TEMA 2 Solución real de una ecuaciones de una variable de la forma f(x) = 0 El objeto del calculo de las raíces reales de una ecuación es determinar los valores de x para los cuales se cumple f(X) = 0 Por ejemplo: Para una función polinómica se cumple que tiene tantas raíces (reales o complejas) como el grado del Polinomio: Por ejemplo: Para una función trascendentes de la forma: a) 𝑒 𝑥 − 𝑥 = 0 b) sen(x)−𝑒 −𝑥 = 0 Es posible determinar los valores reales de “x” para lo cual existe por lo menos una solución tal f(x) =0. Para determinar esas posibles raíces reales tendremos en cuenta los siguiente: f(x) debe ser una función continua en [a,b] f(x) debe ser derivable en (a,b) f(a)*f(b)<0 con esta condición se garantiza que f(x) corta por lo menos una vez al eje x Para determinar las raíces de f(x) hay métodos cerrados y métodos abiertos Para determinar las raíces de f(x) hay métodos cerrados y métodos abiertos Métodos cerrados: Método gráfico Método de bisección. Método de la falsa posición. Método de la secante. Métodos abiertos: Método Newton-Raphson. Método de punto fijo. Si en un intervalo [a,b] cerrado se tiene que: f (a) f (b) 0 entonces se tiene que existe una raíz en [a,b] : a b Si en un intervalo [a,b] cerrado se cumple que f (a) f (b) > 0 No existan raíces o haya un numero par de raíces (raíces complejas) a b Ejemplo: Graficar la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 − 1 1,5 1 0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 -0,5 -1 -1,5 Como se observa la función tiene un cero en [1,2] 1.- Buscar un intervalo [xi, xj] donde se cumpla que f (xi ) . f (xj ) 0 Si se cumple existe al menos una raíz real entre xi y xj f(x) Intervalo en el que se encuentra la raíz. f(xi) f(xj) xr xi xj 2. Hallar el punto medio del intervalo, tomando el punto de bisección xr como aproximación de la raíz buscada. xr xi xj f(xr) 𝑥𝑖 + 𝑥𝑗 𝑥𝑟 = 2 3. Se analiza de manera independiente cada uno de los intervalos. Se elige entre (xi , xr) y (xr , xj), un intervalo en el que la función cambie de signo. Si se cumple la condición f (xi ) . f (xr ) 0 Entonces la raíz esta en intervalo [xi,xr] Si se cumple la condición f (xr ) . f (xj ) 0 Entonces la raíz esta en intervalo [xr,xj] 3. Se analiza de manera independiente cada uno de los intervalos. Se elige entre (xi , xr) y (xr , xj), un intervalo en el que la función cambie de signo. xj =2 xi =1 (xi , xr)=(1,1.5) (xr , xj)=(1.5,2) f (1) . f (1.5) 0 Entonces la raíz esta en intervalo [1,1.5] f (1.5) .f (2) 0 Entonces la raíz esta en intervalo [1.5,2] Repitiendo los pasos 1,2 y 3 en intervalo [1,1.5] suponiendo que la raíz en este intervalo xi =1 (xi , xr)=(1,1.25) xj =1.5 (xr , xj)=(1.25,1.5) f (1) . f (1.25) 0 Entonces la raíz esta en intervalo [1,1.25] f (1.25) . f (1.5) 0 Entonces la raíz esta en intervalo [1.25,1.5] Ejemplo 1: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 − 1 Realizar las primera aproximaciones de la raíz que esta en intervalo [1,2] Ejemplo 2: 𝑓 𝑥 = 𝑒 −𝑥 − 𝑥 Error absoluto y relativo Error absoluto Error relativo 𝐸𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝐸𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝑥𝑛 𝑏−𝑎 ≤ 𝑛 =𝜖 2 Ejemplo 3: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 10 Ejemplo 4: 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 − ln(x) con un E < 1% en el intervalo [1,1.5] Ejemplo 5: 𝑓 𝑥 = 𝑒 −𝑥 − ln(x) con un E < 1% en el intervalo [1,1.5] Ejemplo 6:
