Subido por Herbert Barrero

Guía de ejercicios

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
CARRERA DE INFORMÁTICA
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
LIC. CARMEN VEGA
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES
FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES
CARRERA DE ESTADÍSTICA
GUIA DE EJERCICIOS PRÁCTICOS
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
Lic. Carmen Vega Flores
CURSO DE INVIERNO 2021
LA PAZ – BOLIVIA
1
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
CARRERA DE INFORMÁTICA
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
LIC. CARMEN VEGA
PRÁCTICA # 1
1.
Considérese que una empresa fabrica dos productos A y B. Para fabricar esos productos la empresa utiliza: Mano de
obra; Materia prima y Equipos. El producto 1 necesita de 20 horas de mano de obra, 10 unidades de materia prima y
5 horas de uso de equipos, en cambio el producto 2 necesita: 10, 30 y 1 respectivamente de cada recurso.
Estos insumos se disponen en forma limitada, se dispone de 100000 horas de mano de obra, 180000 unidades de
materia prima y 40000 horas de uso de equipos. Si el producto 1 tiene un beneficio de Bs.8/u y el producto 2 Bs.5/u.
Formule el MPL
2.
Sea la siguiente tabla de datos:
Operación
1
2
3
Utilidad por
Unidad (Bs.)
Tiempo por unidad (minutos)
Capacidad
Producto Producto Producto de operación
1
2
3
(min/día)
1
2
1
430
3
0
2
460
1
4
0
420
3
2
5
a.
b.
Formular el MPL
Suponga que el cuarto producto debe fabricarse con las mismas operaciones. Los tiempos por unidad en las tres
operaciones son: 3, 5 y 1. El beneficio por unidad es igual a 6. Vuelva a formular el modelo de programación lineal.
Si además debe utilizarse la capacidad total de la operación 3. ¿Cómo cambiaría esto en la formulación del
problema?
c. Suponga que la suma de las capacidades no utilizadas de las tres operaciones no debe exceder de 10 minutos por
día. Muestre cómo esta restricción puede ser implantada en la formulación del problema.
3. Se procesa cuatro productos sucesivamente en dos máquinas. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de
cada producto se tabulan a continuación para las dos máquinas.
Tiempo por unidad (horas)
Producto Producto Producto Producto
Máquina
1
2
3
4
1
2
3
4
2
2
3
2
1
2
El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de máquina. Suponga
que el costo por hora para las máquinas 1 y 2 es Bs.10 y Bs.15. Las horas totales presupuestadas para todos los
productos en las máquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el precio de venta por unidad para los productos 1, 2, 3 y 4 es: Bs.
65, Bs.70, Bs.55, y Bs.45, formule el problema como un modelo de programación lineal para maximizar el beneficio
total.
4.
Un granjero está engordando cerdos para el mercado y desea determinar las cantidades de los tipos de alimento
disponibles que deben darse a cada cerdo para satisfacer ciertos requerimientos de nutrición a un costo mínimo. En la
tabla se da el número de unidades de cada tipo de ingrediente contenido en un kilogramo de cada tipo de alimento,
junto con los requerimientos diarios respecto a la nutrición y los costos del alimento. Formular el MPL .
Ingrediente
Nutritivo
Kg. de
Maíz
Kg. de
Residuos
Kg. de
Alfalfa
Requerimiento
diario mínimo
Carbohidratos
Proteínas
Vitaminas
90
30
10
20
80
20
40
60
60
200
180
150
2
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CARRERA DE INFORMÁTICA
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
LIC. CARMEN VEGA
Costo por kilo ( Bs.) 2,1
5.
1,8
1,5
Una pequeña empresa tiene dos procesos para el mezclado de cada uno de sus productos, liquido para encender
carbón de leña y liquido para encendedores de cigarrillos. La empresa está intentando decidir cuantas horas debe
correr cada proceso. En la tabla se presentan los insumos y los resultados de realizar los procesos durante una hora.
Suponga que x1 y x2 son el número de horas que la compañía decide usar los procesos 1 y 2, respectivamente. Debido
a un programa de asignación federal, las cantidades máximas disponibles de kerosene y benceno son 300 y 450
unidades, respectivamente. Los compromisos de ventas requieren que se produzcan por lo menos 600 unidades de
líquido para encender carbón y 225 unidades del líquido para encendedor de cigarrillos. Las utilidades por hora que se
obtienen de los procesos 1 y 2 son 35 dólares y 60 dólares, respectivamente. Unidades de insumo y resultados por
hora.
Insumos
Proceso
1
2
Kerosene Benceno
2
12
9
6
Producciones
Liquido para
Liquido para
encender carbón encender cigarros
15
9
6
24
Formule este problema como un modelo de Programación Lineal.
6.
Una fábrica de automóviles y camiones consta de los departamentos que a continuación se enumeran:
1. Estampado de planchas metálicas
2. Armado de motores
3. Montaje de automóviles
4. Montaje de camiones
El departamento 1, puede estampar mensualmente las planchas necesarias para 25,000 automóviles o 35,000
camiones, o las correspondientes combinaciones de automóviles y camiones. El departamento 2, puede armar por
mes 33,333 motores de automóviles o 16,667 motores de camión, o las correspondientes combinaciones de motores
de automóviles y camiones. El departamento 3, puede montar y terminar 22,500 automóviles y 15,000 camiones el
departamento 4.
Cada automóvil deja una de $us500 y cada camión de $us600. Formule las ecuaciones de este problema de
Programación Lineal.
7.
8.
Un fabricante se dedica a la elaboración de los productos A, B y C, mediante la utilización de las materias primas 1 y 2.
Cada de A requiere una de 1 y tres de 2; cada una de B, cuatro de 1 y dos de 2; y cada una de C, tres de 1 y tres de 2.
La producción mínima de A por periodo debe ser de 20,000 unidades y las disponibilidades de 1 y 2 por periodo son
de 100,000 y 150,000 unidades, respectivamente. Los beneficios netos por unidad producida de A, B y C son
respectivamente de $25, $40 y $50.
Formule la función objetivo y restricciones de este problema de Programación Lineal.
Se supone un fabricante que tiene los recursos primarios de fabricación, tiempo-maquina y horas de trabajo. Durante
cierto periodo de producción, dispone de 200 horas-maquina y 300 horas para dedicarlas a tres productos x1, x2 y x3.
El producto x1, necesita 15 horas-maquina y 10 horas de trabajo por unidad. El producto x2 requiere 10 horas-maquina
y 25 horas-trabajo por unidad. Finalmente, el producto x3 necesita 10 horas-maquina y 20 horas-trabajo por unidad.
El fabricante desea determinar el conjunto de productos que harán máximo su beneficio, sin que se exceda del total
de horas-maquina disponibles. Desea también obtener, un completo empleo de sus obreros y por tanto requiere que
todas las horas-hombre de que dispone sean utilizadas. Los beneficios del fabricante serán de $5 por unidad de
producto x1, $10 por unidad de x2 y $12 por unidad de x3. Solo formule las ecuaciones de Programación Lineal para
este problema.
3
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
CARRERA DE INFORMÁTICA
LIC. CARMEN VEGA
9. Un fabricante de muebles dispone de dos tipos diferentes de madera. Tiene 1,500 pies de tabla del tipo A; 1,000 del
tipo B, también dispone de 800 horas-hombre para efectuar el trabajo. La demanda que ha estimado es la siguiente:
cuando menos 40 mesas, cuando más 130 sillas y 50 escritorios y no más de 10 libreros. Cada mesa requiere 5 pies de
madera tipo A y2 de tipo B, 3 horas-hombre. Cada silla requiere 1 pie de madera tipo A y 3 de tipo B y 2 horas-hombre.
Cada escritorio requiere 9 pies de madera tipo A y 4 de tipo B y 5 horas-hombre. Cada librero requiere 12 pies de
madera tipo A y 1 tipo B y 10 horas-hombre. Los beneficios netos por unidad producida de mesas, sillas, escritorios y
libreros son respectivamente de $12, $5, $15 y $10.
¿Qué cantidad debe fabricar el mueblero de cada artículo, de manera que las utilidades obtenidas sean las máximas?
Formule la función objetivo y restricciones de este problema de Programación Lineal.
PRÁCTICA # 2
10. Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
Min z = x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 5x2 ≥ 6
x1 + x2 ≥ 2
x1, x2 ≥ 0
Resuelva el problema mediante el método gráfico.
11. Considere el siguiente problema de programación Lineal:
Max z = 10x1 + 4x2
s.a.
x1 + x2 ≤ 5
x2 = 2
x1, x2 ≥ 0
Resuelva el problema mediante el método gráfico.
12. Se considera el siguiente problema de Programación Lineal:
Max z = 6x1 - 2x2
s.a.
2x1 - x2 ≤ 2
x1
≤4
x1, x2 ≥ 0
Resuelva el problema gráficamente.
R. x1=4/3 , x2=2/3
R. x1= 3 , x2= 2
13. Se considera el siguiente problema de Programación Lineal:
Min z = 3x1 + 2x2
s.a.
2x1 + x2 ≤ 2
3x1 + 4x2 ≥ 12
x1, x2 ≥ 0
Resuelva el problema gráficamente.
14. Una fábrica de muebles especialista en producción de 2 tipos de comedores A y B, si éstos para su fabricación
tienen que pasar por dos departamentos de construcción y de pintado. Los requerimientos y capacidades de
producción diarios se resumen en la siguiente tabla:
A
Dpto. de construcción
6
B
8
Dpto. de pintura
8
Utilidad en $us
200
Capacidad en horas
120
4
64
240
Formule el modelo de programación lineal y resuélvalo por el método gráfico.
4
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CARRERA DE INFORMÁTICA
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15. Para conservar la salud, una persona debe cubrir ciertos requerimientos diarios mínimos, relativos a diferentes
tipos de elementos nutritivos. Supongamos que solo necesitan considerarse tres clases de elementos nutritivos:
calcio, proteínas y calorías, y además, que la dieta del individuo consta de solo dos elementos I y II cuyos precios
y contenidos nutritivos por unidad se muestran en la tabla adjunta, donde también hemos expresado los mínimos
diarios requeridos de cada elemento.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Alimentación I Alimentación II Requerimiento
Mínimo diario
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Calcio (unidad)
10
4
20
Proteínas (unidad)
5
5
20
Calorías (unidad)
2
6
12
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Precio
0,60
1,00
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --El problema consiste en encontrar la combinación de dos alimentos que satisfacen las necesidades diarias con el
menor costo. Formule y resuelva gráficamente el problema.
16. Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
Min z = x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 5x2 ≥ 6
x1 + x2 ≥ 2
x1, x2 ≥ 0
Resuelva el problema mediante el método gráfica.
PRÁCTICA # 3
17. Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
Min z = x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 5x2 ≥ 6
x1 + x2 ≥ 2
x1, x2 ≥ 0
Resuelva el problema mediante el método M.
18. Considere el siguiente problema de programación Lineal:
Max z = 10x1 + 4x2
s.a.
x1 + x2 ≤ 5
x2 = 2
x1, x2 ≥ 0
Resuelva el problema mediante el método M.
19. Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
Max z = 4x1 + 3x2 + 2x3
s.a.
2x1 + x2 + x3 ≤ 30
x1 +2x2 + x3 ≤ 30
2x1 + x2 + 2x3 = 26
x1, x2, x3 ≥ 0
Resuelva el problema mediante el método de la técnica M.
20. Se considera el siguiente problema de Programación Lineal:
Max z = 2x1 + x2
s.a.
x1 - x2 ≥ 10
2x1 - x2 ≤ 40
Solución: x1 = 4/3 x2 = 2/3
Zmin = 2,67
R. x1=4/3 , x2=2/3
R. x1= 3 , x2= 2
R. x1= 7.33 , x2= 11.33
5
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CARRERA DE INFORMÁTICA
LIC. CARMEN VEGA
x1, x2 ≥ 0
a. Resuelva el problema gráficamente.
b. Resuelva el problema mediante el método Simplex de 2 Fases.
21. Usted ha decidido entrar a la industria de dulces. Está pensando en producir dos tipos de dulce: dulce macizo y
dulce suave. Ambos están elaborados con azúcar, nueces y chocolate. En la actualidad tiene en existencia 100
libras de azúcar, 20 libras de nueces y 30 libras de chocolate. La mezcla usada para elaborar el dulce suave debe
contener por lo menos 20% de nueces. La mezcla que se utiliza para el dulce macizo debe contener por lo menos
10% de nueces y 10% de chocolate. Cada libra de dulce suave se vende a Bs.25 y cada libra de dulce macizo en
Bs.20. Plantee un modelo de programación lineal que permita maximizar sus ingresos con la venta de dulces.
22. Se considera el siguiente problema de Programación Lineal:
Max z = 3x1 + 2x2
s.a.
2x1 + x2 ≤ 2
3x1 + 4x2 ≥ 12
x1, x2 ≥ 0
a. Resuelva el problema gráficamente.
b. Resuelva el problema mediante el método Simplex técnica M.
c. Resuelva el problema mediante el método Simplex de 2 Fases.
23. Una determinada fábrica de cinturones produce dos tipos de cinturones: el modelo de lujo y el modelo regular.
Cada uno requiere una yarda2 de cuero. El cinturón regular requiere 1 hora de trabajo especializado y el cinturón
de lujo requiere de 2 horas de trabajo. Se dispone semanalmente de 40 yardas2 de cuero y 60 horas de mano de
obra especializada. Cada cinturón contribuye con 3 $us a la ganancia y cada cinturón de lujo contribuye con 4 $us
a la ganancia. ¿Cuántas unidades de cada tipo de cinturón se deben producir para maximizar los beneficios?
24. Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
Min z = x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 5x2 ≥ 6
x1 + x2 ≥ 2
x1, x2 ≥ 0
Resuelva el problema mediante el método Simplex de dos Fases. Solución: x1 = 4/3 x2 = 2/3 Zmin = 2,67
25. Considere el siguiente problema de programación Lineal:
Max z = 10x1 + 4x2
s.a.
x1 + x2 ≤ 5
x2 = 2
x1, x2 ≥ 0
Resuelva el problema mediante el método de Simplex de 2 Fases.
26. Una empresa que produce banjos, guitarras y mandolinas utiliza madera, mano de obra y metal. Las cantidades
de estos inputs para realizar una unidad de cada instrumento musical se muestran en la siguiente tabla:
Banjo
Guitarra
Mandolina
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Madera
1
2
1
Mano de obra
1
2
2
Metal
1
1
1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------La empresa dispone de 50 unidades de madera, 60 unidades de trabajo y 55 unidades de metal y vende los banjos
a $200, las guitarras a $175 y las mandolinas a $125. Se pide encontrar la producción óptima que maximiza el
ingreso.
Solución: x1 = 50, x2 = 0, x3 = 0
Ingreso máximo Z = 10,000
PRÁCTICA # 4
6
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LIC. CARMEN VEGA
27. Respecto al ejercicio anterior, obtenga la solución óptima del modelo dual. ¿Cómo interpreta los coeficientes
duales?
28. Una fábrica de muebles especialista en producción de 2 tipos de comedores A y B, si éstos para su fabricación
tienen que pasar por dos departamentos de construcción y de pintado. Los requerimientos y capacidades de
producción diarios se resumen en la siguiente tabla:
A
B
Capacidad en horas
Dpto. de construcción
6
8
120
Dpto. de pintura
8
4
64
Utilidad en $us
200
240
Formule el modelo de programación lineal y obtenga la solución óptima.
29. Respecto al ejercicio anterior, obtenga la solución óptima del modelo dual. ¿Cómo interpreta los coeficientes
duales?
30. Considere el siguiente problema de Programación Lineal:
Min z = x1 + 2x2
s.a.
2x1 + 5x2 ≥ 6
x1 + x2 ≥ 2
x1, x2 ≥ 0
Resuelva el problema mediante el método Dual Simplex
31. Considere el siguiente problema de programación Lineal:
Max z = 10x1 + 4x2
s.a.
x1 + x2 ≤ 5
x2 = 2
x1, x2 ≥ 0
Resuelva el problema mediante el método Dual Simplex.
32. Una empresa que produce banjos, guitarras y mandolinas utiliza madera, mano de obra y metal. Las cantidades
de estos inputs para realizar una unidad de cada instrumento musical se muestran en la siguiente tabla:
Banjo
Guitarra
Mandolina
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Madera
1
2
1
Mano de obra
1
2
2
Metal
1
1
1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------La empresa dispone de 50 unidades de madera, 60 unidades de trabajo y 55 unidades de metal y vende los banjos
a $200, las guitarras a $175 y las mandolinas a $125. Se pide encontrar la producción óptima que maximiza el
ingreso.
33. Respecto al ejercicio anterior, mediante el análisis dual, determinar si es aconsejable incrementar algún recurso,
y hasta cuánto se podría incrementar.
34. Considere la tabla simplex parcial que se muestra a continuación, para un modelo de maximización
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Cb
Base
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
LIC. CARMEN VEGA
0
20
30
25
0
0
Solución
x1
x2
x3
S1
S2
S3
100
3
0
1
1
-2
0
200
1
1
0
0
1
0
400
-5
0
0
-2
4
1
Z=
Escriba el programa original correspondiente a esta tabla
Completa la tabla
¿Cuáles son las variables no básicas?
Use el método simplex para terminar de resolver el problema
Obtenga los valores de las variables duales y la función objetivo de la tabla óptima del inciso (d)
En caso que el recurso de la tercera restricción se incremente en una mitad. ¿Cuál es el nuevo valor de la
función objetivo?
35. Considere el siguiente problema
a.
b.
c.
d.
e.
f.
F.O. Max Z = 3x1 + 2x2 + 5x3
s.a
x1 + 2x2 + 2x3  430
3x1 +
+ 2x3  460
x1 + 4x2
 420
x1, x2, x3  0
a.
b.
Encuentre en la tabla óptima la solución del Primal x1 , x2 , x 3 , Z y del dual y1 , y2 , y3 , W
Si el recurso b2 = 460 se incrementa en diez unidades. ¿Cuál es el valor de la función objetivo?
36. Resolver el siguiente ejercicio usando el algoritmo dual simplex.
Min Z=3X1+ 2 X2
Sa.
X1 + 2X2 <= l2
2 X1 + 3 X2 = 12
2X1 + X2 >= 8
con X1, X2 >=0
37. Dado el siguiente MPL
F.O. Min Z = 4x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4
s.a
x1 + 9x2 + 2x3 + 3x4  2
- x1 + 3x2 - 2 x3 + x4  - 3
Con x1, x2, x3 ,x4
a.
b.
c.
Obtener el modelo dual
Resolver el dual gráficamente
Obtenga la solución del primal a través del dual.

0
PRÁCTICA # 5
38. Sea el problema original el siguiente
Max z = 4x1 + 7x2 – 3x3
s.a.
2x1 + x2 + 2x3 ≥ 30
8
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CARRERA DE INFORMÁTICA
x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 45
x1, x2, x3 ≥ 0
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a.) Supóngase que el vector b = [30, 45] se modifica a b' = [93. 45]. Aplicando el análisis de sensibilidad
encuentre la nueva solución óptima.
Solución: x1 = 45 x2 = 0 x3 = 0 Z = 180
b.) Supóngase que el coeficiente a23 =2 se modifica a a23'= 0. Aplicando el análisis de sensibilidad encuentre la
nueva solución óptima.
Solución x1=0, x2= 45/2, x3= 15/4, Z= 675/4 =
168.75
39. Sea el problema original el siguiente:
Max z = 3x1 +2 x2
s.a.
x1 +2 x2
3x1 +
x1 +4 x2
x1 ,
x2 ,
+5 x3
+ x3
2 x3
x3
 430
 460
 420
0
Suponga que se aumenta una nueva restricción. 4x1 + x2 + 2x3  548
Aplicando el análisis de sensibilidad encuentre la nueva solución óptima.
b. Suponga que se aumenta una nueva actividad o variable x4, cuyo precio unitario es 9 y su vector de
coeficientes tecnológicos es = [3, 2, 4]. Aplicando el análisis de sensibilidad encuentre la nueva solución.
a.
40. Sugarco produce tres tipos de barra de caramelo. Cada barra está hecha totalmente de azúcar y chocolate. En la
Tabla se muestran las composiciones de cada barra y la utilidad obtenida con cada barra. Se dispone de 50 onzas
de azúcar y 100 onzas de chocolate. Después de definir xi como el número de barras tipo i producidas, Sugarco
tendrá que resolver el problema lineal siguiente:
Max z = 3x1
s.a.
x1
2 x1
x1 ,
+7 x2
+ x2
+3x2
+
x2 ,
+5 x3
+ x3
+ x3
 50 (Re stricción de azucar )
 100 (Re stricción de chocolate)
x3
0
Conteste las siguientes preguntas:
a) Si la utilidad para una barra de caramelo tipo 1 fuera de Bs.7 ¿cuál sería la nueva solución óptima para el
problema de Sugarco?
b) Si la utilidad para una barra de caramelo tipo 2 fuera de Bs.13 ¿cuál sería la nueva solución óptima?
c) Si se dispusiera de 60 onzas de azúcar ¿cuál sería la ganancia de Sugarco? ¿Cuántas barras tendría que
producirse de cada tipo?
d) Sugarco considera la posibilidad de fabricar barras de caramelo tipo 4. Una barra de caramelo tipo 4 tiene
una utilidad de Bs. 17 y requiere 3 onzas de azúcar y 4 onzas de chocolate, ¿tendría que fabricar Sugarco
algunas barras de caramelo tipo 4?
41. Sea el modelo de programación lineal:
Max z = 8 x1 + 6 x 2
4 x1 + 2 x 2
 60
2 x1 + 4 x 2
 48
x1 , x 2  0
a) Si se cambia la disponibilidad de los recursos de 60 por 56 y da 48 por 25. Hallar la solución del nuevo
problema.
b) Si cambiamos los costos de 8 y 6 por 12 y 9. Hallar la solución óptima y factible.
9
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
LIC. CARMEN VEGA
x
c) Si aumentamos una variable adicional 3 que tiene un costo de 15$, además requiere de 1 y 1
respectivamente para cada restricción. Hallar la solución óptima y factible.
d) Si se aumenta una restricción
2 x1 + 2 x2  34 . Hallar la solución óptima y factible.
42. Sea el modelo de programación lineal:
Max z = 8 x1 + 6 x 2
4 x1 + 2 x 2
 60
2 x1 + 4 x 2
 48
x1 , x 2  0
Si se resuelve el modelo, la siguiente tabla da como solución:
CB
Cj
8
6
0
0
base
b
X1
X2
S1
S2
8
X1
12
1
0
1/3
-1/6
6
X2
6
0
1
-1/6
1/3
0
0
5/3
2/3
Z = 132
a) Si se cambia la disponibilidad de los recursos de 60 por 56 y da 48 por 25. Hallar la solución del nuevo problema.
b) Si cambiamos los costos de 8 y 6 por 12 y 9. Hallar la solución óptima y factible.
c)
Si aumentamos una variable adicional
x3
que tiene un costo de 15$, además requiere de 1 y 1 respectivamente
para cada restricción. Hallar la solución óptima y factible.
d) Si se aumenta una restricción 2 x1 + 2 x 2  34 . Hallar la solución óptima y factible.
43. En una división de productos químicos, 2 productos químicos A y B son producidos bajo 2 operaciones que son las
mismas para cada una. De la producción de B resulta un subproducto C; parte de los subproductos pueden ser vendidos
hasta 12 unidades y los demás tienen que ser destruidas por carencia de demanda. Las utilidades unitarias para los
productos A y B son de 4$ y 9$ respectivamente y el subproducto C a 2$ la unidad. Si C no se puede vender, el costo
de destrucción es de 1$. El proceso aporta con 3 unidades de C por cada unidad de B producida. Los tiempos de proceso
unitario son para A de 2,6 horas en la operación 1 y 3,3 en la operación 2; para B es de 4,7 en la operación 1 y 4,6 en
la operación 2. Los tiempos son de 60 y 65 horas para las operaciones 1 y 2 respectivamente.
a) Formular el M.P.L. y encontrar la solución óptima y factible.
b) Resolver el problema si ahora se disponen de 65 y 75 horas en las operaciones 1 y 2 respectivamente.
c) (Con relación al inciso a) Si ahora los tiempos de operación para el producto A es de 3,5 en la operación 1 y 4 para
la operación 2, encuentre la nueva solución.
d) (Con relación al inciso a) Si ahora los beneficios unitarios son de 6$ y 12$ respectivamente para A y B. Encuentre la
nueva solución.
PRÁCTICA # 6
44. Un ingenio azucarero trabaja con 3 plantas de producción, ubicadas en diferentes lugares geográficas, dicho ingenio
suministra sus productos a tres ciudades CI, C2, y C3. La siguiente tabla muestra las capacidades de ofertas y demandas
estimadas en quintales por día, así como también los costos de transporte, por quintal desde cada centro de
producción a cada centro de consumo.
Plantas
P1
P2
P3
Demanda
C1
6
7
5
3200
C2
8
9
8
4000
C3
10
8
7
3400
Oferta
2000
1500
3500
10
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
CARRERA DE INFORMÁTICA
LIC. CARMEN VEGA
Determinar las cantidades óptimas a transportar, desde cada centro de producción a cada lugar de consumo, de tal
forma de minimizar el costo total de transporte.
45. Una aerolínea puede comprar su combustible de Jet a cualquiera de 3 proveedores. Las necesidades de la Aerolínea
para el próximo mes, en cada unos de los 3 aeropuertos a los que da servicio son 100000 galones en el aeropuerto 1,
180000 galones en el aeropuerto 2 y, 350000 galones en el aeropuerto 3. Cada proveedor puede suministrar
combustible a cada aeropuerto a los precios en centavos por galón que se dan en el siguiente cuadro:
Proveedor 1
Proveedor 2
Proveedor 3
Aeropuerto 1
92
91
87
Aeropuerto 2
89
91
90
Aeropuerto 3
90
95
92
Cada proveedor sin embargo, tiene limitaciones en cuanto al número total de galones que puede proporcionar durante
un mes dado. Estas capacidades son 320000 galones para el proveedor 1, 270000 galones para el proveedor 2 y 190000
galones para el proveedor 3. Determinar una política de compra que cubra los requerimientos de la aerolínea en cada
aeropuerto, a un costo mínimo.
a) Aplicando el método de la esquina noroeste.
b) Aplicando el método del costo mínimo.
c) Aplicando el método de Vogel
46. Hay 2 represas que suministran agua a 3 ciudades, cada represa puede suministras hasta 50 millones de galones por
día. Cada ciudad quisiera recibir 40 millones de galones de agua por día. Por cada millón de galones de de demanda
diaria no cumplidas hay una multa. En la ciudad ' es de 20S, en 2 es de 225 y en la ciudad 3 es de 23S. En la siguiente
tabla se muestran los costos para enviar un millón de galones de agua desde cada represa hasta cada ciudad.
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
Represa 1
7
8
10
Represa 2
9
7
8
Resuelva el problema de transporte por el método de la esquina noroeste.
47. Una tienda de departamentos quiere comprar las siguientes cantidades de vestidos de mujer:
Tipo de Vestido
Cantidad
A
150
B
100
C
75
D
250
E
200
Tres diferentes fabricantes ofrecen propuestas para surtir las cantidades que se indican a continuación (todos los tipos
de vestidos combinados)
Fabricante
Cantidad Total
1
300
2
250
3
150
La tienda estima que su ganancia por vestido varía según el fabricante como se muestra a continuación en la matriz de
ganancias:
Fabricante
1
2
3
A
2
3
2.5
B
4
3.5
3.5
Vestidos
C
D
4.5
2
4.5
1.5
5
2
E
1.5
1
1.5
Aplicando el modelo de transporte, ¿cómo deberán hacerse los pedidos para obtener una máxima ganancia?
11
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
CARRERA DE INFORMÁTICA
LIC. CARMEN VEGA
48. La empresa Gal elabora cerveza, como uno de sus productos, en tres plantas localizadas en tres ciudades del país, A, B
y C. Este producto se transporta a cuatro almacenes localizados en cuatro ciudades del país, 1, 2, 3 y 4 para su posterior
distribución. Los costos de transporte (en miles de bolivianos) por camión de cerveza, se indican en la matriz de costos.
Cada camión puede transportar 1000 cajas de cerveza. La cantidad de cajas de cerveza, disponible en las plantas, para
transportar es la siguiente: A: 90.000; B: 40.000; C: 80.000. Las cajas de cerveza que requiere cada almacén son las
siguientes: 1: 40.000; 2: 60.000; 3: 50.000; 4: 60.000.
a.
b.
c.
d.
Defina el modelo de programación lineal para este problema de transporte
Con la ayuda del software WINQSB resuelva el problema
Interprete la solución óptima y las variables duales
Ahora resuelva el problema utilizando el algoritmo de Vogel
49. Una empresa de alquiler de carros sirve a siete ciudades y presenta actualmente un exceso de carros en tres ciudades
( C1, C2, C3) y una carencia de ellos en cuatro de las ciudades (D1,D2,D3 y D4). El exceso de carros: es de 20 en C1, 20
en C2 y 32 en C3. La escasez de carros es de 16 en D1, 20 en D2, 20 en D3 y 16 en D4.
La tabla muestra las distancias en kilómetros, entre las ciudades. Los valores de M representan distancias muy largas.
Esto indica que no es posible transportar carros desde C1 hasta D4, ni desde C3 hasta D2 por alguna razón, por ejemplo,
porque las vías están en reparación y no se permite el paso. (Si en la solución final aparece una cantidad de carros con
ese costo será la confirmación de que no existe solución óptima posible para el modelo). Se desea determinar cómo
distribuir los carros para satisfacer las restricciones y minimizar la distancia total recorrida.
50. Se cuenta con 5 empleados para realizar 4 trabajos, la siguiente tabla muestra los tiempos que tarda cada persona en
realizar el trabajo. Determine la asignación de los empleados a los trabajos que minimiza el tiempo total requerido
para realizar los 4 trabajos.
Persona 1
Persona 2
Persona 3
Persona 4
Persona 5
TIEMPO EN HORAS
Trabajo 2
Trabajo 3
18
30
-27
20
28
22
--25
Trabajo 1
22
18
26
16
21
Trabajo 4
18
22
28
14
28
51. Una empresa tiene seis tornos e igual número de de trabajos para realizar en ellos. Cada trabajo necesitara
aproximadamente un día prescindiendo del torno en que se haga. Los tornos se diferencian en el fabricante, fecha de
fabricación, velocidades y trabajo efectuado, costo por hora de trabajo, etc. Por lo tanto, los costos no son los mismos
para un determinado trabajo en un torno o en otro .A partir de los datos normales, salarios y costo por torno, se ha
confeccionado la tabla adjunta.
TORNO
TRABAJO
A
B
C
D
E
F
1
28
31
32
28
34
31
12
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
CARRERA DE INFORMÁTICA
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
LIC. CARMEN VEGA
2
26
29
27
26
31
25
3
33
32
34
30
35
35
4
23
24
29
28
25
29
5
33
40
37
39
31
40
6
33
29
29
31
33
35
Donde cada elemento representa el costo de producir un trabajo en determinado torno. Determine la distribución de
los trabajos al mínimo costo.
52. El director de la carrera ha encontrado una manera sencilla de determinar que personal académico debe enseñar los
cursos de primer año .Asigna cinco profesores para cada uno de los cinco deferentes cursos por un periodo de un año.
Los estudiantes evalúan cada clase .Entonces asigna profesores a cursos de manera que se maximice el beneplácito
de los estudiantes. Las evaluaciones recibidas durante el año de rotación (basadas en el promedio compuesto de ocho
preguntas) fueron.
CURSOS
PROFESOR
A
B
C
D
E
F
Esp. Douglas
7
5
3
9
2
4
MSc. Angélica
8
6
1
4
5
2
Dr. Alconz
2
3
5
6
8
9
Lic. Oscar
6
8
1
3
7
2
Lic. Jorge
4
5
3
9
4
7
Con el método de asignación asigne profesores a cursos de manera que se maximice el beneplácito de los estudiantes.
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