Ecuaciones de Poisson y Pasos para la solución de la ecuación de Laplace - Teoría Electromagnética
Anuncio
Obtención de la ecuación de Poisson De la forma puntual de la ley de Gauss ⃗ = 𝜌𝑣 𝛻⃗ ∙ 𝐷 ⃗ = 𝜖𝐸⃗ 𝐷 𝛻⃗ ∙ 𝜖𝐸⃗ = 𝜌𝑣 𝐸⃗ = −𝛻⃗𝑉 −𝛻⃗ ∙ (𝜖𝛻⃗𝑉) = 𝜌𝑣 𝛻⃗ ∙ 𝛻⃗𝑉 = − 𝜌𝑣 𝜖 𝛻2𝑉 = − 𝜌𝑣 𝜖 Condiciones de frontera para materiales dieléctricos perfectos Para componentes tangenciales 𝐷𝑇1 𝜖1 = 𝐷𝑇1 𝜖2 𝐸𝑇1 = 𝐸𝑇2 Para componentes normales 𝐷𝑁1 = 𝐷𝑁2 𝜖1 𝐸𝑁1 = 𝜖2 𝐸𝑁2 𝐸𝑁1 𝜖2 = 𝐸𝑁2 𝜖1 Relaciones de magnitud y dirección: tan 𝜃1 𝜖1 = tan 𝜃2 𝜖2 𝜖2 2 𝐷2 = 𝐷1 √𝑐𝑜𝑠 2 𝜃1 + ( ) 𝑠𝑖𝑛2 𝜃1 𝜖1 𝜖1 2 𝐸2 = 𝐸1 √𝑠𝑖𝑛2 𝜃1 + ( ) 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃1 𝜖2 Componente normal de una funcion gradiente 𝑎𝑛 = 𝛻⃗𝑓 |𝛻⃗𝑓| Ecuación de Laplace Se denomina Laplaciano. Si existe una solución con las condiciones de frontera dadas, entonces esa será la única solución posible. 𝛻2𝑉 = 0 en coordenadas cartesianas: 𝛻2𝑉 = 𝜕 2𝑉 𝜕 2𝑉 𝜕 2𝑉 + + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 en coordenadas cilíndricas: 1 𝜕 𝜕𝑉 1 𝜕 2𝑉 𝜕 2𝑉 𝛻 𝑉= (𝜌 ) + 2 + =0 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜙 2 𝜕𝑧 2 2 en coordenadas esféricas: 𝛻2𝑉 = 1 𝜕 2 𝜕𝑉 1 𝜕 𝜕𝑉 1 𝜕 2𝑉 (𝑟 ) + (𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) + =0 𝑟 2 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝜕𝜙 2 Teorema de la Unicidad 𝛻 2 𝑉1 = 0 𝛻 2 𝑉2 = 0 De lo cual 𝛻 2 (𝑉1 − 𝑉2 ) = 0 Cada solución debe satisfaces a las condiciones de frontera 𝑉1𝑏 = 𝑉2𝑏 = 𝑉𝑏 𝑉𝑏 son los valores de potencial sobre la frontera 𝑉1𝑏 − 𝑉2𝑏 = 0 Demostración Teniendo en cuenta la identidad ⃗ ) = 𝑉(𝛻⃗ ∙ 𝐷 ⃗ )+𝐷 ⃗ ∙ (𝛻⃗𝑉) 𝛻⃗ ∙ (𝑉𝐷 Aplicado al escalar 𝑉1 − 𝑉2 y al vector 𝛻⃗(𝑉1 − 𝑉2 ), se tiene ⃗ (𝑉1 − 𝑉2 )] = (𝑉1 − 𝑉2 )[𝛻⃗ ∙ 𝛻⃗(𝑉1 − 𝑉2 )] + 𝛻 ⃗ (𝑉1 − 𝑉2 ) ∙ 𝛻 ⃗ ( 𝑉1 − 𝑉2 ) 𝛻⃗ ∙ [(𝑉1 − 𝑉2 )𝛻 integrando sobre todo el volumen especificado por las condiciones de frontera especificadas: . . . ∫ 𝛻⃗ ∙ [(𝑉1 − 𝑉2 )⃗𝛻(𝑉1 − 𝑉2 )]𝑑𝑣 = ∫ (𝑉1 − 𝑉2 )[𝛻⃗ ∙ 𝛻⃗(𝑉1 − 𝑉2 )]𝑑𝑣 + ∫ ⃗𝛻(𝑉1 − 𝑉2 ) ∙ ⃗𝛻(𝑉1 − 𝑉2 )𝑑𝑣 𝑣𝑜𝑙 𝑣𝑜𝑙 𝑣𝑜𝑙 aplicando el teorema de la divergencia al lado izquierdo, considerando la integral de superficie cerrada sobre la superficie que rodea al volumen y tomando en cuenta los valores de potencial de la frontera: . . ⃗ (𝑉1 − 𝑉2 )]𝑑𝑣 = ∫ (𝑉1 − 𝑉2 )[𝛻⃗ ∙ 𝛻⃗ (𝑉1 − 𝑉2 )] ∙ 𝑑𝑆 ∫ 𝛻⃗ ∙ [(𝑉1 − 𝑉2 )𝛻 𝑣𝑜𝑙 𝑣𝑜𝑙 . ∫ 𝛻⃗ ∙ [(𝑉1 − 𝑉2 )⃗𝛻(𝑉1 − 𝑉2 )]𝑑𝑣 = 0 𝑣𝑜𝑙 se tiene que 𝛻 2 (𝑉1 − 𝑉2 ) = 0, entonces: 𝛻⃗ ∙ 𝛻⃗(𝑉1 − 𝑉2 ) = 𝛻2 (𝑉1 − 𝑉2 ) = 0 la integral restante también debe anularse, esto es: . 2 ⃗ (𝑉1 − 𝑉2 )] 𝑑𝑣 = 0 ∫ [𝛻 𝑣𝑜𝑙 2 [⃗𝛻(𝑉1 − 𝑉2 )] = 0 𝛻⃗(𝑉1 − 𝑉2 ) = 0 𝑉1 − 𝑉2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑉1 = 𝑉2 la constante tiene un valor de cero debido a que es un punto sobre la frontera, entonces: 𝑉1 − 𝑉2 = 𝑉1𝑏 − 𝑉2𝑏 = 0 Pasos en la solución de la ecuación de Laplace: Considerando problemas de una dimensión, esto es, problemas en los cuales el ampo de potencial es funcion de solo una de las tres coordenadas. Después de considerar las condiciones de frontera apropiadas se deberá aplicar los siguientes pasos: 1) Dado 𝑉, hallar 𝐸⃗ , mediante: 𝐸⃗ = −𝛻⃗𝑉 ⃗ = 𝜖𝐸⃗ 2) Hallar 𝐸⃗ , mediante: 𝐷 ⃗ , mediante 𝐷 ⃗ =𝐷 ⃗ 𝑠 = 𝐷𝑁 𝑎𝑁 3) Evaluar 𝐷 4) Imponiendo que: 𝜌𝑠 = 𝐷𝑁 . 5) Hallar 𝑄 mediante: 𝑄 = ∫𝑠 𝜌𝑠 𝑑𝑆 Capacitancia de un capacitor de placas paralelas Si se considera un condensador de placas paralelas perpendiculares al eje x, asumiendo las condiciones de frontera: 𝑉 = 0 en 𝑥 = 0 y 𝑉 = 𝑉0 en 𝑥 = 𝑑. en este caso: 𝑉 = 𝑉(𝑥), la ecuación de Laplace es: 𝜕 2𝑉 =0 𝜕𝑥 2 integrando dos veces: 𝜕𝑉 =𝐴 𝜕𝑥 𝑉 = 𝐴𝑥 + 𝐵 imponiendo las condiciones de frontera V = 0 en 𝑥 = 0 𝐵=0 V = 𝑉0 en 𝑥 = 𝑑 𝐴= 𝑉0 𝑑 aplicando el paso 1) 𝐸⃗ = −𝛻⃗𝑉 𝐸⃗ = − 𝑉0 𝑑 ⃗𝑥 𝑎 aplicando el paso 2) ⃗ = 𝜖𝐸⃗ 𝐷 𝑉0 ⃗ = −𝜖 𝐷 𝑑 ⃗𝑥 𝑎 aplicando el paso 3) ⃗ =𝐷 ⃗ 𝑠 = 𝐷𝑁 𝑎𝑁 𝐷 ⃗ 𝑠 = −𝜖 𝐷 𝑉0 𝑑 ⃗𝑥 𝑎 aplicando el paso 4) 𝜌𝑠 = 𝐷𝑁 𝜌𝑠 = −𝜖 𝑉0 𝑑 𝐷𝑁(𝑥=0) = −𝜖 𝑉0 𝑑 ⃗𝑥 𝑎𝑁 = 𝑎 aplicando el paso 5) . 𝑄 = ∫ 𝜌𝑠 𝑑𝑆 𝑠 . 𝑄 = ∫ −𝜖 𝑠 𝑄 = −𝜖 𝑉0 𝑑 𝑑𝑆 𝑉0 𝑆 𝑑 calculando la capacitancia: 𝐶= 𝐶= |𝑄| 𝑉0 1 𝑉0 𝑆 (𝜖 ) 𝑉0 𝑑 𝐶=𝜖 𝑆 𝑑 Capacitancia de un capacitor de placas cilíndricas: Considerando el condensador coaxial con las condiciones de frontera de 𝑉 = 0 en 𝜌 = 𝑎 y 𝑉 = 𝑉0 en 𝜌 = 𝑏 con 𝑏 > 𝑎. Considerando que 𝑉 = 𝑉(𝜌), el laplaciano es: 1 𝜕 𝜕𝑉 (𝜌 ) = 0 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 integrando dos veces: 𝜌 𝜕𝑉 =𝐴 𝜕𝜌 𝑉 = 𝐴𝑙𝑛(𝜌) + 𝐵 Aplicando las condiciones de frontera: 𝑉 = 𝑉0 en 𝜌 = 𝑎 𝑉 = 0 en 𝜌 = 𝑏 𝑉0 = 𝑙𝑛(𝑎) + 𝐵 0 = 𝑙𝑛(𝑏) + 𝐵 𝐴=− 𝑉0 𝑙𝑛(𝑏/𝑎) 𝐵= 𝑉0 𝑙𝑛(𝑏) 𝑙𝑛(𝑏/𝑎) reemplazando en la expresión de V: 𝑉=− 𝑉0 𝑉0 𝑙𝑛(𝜌) + 𝑙𝑛(𝑏) 𝑙𝑛(𝑏/𝑎) 𝑙𝑛(𝑏/𝑎) 𝑉 = 𝑉0 𝑙𝑛(𝑏/𝜌) 𝑙𝑛(𝑏/𝑎) aplicando el paso 1) 𝐸⃗ = −𝛻⃗𝑉 𝐸⃗ = − 𝑉0 𝑙𝑛(𝑏/𝜌) ⃗ 𝑎 𝜌 𝑙𝑛(𝑏/𝑎) 𝜌 aplicando el paso 2) ⃗ = 𝜖𝐸⃗ 𝐷 ⃗ = −𝜖 𝐷 𝑉0 𝑙𝑛(𝑏/𝜌) ⃗ 𝑎 𝜌 𝑙𝑛(𝑏/𝑎) 𝜌 aplicando el paso 3) ⃗ =𝐷 ⃗ 𝑠 = 𝐷𝑁 𝑎𝑁 𝐷 ⃗ 𝑠 = −𝜖 𝐷 𝑉0 𝑙𝑛(𝑏/𝜌) ⃗ 𝑎 𝜌 𝑙𝑛(𝑏/𝑎) 𝜌 𝐷𝑁(𝜌=𝑎) = −𝜖 aplicando el paso 4) 𝜌𝑠 = 𝐷𝑁 𝑉0 𝑎𝑙𝑛(𝑏/𝑎) 𝜌𝑠 = −𝜖 aplicando el paso 5) . 𝑄 = ∫ 𝜌𝑠 𝑑𝑆 𝑠 . 𝑄 = ∫ −𝜖 𝑠 𝑉0 𝑑𝑆 𝑎𝑙𝑛(𝑏/𝑎) 𝑄 = −𝜖 𝑉0 𝑆 𝑎𝑙𝑛(𝑏/𝑎) 𝑄 = −𝜖 𝑉0 2𝜋𝜖 𝑉0 𝐿 (2𝜋𝑎𝐿) = − 𝑎𝑙𝑛(𝑏/𝑎) 𝑙𝑛(𝑏/𝑎) 𝑆 = 2𝜋𝑎𝐿 𝑉0 𝑎𝑙𝑛(𝑏/𝑎) ⃗𝜌 𝑎𝑁 = 𝑎 calculando la capacitancia: 𝐶= |𝑄| 𝑉0 𝐶= 1 2𝜋𝜖 𝑉0 𝐿 ( ) 𝑉0 𝑙𝑛(𝑏/𝑎) 𝐶= 2𝜋𝜖𝐿 𝑙𝑛(𝑏/𝑎) Capacitancia de placas radiales 𝐶= 𝜖𝑆 𝛼𝜌 Capacitancia de placas esféricas 𝐶= 4𝜋𝜖(𝑎𝑏) 𝑏−𝑎 Capacitancia de placas cónicas 𝐶≈− 2𝜋𝜖𝑟1 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑡 𝛼2)
