1 Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Matemáticas Asignatura: Cálculo diferencial CDIF Grado: 1er. Semestre Competencia general: Utilizar el concepto de la diferenciación para resolver ejercicios y problemas teóricos y aplicados a diferentes áreas de conocimiento, por medio de las propiedades de la derivada. Antología basada en los autores; Dennis Edwin J. Purcell. Cálculo con geometría analítica. Universidad Abierta y a Distancia de México. Cálculo diferencial. William Granville. Cálculo diferncial e integral. Swokowski Earl. Cálculo con geometría analítica Facilitador: Orlando Fabián Echeverría Alonso Lic. en Cs. Físico - Matématicas Mtro. en Tecnología Educativa [email protected] Entrega de actividades en foro 100 % Entrega de actividad 100 % Entrega de evidiencia 100 % Entrega de autorreflexión 100 % Promedio 100 % Purcell (1992), UnADM (SF), Granville (1995), Swokowski (1982), MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría 2 MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría Índice general 1. Números reales y funciones 3 2. Límites y continuidad 5 3. Derivación 7 3.0.1. Reglas para encontrar derivadas . . . . . . . . . . . . . 7 3.0.2. Funciones exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . 8 3.0.3. Derivas exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.0.4. Derivadas de logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . 10 3.0.5. Derivadas de funciones trigonométricas . . . . . . . . . 10 3.0.6. Derivadas de funciones trigonométricas inversas . . . . 11 3.0.7. Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.0.8. Regla de derivación hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . 12 4. Aplicaciones de la derivada 13 4.1. Derivada como razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2. Razones de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3. Recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.3.1. U4. Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría ÍNDICE GENERAL Capítulo 1 Números reales y funciones 3 4 MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría Capítulo 2 Límites y continuidad 5 6 MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría Capítulo 3 Derivación 3.0.1. Reglas para encontrar derivadas 1. Si f (x) = k, donde k es un valor constante; f 0 (x) = d k=0 dx f 0 (x) = d x=1 dx 2. Si f (x) = x; 3. Si f (x) = xn ; f 0 (x) = d n x = nxn−1 dx 4. Si f (x) = kxn ; f 0 (x) = k d n x = k · nxn−1 dx 5. Si f (x) y g(x), son derivables, entonces; d df (x) dg(x) (f (x) ± g(x)) = ± dx dx dx 6. Si f (x) y g(x), son derivables, entonces; d dg(x) df (x) (f (x) · g(x)) = f (x) + g(x) dx dx dx 7 8 7. Si f (x) y g(x), son derivables, entonces; 3.0.2. f (x) g(x) 0 = (x) − f (x) dg(x) g(x) dfdx dx (g(x))2 Funciones exponenciales y logaritmos En la gráfica de la función f (x) = ln x, se observa el comportamiento de la función calculando los límites; lı́m ln x = ∞ y x→∞ lı́m ln x = −∞ x→0+ por lo anterior se enuncia el siguiente teorema; Teorema 3.0.1 A cada número real x le corresponde un número real positivo único y tal que ln y = x Def 3.0.1 La función exponencial natural denotada por exp se define mediante exp x = y si y solo si ln y = x para todo x y para todo y > 0. Una de sus propiedades es; ln er = r ln e = r(1) = r MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría CAPÍTULO 3. DERIVACIÓN 3.0.3. 9 Derivas exponenciales A partir de y = ex entonces ln y = x, Def 3.0.2 La función exponencial es la función que a cada x ∈ R le asigna el número ex , el cual satisface; e0 = 1 y d x e = ex dx Debe tener en cuenta las propiedades de los exponentes, es decir; ex+y = ex · ey enx = (ex )n y finalmente; e−x = 1 ex Gráfica de ex y ln x. Derivación exponencial. Aplicando la definición 3.2.4, calcular; d x e = ex dx basta aplicar la definición. MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría 10 3.0.4. Derivadas de logaritmo natural Dado x ∈ R el logaritmo natural de x es el número real ln x que satisface la relación; ln x = y ⇔ ey = x Esta relación implica que el dominio de la función ln x es el intervalo (0, ∞), ya que ey > 0 para toda y ∈ R. Propiedades de funciones logaritmicas. 1. ln(1) = 0 2. ln(x · y) = ln(x) + ln(y) 3. ln(xn ) = n ln(x) 4. ln 1 x = − ln(x) Def 3.0.3 Para cada x ∈ (0, ∞), se tiene que; 1 d d ln(u) = · u dx u dx 3.0.5. Derivadas de funciones trigonométricas Para la derivación de funciones trigonométricas, es necesario revisar el material propuesto por la UnADM. Del material de la UnADM, se tiene que; d sin x = cos x dx d cos x = − sin x dx El resto de las funciones trigométricas se definen en términos de senos y cosenos, mediante; sin x cos x 1 sec x = cos x tan x = MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría cos x sin x 1 csc x = sin x cot x = CAPÍTULO 3. DERIVACIÓN 11 Con regla del cociente para derivar, permite obtener las derivadas de estas funciones, para ello se define dy dx = Dx, por ejemplo se considera, la siguiente derivada; cos x d cot x = Dx cot x = Dx dx sin x Aplicando la regla; Dx = cos x sin x = sin x · (Dx cos x) − cos x · (Dx sin x) = sin2 x sin x(− sin x) − cos x(cos x) − sin2 x − cos2 x = = sin2 x sin2 x 2 1 1 =− 2 =− sin x sin x Dx cot x = − csc2 x Por lo anterior se definen las derivadas de las funciones trigonométricas; Dx sin x = cos x Dx cos x = − sin x Dx tan x = sec x Dx cot x = − csc2 x Dx sec x = cos x tan x Dx csc x = − csc x cot x 3.0.6. Derivadas de funciones trigonométricas inversas I. 1 Dx sin−1 x = √ 1 − x2 II. Dx cos−1 x = √ 1 1 − x2 III. Dx tan−1 x = 1 1 + x2 IV. Dx sec−1 x = 1 √ |x| x2 − 1 MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría 12 3.0.7. Funciones hiperbólicas En matemáticas aplicadas, ocurren con tal frecuencia ciertas combinaciones de ex y e−x que tienen nombre especiales. Def 3.0.4 Funciones hiperbólicas. El seno hiperbólico, coseno hiperbólico y las cuatro funciones relacionadas se definen como; 1 sinh x = (ex − e−x ) 2 sinh x tanh x = cosh x 1 sec hx = cosh x 3.0.8. 1 cosh x = (ex − e−x ) 2 cosh x coth x = sinh x 1 csc hx = sinh x Regla de derivación hiperbólicas Dx sinh x = cosh x Dx cosh x = sinh x Dx tanh x = sec h2 x Dx coth x = − csc h2 x Dx sec hx = − sec hx tanh x Dx cosh x = − csc hx coth x MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría Capítulo 4 Aplicaciones de la derivada 4.1. Derivada como razón de cambio 4.2. Razones de cambio 1 V = πr2 h 3 13 14 4.3. RECTA TANGENTE A UNA CURVA 4.3. Recta tangente a una curva Sea P (a, f (a)) un punto cualquiera sobre la gráfica de una función f . Si Q es otro punto sobre la gráfica se puede denotar por Q(a + h, f (a + h)), dedon h es la diferencia de las abscisas de Q y P , por lo que se puede definr, la pendiente; mP Q = f (a + h) − f (a) h Si f es continua, entonces se puede hacer que Q tienda a P , haciendo que h tienda a cero. Por tanto es natural definir m como sigue: Def 4.3.1 Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a a. Entonces la pendiente m de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P (a, f (a)) está dada por f (a + h) − f (a) h→0 h m = lı́m siempre y cuando este limite exista. f (a+h)−f (a) h (a) lı́m f (a+h)−f h h→0 Pendiente de una recta secante; m = Pendiente de la recta tangente; m = Si una recta tangente es vertical su pendiente no está definidad y el límite de la definición no existe. Las rectas tangentes se estudiarán enseguida. MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA 15 Ejem 4.3.1 Sea f (x) = x2 . Determine la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P (a, a2 ) Solución. Usando la definición, se tiene; msec = (a + h)2 − a2 f (a + h) − f (a) = = h h = a2 + 2ah + h2 − a2 = h = 2ah + h2 h(2a + h) = h h msec = 2a + h La pendiente m de la recta tangente es por lo tanto; m = lı́m (2a + h) = 2a. h→0 Una de las razones principales para la investigación del cálculo fue la necesidad de encontrar una manera de estudiar el comportamiento de los objetos en movimiento. Razón de cambio. Def 4.3.2 Supongamos que un punto P se mueve sobre una recta coordenada l de manera que su coordenada en el tiempo t es f (t). Entonces la velocidad v(a) de P en el tiempo a está dada por f (a + h) − f (a) h→0 h v(a) = lı́m siempre y cuando exista el límite. Ejem 4.3.2 La posición de un punto P sobre una recta coordenada l está dada por f (t) = t2 − 6t donde f (t) esta medido en metros y t en segundos. Encuentre la velocidad en el tiempo a. ¿Cúal es la velocidad en t = 0? ¿En t = 4? MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría 16 4.3. RECTA TANGENTE A UNA CURVA Solución. Usando la definición, se tiene; [(a + h)2 − 6(a + h)] − [a2 − 6a] f (a + h) − f (a) = = h h a2 + 2ah + h2 − 6a − 6h − a2 + 6a = h 2ah + h2 − 6h h(2a + h − 6) = = = h h = 2a + h − 6 = En consecuencia, por la definición, la velocidad; f (a + h) − f (a) = lı́m (2a + h − 6) = 2a − 6 h→0 h→0 h v(a) = lı́m Por lo que la velocidad en t = 0; v(0) = 2(0) − 6 = −6 ms . En t = 4, la velocidad v(4) = 2(4) − 6 = 2 ms La recta normal en un punto P (x1 , y1 ) sobre la gráfica de una función derivable f , se define como la recta que pasa por P y es perpendicular a la recta tangente a la gráfica en P . Suponga que f 0 (x) 6= 0, se tiene; y − y1 = − 4.3.1. 1 f 0 (x) (x − x1 ) U4. Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva Para la siguiente actividad es necesario revidar el material propuesto por la UnADM, ya que en este apartado solo encontrarás el problema a resolver. En los siguientes ejercicios determine la pendiente de la recta tangente, m = lı́m h→0 f (a+h)−f (a) , h a la gráfica de f . Dibuje la gráfica. 1. f (x) = x2 − 2 2. f (x) = 3x + 6 3. f (x) = √ x−3 MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA 17 Problema. Obtener el valor de las pendientes de las rectas tangentes a la parábola 3y 2 − 3y + x − 4 = 0 desde el punto (1, −1) fuera de la parábola. En lo siguientes ejercicios encuentre una ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto indicado P . Dibuje la gráfica mostrando la recta normal. 1. f (x) = x2 + 1, P (1, 2) 2. f (x) = 8 − x3 , P (1, 7) 3. f (x) = (x − 1)4 , P (2, 1) 4.4. Máximos y mínimos MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría 18 MTE. y LFM. Orlando F. Echeverría 4.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Bibliografía Granville (1995). Cálculo diferencial e integral. México, Limusa. Purcell, E. (1992). Cálculo con geometrÃa analÃtica. México, PHH. Swokowski, E. (1982). Cálculo con geometría analítica. California, Wadsworth. UnADM (S.F.). Cálculo diferencial. México, UnADM. 19