CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el conjunto de puntos f del plano cuyas distancias (no dirigidas) a un punto fijo son iguales. El punto fijo se llama centro y la distancia constante no dirigida es el radio. La circunferencia es el perímetro del círculo. También es un tipo de cónica, obteniéndose como la intersección de un cono y un plano paralelo a la base de éste. Teorema: La circunferencia de centro C (h; K) y radio 𝑟 > 0 es la gráfica de la ecuación: 𝐶: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 Que recibe el nombre de ordinaria o reducida de la ecuación de la circunferencia. 1 MG. MARÍA BARBOZA CASTILLO Corolario. Si el centro de la circunferencia está en el origen, la ecuación de la circunferencia se reduce a la forma 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 Que recibe el nombre de forma canónica de la ecuación de una circunferencia. Elementos de la circunferencia Los principales elementos de la circunferencia son: Centro: el centro C es el punto interior que está a una distancia r de todos los puntos de la circunferencia ▪ Radio: es el segmento r que une el centro (C) de la circunferencia con cualquiera de sus puntos. ▪ Diámetro: segmento D que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro (C). Su longitud es el doble que la del radio. ▪ 2 MG. MARÍA BARBOZA CASTILLO Cuerda: es un segmento K que une dos puntos de la circunferencia sin necesidad de pasar por el centro. ▪ Arco: es la parte de la circunferencia que queda entre los dos extremos de una cuerda (a). ▪ Ángulo central: es el ángulo entre dos segmentos que van del centro a dos puntos de la circunferencia (α) Punto interior: punto que está dentro de la circunferencia (I), encontrándose a una distancia del centro menor que r. Punto exterior: puntos que están fuera de la circunferencia (E), es decir, a una distancia del centro mayor que r. ▪ ▪ ▪ ▪ Arco capaz: lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ven los extremos de una cuerda bajo un mismo ángulo. Este ángulo es la mitad del ángulo central que abarca dicha cuerda. Longitud de la circunferencia La longitud de la circunferencia es igual a dos veces el radio (r) por π, o lo que es lo mismo, el diámetro (D) de la circunferencia por π. 𝑳𝒄 = 𝟐𝝅𝒓 3 MG. MARÍA BARBOZA CASTILLO Área del círculo y sus partes El área del círculo es igual al producto del valor de 𝜋 y el cuadrado del radio. El valor aproximado de 𝜋 = 3,1416 𝑨𝒄 = 𝝅𝒓𝟐 𝑫𝟐 𝑨𝒄 = 𝟒 Siendo: r: radio del círculo D: diámetro del círculo A: área del círculo Teorema El área de un sector circular es igual a la razón entre la medida de su ángulo central y el “ángulo de una vuelta” multiplicada por el área del círculo al que corresponde. 𝜃 : medida del ángulo central A: área del sector circular 𝐴= 4 𝜃 𝜋𝑟 2 360° MG. MARÍA BARBOZA CASTILLO Casos particulares 𝜋𝑅2 𝐴= 2 𝜋𝑅 2 𝐴= 4 𝜋𝑅2 𝐴= 6 PROBLEMAS SOBRE CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO 1.- AB es el diámetro de la circunferencia mayor, los diámetros de las circunferencias menores miden 6cm y 2cm.Halla el área de la región pintada Solución 𝐴 = 𝜋𝑟 2 𝐴 = 𝜋𝑟 2 𝐴 = 𝜋𝑟 2 𝐴 = 𝜋(4)2 𝐴 = 𝜋(3)2 𝐴 = 𝜋(1)2 𝐴 = 16 𝜋𝑐𝑚2 𝐴 = 9 𝜋𝑐𝑚2 𝐴 = 1 𝜋𝑐𝑚2 5 MG. MARÍA BARBOZA CASTILLO 16 𝜋 − (9 𝜋 + 1 𝜋)= 6 𝜋 Rpta. 2.- Calcula x en el sector circular Solución 𝜃 𝜋𝑟 2 360° 30° 3𝜋 = 𝜋𝑟 2 360° 1 3𝜋 = 𝜋𝑟 2 12 𝐴= 36𝜋 = 1𝜋𝑟 2 36 = 𝑟 2 √36 = 𝑟 6𝑚 = 𝑟 3.-El área de un círculo es numéricamente igual a la longitud de su circunferencia. Halla la longitud del radio a) 1u b)2u c)3u d)√2𝑢 Solución 6 MG. MARÍA BARBOZA CASTILLO 𝐴𝑐 = 𝐿 𝜋𝑅2 = 2𝜋𝑅 𝜋𝑅2 =2 𝜋𝑅 R= 2u 4.-La longitud de una circunferencia es círculo? cm. ¿Cuál es el área del Solución 𝐿𝑐 = 2𝜋𝑅 43,96 = 2(3,14) R 43,96 = 6, 28 R 43,96 =𝑅 6,28 7= R 𝐴 = 𝜋𝑅2 𝐴 = 𝜋(7)2 𝐴 = 49𝜋 𝐴 = 49𝜋 𝐴 = 49(3,14) 𝐴 = 153.86𝑐𝑚2 5.- La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área. El área de la mesa es: A = 𝑙2 A = 12 7 MG. MARÍA BARBOZA CASTILLO A = 1𝑚2 Los dos semicírculos forman un circulo 1 r= 𝑚 2 1 2 𝐴 = 𝜋( ) 2 𝐴= 1 𝜋𝑚2 4 Área total 1 1𝑚2 + 𝜋𝑚2 4 1𝑚2 + 0,25(3,14)𝑚2 1𝑚2 + 0.785𝑚2 1, 785𝑚2 Rpta 6.-Calcula el perímetro de un círculo sabiendo que su diámetro es de 2 m. Solución 𝐿𝑐 = 2𝜋𝑅 𝐿𝑐 = 2𝜋(1) 𝐿𝑐 = 2𝜋 m 𝐿𝑐 = 6.28 𝑚 7.-Calcula el área de un círculo cuyo radio es igual a 20cm 8 MG. MARÍA BARBOZA CASTILLO
