CARRERA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA Y DE SISTEMAS
ASIGNATURA
: Estructuras Discretas de Computación.
PERIODO ACADÉMICO : 2021-2
GUIA DE EJERCICIOS N01
LÓGICA PROPOSICIONAL (PARTE I)
SECCION I
1.
¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden a proposiciones o a funciones
proposicionales o a ninguna de las dos?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
En Perú solamente han ganado 6 personas el Premio Nobel de Física.
2 ≠ 4 − 1.
𝑥 2 + 6𝑥 + 5 < 0
Cesar Vallejos nació en Paris.
2+3< 10-3
Prohibido fumar
Que edad tienes?
El esta jugando tenis
2x + 3y = 8
2.
Dadas las proposiciones p, q y r tales que v(p) = v(q) = F y v(r) = V, hallar el valor de verdad
de las siguientes proposiciones:
a) 𝑝 → ~ (𝑞 ∨ 𝑟)
b) ∼ 𝑞 → (~𝑝 ∨ 𝑟)
c) ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) → (~ 𝑟 ∧ 𝑝)
d) ∼ (𝑞 → ~𝑟) → (~𝑝 → 𝑟)
3.
En cuales de los siguientes casos es suficiente la información para conocer el valor de verdad
de las proposiciones correspondientes.
a) 𝐴 = (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ ( ~𝑝 ∧ ~𝑞); 𝑣(𝑞) = 𝑉
b) 𝐵 = (𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑝 ∨ 𝑟); 𝑣(𝑝) = 𝑉 𝑦 𝑣(𝑟) = 𝐹
c) 𝐶 = [𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑟)]; 𝑣(𝑝 → 𝑟) = 𝑉
d) 𝐷 = (𝑝 → 𝑞) → 𝑟; 𝑣(𝑟) = 𝑉
4.
Definamos p # q como una operación verdadera si p es falsa y q verdadera, y como falsa en
todos los casos restantes. Según esto, si r: “Juan es médico” y s: “Juan es deportista”; hallar la
traducción de ~ r # s.
5.
Simbolizar en cada una de las siguientes proposiciones en los espacios en blanco, utilizando
variables proposicionales y conectivos lógicos. Luego determinar el valor de verdad de cada
una de ellas.
𝑝: 5 + 3 > 7
𝑞: 5 + 3 = 7
𝑟: 5 = 4
6.
a)
5+3≥ 7
_______________________________
b)
5 + 3 > 7, 𝑝𝑒𝑟𝑜 5 + 3 = 7
_______________________________
c)
5 + 3 = 7, 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 5 = 4
_______________________________
d)
𝑆𝑖 5 + 3 = 7 𝑦 5 = 4, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 5 + 3 > 7
________________________
De la falsedad de (𝑝 → ∼ 𝑞) ∨ [(∼ 𝑟 →∼ 𝑠), se deduce que el valor de verdad de los esquemas:
𝐴 = ∼ (∼ 𝑞 ∨∼ 𝑟) → ∼ 𝑝
𝐵 = ∼ (∼ 𝑟 ∧ 𝑠) ↔ (∼ 𝑝 → ∼ 𝑞)
𝐶 = 𝑝 → ∼ {𝑞 →∼ (𝑠 → 𝑟)}
Son respectivamente:
a) FFV
b) FFF
c) FVF
d) FVV
e) N.A
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PERIODO ACADÉMICO : 2021-2
7.
Si la siguiente expresión ∼ [(∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ( 𝑟 → 𝑞)] ∧ [(∼ 𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑞 ∧∼ 𝑝)], es verdadera. Hallar
los valores de verdad de p, q y r.
8.
Las variables proposicionales 𝑝, 𝑞 y 𝑟 denotan a las proposiciones.
𝑝: Juan aprueba la asignatura Lenguaje II.
𝑞: Juan estudia en la Biblioteca de la Universidad.
𝑟: Juan se especializa en Derecho Comercial.
Escriba cada una de las proposiciones compuestas en lenguaje proposicional.
a) Si Juan estudia en la Biblioteca de la Universidad entonces aprueba la asignatura Lenguaje II.
b) Si Juan no aprueba la asignatura Lenguaje II entonces no estudió en la Biblioteca de la
Universidad.
c) Juan no aprueba la asignatura Lenguaje II sí y sólo no se especializa en Derecho Comercial.
d) Juan estudia en la Biblioteca de la Universidad y, aprueba la asignatura Lenguaje II o se
especializa en Derecho Comercial.
e) No es cierto que Juan no estudia en la Biblioteca de la Universidad y no aprueba la asignatura
Lenguaje II.
f) Juan se especializará en Derecho Comercial y aprueba la asignatura Lenguaje II, o estudia en
la Biblioteca de la Universidad.
g) Juan se especializará en Derecho Comercial, y aprueba la asignatura Lenguaje II o estudia en
la Biblioteca de la Universidad.
9.
Si
𝑝: "Carlos vendrá",
𝑞: "Carlos a recibido la carta" 𝑦
𝑟 ∶ "𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡á 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑣𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑠𝑢𝑛𝑡𝑜"
Simbolizar los siguientes enunciados:
a) “Carlos vendrá, si ha recibido la carta, siempre que esté interesado todavía en el asunto”.
b) “Carlos vendrá por que ha recibido la carta o no está interesado todavía en el asunto”.
c) “Carlos vendrá si y solo si ha recibido la carta o vendrá porque está interesado todavía en
el asunto”.
10. Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
a)
𝑝: (3 + 5 = 8) ∨ (5 − 3 = 4 )
b)
𝑞: (5 − 3 = 8) → (1 − 7 = 6 )
c)
𝑟: (3 + 8 = 11) ∧ (7 − 4 > 1 )
d)
𝑠: (4 + 6 = 9) ↔ (5 − 2 = 4 )
11. Obtenga la tabla de verdad que le corresponde a las fórmulas lógicas, calificándolas de
tautología, contradicción (falsedad) o contingencia, según sea el caso.
a)
b)
c)
d)
(𝑝 ⟶ ~𝑞) ⟷ [(~𝑞 ∨ ~𝑝) ⟶ 𝑟]
(~𝑚 ⟷ ~𝑛) ⟶ [(𝑚 ∨ ~𝑛) ∧ (𝑚 ∨ ~𝑛)]
(~𝑚 ∧ 𝑚) ⟶ [~(𝑚 ∨ ~𝑛) ∧ 𝑟]
(𝑝 ⟷ ~𝑝) ⟶ ~[~(𝑝 ∨ ~𝑝) ∧ (~𝑝 ⟶ ~𝑝)]
12. En cada uno de los siguientes ejercicios determine si se cumple la equivalencia lógica.
a) 𝑞( 𝑞 ~ 𝑝 ) (~ 𝑝~ 𝑞) ~ 𝑞
b) 𝑝 ~𝑞 𝑞 𝑝
c) ~ (𝑝𝑞)[(~ 𝑝 ~ 𝑞)𝑟 ] ~𝑝 ~𝑞
d) 𝑝(𝑞 𝑟) (𝑝 𝑞) 𝑟
13. Para las siguientes tablas:
a)
∧
∼𝒑→𝒒
∼𝒎∨𝒓
𝒑 ↔ ~𝒓
∼𝒎∨𝒎
𝒓 ↔ ~𝒑
𝒒∧𝒎
𝒎↔𝒎
F
𝒒 ∨∼ 𝒓
V
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b)
→
∼𝒑→∼𝒒
𝒎∨𝒑
𝒒 ∧ (𝒒 ∨ 𝒔)
∼ 𝒎 ∨∼ 𝒒
i)
ii)
~𝒎 ∧ (𝒓 ∨∼ 𝒓)
V
𝒒→∼𝒑
𝒑
∼ (𝒑 ∧∼ 𝒎)
∼ (𝒓 → 𝒓)
F
Determine los valores que les corresponden a sus variables lógicas.
Escriba en cada recuadro en blanco V ó F según corresponda a verdadero o falso.
SECCION II
En cada uno de los ejercicios del 1-4 representar la forma común de cada argumento
utilizando las letras para representar las oraciones componentes, y rellenar los espacios en
blanco para que el argumento en la parte (b) tenga la misma forma lógica que el argumento
en la parte (a).
1.
Por ejemplo:
a) Si todos los números enteros son racionales, entonces el número 1 es racional.
Todos los números enteros son racionales.
Por lo tanto, el número 1 es racional.
𝒑 ∶ 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔
𝒒 ∶ 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝟏 𝒆𝒔 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍
𝑹𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒓𝒈𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐: (𝑴𝑷)
𝒑→𝒒
𝒑
∴𝒒
b)
Si todas las expresiones algebraicas se pueden escribir en la notación de prefijo,
entonces ________________________________________________
____________________________________________________________.
Por lo tanto, (a + 2b) (a2 - b) puede escribirse en prefijo notación
2.
a) Si todos los programas informáticos contienen errores, entonces este programa contiene
un error.
Este programa no contiene un error.
Por lo tanto, no es el caso que todos los programas informáticos contienen errores.
b) Si ______________________, entonces __________________
2 no es impar.
Por lo tanto, no es el caso que todos los números primos son impares
3.
a) Este número es par o este número es impar.
Este número no es par.
Por lo tanto, este número es impar.
b) ______________________ o la lógica es confusa.
Mi mente no está muerta.
Por lo tanto, ______________________
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4.
5.
a)
Si n es divisible por 6, entonces n es divisible por 3.
Si n es divisible por 3, entonces la suma de los dígitos de n es divisible por 3.
Por lo tanto, si n es divisible por 6, entonces la suma de los dígitos de n es divisible por
3.
(Supongamos que n es un entero fijo particular.)
b)
Si esta función es ______________ entonces, esta función es diferenciable.
Si esta función es ______________ entonces, esta función es continua.
Por lo tanto, si esta función es un polinomio, entonces esta función _______________.
Indique cuáles de las siguientes oraciones son proposiciones:
a) 1,024 es el número de cuatro dígitos más pequeño que es un cuadrado perfecto.
b) Ella es una maestra de matemáticas.
c) 128 = 26
d) X = 26
Escribe las proposiciones en forma simbólica usando los símbolos ~, ∨, ∧ y las letras indicadas
para representar las declaraciones de los componentes.
6.
Sea p = "las acciones están aumentando" y q = "las tasas de interés son constantes".
a) Las acciones están aumentando, pero las tasas de interés son estables.
b) Ni las acciones están aumentando ni las tasas de interés están estables.
7.
Sea p = "Juan es saludable", q = "Juan es rico", y r = "Juan es sabio".
a) Juan es sano y rico, pero no sabio.
b) Juan no es rico, pero es sano y sabio.
c) Juan no es sano, ni rico ni sabio.
d) Juan no es rico ni sabio, pero está sano.
e) Juan es rico, pero no es saludable y sabio.
8.
Sean
p: "DATAENDFLAG está desactivada"
q: "ERROR es igual a 0"
r: "SUM es menor de 1.000".
Exprese las siguientes oraciones en notación simbólica.
a) DATAENDFLAG está desactivado, ERROR equivale a 0 y SUM es inferior a 1.000.
b) DATAENDFLAG está desactivado, pero ERROR no es igual a 0.
c) DATAENDFLAG está desactivado; Sin embargo, ERROR no es 0 o SUM es mayor o
igual a 1.000.
d) DATAENDFLAG está activado y ERROR es igual a 0 pero SUM es mayor o igual a 1.000.
e) DATAENDFLAG está activado o es el caso de que tanto ERROR es igual a 0 como SUM
es menor que 1,000.
Escribe las tablas de verdad para las siguientes expresiones:
9.
~𝑝 ∧ 𝑞
10. 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)
Determine si las siguientes expresiones son lógicamente equivalentes.
En cada caso, construya una tabla de verdad e incluya una oración que justifique su respuesta. Su
oración debe mostrar que usted entiende el significado de la equivalencia lógica
11. 𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) 𝑦 𝑝
12. 𝑝 ∨ 𝑇
𝑦 𝑇
13. (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 𝑦 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)
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SECCION III
Construya las tablas de verdad para las siguientes expresiones
1. ~𝑝 ∨ 𝑞 → ~𝑞
2. (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑞
3. 𝑝 ∧∼ 𝑞 → 𝑟
4. ~𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑟
5. 𝑝 ∧∼ 𝑟 ↔ 𝑞 ∨ 𝑟
6. (𝑝 → 𝑟) ↔ (𝑞 → 𝑟)
7. (𝑝 → (𝑞 → 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟)
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