bien se trata de un problema a simple vista sencillo, o menos complejo que
algunas ecuaciones cargadas de variables que les quitan el sueño a muchos
amantes de los números, para darle el visto bueno era necesario realizar
pruebas con muchas esferas y contrastar la solución de Kepler con otras
alternativas. Por dicha razón, recién a finales del año 2014 la comunidad
matemática se dio por satisfecha, al someter este problema matemático a un
profundo escrutinio, tanto de manera práctica y tangible como a través de dos
programas informáticos desarrollados específicamente con este fin; el veredicto:
Kepler tenía razón.
Por otro lado, es importante señalar que la forma en la cual nos enseñan a
entender las matemáticas suele ser muy limitada, ya que se basa en interiorizar
una serie de datos y buscar una única respuesta en base a ellos, aplicando la
teoría que hayamos aprendido hasta el momento. Poco se les enseña a los niños
acerca del pensamiento lateral y las ventajas de dejarse llevar por la intuición a
la hora de resolver un problema matemático.
El pensamiento lateral se puede entender como una técnica basada en el uso
de la creatividad para dar con una solución a un problema. Si bien suele
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
presentarse de la mano de la lógica, las matemáticas se
benefician mucho de esta forma de pensar, especialmente cuando la
complejidad es tal que los científicos se encuentran con un muro aparentemente
imposible de derribar.
Un problema matemático consiste en buscar una determinada entidad
matemática de entre un conjunto de entidades del mismo tipo que además
satisfaga las llamadas condiciones del problema. Formalmente todo problema
puede reducirse a una terna (S, C (), r) donde S es un conjunto de objetos, C(s)
es una condición (o condiciones) tal que dado s E S puede o no ser satisfecho
(para ello la condición debe ser una fórmula lógica bien formada y cerrada). La
resolución del problema es un procedimiento que determina cual es el único r E
S que satisface C(r).
Algunos problemas clásicos como el de la cuadratura del círculo u otros donde
se trata de decidir si una afirmación P es o no cierta, pueden reducirse a la forma
de terna si tomamos como S el conjunto de demostraciones posibles y C(X)
como la condición de "X es una demostración válida de que la afirmación del
problema P es cierta".
14.1. Ecuación Algebraica
Un ejemplo sencillo sería encontrar los números enteros que satisfacen la
siguiente igualdad r^ {2}-2r+1=0. Aquí el conjunto sobre el que se plantea el
problema es conjunto de los números enteros {Z}, la condición es que se cumpla
la anterior igualdad, y r, es el único número que la satisface (puede verse que r=
1).Más en general, la resolución de una ecuación algebraica es un problema
matemático planteado sobre un conjunto {K} que tiene estructura de cuerpo o
anillo algebraico consistente en buscar elementos r E K que cumplan la siguiente
igualdad:
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
Si sólo existe un elemento que cumpla la anterior igualdad, esto se puede
reformular como un problema del tipo K, C(r)=0, r) aunque normalmente el
problema anterior admite más de una solución por lo que el problema
matemático propiamente dicho es encontrar un conjunto de soluciones S, y por
tanto cuando la solución no es única debemos resolver un problema de tipo
donde P K es el conjunto de las partes de K
14.2 Problema geométrico elemental
Otros problemas consisten en encontrar un procedimiento geométrico para
trazar con regla y compás un circunferencia, ángulo, polígono o recta que cumpla
ciertas condiciones.
Un problema muy sencillo es el de fijados 3 puntos no alineados en el plano
euclídeo, encontrar una circunferencia que pase por todos ellos.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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El problema matemático asociado podría ser denotado como
donde C es el conjunto de todos los círculos posibles del plano euclídeo. El
problema anterior se resuelve si se toma el segmento AB y se encuentra su recta
mediatriz M1 y se toma el segmento BC y se encuentra su recta mediatriz M2
el centro O de la circunferencia buscada C1 coincide con la intersección de las
mediatrices
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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el radio de la circunferencia buscada con la longitud de los segmentos que unen el
centro con cualquiera de los puntos:
14.3. Problema de Cálculo Elemental
Un tipo muy frecuente de problema matemático de cálculo elemental son los
problemas de maximización o minimización. Por ejemplo:
Para fabricar unos recipientes cilíndricos metálicos de chapa, encontrar la relación
entre la altura: h y el radio: r necesaria para que pueda contener un volumen V
prefijado (por ejemplo, V = 400 ml) usando la menor cantidad de chapa posible.
Este es claramente un problema de minimización puesto que pretendemos usar la
mínima cantidad de chapa. El problema matemático sería
donde,
es el conjunto teórico de todos los posibles recipientes
cilíndricos metálicos de 400 ml de capacidad; S(r) es el área del recipiente en
función del radio del mismo. La solución se presenta a continuación.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Llamemos S a la superficie total de chapa, que será directamente proporcional a la
cantidad de chapa empleada en el recipiente, llamemos al radio del recipiente r y a
su altura h. Entonces tenemos que su superficie: S y su volumen: V vienen dados
por:
Si substituimos despejamos h de la primera ecuación y la substituimos en la
segunda tenemos que la cantidad de chapa necesaria para construir un recipiente
cilíndrico de volumen V y radio r viene dada por:
Para encontrar el mínimo podemos usar el cálculo elemental que nos dice que el
valor de r para el cual la derivada de la anterior función se anula es el valor que
minimiza la función:
Con lo que queda definido r para un V dado, si el volumen no se conoce:
Es decir, que de todos los recipientes cilíndricos de chapa de igual volumen el que
menos chapa necesita para ser fabricado es uno en que la altura del mismo sea
justo dos veces el radio.
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14. ECUACIONES CUADRATICAS
Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado cuya forma estándar
es:
Método de factorización
Una técnica importante para resolver educaciones cuadráticas tiene como base el
hecho de que, si “m” y “n” son factores reales, tales que pq = 0, entonces p = 0 ó q
= 0, de ahí que si
puede expresarse como un producto de polinomios
de primer grado, entonces pueden encontrarse soluciones igualando cada factor a
cero.
Si una ecuación cuadrática puede ser factorizada en una multiplicación de factores
lineales, entonces puede decirse que es una ecuación factorizable.
Por ejemplo:
Es una ecuación factorizable porque puede ser factorizada por los factores lineales
(3x - 4) y (x + 2). O sea:
3x2+2x -8= (3x - 4) (x + 2).
Para resolver una ecuación mediante este método se siguen los siguientes pasos:
1. Primero se escribe la ecuación en la forma ax2 + bx + c = 0
2. Luego se factoriza la expresión en factores lineales
3. Se iguala cada factor a cero
4. Se determina el valor de x.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Ejemplo:
Las raíces son 4/3 y -2 y cualquiera de ellas cumple exactamente la ecuación.
Las técnicas de factoreo vistas anteriormente son usadas en gran medida en este
tipo de ecuaciones.

Fórmula cuadrática
Cuando la ecuación cuadrática está en su forma estándar y se nos hace difícil
encontrar sus raíces mediante factorización, podemos utilizar el método de la
fórmula cuadrática.
La fórmula cuadrática es:
Pasos para Buscar las Raíces de una Ecuación Usando la Fórmula Cuadrática:
1. Llevar a la ecuación a su forma estándar
2. Determinar los valores de las constantes a, b y c.
3. Utilizar la fórmula cuadrática sustituyendo los valores por las variables,
primero con el signo “+” para encontrar una raíz y luego con el signo “-” para
encontrar la segunda raíz.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Ejemplo:
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez
simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, ax2 + bx + c = 0 es una
ecuación de segundo grado. En esta ecuación La “x” es la variable o incógnita y las
letras a, b y c son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto
que a = 0.

Ecuaciones Cuadráticas Completas
Son ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 que tienen un término x2, un término
x y un término independiente de x. Así, 2x2 + 5x + 3 = 0 es una ecuación cuadrática
completa.

Ecuaciones Cuadráticas Incompletas
Son ecuaciones de la forma ax2 + c = 0
que carecen del término x o de la forma
ax2 + bx = 0 que carecen del término independiente. Así, 2x2 + 3 = 0 y 2x2 + 5x son
ecuaciones cuadráticas incompletas.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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
Raíces de una Ecuación Cuadrática
Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación cuadrática
tiene dos raíces.

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas
Es hallar las raíces de la ecuación. Para ello hacemos uso de la fórmula:
x = [ – b ± √ (b2 – 4ac)] / 2ª
El “±” expresa que la ecuación tiene ¡dos soluciones! La parte “b2 – 4ac” se le
denomina discriminante:
sí es positivo, hay dos soluciones
sí es cero sólo hay una solución,
y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios.
Ejemplo 1: Resolver la ecuación cuadrática 2x2 + 5x + 3 = 0.
Los coeficientes son: a = 2; b = 5 y c = 3. Los sustituimos en la fórmula:
x= [ – b ± √ (b2 – 4ac)] / 2a
→
x = {- 5 ± √ [52 – 4(2)(3)]} / [2(2)]
Resolvemos
x = {– 5 ± √ [25 – 24]} / 4 = {-5 ± √1} / 4
x1 = {- 5 + 1} / 4; x2 = {- 5 – 1} / 4
x1 = – 1; x2 = – 3/2
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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15. NUMEROS COMPLEJOS
Un número complejo z se define como un par ordenado de números reales:
z= (a, b) con a, b ∈ R
donde el primer elemento del par ordenado se llama parte real del número complejo,
y el segundo elemento se llama parte imaginaria:
Re (z) = a
Im (z) = b
En los números complejos se definen las siguientes operaciones:
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
(a, b). (c, d) = (ac–bd, ad+bc)
Con estas operaciones, puede demostrarse que el conjunto de los números
complejos tiene las mismas propiedades que los reales con la suma y el producto.
No nos extenderemos desarrollando esta cuestión algebraica porque en la práctica
lo usual es operar con otras expresiones de los números complejos, como veremos
a continuación.
Podemos identificar de manera natural los complejos de parte imaginaria nula con
los números reales:
Por otra parte, los números de parte real nula: z= (0, b) se denominan imaginarios
puros. Se define la unidad imaginaria:
i= (0,1) unidad imaginaria
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Podemos entonces deducir otra forma de expresar un número complejo:
z=a + bi forma binómica
Observación: en algunos textos de Física y de Ingeniería la unidad imaginaria se
designa como j, para no confundir con la i que suele indicar la intensidad de corriente
eléctrica.
Dado que hemos definido un número complejo como un par ordenado de números
reales, es natural interpretarlo como un punto del plano. En el eje de abscisas (eje
real) ubicaremos los complejos de parte imaginaria nula. Y en el eje de ordenadas
(eje imaginario) ubicaremos los imaginarios puros:
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Operaciones en forma binómica
Suma y resta
Si z1=a+bi y z2=c+di, entonces:
z1+z2=(a+bi) +(c+di) =(a+c) +(b+d) i
Análogamente: z1–z2=(a–c) +(b–d) i
Multiplicación
z1. z2=(a+bi). (c+di) =ac+adi+bic+bdi2[1]
¿Cuánto vale i2?
De acuerdo con la multiplicación definida:
(a, b). (c, d) = (ac–bd, ad+bc) [2]
Para i= (0,1) resulta:
i2= (0,1). (0,1) = (–1,0) que identificamos con el número real (–1).
En resumen:
i2=–1
Reemplazando en [1] resulta:
z1.z2=(ac–bd) +i(ad+bc)
Pueden verificar que es coherente con la definición [2].
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Conjugado de un número complejo
El conjugado de z=a+bi, se define así:
¯z=a–bi
Observamos que z y z son simétricos respecto del eje real, como muestra la
siguiente figura:
Propiedades:
1) z+¯z=a+bi+a–bi=2a=2Re(z)
2) z–¯z=a+bi–(a–bi) =2bi=2i.Im(z) (recordar que Im(z)∈R)
3) z.¯z=(a+bi) (a–bi) =a2–abi+bia–b2i2=(a2+b2) ∈R>0para todo z≠0
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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División en complejos
Esta última propiedad nos permite calcular el cociente entre dos números
complejos.
Sean z1=a+bi, z2=c+di
Para hallarz1/z2multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del
denominador:
z1z2=z1z2. ¯¯¯¯¯z2¯¯¯¯¯z2
Entonces:
16. OTROS TIPOS DE ECUACIONES
La intención de resolver las ecuaciones es encontrar sus raíces o soluciones de la
ecuación.
Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con
coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este
enunciado es el teorema fundamental del álgebra.
D'Alembert fue el primer matemático que dio una demostración, pero no era
completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dio una
demostración rigurosa.
Conceptos básicos:
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Igualdad: Es la expresión en la cual se indica que una
expresión tiene el mismo valor que otra. La igualdad sólo se cumple para
determinados valores de la expresión.
5 + 10 = 3*5
2m +8 = 12
Identidad: Es la expresión en la cual se indica que dos expresiones son iguales para
cualquier valor que se ponga en lugar de las letras que figuran en la expresión.
Ecuación: Es la expresión de igualdad condicionada por cantidades conocidas y
cantidades desconocidas o incógnitas, que se cumplen únicamente para
determinados valores. Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar
esto.
Y -2 = 6
se cumple si
Y=8
3x + 5y = 23y
se cumple si
x = 6y
Miembros: miembros de una ecuación son las expresiones colocadas a la derecha
y a la izquierda del signo igual (=)
3x = 5
donde 3x es el primer miembro y 5 el segundo miembro.
Términos: términos de una ecuación, son cada una de las expresiones que están
conectadas con otra por los signos de suma y resta (+, –).
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Grado: el grado de una ecuación con una incógnita es el
mayor exponente de esa incógnita.
Raíz: se le llama raíz de una ecuación a cualquier valor numérico que al sustituirse
por la incógnita satisfaga la ecuación.
3x = 15
la raíz es 5 pues 3(5) = 15 y cumple la condición.
Conjunto solución: es el conjunto de todos los números que satisfacen la igualdad
en una ecuación. Es el conjunto de todas las raíces de la ecuación.
3x2 = 12 {2, -2} son el conjunto solución pues ambos cumplen la condición.
Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son
iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran
en la expresión es una identidad.
Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es
una ecuación.
Comprobación de ecuaciones: la comprobación se realiza sustituyendo la raíz
obtenida en la ecuación original, si ambos miembros dan el mismo resultado se
confirma la respuesta.
Por el número de incógnitas.
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo, la ecuación 3x +
4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8
tiene tres incógnitas.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar como
puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres
incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.
Por el grado de la incógnita.
Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita
(el grado es el exponente más alto de la incógnita).
Si el exponente más alto es uno entonces la ecuación es de primer grado.
Si el exponente más alto es dos entonces la ecuación es de segundo grado o
cuadrática.
Si el exponente más alto es tres entonces la ecuación es de tercer grado o cúbica.
Y así sucesivamente.
Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las
fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se
puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que
sea, se puede resolver de esta forma:
Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0
Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las
siguientes ecuaciones:
x1 + x2 + ... + xn = -a1
x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn +
...+ xn-2xn-1xn = -a3
x1x2...xn = (-1) nan
Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos
permitiría obtener las soluciones.
Por el número de términos
Ecuaciones binómicas: Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones
binómicas.
Ecuaciones polinómicas: Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman
trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de
términos, se suelen llamar polinómicas.
De acuerdo a su conjunto solución
Ecuación identidad: x es la que se cumple para cualquier valor de la variable.
Ecuación condicionada: es cuando se le añade a la ecuación una condición
adicional.
5x + 2y = 9 tal que “x” y “y” pertenecen a N; la pertenencia a los números Naturales
es la condición.
Ecuaciones equivalentes: cuando el conjunto solución de una ecuación es igual al
de otra ecuación se dice que estas ecuaciones son equivalentes.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Por su estructura:
Ecuación entera: es aquella en que todos sus términos son enteros.
6y + 4x – 5 = 3x – 2 ;
2x – 3y = 9
Ecuación fraccionaria: aquella en que uno o más de sus términos poseen
denominador.
x + 5y – 2 = 3x +1;
5
3
2
x
12 + 3
=
5x
y
Ecuación racional: es en la que ninguno de sus términos lleva la incógnita bajo un
radical.
2x – 3y = 9;
√2 – 5m√32 = 7
x
Ecuación irracional: es en la que al menos uno de sus términos lleva la incógnita
bajo un radical.
2√x – 3y = 9 ;
√x – 5m√m = 7 - m
Ecuaciones lineales
Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con
despejar la x.
Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un
número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
Si está sumando pasa restando y si está restando pasa sumando. En nuestro caso
quedaría ax = -b
Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En
nuestro caso x = -b/a.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
Una forma más sencilla de ver este método de despejar, es que
a los dos miembros de las ecuaciones se le realizan exactamente las mismas
operaciones a cada uno.
Como son iguales, el uno y el otro, al realizarles exactamente la misma operación
su resultado variara exactamente de la misma manera (en el caso que sea cero un
multiplicando o un dividendo esta regla no se aplica).
17. DESIGUALDADES O INECUACIONES
Una inecuación o desigualdad es lo mismo que una ecuación, pero cambiando el
signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son
Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para
resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad
3 > x - 8.
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3>x-8
3+8>x-8+8
11 > x
Una regla importante en las desigualdades es que cuando se multiplica o divide por
un número negativo, el signo de desigualdad cambia.
Ejemplo:
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
EMPRESAS
Normalmente la respuesta de una desigualdad se encuentra desde un numero hasta
llegar a otro número, contando a todo número que se encuentre en medio de estos,
esto normalmente es conocido como un intervalo (serán estudiados en la siguiente
lección).
Desigualdades que envuelven dos posibles soluciones.
Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra
negativa.
Por ejemplo:
También existen sistemas de dos o más inecuaciones con respuestas iguales
estas se trabajan igual que los sistemas de ecuaciones, cuyas reglas veremos en
el capítulo 43.
17.1 Propiedades de las Desigualdades
Algunas propiedades básicas de las desigualdades son las siguientes:
Propiedades fundamentales:
1.- Si a > b y b > c entonces a > c.
2.- Si a > b entonces a+c > b+c
y a-c > b-c.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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3.- Si a > b y c > 0 entonces ac > bc
y
a/c > b/c.
4.- Si a > b y c < 0 entonces ac < bc y
a/c < b/c.
17.2 Inecuaciones simultaneas
Son inecuaciones que tienen soluciones comunes.
Ejemplo:
¿Para qué valores de x se verifican simultáneamente las inecuaciones 10x-15 < 0
y 5x > 3?
Resolviendo las inecuaciones, la primera se cumple para x < 3/2, y la segunda, para
x > (3/5); por consiguiente, los valores mayores que 3/5 y menores que 3/2, verifican
simultáneamente ambas inecuaciones.
Este resultado se escribe así:
3/5 < x < 3/2
17.3 Inecuaciones Cuadráticas
Ejemplo: Resolver la desigualdad x2 – 5x – 6 > 0
Solución: Se factoriza el trinomio (x – 6) (x + 1) > 0
Se buscan los valores que hacen cero el producto. En este caso son
6 y -1, con
estos valores se determinan los intervalos:
(- ∞, -1), (-1, 6), (6, ∞)
Después se comprueba, sustituyendo un valor de cada intervalo en los factores,
para determinar los signos de estos. Posteriormente se aplica la ley de los signos
para el producto tomando como solución el intervalo o los intervalos que cumplen
con la desigualdad.
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Para el intervalo (- ∞, -1)
Se toma, por ejemplo, el valor de x = -4 y se sustituye en cada factor.
(-4-6) (-4+1) = (-10) (-3) = 30
el producto es positivo
-Para el intervalo (-1, 6)
Se toma un valor como el de x = 0 y se sustituye en los factores
(0-6) (0+1) = (-6) (1) = -6
el producto es negativo
-Para el intervalo (6, ∞)
Se toma el valor de x, como x = 7 y se sustituye en cada factor
(7-6) (7+1) = (1)(8) = 8
el producto es positivo
Los intervalos solución son aquellos en los cuales el producto es positivo, es decir,
(- ∞, -1)  (6, ∞)
17.4. Inecuaciones Racionales
Ejemplo: Resolver la desigualdad
2/ (3x - 6) < 0
Solución: El numerador es positivo, entonces para que la desigualdad sea negativa
(menor que cero) el denominador debe ser negativo, es decir:
3x – 6 < 0
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TEXTO PARALELO DE PERITO EN ADMINISTRACION DE
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Despejando x queda x < 6/3 con lo cual se obtiene que x < 2
El intervalo de solución es (-∞, 2).
17.5 Inecuaciones con Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real x denotado por |x| se define por:
x si x > 0
|x|=
-x si x < 0
0 si x = 0
Ejemplos:
|5| = 5
|-7| = - (-7) = 7
| - 1 / 9| = -(- 1 / 9) = 1 / 9
|0.98 | = 0.98
|0|=0
Si x es un número real y a > 0, entonces:
a) |x| < a ↔ -a < x < a
|x| > a ↔ x > a ó x < -a
Otra forma de ver el valor absoluto
a) |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a
b) |x| ≥ a ↔ x ≥ a o x ≤ -a
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