Unidad Nº 1

Apuntes de Teoría:
Matemática II: Contador – Lic. en Administración
Unidad Nº 1: “Funciones De Una Variable Real”
INTRODUCCIÓN
La culminación del proceso de elaboración del concepto de función es uno de
los grandes aportes de la ciencia del siglo XVII.
Las funciones más interesantes, son las funciones reales de variable real, es
decir, aquellas definidas sobre los números reales y cuyos valores son también
números reales. Su estudio constituye el armazón de toda la matemática y de toda la
ciencia y tecnología moderna. Las funciones lineales, polinómicas, circulares, hacen su
aparición en muchas situaciones diferentes.
Problemas del Análisis Matemático son, el estudio de funciones, esto es, de la
dependencia de una variable respecto de otra y de la conexión entre el concepto de
función y la representación geométrica de una curva.
Los aspectos más interesantes de una función, como son su continuidad, su
carácter creciente, decreciente, puntos máximos o mínimos, etc. Se estudian mediante
la noción de derivada (que expresa en forma cuantitativa la mayor o menor rapidez del
cambio de la función y el fenómeno que ésta representa). La noción de integral
expresa el área que la curva determina sobre el eje de representación, en muchos
casos su significado es físico.
Intervalos
Supongamos que “ S ” es un conjunto de números reales, decimos que x  S si
y sólo sí x es un elemento de S .
En símbolos: S  x / x  ......
Los puntos suspensivos indican la condición que debe satisfacer “ x ”
exactamente para pertenecer a S . En cálculo, los subconjuntos de números reales
más importantes son los intervalos.
Dados dos números reales a y b , con a  b si y sólo sí b  a es positivo,
podemos definir un subconjunto de números reales denominados intervalos.
Clasificación de los intervalos
Intervalos acotados: son aquellos que poseen cota superior e inferior.
a) Intervalo cerrado: a, b es el subconjunto de los números reales que
verifica:
a,b  x / x    a  x  b
a
b
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Este conjunto de números reales se forma con los extremos a , b (inferior y
superior, respectivamente) y los valores entre a y b .
b) Intervalo abierto: a ,b  es el conjunto de los números reales formados
por:
a,b  x / x    a  x  b
a
b
Es el conjunto formado por los números comprendidos entre a y b , sin incluir los
extremos.
c) Intervalos semiabiertos (o semicerrados): son subconjuntos de la

forma:
Intervalo semiabierto a izquierda o semicerrado a derecha: a ,b es el
conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b .
a,b  x / x    a  x  b

a
b
Intervalo semicerrado a izquierda o semiabierto a derecha: a ,b es el
conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b .
a,b  x / x    a  x  b
Intervalos
no acotados:
a
b
son aquellos donde aparecen los símbolos   y
  . Estos símbolos se usan solamente por conveniencia de relación y nunca
como números reales. Donde aparece  nunca puede ser cerrado el intervalo.
a) Intervalo semicerrado a la izquierda: el intervalo es cerrado en a , e
incluye todos los valores mayores o iguales a a . La gráfica es una semirrecta con
origen en a .
a,  x / x    x  a
a
b) Intervalo semiabierto a izquierda: intervalo formado por todos los valores
mayores que a .
a,  x / x    x  a
a
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c) Intervalo semicerrado a derecha: intervalo formado por todos los valores
menores o iguales que b .
 ,b  x / x    x  b
b
d) Intervalo semiabierto a derecha: intervalo formado por todos los números
menores que b .
 ,b  x / x    x  b
b
e) Intervalo infinito: es el conjunto que representa a todos los números reales
 ,  x / x    
Relaciones Funcionales
En Matemática, en Física y en otras ramas de las Ciencias o de la vida
humanan, se representan relaciones binarias entre distintos conjuntos que tienen
singular importancia. De éstas relaciones, interesan especialmente aquellas que hacen
corresponder a cada elemento del primer conjunto un único elemento del segundo
conjunto.
Este tipo de relaciones recibe el nombre particular de “relación funcional” ó
“función”. Como sinónimo de función, se utilizan en general, los términos: aplicación,
transformación y correspondencia.
Por lo tanto, la idea fundamental en el concepto de función es que cada
elemento del dominio tiene una y sólo una imagen en el recorrido; aunque un
elemento del recorrido puede ser imagen de más de un elemento del dominio.
Definición de Función:
Dados dos conjuntos A y B, no vacíos, se llama función de A en B, a la relación
que asigna a cada elemento del conjunto A uno y sólo un elemento de B. Es decir; que
para cada elemento de A le corresponde un único elemento del conjunto B.
Simbólicamente: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 /∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦! ∈ 𝐵 ∶ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Condiciones para que una relación sea función:
a) Existencia: ∀𝒙 ∈ 𝑨 ∃𝒚 ∈ 𝑩 /(𝒙, 𝒚) ∈ 𝒇
b) Unicidad: (𝒙, 𝒚) ∈ 𝒇 ∧ (𝒙, 𝒛) ∈ 𝒇 ⇒ 𝒚 = 𝒛
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Las funciones cuyo dominio y recorrido son conjuntos de números reales se
denominan funciones de variable real o funciones escalares.
Simbólicamente: 𝑓: ℜ → ℜ / ∀𝑥 ∈ ℜ ∃𝑦! ∈ ℜ: 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Notas:
 Con la expresión 𝑦 = 𝑓(𝑥) se pretende expresar que para determinar el valor
de "𝑦" es necesario resolver operaciones matemáticas en donde aparezca el
valor de "𝑥". Es decir, que asignándole un valor a "𝑥" obtenemos uno o varios
valores de "𝑦". En consecuencia la expresión 𝑦 = 𝑓(𝑥) que significa "𝑦 igual a la
función de 𝑥"; representa una ley determinada de relación entre dos variables.
 Como 𝑥 puede recibir cualquier valor a criterio del analista se la denomina
variable independiente; como los valores de 𝑦 dependen de los valores
otorgados a 𝑥, se llama variable dependiente.
Representación Analítica Y Gráfica de Funciones
Utilizaremos en Matemática II, dos formas para representar una relación
funcional:
 Representación analítica:
Se llama EXPRESIÓN ANALÍTICA a la notación simbólica del conjunto de
operaciones matemáticas conocidas que se han de realizar en cierto orden, con los
números y letras que designan magnitudes constantes o variables.
Ejemplos:
𝑦 = 𝑥 4 − 3;
2𝑥
𝑦 = 𝑥−1 ;
𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1;
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑥
 Representación gráfica:
Las funciones escalares pueden representarse gráficamente en un plano, en un
sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas ortogonales. Para ello, trazamos
en el plano dos rectas perpendiculares y las enumeramos, tomando un segmento como
unidad y transportándolo sobre ellas. El punto de intersección de las rectas se
denomina origen de coordenadas y ese punto es el 0. A las rectas las llamamos ejes
coordenados; en el eje horizontal o de las abscisas se representan los valores del
argumento o variable independiente 𝑥 (definidas en su dominio) y en el eje vertical o
de las ordenadas (indicadas en su imagen o recorrido) los valores de la función 𝑦. La
representación gráfica de una función 𝑓 está dada por los puntos (𝑥, 𝑦) del plano, para
los cuales es 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Suele usarse el nombre de “GRAFO” o “GRÁFICO” para designar al conjunto de
pares ordenados que pertenecen a la función. Por lo general, antes de realizar la
gráfica de una función se confecciona una tabla de valores que indican la
correspondencia funcional, se representan los puntos y luego se los une con una línea
suave.
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Cabe aclarar, que las escalas pueden o no ser las mismas para ambos ejes, e
inclusive no ser lineales.
ANÁLISIS DE LAS VARIACIONES DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE SU GRÁFICA
 Intersecciones con los ejes coordenados:
Al construir el gráfico de cualquier función escalar, es conveniente encontrar, si
existen, las intersecciones del mismo con los ejes coordenados. Las coordenadas del
punto obtenido se denomina intercepción.
 Intersección con el eje “y”: Si existe, es única, de acuerdo con la definición
de función, se la obtiene haciendo 𝑥 = 0 en la expresión analítica. Es decir, si
existe, la intersección del gráfico con el eje de las ordenadas es el punto
(0; 𝑓(0)).
 Intersección con el eje “x”: Corresponden, si existen, a los puntos donde se
anula el valor de función. Se obtiene haciendo 𝑦 = 0 en la expresión analítica.
Los puntos del dominio, donde el valor de la función es cero, reciben el nombre
de “ceros o raíces de la función”.
Simbólicamente: “𝑎" 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 ⇔ 𝑓(𝑎) = 0.
Si "𝑎" es un número real, el gráfico corta al eje “𝑥” en el punto (𝑎; 0).
 Crecimiento y decrecimiento:
 Las funciones crecientes son aquellas que al aumentar o disminuir la variable
independiente, la función aumenta o disminuye en el mismo sentido.
Gráficamente:
 Las funciones decrecientes son aquellas que al aumentar o disminuir la variable
independiente, la función disminuye o aumenta respectivamente.
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Gráficamente:
Nota:
Existen funciones que están formadas por tramos crecientes y tramos
decrecientes. Otras crecen o disminuyen siempre. La utilidad de este análisis se aprecia
en el estudio de “máximos y mínimos” (Unidad Nº 4).
 Definición de asíntota:
Una asíntota es una recta, trazada en forma vertical u horizontal, que indica que la
curva se acerca indefinidamente pero no la intercepta. Una manera de determinar las
asíntotas es analizando el campo de definición y el de variabilidad (conceptos que
serán definidos posteriormente). Así, por ejemplo, la recta 𝑥 = 𝑎 (que se representa
con línea punteada cuando el valor no pertenece al Dominio o Campo de Definición) es
una asíntota vertical para la gráfica de una función 𝑓 si 𝑓(𝑥) → ∞ ó 𝑓(𝑥) → −∞, a
medida que 𝑥 se aproxima a “𝑎" ya sea desde la izquierda como desde la derecha.
Análisis de funciones uniformes

Funciones uniformes y relaciones multiformes:

Función explícita:
Las funciones son uniformes cuando tienen un resultado único; o sea cuando a
cada valor asignado a 𝑥 le corresponde un solo valor de 𝑦. Las operaciones tales como:
suma, multiplicación, división, potenciación dan resultados únicos, por lo tanto su
empleo en las funciones dan a éstas la característica uniforme.
Las relaciones multiformes son aquellas en las que, para cada valor asignado a
𝑥 obtenemos más de un valor para 𝑦 y ello ocurre, por ejemplo, cuando la operación
es la radicación.
Una función escalar puede ser definida por cualquier
recurso que permita hallar, para cada punto de un dominio determinado, el valor de la
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imagen correspondiente. En las funciones definidas explícitamente se da una regla (o
varias), que permitan determinar𝑓(𝑥); conociendo 𝑥, mediante una sustitución
numérica directa.
Ejemplos:
a)
y
2
x 1
3
c)
b)
y  x2  4x  5
d)

Función implícita: Sea F x; y   0
Ejemplo: F x; y   2 xy  3 y  1
1
x2
y  3x
y
una expresión en dos variables x e y .
Una función f es solución de la ecuación F x; y   0 si y sólo si x : F x; f x   0 .
En este caso, se dice que la función f está definida implícitamente por F x; y   0 .
Del ejemplo: F x; y   2 xy  3 y  1
2 xy  3 y  1  0
2 xy  3 y  1
y( 2 x  3 )  1
1
y
2x  3
Tenemos la ecuación:
Despejamos “ y ”
Función f x  definida explícitamente.
Comprobamos que F x; f x  es solución de la ecuación: F x; y   0 .
2 xy  3 y  1  0
Reemplazamos y 
 1   1 
2 x
  3
10
 2x  3   2x  3 
 2x
3

10
2x  3 2x  3
 2x  3  2x  3
0
2x  3
1
2x  3
Resolvemos el producto
Sacamos común denominador
0 0
1
es solución de F x; y   0 .
2x  3
Otros ejemplos: 2 x  y  3 , x 2  y  3 . Determinar f x  y efectuar la verificación.
Con lo cual comprobamos que y 
Nota:
Cabe aclarar que en algunos casos no resulta tan sencillo hallar la expresión
analítica de f .

Función par:
Si una función f tiene el mismo valor en el punto x y en su
opuesto  x  , la función es una función par. Estas funciones resultan simétricas
respecto del eje de las ordenadas.
Simbólicamente:
f es función par  x  R : f x  f  x
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Ejemplos:

y  x2
y  cos x
Una función f x  se denomina impar si para todo x de su
dominio, el valor obtenido de la función al reemplazar a x por su opuesto  x  ,
resulta también opuesto. Es decir, si los valores que alcanza f en valores opuestos
del dominio, son valores opuestos en la imagen. Estas funciones resultan simétricas
respecto del origen de coordenadas.
Función impar:
Simbólicamente:
Ejemplos:
y  x3
f es función impar  x  R : f x   f  x 
y  sen x
Campo de Definición y Campo de Variabilidad
Analizando las variables independiente y dependiente, ambas tomarán valores
dentro de un conjunto de valores admisibles, a los que denominaremos Campo de
Definición y Campo de Variabilidad de una Función.
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 Determinación del dominio de una función:
Se llama Campo de Definición (C.D.), ó dominio, ó de existencia, al conjunto de los
valores que adopta la variable independiente para los cuales la función está definida o
tiene sentido. Para que esto ocurra debe evitarse:
División por cero:
𝑦=
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
con ℎ(𝑥) ≠ 0
Raíz de índice par y radicando negativo:
𝑔(𝑥) ≥ 0
Logaritmo de un número negativo o cero:
𝑔(𝑥) > 0.
𝑦 = √𝑔(𝑥), si es 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 ⇒
𝑛
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑔(𝑥); si 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ⇒
Si 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⇒ |𝑥| ≤ 1.
Si 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⇒ |𝑥| ≤ 1.
Luego, todo valor de la variable independiente que no esté afectada por las
condiciones anteriores pertenecerá al dominio o Campo de Definición de la función.
Ejemplos: Determinar el campo de definición de las siguientes funciones. (Desarrollo
a cargo del alumno)
𝑥+4
a) 𝑦 = 𝑥−2
b) 𝑦 = √𝑥 − 4
c) 𝑦 = log(𝑥 − 1)
d) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 3)
 Determinación de la imagen de una función:
Se llama Campo de Variabilidad (C.V.) ó imagen de una función, al conjunto de
valores que tomará la variable dependiente ("𝑦"), cuando "𝑥" adopte los valores de
su campo de definición.
El análisis de la imagen de la función se realiza sobre la variable dependiente.
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Para ello, previamente se debe despejar la variable independiente a partir de la forma
usual de expresión de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Luego se analizan las mismas situaciones que se deben evitar para el cálculo
del dominio.
Ejemplos:
Determinar el campo de variabilidad de las siguientes funciones.
(Desarrollo a cargo del alumno)
𝑥+4
a) 𝑦 = 𝑥−2
b) 𝑦 = √𝑥 − 4
Notas:
 Dando valores a la variable independiente "𝑥" se determinan los valores de la
variable dependiente "𝑦" . También se puede decir que 𝑥 es la variable o
argumento y 𝑓(𝑥) = 𝑦 es la imagen de 𝑥, ó el valor de la función 𝑥 (que es el
punto o número considerado).
 En general, las funciones 𝑓 se dan indicando sólo la regla que permite obtener
las imágenes, quedando sobreentendido que es el conjunto de los números
reales, caso contrario se indica el conjunto numérico utilizado.
 Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una
fórmula o una gráfica. Trabajaremos con funciones expresadas mediante una
fórmula o expresión analítica y su gráfica.
 Cuando no pueda calcularse analíticamente en C.V. (es decir, cuando no
pueda hallarse su inversa); se lo determinara gráficamente teniendo en
cuenta el C.D.
Clasificación de funciones de acuerdo con su expresión analítica
A continuación, clasificamos y analizamos las funciones de acuerdo con su
expresión analítica dada en forma explícita:

Una función es algebraica cuando, dado un valor del dominio, f x  se puede
calcular mediante la aplicación (un número finito de veces) de las operaciones adición,
sustracción, multiplicación, división, potencia, raíz. En este tipo de funciones la variable
no puede figurar como exponente de una potencia ni como índice de una raíz.

Una función es trascendente cuando no es algebraica.
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
Son funciones especiales aquellas que no se encuentran en la clasificación
anterior.
Enteras
Racionales
Algebraicas
Lineales
Cuadráticas
Generales
Fraccionarias
Homográficas
Generales
Irracionales
Exponenciales
Logarítmicas
Directas o circulares
Trascendentes
Trigonométricas
Inversas o ciclométricas
Directas
Hiperbólicas
Inversas
Especiales
Valor absoluto
Parte entera
Signo
Parte decimal
A continuación estudiaremos las principales funciones de cada grupo que
corresponden a Matemática II.
FUNCIONES ALGEBRÁICAS:

Función racional entera: Son las funciones en las cuales la variable
independiente aparece afectada por las operaciones de adición, sustracción,
multiplicación y potencia de exponente natural.
Toda función algebraica racional entera es un polinomio de la forma:
f x  an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0
Donde a n , a n 1 ,..., a1 , a0 , son constantes reales, n es un número natural que
determina el grado de la función.
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El dominio de todas las funciones algebraicas racionales enteras es el conjunto de
los números reales, es decir: Dm f   ,    .
Ejemplos:
f  x   3x 5  2 x 3  8 x  1
f x   2 x 7  4 x 2  1
Grado de f : 5
Grado de f : 7
Las funciones algebraicas enteras, se clasifican a su vez, de acuerdo con su
grado, en constantes, lineales, cuadráticas, cúbicas, generales.
a) Funciones lineales: La función lineal está representada por un polinomio de
primer grado, que es de la forma y  mx  b , y representa gráficamente una
recta, m recibe el nombre de pendiente de la recta y b , que indica el punto
donde la recta corta al eje de ordenadas, recibe el nombre de ordenada al
origen.
El dominio y la imagen ( m  0 ) de estas funciones es  .
y
y = mx+b
x
Nota: En base a la ordenada al origen y a la pendiente, se puede representar
la gráfica de la función lineal. Se determina sobre el eje “ y ” la ordenada al
origen, a partir de ese punto, se toma a la derecha tantas unidades como lo
indica el denominador de la pendiente, y luego hacia “arriba” o hacia “abajo”,
según sea positivo o negativo el signo de la pendiente, tantas unidades como lo
indica el numerador.
Ejemplos: Para graficar es necesario determinar solamente dos puntos por
medio de la tabla de valores o en base a la ordenada al origen y a la pendiente.
(Desarrollo a cargo del alumno).
i.
ii.
2
x 1
3
y  2 x  3
y
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Caso particular: Si m  0  y  b . La función lineal de grado cero recibe el
nombre de función constante. Su gráfica es una recta horizontal (paralela al eje
x ) a la altura de y  b .
El dominio es el conjunto de los números reales y la imagen, b .
y
y=q
x
b) Funciones polinómicas de segundo grado o cuadráticas: La función
polinómica de segundo grado o cuadrática es de la forma: y  ax 2  bx  c .
La gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola.
El dominio de esta función es el conjunto de los números reales.
y
y = ax²+bx+c
Eje de simetría
Raíz
Raíz
x
Ordenada al origen
Vértice
Nota:
Para representar gráficamente la función cuadrática se deben tener en
cuenta sus elementos. Ellos son:
1º) Concavidad: Está determinado por el coeficiente del término cuadrático
( a ). Si es a  0 la concavidad es hacia arriba; en cambio, cuando a  0 las
ramas de la curva van hacia abajo.
2º) Vértice: Se calcula mediante: xv  
 b 2  4ac 
b


y


; v
4
a
2a


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3º) Raíces: (o ceros de la función): Está dada por la resolvente cuadrática:
 b  b 2  4ac
2a
2
El término b  4ac   se denomina discriminante y dependiendo de su valor
x1, 2 
se obtienen las raíces.
   0 , entonces se obtienen dos raíces reales y distintas. Significa que la
gráfica corta en dos puntos al eje x .
  0 , entonces se obtienen dos raíces reales e iguales. Significa que la

gráfica corta en un solo punto al eje x .
  0 , entonces se obtienen dos raíces complejas conjugadas. Significa

que la gráfica no intercepta al eje x .
4º) Eje de simetría: Divide a la parábola en dos partes iguales y pasa por su
vértice. x  x v
5º) Ordenada al origen: Es el punto que corta al eje y . Sus coordenadas son
0,c .
Ejemplo:
Analizar y representar la función: y  x 2  4 x  5 . (Desarrollo a
cargo del alumno).
Caso particular: Si b  c  0 , resulta y  ax 2 , lo que significa que la gráfica
pasa por el origen de coordenadas. Por lo tanto, para esbozar una gráfica
aproximada se deben dar un mínimo de cuatro valores en la tabla de valores.
c) Funciones racionales enteras generales: Son todos los polinomios con
grado n  3 . Para representar gráficamente estas funciones conviene hacer
intersecciones con los ejes coordenados y construir una tabla de valores.
Ejemplos:

f  x    x  1 ,
4
3
f x  x  2 .
Función algebraica racional fraccionaria: Una función f es un
función racional si f x  
g x 
, donde g x  y hx  son polinomios. El dominio de
h x 
f está formada por todos los números reales, excepto los valores que anulan al
denominador. Para
correspondiente.
graficar
la
función
es
necesario
aclarar
el
dominio
Ejemplos:
a) y 
1
x2
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b) y 
Nota:
3x
(Desarrollo a cargo del alumno).
x 9
2
Si “𝑎" es un valor que anula el denominador, debemos tener en cuenta al
trazar la gráfica que, por ese valor, pasa una asíntota vertical (𝑥 = 𝑎). Hallando el
campo de variabilidad, determinaremos, si corresponde, la asíntota horizontal.
Ejemplo desarrollado:
3x
en x  2 el denominador se anula, así que si nos
x2

aproximamos a 2 por izquierda; es decir x  2 observamos que la función toma
valores negativos extremadamente grandes; es decir, f x    la función
Para la siguiente función y 
disminuye en forma ilimitada.

Si nos aproximamos por derecha a 2, es decir x  2 la función toma valores
positivos extremadamente grandes; es decir, f x    la función aumenta en forma
ilimitada.
Gráficamente:
Los símbolos  (infinito) y   (menos infinito) no representan números reales, tan
solo especifican ciertos tipos de comportamientos de funciones y variables. La recta
punteada en x  a se denomina asíntota.
Caso particular: Un caso particular de las funciones algebraicas racionales
fraccionarias son las funciones homográficas, en las que el numerador y el
denominador son polinomios de primer grado, es decir: f  x  
ax  b
; donde c  0 ,
cx  d
porque de no ser así, la función se convierte en lineal.
Las asíntotas de las funciones homográficas son:
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

d
c
a
Asíntota horizontal: y 
c
Asíntota vertical: x  
Ejemplo: Determinar las asíntotas de la función f x  
x4
y graficar. (Desarrollo
x2
a cargo del alumno).

Función algebraica irracional: Son todas aquellas funciones donde la
variable independiente figura en el radicando. El dominio de f está formado por
todos los números reales, excepto aquellos que hacen negativo el radicando cuando
el índice es par.
Ejemplos:
a) f  x  
b) f x   3
x  4 (Desarrollo a cargo del alumno)
x  1 (Desarrollo a cargo del alumno)
FU NCIONES TRASCENDENTES:

Función exponencial: La función exponencial es aquella que queda definida
por f  x   k  a x , donde k es una constante cualquiera; a es un número real
positivo distinto de 1 y se denomina base.
Las gráficas de las funciones exponenciales, se pueden hallar por simples tablas de
puntos. Las formas de las gráficas de las funciones exponenciales, si k  1 , son:
y
y = ax
y = ax
y
x
a 1
x
0  a 1
Características:
 Si a  1 , la función es creciente; es decir, x1  x 2  a x1  a x2 .

Si 0  a  1 , la función es decreciente; es decir, x1  x 2  a x1  a x2 .
Si la función está multiplicada por la constante k , resulta:

Si k  0 , entonces el valor de f  x   k  a x aumenta al aumentar el valor de x .
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Si k  0 , entonces el valor de f  x   k  a x disminuye al aumentar el valor de x .

Ejemplos:
Graficar y dar las características de cada una de las funciones
exponenciales siguientes: (Desarrollo en a cargo del alumno)
a)
f x   3 x
1
b) f x    
 3
x
Nota: Un caso particular de funciones exponenciales, de gran aplicación, se verifica
cuando la base es “ e ”. Donde “ e ” es una constante cuyo valor es
aproximadamente: 2,718281...
Esta función usa las siguientes notaciones: f x   e x  exp x .
Las características de esta función son similares a las funciones exponenciales.
Todas las gráficas de las funciones exponenciales contienen al punto 0 ,1 .

Función logarítmica: La función logarítmica está definida por f x   loga x ,
donde la base debe ser a  0  a  1 . La función logarítmica es inversa de la
función exponencial, por tanto su dominio es el conjunto de los reales positivos y la
imagen son todos los números reales.
La representación gráfica de esta función es una curva simétrica a la exponencial de
la misma base, tomando como eje de simetría la recta de ecuación y  x .
Sus formas básicas son:
y = log a x
y
y = log a x
y
x
x
a 1
0  a 1
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Características:
Para valores de a  1 la gráfica es siempre creciente y para valores de a entre
0  a  1 la gráfica decrece.
Además todas las gráficas de funciones logarítmicas, contienen al punto 1;0
Notas: Los dos tipos de logaritmos más usuales son:
 Logaritmos decimales (o vulgares): tienen la base a  10 , se escribe: y  log x .
 Logaritmos neperianos (o naturales): tienen la base a  e , se escribe: y  ln x .
Ejemplos:
Graficar y dar las características de cada una de las funciones
logarítmicas siguientes:
a)
b)
f x   log2 x
f x  ln x
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Cuando los latidos del corazón, la actividad cerebral o las ondas sonoras de un
instrumento musical se traducen a imágenes visuales mediante un osciloscopio, se
obtiene un patrón regular repetitivo.
Este comportamiento repetitivo es una característica de las gráficas de las
funciones trigonométricas. De hecho, casi cualquier patrón repetitivo se puede
aproximar mediante combinaciones apropiadas de funciones trigonométricas.
Las funciones trigonométricas o angulares son los números reales que se
obtienen de calcular la ranzón entre los pares de lados de un triángulo rectángulo.
Estas funciones adquieren nombres particulares tales como: seno, coseno, tangente y
sus respectivas inversas multiplicativas o recíprocas: cosecante, secante y cotangente.
Tanto el dominio como el codominio de estas funciones son los números reales. Se las
puede representar en un sistema cartesiano construyendo previamente una tabla de
valores angulares que están en el sistema circular (pues los ángulos en el conjunto de
los números reales se miden en este sistema).
Ángulos
0

2

Valor de la función trigonométrica en el ángulo indicado
y  sen x y  cos x y  tg x y  cos ec x y  sec x
y  cot g x
0
1
0

1

1
0

1

0
0
-1
0

-1

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3
2
2
-1
0

-1

0
0
1
0

1

Representación gráfica y características de cada función.
Función seno:
y = sen x
y
1
-2
-

2
x
-1
Características de la función seno (o sinusoide):
1) El dominio es el conjunto de todos los números reales. Dm  R   ;  .
2) La imagen de la función es el conjunto formado por todos los puntos del
intervalo siguiente: Im  y / y  R  1  y  1   1;1 .
3) La función seno es una función impar, por lo tanto es simétrica con respecto al
origen de coordenadas.
4) La función seno es periódica con período 2 . Según podemos observar esta
gráfica no presenta cortes razón por la cual es una función continua.
5) La intersecciones en con el eje x está dada en los x  k ( k  Z ); y la
intersección en y es 0;0 .
6) El valor máximo es 1 y ocurre en x   / 2 , x  3 / 2 , x  5 / 2 , etc. y el
mínimo es  1 y ocurre en x   / 2 , x  3 / 2 , etc.
Función coseno:
y
-5/2
y = cos x
1
-3/2
5/2
/2
-/2
-1
3/2
x
Características de la función coseno (o cosenusoide o cosenoide):
1) El dominio es el conjunto de todos los números reales. Dm  R   ;  .
2) La imagen de la función es el conjunto formado por todos los puntos del
intervalo siguiente: Im  y / y  R  1  y  1   1;1 .
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3) La función coseno es una función par, por lo tanto es simétrica con respecto al
eje de las ordenadas.
4) La función coseno es periódica con período 2 . Según podemos observar esta
gráfica no presenta cortes razón por la cual es una función continua.
5) La intersecciones en x se da en los x  k / 2 ( k  Z ); y la intersección en
y es 0;1 .
6) El valor máximo es 1 y ocurre en x  0 , x  2 , x  2 , etc. y el mínimo es
 1 y ocurre en x   , x   , x  3 , etc.
Función tangente:
x = -/2
-
y
y = tg x
x = /2
0

x
Características de la función tangente (o tangenoide):
1) El dominio es el conjunto de todos los números reales, excepto los múltiplos


impares de  / 2 . Es decir, Dm   x / x  R  x  múltiplos impares de  .
2

2) La imagen de la función consiste en todos los números reales.
Im  R   ;  .
3) La función tangente es una función impar, por lo tanto es simétrica con
respecto al origen de coordenadas.
4) La función tangente es periódica con período  . Presenta cortes, esto significa
que la función no está definida para estos valores (múltiplos impares de

2
).
5) La intersecciones en x se da en los x  k ( k  Z ); y la intersección con el
eje y es 0;0 .
6) La función tangente presenta asíntotas verticales en x  3 / 2 , x   / 2 ,
x   / 2 , etc.
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FUNCIONES ESPECIALES

Función valor absoluto: es la función módulo o valor absoluto si y sólo sí
x : f x   x , de acuerdo con la definición de valor absoluto de un número real.
Gráficamente, resultan dos rectas con pendiente 1 , una de ellas es bisectriz del
primer cuadrante y la otra del segundo cuadrante. El punto donde corta al eje x , o
donde se anula la función, se llama “punto anguloso”.

Simbólicamente: f :    / f x   x .
y
5
y = x
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
Cuando queremos hablar del concepto de distancia, tenemos que hacer
referencia al valor absoluto o módulo de un número real.
Definición: Se llama valor absoluto o módulo de un número real “ x ”, al número real
positivo, que satisface las siguientes condiciones:
x
x 
 x
si x  0
si x  0
Es decir, el valor absoluto de un número real es el mismo número si éste es
positivo, o su opuesto si éste es negativo. Ejemplos: 2  2 ;  7   7   7 ; 0  0
O bien: x  0
 xR
El valor absoluto o modulo se interpreta geométricamente como la distancia de
un número al cero.
x
Propiedades
0
x
1.  a : a   a
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El valor absoluto de un número y su opuesto son iguales.
2.  a :  a  a  a
Se presentan tres casos:
a. a  0   a  a  a
b. a  0   a  a  a
c.
a  0  a  a  a
3. a, b : a  b  a  b
El valor absoluto del producto de dos números reales, es igual al producto de
los valores absolutos de los factores.
4. a, b :
a a

b b
con b  0
El valor absoluto de un cociente de dos números reales, es igual al cociente de
los valores absolutos del numerador y denominador, respectivamente; siempre
y cuando el denominador sea distinto de cero.

5. x    a  0 : x  a  a  x  a
-a

0

a
6. x    a  0 : x  a  x  a  x  a
-a
7. a, b : a  b  a  b

0
a
(Desigualdad triangular)
El valor absoluto de la suma de dos números reales es menor o igual que la
suma algebraica de los valores absolutos de los sumandos.
Demostración:
Por propiedad 2:  a  a  a y  b  b  b
Si se suman miembro a miembro las relaciones anteriores, resulta:
 a  b  ab  a  b
 a  b   a  b  a  b

a  b  a  b por propiedad 5.
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8. a, b : a  b  a  b
El valor absoluto de la diferencia de dos números es mayor o igual que la
diferencia de los valores absolutos del minuendo y el sustraendo.

Función signo: La función signo está dada por f  x   sgn x 
x
x
quedando
definida por partes o trazos:
y  sgn x 
si x  0
1

x  1
x
si x  0
Gráficamente resultan dos semirrectas horizontales:
y
2
y = x/x
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
Nota: Hay autores que consideran que el signo de
0 es 0 . ( f x   sgn 0  0 ), y
otros que afirman que no existe.
Operaciones con funciones
Es frecuente que las funciones se definan usando sumas, diferencias,
productos y cocientes de varias expresiones. Por ejemplo, si ℎ(𝑥) = 𝑥 2 + √5𝑥 + 1,
podemos considerar ℎ(𝑥) como una suma de valores de las funciones 𝑓 y 𝑔 dadas por:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 y 𝑔(𝑥) = √5𝑥 + 1 .
Llamamos ℎ a la suma de las funciones 𝑓 y 𝑔 y la denotamos por 𝑓 + 𝑔.
Entonces, ℎ(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥 2 + √5𝑥 + 1 .
En general, si 𝑓 y 𝑔 son cualquier función, usamos la terminología y notación
dadas en la siguiente tabla:
Suma, diferencia, producto y cociente de funciones
Terminología
Suma 𝒇 + 𝒈
Diferencia 𝒇 − 𝒈
Producto 𝒇. 𝒈
Valor de función
(𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)
(𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)
(𝒇. 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙)
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Cociente
𝒇
𝒈
𝒇
𝒇(𝒙)
( ) (𝒙) =
, 𝒄𝒐𝒏 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎
𝒈
𝒈(𝒙)
Los dominios de 𝑓 + 𝑔 , 𝑓 − 𝑔 y 𝑓. 𝑔 son la intersección I de los dominios de 𝑓 y
𝑔, es decir, los números que son comunes a ambos dominios. El dominio de 𝑓/𝑔 es el
subconjunto de I formado por toda 𝑥 en I tal que 𝑔(𝑥) ≠ 0.
Ejemplos: Hallar valores de la función de 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓. 𝑔 y 𝑓/𝑔.
Si 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 , encuentre (𝑓 + 𝑔)(2), (𝑓 − 𝑔)(2), (𝑓. 𝑔)(2), y
(𝑓/𝑔)(2).(Desarrollado en clase de teoría)
Composición de funciones
Definición de función compuesta:
La función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔) de dos funciones 𝑓 y 𝑔 está definida por
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
El dominio de (𝑓 ∘ 𝑔) es el conjunto de todo 𝑥 en el dominio de 𝑔 tal que 𝑔(𝑥)
está en el dominio de 𝑓.
La figura es un diagrama esquemático que ilustra relaciones entre 𝑓, 𝑔, y (𝑓 ∘
𝑔). Nótese que para 𝑥 en el dominio de 𝑔, primero hallamos 𝑔(𝑥)(que debe estar en el
dominio de 𝑓) y luego, en segundo lugar, encontramos 𝑓(𝑔(𝑥)).
Para la función compuesta (𝑔 ∘ 𝑓), invertimos este orden, primero hallamos
𝑓(𝑥) y en segundo lugar hallamos 𝑔(𝑓(𝑥)). El dominio de (𝑔 ∘ 𝑓) es el conjunto de
toda 𝑥 en el dominio de 𝑓 tal que 𝑓(𝑥) está en el dominio de 𝑔.
Como la notación 𝑔(𝑥) se lee “𝑔 𝑑𝑒 𝑥”, a veces decimos que 𝑔 es una función
de 𝑥. Para la compuesta (𝑓 ∘ 𝑔), la notación 𝑓(𝑔(𝑥)) se lee “𝑓 𝑑𝑒 𝑔 𝑑𝑒 𝑥”, y podríamos
considerar 𝑓 como función de 𝑔(𝑥). En este sentido, una función compuesta es una
función de una función o, en forma más precisa, una función de los valores de otra
función.
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Ejemplos: Hallar funciones compuestas:
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1 y 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 5.
a) Encuentre (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) y el dominio de (𝑓 ∘ 𝑔).
b) Encuentre (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) y el dominio de (𝑔 ∘ 𝑓).
c) Encuentre 𝑓(𝑔(2)) en dos formas diferentes: primero usando las funciones 𝑓 y
𝑔 por separado y luego usando la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔).
Algunas funciones en Economía
Debido a que en Economía aparecen magnitudes que son susceptibles de
medición, es posible la intervención de la matemática para estudiar fenómenos o
relaciones económicas.
Estas relaciones económicas se pueden representar por medio de funciones
matemáticas.
Las variables pueden ser: precios, costos de producción, intereses por el capital
invertido, ingresos en relación a la producción, etc.
No siempre es fácil establecer el tipo de función que corresponde a la relación
entre variables; pero debido a razones de comodidad y pensando en el pequeño error
cometido se las estudia como funciones lineales o cuadráticas (y en algunos casos,
aparecen funciones exponenciales y polinómicas generales).
 Funciones de costos, ingresos y ganancias
La dirección de una empresa (ya sea de un dueño único o una gran corporación)
debe mantener un registro constante de los costos de operación, de los ingresos
resultantes de la venta de productos o servicios y, tal vez lo más importante, de las
ganancias obtenidas.
En general, es bastante probable que las funciones de costos totales, ingresos y
ganancia relacionadas con una compañía no sean lineales. Pero las funciones de
costos, ingresos y ganancia lineales sí surgen en la práctica y son las que se
consideran a continuación.
Sea 𝑥 el número de unidades producidas de un producto fabricadas o vendidas.
Entonces, la función de costos totales es:
𝐶(𝑥) = Costo total de fabricación de 𝑥 unidades del producto.
La función de ingresos es:
𝐼(𝑥) = Ingresos totales obtenidos por la venta de 𝑥 unidades del
producto.
La función de ganancia es:
𝐺(𝑥) = Ganancia total obtenida por la fabricación y venta de 𝑥 unidades
del producto.
Supongamos que una empresa tiene costos fijos 𝐹 dólares, un costo de
producción de 𝑐 dólares por unidad, y un precio de venta de 𝑠 dólares por unidad.
Entonces las funciones de costos, ingresos y ganancia para esa empresa están dadas
por:
Costos totales:
𝐶(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝐹
(1)
Ingresos:
𝐼(𝑥) = 𝑠𝑥
(2)
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Ganancia:
(Ingresos-Costos)
𝐺(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥)
𝐺(𝑥) = (𝑠 − 𝑐)𝑥 − 𝐹
(3)
Notas:
Por lo general, los costos realizados al operar una empresa se clasifican en
dos categorías. Los costos que permanecen más o menos constantes, cualquiera que
sea el nivel de actividad de la compañía, son los costos fijos, por ejemplo, pago de
renta y sueldo de los ejecutivos. Los costos que varían con la producción o las ventas
son los costos variables. Algunos ejemplos de costos variables son la mano de obra y
los gastos de materia prima.
Análisis de equilibrio
Consideramos una empresa con función de costos (lineal) 𝐶(𝑥), función de
ingresos 𝐼(𝑥) y función de ganancia 𝐺(𝑥) dadas por las ecuaciones (1), (2) y (3).
El nivel de producción en que la empresa no tiene ganancias ni pérdidas es el
nivel operativo de equilibrio y se puede determinar resolviendo las ecuaciones 𝐶(𝑥) y
𝐼(𝑥) en forma simultánea. En el nivel de producción 𝑥0 , la ganancia es cero, de modo
que:
𝐺(𝑥0 ) = 𝐼(𝑥0 ) − 𝐶(𝑥0 ) = 0 Por lo tanto
𝐼(𝑥0 ) = 𝐶(𝑥0 )
El punto 𝑃(𝑥0 , 𝑝0 ), la solución de las ecuaciones simultáneas 𝐶(𝑥) y 𝐼(𝑥), se
conoce como el punto de equilibrio; el número 𝑥0 y el número 𝑝0 son la cantidad de
equilibrio y el ingreso de equilibrio, respectivamente.
Geométricamente, el punto de equilibrio 𝑃(𝑥0 , 𝑝0 ) es el punto de intersección de
las líneas rectas que representan las funciones de costos e ingresos.
Gráficamente: (Desarrollo a cargo del alumno)
Se debe tener en cuenta que si 𝑥 < 𝑥0 , entonces 𝐼(𝑥) < 𝐶(𝑥), de modo que
𝐺(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) < 0 y así la empresa tiene pérdidas en este nivel de producción. Sin
embargo, si 𝑥 > 𝑥0, entonces que 𝐺(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) > 0 y la empresa opera con
ganancias.
 Funciones de oferta y demanda:
En una economía de libre mercado, la demanda de los consumidores por cierto
artículo depende del precio unitario del mismo. La ecuación de demanda expresa la
relación entre el precio unitario y la cantidad demandada. La gráfica de ecuación
demanda es una curva de demanda. En general, la cantidad demandada decrece
cuando el precio unitario aumenta y viceversa. De acuerdo con esto, una función de
demanda, definida mediante 𝑝 = 𝑓(𝑥), donde 𝑝 mide el precio unitario y 𝑥 mide el
número de unidades del artículo en cuestión, suele caracterizarse mediante una
función decreciente en 𝑥; es decir, 𝑝 = 𝑓(𝑥) disminuye cuando 𝑥 aumenta. Como 𝑥 y 𝑝
sólo pueden adoptar valores no negativos, la curva de demanda es la parte de la
gráfica de 𝑓(𝑥) que está en el primer cuadrante.
En un mercado competitivo, también existe una relación entre el precio unitario
de un artículo y su disponibilidad en el mercado. En general, un incremento en el
precio unitario induce al productor a aumentar la oferta del mismo. Recíprocamente,
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un decrecimiento en el precio unitario lleva por lo general a una reducción de la oferta.
La ecuación que expresa la relación entre precio unitario y cantidad proporcionada es
una ecuación de oferta y su gráfica es una curva de oferta. Una función de oferta,
definida como 𝑝 = 𝑓(𝑥), se describe por lo general mediante una función creciente de
𝑥; es decir, 𝑝 = 𝑓(𝑥) aumenta cuando 𝑥 se incrementa. Como 𝑥 y 𝑝 sólo pueden tomar
valores no negativos, la curva de oferta es la parte de la gráfica de 𝑓(𝑥) que está en el
primer cuadrante.
Gráficamente: (A cargo del alumno)
Equilibrio de mercado:
En un esquema de libre competencia, el precio de un artículo se estabilizará en
un nivel determinado por la siguiente condición: la oferta del artículo será igual a la
demanda del mismo. Si el precio es demasiado alto, el consumidor no lo comprará, y si
el precio es demasiado bajo, el proveedor no lo producirá. Se da el equilibrio de
mercado cuando la cantidad producida es igual a la cantidad demandada. La cantidad
producida en el equilibrio de mercado es la cantidad de equilibrio y el precio
correspondiente es el precio de equilibrio.
El equilibrio de mercado correspondiente al punto donde las curvas de oferta y
de demanda se intersecan. En la figura, 𝑥0 representa la cantidad de equilibrio y 𝑝0 el
precio de equilibrio. El punto (𝑥0 , 𝑝0 ) está en la curva de demanda y, por lo tanto,
satisface la ecuación de demanda. Al mismo tiempo se encuentra en la curva de oferta,
por lo cual satisface la ecuación de oferta. Así, para establecer el punto (𝑥0 , 𝑝0 ) y con
ello la cantidad y el precio de equilibrio, ¿qué debemos hacer? Para obtener soluciones
significativas, ¿cómo deben ser 𝑥 y 𝑝?
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