Principio de superposición

Ginés Cervantes Linares
Problemas Tema 2: Principio de Superposición
Problemas
ÓPTICA FÍSICA
CURSO 05/06
Tema 2: Principio de superposición
1.- El campo eléctrico de una onda polarizada tiene la siguiente forma:
r
E
= ( 5 cos( ωt – ky + π/3) , 0 , – 3 cos(ωt – ky + π/6) ) S.I.
a) Halla gráficamente la elipse que recorre el extremo del campo eléctrico a lo largo del tiempo, indicando la
dirección de giro. (metemos.π . para.compensar.el.signo.menos)
⎫
π
⎧
5
cos(
wt
ky
−
+
⎧ E x = 5 cos( wt )
⎪⎪ ⎧⎪ E x = 5 cos( wt )
⎪
⎪⎪
3
E=⎨
⎬≡⎨
5π
π
π ≡⎨
⎪3 cos( wt − ky + π + π ⎪ ⎪⎩ E z = 3 cos( wt + 6 + π − 3 ) ⎪⎩ E z = 3 cos( wt + 6 )
⎪⎩
⎪⎭
6
→
Damos valores:
⎧E x = 5
⎧E x = 5
⎪
wt = 0⎨
wt
π
⎯
⎯→
=
π
5
⎨
⎛ ⎞
E
=
−
=
3
cos
2
.
60
⎜
⎟
⎩ E z = 2.60
⎪
⎝ 6 ⎠
⎩
⎧E x = 0
2π ⎧ E x = −2.5
⎯
⎯→ wt =
⎨
⎨
⎛ π 5π ⎞
2 ⎪ E z = 3 cos⎜ +
3 ⎩E z = 0
⎟ = 1.5
⎝2 6 ⎠
⎩
π
⎧
π ⎪ E x = 5·cos( ) = 4.33
π ⎧ E x = −4.33
⎯
⎯→ wt = π + ⎨
wt = ⎨
6
6 ⎩E z = 3
6⎪
⎩ E z = 3 cos π = −3
wt =
π⎪
⎧E x = 0
3π
3π π ⎧ E x = 2.5
+π⎨
⎯
⎯→ wt =
+ ⎨
2
2 6 ⎩E z = 0
⎩ E z = 1.5
Dibujamos los ejes “x” e “y” y escribimos los valores. La dirección de giro sale antihorario=Levógira.
wt =
b) Halla las componentes de esta misma onda sobre los ejes obtenidos mediante un giro de +30º alrededor del
eje Y.
x
Hay que girar los ejes 30º. Tenemos que hacer las proyecciones:
x’
E x' = E xx ' + E zx ' = E x cos 30 º + E z sen30 º ⎫⎪
⎬
E z' = E xz ' + E zz ' = E x sen30 º + E z cos 30 º ⎪⎭
⎫
5π ⎞
⎛
E x' = E0 x (cos wt ) cos 30 + E0 z cos⎜ wt +
⎟ sen30 º ⎪
6 ⎠
⎝
⎪
⎬
5π ⎞
⎛
'
E z = E0 z (cos wt ) sen30 + E0 z cos⎜ wt +
⎟ cos 30 º ⎪
⎪⎭
6 ⎠
⎝
30
Ex
Exx’
z’
Exz’
Ezz’
30
Ez
z
Ezx’
⎫ E x ' = E0 x ' cos( wt + ϕ 0 x ' ) ⎫
⎪ E = E cos( wt + ϕ ) ⎪ → ⎧
E0 z = 3
E x ' = 5.679 cos( wt − 0.132 ) ⎫⎧ E x ' = 5.679 cos( wt )
⎪ z'
0z'
0z' ⎪
⎬
⎬E = ⎨
⎬⎨
E0 x ' = 5.679 ⎪ϕ 0 x ' = −0.132 rad
⎩ E z ' = 1.323 cos( wt + 1.309 ) ⎭⎩ E z ' = 1.323 cos( wt + 1441)
⎪
⎪⎭
E0 z ' = 1.323 ⎪⎭ϕ 0 z ' = 1.309 rad
Las componentes salen diferentes por haber tomado el nuevo sistema de referencias a 30º y la línea que
describe el campo es la misma que en el apartado a).
E0 x = 5
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2.- Calcula el campo eléctrico asociado a la suma de 3 ondas de igual frecuencia con campos eléctricos
paralelos. Particulariza para 3 ondas de igual amplitud (10 V/m) cuyos desfases iniciales π/5, 13π/15 y 23π/15
respectivamente.
E1 = E 01 cos( wt + ϕ1 ) ⎫ E1 = E 01 cos wt ·cos ϕ1 − E 01 senwt ·senϕ1 ) ⎫
⎪
⎪
E 2 = E 02 cos( wt + ϕ 2 )⎬ E 2 = E 02 cos wt ·cos ϕ 2 − E 02 senwt ·senϕ 2 ⎬
E3 = E 03 cos( wt + ϕ 3 ) ⎪⎭ E3 = E 03 cos wt ·cos ϕ 3 − E 03 senwt ·senϕ 3 ⎪⎭
E1 + E 2 + E3 = E 0 cos( wt + ϕ 0 ) = E 0 cos wt ·cos ϕ 0 − E 0 senwt ·senϕ 0
E 0 ·cos ϕ 0 = E1 ·cos ϕ1 + E 2 ·cos ϕ 2 + E3 ·cos ϕ 3 ⎫
E 01 ·senϕ1 + E 02 ·senϕ 2 + E 03 ·senϕ 3
⎬diviendolos : tgϕ 0 =
E 0 ·sen ϕ 0 = E1 ·senϕ1 + E 2 ·senϕ 2 + E3 ·senϕ 3 ⎭
E 01 ·cos ϕ1 + E 02 ·cos ϕ 2 + E 03 ·cos ϕ 3
E 02 = E 2 01 + E 2 02 + E 2 03 + 2 E 01 E 03 ·cos(ϕ1 − ϕ 3 ) + 2 E 02 E 03 cos(ϕ 2 − ϕ 3 )
3.- Calcula la amplitud del campo eléctrico producido por la superposición de dos ondas de λ = 550 nm, sin
desfase entre ellas, que se propagan por el vacío en las direcciones (0,-1,1) y (0,1,1) y cuyos campos eléctricos
tienen amplitudes (10,0,0) y (15,0,0) en unidades del S.I.
2π
⎧
= 1.142·107 rad / m
k=
⎪
λ
⎫∧ ∧
E1 = E 01 ei ( wt − k
⎪
⎪
⎫
⎬( s1 ≠ s 2 )⎬λ = 550nm → ⎨n = 1 → k0 = k
∧ →
→
⎭
i ( wt − k s 2 r2 +ϕ 2 ) ⎪
⎪
8
15
E2 = E 02 e
⎭
⎪w = 3·10 ·k0 = 3.427·10 rad / s
⎩
→
∧ →
s 1 r1 + ϕ1 )
(0,−1,1)
∧
s1 = (0,−1,1) → s1 =
∧
s2 = (0,1,1); → s 2 =
(−1) 2 + (1)
2
(0,1,1)
(1) 2 + (1)
2
1 1 ⎞ ⎛
2 2⎞
⎛
⎟
= ⎜ 0,−
,
,
⎟ = ⎜⎜ 0,−
2 2⎠ ⎝
2 2 ⎟⎠
⎝
2 2⎞
⎛ 1 1 ⎞ ⎛⎜
⎟
= ⎜ 0,
,
,
⎟ = ⎜ 0,
⎟
2
2
2
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
Sumando :
→
⎛
2
2 ⎞
E1 = (10,0,0) cos(3,427·1015 t − 1,142·107 ⎜⎜ −
y+
z⎟
2
2 ⎟⎠
⎝
Añadimos ϕ1 y ϕ 2 pero como son el mismo desfase se eliminan.
∧
E1 es perpendicular a s1 , es decir, producto escalar cero.
→
⎛ 2
2 ⎞
E2 = (15,0,0) cos(3,427·1015 t − 1,142·107 ⎜⎜
y+
z ⎟⎟
2
2
⎝
⎠
⎡
⎛⎛
2
2 ⎞
2
2 ⎞⎟⎤
E02 = E012 + E022 + 2 E01 + E02 cos(ϕ1 − ϕ 2 ) = 102 + 152 + 2·10·15 cos ⎢1.142·10− 7 ⎜ ⎜⎜ −
y+
z ⎟⎟ −
y+
z ⎥=
⎜
⎟⎥
2
2
2
2
⎢⎣
⎝
⎠
⎝
⎠⎦
(
= 100 + 225 + 300 cos 1.142·107 2 y
)
→
E 0 = (1,0,0) 325 + 300·cos(1.615·107 y )
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4.- Halla la expresión de la suma de dos ondas eléctricas de igual frecuencia viajando en la misma dirección y
cuyos campos eléctricos tienen el mismo módulo pero sus direcciones forman un ángulo α. Particulariza para
0º, 45º y 90º. Calcula la intensidad de la superposición en cada caso.
Supongo que las 2 ondas tienen igual dirección y sentido:
⎧
⎧cos α = 1
⎪α = 0º ⎨
⎩ senα = 0
⎪
⎪ E = E 2 + 2 cos ϕ
01
z’
⎪ 0x
⎪
senϕ
⎪ϕ 0 x = arctg
1 + cos ϕ
⎪
x
α
⎪→
⎪ E = ((E 0 x cos( wt + ϕ 0 x ) ),0,0 )
E1
⎪
⎧
2
⎪
cos α =
⎪
⎫⎪
E1 = E 01 (1,0,1) cos wt
⎪
⎫
2
⎬
⎪⎪α = 45º ⎨
E 2 = E 01 (cos α , senα ,0) cos( wt + ϕ ) ⎭
⎪ senα = 2
⎪⎪
⎪⎩
→
⎪⎪
2
E = ((E 0 x cos( wt + ϕ 0 ) ), E 01 senα cos( wt + ϕ ),0 )⎪⎪
⎬⎨ E 0 x = E 0 1.5 + cos ϕ
2
⎪⎪
E 0 x = E 01 1 + cos α + 2 cos α cos ϕ
⎪⎪
2 ·senϕ
cos α ·senϕ
⎪⎪ϕ 0 x =
ϕ 0 = arctg
2 + 2 cos ϕ
⎪⎪
1 + cos α ·cos ϕ
⎭⎪
→
⎞
⎛
2
⎪ E = ⎜ (E 0 x cos( wt + ϕ 0 x ) ),
E 01 senα cos( wt + ϕ ),0 ⎟⎟
⎜
2
⎪
⎠
⎝
⎪
⎪
⎧cos α = 0
⎪α = 90 º ⎨
⎩ senα = 1
⎪
⎪E = E 1 + 0 + 0 = E
01
01
⎪ 0x
=
ϕ
0
⎪ 0x
⎪→
⎪ E = ((E 01 cos( wt ) ), E 01 cos( wt + ϕ ),0 )
⎩
y
E2y
Intensidad:
1
1
1
I = ncε 0 E 02 = ncε 0 (E 02x + E 02y + E 02 ) = ncε 0 (E 012 (1 + cos 2 α ) + 2 cos α cos ϕ ) + (E 012 ·sen 2α ) =
2
2
2
1
1
= ncε 0 (E 012 + E 012 cos 2 α + E 012 2 cos α cos ϕ + E 012 ·sen 2α ) = ncε 0 (2 E 012 + 2 E 012 cos α cos ϕ ) =
2
2
1
1
1
1
ncε 0 E 01 ·cos α ·cos ϕ = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 ·cos α ·cos ϕ
= ncε 0 E 012 + ncε 0 E 012 + 2 ncε 0 E 01
2
2
2
2
1
⎧
2
⎪si → α = 0º → I = 2 ncε 0 E 01 (2 + 2 cos ϕ ) = 2 I 1 + 2 I 1 cos ϕ
⎪
1
⎪
2
⎨si → α = 45º → I = ncε 0 E 01 (2 + 2 cos ϕ ) = 2 I 1 + 2 I 1 cos ϕ
2
⎪
1
⎪
2
⎪si → α = 90º → I = 2 ncε 0 E 01 ·2 = 2 I 1
⎩
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5.- Sabiendo que la superposición de una onda consigo misma una vez reflejada (es decir, propagándose en
sentido opuesto a la onda original) produce una onda estacionaria, el científico Heinrich Rudolf Hertz logró
calcular la velocidad de la luz midiendo la distancia entre nodos. Si Hertz generaba ondas de 108 Hz de
frecuencia, ¿qué distancia entre nodos medía?.
→
→
→
→
→
E = E 01 cos( wt − kx) + E 01 cos( wt + kx) = E 01 (cos( wt − kx) + cos( wt + kx) ) = E 01 ·2·cos( wt ) cos(kx)
Que la parte espacial y la temporal salgan separadas implica que no hay propagación. Es una onda estacionaria.
E = 2 E 01 cos kx·cos wt
Puntos interesantes:
· coskx=0 porque no hay fluctuación, el campo es cero.
· La amplitud es máxima en los vientres; coskx=1
· La distancia entre nodos; cos(kxn)=0
Cuando
xn =
(2m + 1) π
k
· Distancia entre nodos:
π
2π
x m − x m −1 = ; k =
k
λ
8
λ 1 c(3·10 )
=
= 1.5m
2 2 υ (10 8)
(2m + 1)π π 3π
2 ⎯
⎯→ K xn =
= , ,2π .....
2
2 2
6.- Tres ondas con campos paralelos entre sí viajan en la misma dirección por un medio no dispersivo de índice
n = 1.5. Sus frecuencias son 1000, 1000.1 y 999.9 Hz, sus amplitudes son 2, 1 y 1 V/m. Calcula la intensidad en
el origen de coordenadas.
E = E 01 cos( w1t ) + E 02 cos( w2 t ) + E 03 cos( w3t ) = 2 cos( 2π ·1000t ) + 1·cos(2π ·1000·1t ) + 1 cos( 2000πt + 0.2πt ) +
+ cos( 2000πt − 0.2πt ) = 2 cos( 2000πt ) + cos(0.2πt ) − sen(2000πt ) sen(0.2πt ) + cos(2000πt ) cos(0.2πt ) +
+ sen(2000πt )·sen(0.2πt ) = 2·cos( 2000πt )(1 + cos(0.2πt )) = 4·cos 2 (0.1πt ) cos(2000πt )
1
1
1
I = ncε 0 E 022 = ncε 0 E 02 = ·1.5·3·10 8 ·8.8·10 −12 (4·cos 2 (π ·0.1·t )) = 3.19·10 − 2 ·cos 4 (π ·0.1t )
2
2
2
7.- El periodo de la fase de una onda de amplitud modulada es T = 2.1·10-15 sg. y el periodo de la modulación es
6·10-13 sg. Suponiendo que se trata de la superposición de dos ondas monocromáticas, determina sus
frecuencias.
2π
⎫
= 2.992·1015 rad / s ⎪⎧ w1 + w2 = 2.992·1015 rad / s ⎫
⎪⎪⎧⎪w1 = 3.002·1015 rad / s
Tf
⎪⎪⎪ 2
⎬⎨
⎬⎨
w1 + w2
∆w 2π
⎪w = 2.982·1015 rad / s
13
13
⎪
⎪
= 1.05·10 rad / s ⎪⎪⎩ 2
→
=
= 1.05·10 rad / s
⎪⎭⎪⎩ 2
⎭
2
Ta
T f = 2.1·10 −15 → w =
Ta = 6·10 −13
Modulación de la fase: T f = 2.1·10 −15 s = w =
w1 − w2 2π
=
2
Tf
→∧
→∧
k − k2 → ∧ ⎞
k + k2 → ∧ ⎞
⎛ w − w2
⎛ w + w2
E = E 01 cos( w1t − k1 r s ) + E 02 cos(w2 t − k 2 r s) = 2 E 01 cos⎜ 1
t− 1
r s ⎟·cos⎜ 1
t− 1
r s⎟
2
2
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠
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8.- Calcula el campo eléctrico que podrá observarse en el instante t = 1.51·10-15 sg y en el punto (3.5 , 2 , -4.6)
nm, donde se superponen las siguientes ondas (todas las unidades en el S.I.):
[
)]
r
⎡ E1 = (18, 0.3, 5) cos 2.09·10 7 2·10 8 t − x − y + 3.66 z
⎤
⎢
⎥
⎢ Er = (0, 0, 2) cos ⎡2π · 6.67·1014 t + 2π (0.6 x − 0.8 y )⎤ ⎥
⎥⎦ ⎥
⎢⎣
⎢ 2
4.5·10 −7
⎢r
⎥
⎢ E3 = (11, − 2.1, 0) cos 3.04·1015 t + 1.01·10 7 z + π6
⎥
⎢r
⎥
15
6
⎣⎢ E 4 = (3.5, 0, − 3.5) cos 3.04·10 t − 7.17·10 (x + z ) − 0.6 ⎦⎥
(
[
]
[
[
]
r
⎡ E1 = (18, 0.3, 5) cos 2.09·10 7 2·10 8 ·1.5·10 −15 − 3.5·10 −9 − 2·10 −9 + 3.66(−4.6·10 −9
⎢
⎤
⎢ Er = (0, 0, 2) cos ⎡2π · 6.67·1014 ·1.5·10 −15 + 2π
0.6·3.5·10 −9 − 0.8·2·10 −9 ⎥
−7
⎢⎣
⎢ 2
4.5·10
⎦
⎢r
15
7
−15
−9
⎢ E3 = (11, − 2.1, 0) cos 3.04·10 ·1.5·10 + 1.01·10 (−4.6·10 ) + π6
⎢r
15
−15
6
−9
−9
⎢⎣ E 4 = (3.5, 0, − 3.5) cos 3.04·10 ·1.5·10 − 7.17·10 3.5·10 − 4.6·10 − 0.6
(
(
[
[
(
)
]
)
]
)]⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
r
⎤
⎡ E1 = (18, 0.3, 5) cos[5.80318(rad )] = (18, 0.3, 5) cos[332.49º ] = (18, 0.3, 5) 0.8869
⎥
⎢r
⎥
⎢ E 2 = (0, 0, 2) cos[6.2933(rad )] = (0, 0, 2) cos[360.579º ] = (0, 0, 2) 0.999948
⎥
⎢r
⎥
⎢ Er 3 = (11, − 2.1, 0) cos[5.037138(rad )] = (11, − 2.1, 0) cos[288.6067 º ] = (11, − 2.1, 0)0.31907
⎢ E = (3.5, 0, − 3.5) cos[3.96789(rad )] = (3.5, 0, − 3.5) cos[227.34335º ] = (3.5, 0, − 3.5)(−0.6776)⎥
⎦
⎣ 4
⎧π (rad ) ⎯
⎯→180º
⎪
⎯→ 332.49º
⎪5.80318(rad ) ⎯
⎪
⎯→ 360.579º
⎨6.2933(rad ) ⎯
⎪
⎯→ 288.6067 º
⎪5.037138(rad ) ⎯
⎪3.96789(rad ) ⎯
⎯→ 227.34335º
⎩
⎡ ETx = E1x + E 2 x + E3 x + E 4 x = (18·0.8869) + (0·0.999948) + (11·0.31907) + (3.5·(−0.6776)) = 17.10
⎤
⎢
⎥
⎢ ETy = E1 y + E 2 y + E3 y + E 4 y = (0·0.8869) + (0·0.999948) + (−2.1·0.31907) + (0·(−0.6776)) = −0.403 ⎥
⎢
⎥
⎣ ETz = E1z + E 2 z + E3 z + E 4 z = (5·0.8869) + (2·0.999948) + (0·0.31907) + (−3.5·(−0.6776)) = +8.805996⎦
Et =1.51·10 −15 s = (17.10,−0.403,+8.806)
P ( 3 .5 , 2 , − 4 . 6 )
5/5