Subido por Marcelo Guerra

ECUACIONES DIFERENCIALES 3

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTÍN
Se puede disminuir el orden de esta ecuación haciendo la
sustitución:
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
z dx
y = e  , donde z = z(x) es una nueva función incógnita.
ÁREA DE MATEMÁTICA
CURSO: ANÁLISIS MATEMÁTICO III - FIC
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
2
1. d x = t2
dt 2
SEMESTRE: 2017 – II
SEMANA 09
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR
En las ecuaciones diferenciales de orden superior
consideraremos tipos especiales:
3.
4.
5.
6.
Caso l. Las ecuaciones diferenciales de la forma: y (n) = f
(x), donde f(x) es una función sólo de x.
La solución de la ecuación y(n) = f (x), se obtiene por
integración sucesiva, es decir:

=   f ( x ) dx + C1 dx


y(n-1) =
y(n-2)
f ( x ) dx
7.
8.
+ C1
+ C2
Independencia Lineal de las Funciones
Sea un sistema finito de n funciones: f 1 (x), f 2(x), …, fn(x)
definidas en algún intervalo (a,b); diremos que estas
funciones son linealmente independientes si existe 1, 2,
…, n , escalares tales que:
1 .f1 (x) + 2 .f2 (x) + … + n .fn(x) = 0,
Entonces:
1 = 2 = … = n = 0.
Si alguno de las 1 , 2 , …, n , es diferente de cero,
entonces diremos que f 1 (x), f2 (x), …, f n (x) son funciones
linealmente dependientes.
…………………………………….
Caso 2. La ecuación no contiene la función incógnita y
sus derivadas hasta el orden: k - 1:
F(x, y(k), y(k+1) , y(k+2) ,…, y(n) ) = 0
Se puede eliminar el orden de la ecuación haciendo la
sustitución y(k) = p(x), después de lo cual la ecuación toma
la forma:
F(x, p, p’, ..., p(n-k)) = 0
De esta ecuación determinamos p = f(x, C1 , C2 ,…, Cn-k),
siempre que esto sea posible, y hallamos después "y" de
la ecuación:
y(k) = f(x, C1 , C2 , ..., Cn-k) integrándola k veces.
Caso 3. La
independiente:
ecuación no
El Wronskiano:
Suponiendo que las n funciones f 1 (x), f2 (x), …, f n (x) son
diferenciables cada uno al menos (n – 1) veces en un
intervalo a < x < b
Entonces de la ecuación c1 .f1 (x) + c2 .f2 (x) + … + cn .fn(x)
= 0, por diferenciación sucesiva se obtiene:
c1f1 + c 2 f 2 + ... + c n f n = 0
c f ' + c f ' + ... + c f ' = 0
11
2 2
n n

 "
" + ... + c f " = 0
()
c
f
+
c
f
 11
2 2
n n

 ( n −1)
+ c 2 f 2( n −1) + ... + c n f n( n −1) = 0

c1f1
Considerando a () como un sistema de ecuaciones de c1,
c2 , …, cn .
El sistema de ecuaciones () no tiene solución, excepto
cuando todos los c1 , c2 , …, cn son nulos, es decir:
contiene la variable
F(y, y’, y”, ..., y(n)) = 0
La sustitución y’ = p(y) permite reducir el orden de la
ecuación en una unidad. Se expresa todas las derivadas:
y, y', y", ..., y(n) mediante las derivadas con respecto a "y"
de la nueva función incógnita p:
y’ =
dy
dx
y” =
dp
dp
dp dy
=
.
=p
dy dx
dx
dy
y”’ =
=p
d
dp
dp dy
dp dp
d
d 2p
(p )=
( p ).
=( .
+p
)p
dy
dy
dy dx
dy dy
dx
dy 2
= p(
dp
dy
) 2 + p2
d 2p
dy 2
, etc
Poniendo estas expresiones en la ecuación en lugar de y,
y', y”, …, y(n); resulta una ecuación diferencial de orden:
n - 1.
f1
f2

fn
f1'
f1"
f 2'
f 2"

f n'

f n"



f n( n −1)
f1( n −1) f 2( n −1)
0

Entonces diremos que las funciones f 1 (x), f 2 (x), …, f n(x)
son L.I. Al determinante de los coeficientes del sistema
() denotaremos: por W,
Caso 4. La ecuación F(x, y, y', y", . .., y (n) ) = 0 es
homogénea respecto de los argumentos y, y’ , y”, …, y(n);
o sea:
F(x, ty, ty’, ty”, ty(n)) = tk F(x, y, y’, y”, …,y(n))
IC. 2016- II-UAP
d3y
= x.senx, y(0) = 0, y’(0) = 0
dx 3
(1 – x2 )y” – xy’ = 2
(1 + x2 )y” + 1 + y’ 2 = 0
1 + y’2 = yy”
yy” – y’2 = y2 Lny
yy'
yy” – y’2 =
1+ x
2
2yy” – 3y’ = 4y2
2.
1
Lic. Enrrique Guzmán A
es
decir:
W
=
f1
f2

fn
f1'
f 2'

f n'
f1"
f 2"

f n"




f1( n −1)
f 2( n −1)
f n( n −1)
Para resolver estas ecuaciones diferenciales, primero
consideraremos el polinomio característico de la forma
siguiente:
P(r) = an rn + an-1 rn-1 + … + a1 r + a0
Como el polinomio característico P® es de grado n,
entonces de la ecuación característica P(r) = 0 se puede
obtener las siguientes raíces r 1 , r2 , …, rn , las cuales pueden
ser, reales distintos, reales con multiplicidad ó complejos.
Para resolver la ecuación (1) consideremos los siguientes
casos:
lo
llamaremos Wronskiano de las funciones f 1 (x), f 2 (x), …,
fn (x)
Ejercicios:
Obtenga el Wronskiano de las siguientes funciones
indicadas:
1. emx , enx ; m, n  Z, m  n
2. x, xex
3. cos2 x, 1 + cos2x
4. ex , 2ex , e-x
5. e-3x sen2x, e-3x cos2x
Mediante el Wronskiano, demostrar que los siguientes
conjuntos son L. I.
1. Lnx, xLnx
2. eax cosbx, eax senbx
3. Ln x − 1 , 1
x +1
4. Sen x , cos2 x
2
5. ex , xex , x2 ex
Caso1. Cuando las raíces de la ecuación característica son
reales y distintos: r 1 < r2 < … < r n , entonces el sistema
fundamental de soluciones de la ecuación (1) tiene la
forma siguiente: e r1x , e r2x ,…, e rn x ; y la solución general
de la ecuación diferencial lineal homogénea (1) es: y g =
c1 e r1x + c2 e r2x + … + cn e rn x
Caso 2. Cuando las raíces de la ecuación característica
P(r) = 0, algunas son de multiplicidad, consideremos
reales y distintos: r 1 = r2 = … = r k = r, donde r es la raíz
de multiplicidad k, y (n – k) son las demás raíces y
distintas. Luego el sistema fundamental de soluciones
tiene la siguiente forma: e rx , x e rx , x2 e rx , …, xk-1 e rx ,
e rk +1x …, e r2x , …, e rn x ; y la solución general de la
ecuación diferencial lineal homogénea (1) es:
yg = c1 e rx + c2 x e rx + … + ck xk-1 e rx + ck+1 e rk +1x + … +
cn e rn x
SEMANA 10
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE
ORDEN n
Son de la forma siguiente:
an
dn y
dx n
+ an-1
d n −1 y
dx n −1
+ … + a1
dy
dx
Caso 3. Cuando algunas de las raíces de la ecuación
característica P(r) = 0 sean complejas.
Sean: r 1 = 1 + i1 , r2 = 1 – i1 , r3 = 2 + i2 , r4 = 2 –
i2 , y supongamos que las demás raíces sean reales y
distintas, luego el sistema fundamental de soluciones son
de la forma: e 1x cos1 x, e 1x sen1 x, e 2x cos2 x, e 2x
sen2 x, e 5x , …, e rn x ; y la solución general de la
ecuación diferencial lineal homogénea es:
yg = c1 e 1x cos1 x + c2 e 1x sen1 x + c3 e 2x cos2 x + c4
e 2x sen2 x + c5 e 5x + … + cn e rn x
yg = e 1x [c1 cos1 x + c2 sen1 x] + e 2x [c3 cos2x + c4
sen2 x] + c5 e 5x + … + cn e rn x
+ a0 y = R(x) (1)
Donde ai y R son funciones sólo de x o constante.
La ecuación diferencial (1) se puede escribir en la forma:
F(x, y’, y”, …, y(n) ) = 0
(2)
La ecuación (2) nos indica que están relacionadas, la
variable independiente x, la variable dependiente y, y las
derivadas y’, y”, …, y(n).
Si en la ecuación (1) la función R(x) = 0, se obtiene la
ecuación llamada ecuación diferencial lineal homogénea,
si R(x)  0, la ecuación obtenida es una ecuación
diferencial lineal no homogénea.
Si y1 , y2 son soluciones de la ecuación diferencial lineal
d n −1y
dn y
dy
homogénea: an n + an-1 n −1 + … + a1
+ a0y = 0
dx
dx
dx
y si c1 , c2 son constantes arbitrarias, entonces y = c1 y1 +
c2 y2 es una solución de la ecuación diferencial
homogénea.
Ejemplos:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. y” + y’ + y = 0
2. y”’ – y” + y’ – y = 0
3. 6y”’ – y” – 6y’ + y = 0
4. y”’ + 4y” + 4y’ = 0
5. yIV – 2y”’ + y” = 0
6. y” + k2 y = 0
7. yIV – 2y”’ + y” + 2y’ – 2y = 0
8. y” + y’ – 2y = 0, y(0) = 1, y’(0) = 1
9. y” + 4y’ + 5y = 0, y(0) = 1, y’(0) = 0
10. yV – 3yIV + 3y”’ – 3y” + 2y’ = 0
11. 4y”’ – 3y’ + y = 0
12. yIV + 2y”’ – 6y” – 16y’ – 8y = 0
13. y” – 6y’ + 25y = 0
14. yIV + 2y”’ + 4y” – 2y’ – 5y = 0
15. y”’ + y’ = 0, y”(0) = y’(0) = 1, y(0) = 0
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de
coeficientes constantes son de la forma:
dy
dn y
d n −1y
an n + an-1 n −1 + … + a1
+ a0 y = 0 (1)
dx
dx
dx
donde a0 , a1 , …, an son constantes.
IC. 2016- II-UAP
2
Lic. Enrrique Guzmán A
SEMANA 11
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO
HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES
CONSTANTES
Las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de
coeficientes constantes son de la forma:
an y(n) + an-1 y(n – 1) + … + a1 y’ + a0 y = R(x)
(1)
donde a0 , a1 , …, an son constantes.
Para obtener la solución general de las ecuaciones
diferenciales lineales no homogéneas de coeficientes
constantes, primero se determina la solución general de la
ecuación diferencial homogénea Yg y después se busca
una solución particular cualquiera de la ecuación
diferencial no homogénea Yp , y la solución general de la
ecuación diferencial lineal no homogénea es igual a la
suma de las solución general de la ecuación diferencial
homogénea más la solución particular de la ecuación
diferencial no homogénea, es decir: Y = Yg + Yp .
Es decir que el problema se reduce a encontrar una
solución particular Yp de la ecuación diferencial lineal no
homogénea.
MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETRO
Sea una ecuación diferencial no homogénea de
coeficientes constantes de tercer orden:
d3y
dx 3
Pm (x)
Pm (x)ex
Pn(x)cosx
+ Q m (x)senx
ex[Pn(x)cosx
+ Q m (x)senx]
Raíces de la ecuación
característica
0 no es raíz de la ecuación
característica.
0 es raíz de la ecuación
característica de orden s.
 no es raíz de la ecuación
característica.
 es raíz de la ecuación
característica de orden s
 i no son raíces de la
ecuación característica.
 i son raíces de la
ecuación característica de
orden s
  i no son raíces de la
ecuación característica.
  i son raíces de la
ecuación característica de
orden s
P’m (x)
dx 2
+ a2
dy
dx
+ a3 y = f(x)
(1)
Ejercicios:
1. y” + 2y’ + y = e-x .secx
2. y” – 2y’ + y = e2x (ex + 1)-2
3. y” – y = e-2x sen(e-x )
x sP’m (x)
(x)ex
x sP’m (x)ex
P’k(x)cosx + Q’k(x)senx
2
4. y” – y = x2 e x / 2
5. y”’ – 3y” – y’ + 3y = 1 + ex
6. y”’ – y’ = senx
s
x [P’k(x)cosx + Q’k(x)senx]
ex[P’k(x)cosx + Q’k(x)senx]
x sex[P’k(x)cosx + Q’k(x)senx]
SEMANA 12
OPERADORES INVERSOS
Dada la E.D. L(D)y = f(x), donde L(D) es un operador
diferencial lineal de coeficientes constantes y f(x) es un
polinomio o exponencial o seno o coseno o sumas finitas
de productos finitos de las anteriores, es conveniente
resolver la E.D. por el método de los operadores inversos
(este método es sustituto del método de coeficientes
indeterminados), este método también sirve para resolver
integrales.
Ejercicios: resolver:
1. y” – 4y’ + 4y = 4(x – 1)
2. y”’ – 3y” + 3y’ – y = (2 + x)(2 – x)
3. y”’ – y’ = x
4. yIV + y” = x2 + x
5. y” – 2y’ – 3y = (x – 2)ex
6. y” + y’ – 2y = x2 ex
IC. 2016- II-UAP
d2y
La ecuación (2) es un sistema de ecuaciones en u’ 1 , u’2,
u’3 , el método consiste en:
1º Escribir la solución general de la ecuación diferencial
homogénea: yg = c1 y1 + c2 y2 + c3 y3
2º Reemplazar c1 , c2 , c3 por las funciones incógnitas u1,
u2 , u3 obteniendo la solución particular de la ecuación
(1) yp = u1 y1 + u2 y2 + u3 y3
3º Formar el sistema bajo las condiciones de la ecuación
(2)
4º Resolver el sistema (2) para u’ 1 , u’2 , u’3
5º Por medio de la integración obtenemos u1 , u2 , u3
yp
P’m
+ a1
Donde a1 , a2 , a3 son constantes y f es una función sólo de
x ó constante. Suponiendo que la solución general de la
ecuación diferencial homogénea es: yg = c1 y1 + c2 y2 + c3 y3
Luego la solución particular de la ecuación (1) es: y p =
u1 y1 + u2 y2 + u3 y3 , donde u1 , u2 , u3 son funciones
incógnitas que satisfacen a las condiciones siguientes:
u 1' y1 + u '2 y 2 + u 3' y 3 = 0
 ' '
(2)
u 1 y1 + u '2 y '2 + u 3' y 3' = 0
u ' y " + u ' y " + u ' y " = f ( x )
2 2
3 3
 1 1
MÉTODO DE LOS COEFICIENTES
INDETERMINADOS
Cuando R(x) de la ecuación (1) tiene la forma:
R(x) = ex [Pn (x)cosx + Qm(x)senx], donde Pn (x) y
Qm(x) son polinomios de grado n y m respectivamente,
entonces la solución particular Yp de la ecuación (1) es de
la forma:
Yp = xs ex [P’k (x)cosx + Q’k(x)senx], donde k = máx{n,
m}, s = orden de multiplicidad de la raíz r =   i; P’k y
Q’k son polinomios de x de grado k, de coeficientes
indeterminados, para determinar la solución particular de
la ecuación diferencial no homogénea. Consideremos los
siguientes casos:
R(x)
y” – y = 8xex
y” – 4y’ + 4y = xe2x
y” + y’ – 6y = senx.cosx
4y” + 8y’ = x.senx
y” + 4y = 2cos2x, y(0) = 1, y’(0) = 0
y” + y = x2 senx
y” + 4y’ + 4y = e-2x senx
y” – 2y’ + 2y = ex cosx
y” – 2y’ + y = x.ex + 4, y(0) = y’(0) = 1
yV – yIV = x.ex - 1
3
Lic. Enrrique Guzmán A
constantes, definimos el operador inverso L−1 (D) =
1
f)
L ( D)
, como el operador tal que:
L−1 (D)f(x) es una solución particular de la E.D., es decir,
yp = L−1 (D)f(x).
yp =
Nota:
1. L(D)L−1 (D) =operador identidad y L−1 (D)L(D) =
operador identidad.
2. Solución general: y = yh + yp = yh + L−1 (D)f(x)
3. (a0 Dn + a1 Dn-1 + … + an-1 D + an )y = R0 , R0 : constant,
an  0.
R
yp = 0
an
ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER
Las ecuaciones diferenciales de Euler son de la forma:
anxny(n) + an-1 xn-1 y(n-1) + … + a1 xy’ + a0 y = 0 (a)
donde a0 ,a1 ,a2 , ..,an son constantes.
4. (a0 Dn + a1 Dn-1 + … + ak Dn-k )y = R0 , R0 : constant, ak 
0.
R xk
yp = 0
ak
Para resolver la ecuación diferencial (a ) se transforma a
una ecuación diferencial homogénea de coeficientes
constantes, mediante la sustitución.
dx
x = et => t = lnx, además
= et
dt
dy dy
dy
dy
También
= dt = dt = e-t
dt
dx dx
et
dt
dy'
d ( y' )
dy
d2y


d
d
•
= d   = (y') = dt = dt t = e-t ( y' )
dx
e
dt
dx  dx  dx
dx 2
dt
5. (D – r1 )(D – r2 )…(D – rn )y = b(x)
Yp= e r1x e (r2 −r1) x e (r3 −r2 ) x ... e (rn −rn −1) x e −rn x b(x )(dx) n
6. y = [

A1
D − r1
+

A2
D − r2
+…+



An
D − rn
]b(x)

Yp= A1e r1x b(x)e −r1x +A 2 e r2x b(x)e −r2x +... + A n e rn x b(x)e −rn x
7. y =
1 b(x)
L(D)
a) Si b(x) = eax  yp =
1 eax = 1 eax , L(a) 
L (a )
L(D)
0
b) Si b(x) = sen(ax + b) ó cos(ax + b) 
1 sen(ax +
1 sen(ax + b) =
i. Yp =
2
L( −a 2 )
L( D )
b); L(-a2 )  0
1 cos(ax +
1 cos(ax + b) =
ii. Yp =
2
L( −a 2 )
L( D )
b); L(-a2 )  0
c) Si b(x) = xp 
yp =
= e-t
•
1 xp = [a + a D + a D2 + … + a Dp ]xp,
0
1
2
p
L(D)
dy' '
dt
dx
dt
=
d
( y' ' )
dt
et
d (e −2t (d 2 y − dy))
dt
dt 2 dt

d3y d 2 y
d2y
dy 
= e-t e −2 t ( 3 − 2 ) + e −2 t (−2 2 + 2 )
dt 
dt
dt
dt

d 3 y d 2 y
d 2 y dy
= e-3t  3 − 2 + −2 2 + 2  =
dt
dt
dt 
 dt
1 eax R(x) = eax
1
R(x), L(a)  0
L(D)
L(D + a )
e) Si b(x) = x R(x) 
IC. 2016- II-UAP
d 2 y dy
d (e − t dy) -t −t d 2 y −t dy
−e
) = e-2t (
− )
= e (e
dt
dt
dt 2 dt
dt
dt 2
d3y
d ( y ' ')
d  d 2 y 
=
=
=
dx 3
dx  dx 2 
dx
= e-t
a0  0
d) Si b(x) = eax R(x) 
yp =
1 [ 1 b(x)]
L1 ( D ) L 2 ( D)
Ejemplos:
Encuentre una solución particular de:
1. D2 (D – 2)2 y = 16e2x
2. (D2 – 4)y = 16xe-2x + 8x + 4
3. (D2 + 4)y = 12(senx + sen2x)
4. (D2 + 4)y = cos2 x
Hallar la solución general de las ecuaciones diferenciales
siguientes:
5. (D2 + 16)y = 14cos3x
6. (D2 + 16)y = 2cosx.cos3x
7. D2 (D2 + 1)y = senx
8. (D2 – 3D + 2)y = sene-x
9. (D2 + 4)y = sen2x
10. D4 (D2 – 1)y = x2
Teoremas:
1. (D – r)n y = erx (b0 + b1 x + … + bp xp ), bp  0
yp = xn erx Rp (x)
bp x p
b0
b1x
Rp (x)=
+
+…+
1.2.3...n 2.3...( n + 1)
(p + 1)(p + 2)...( p + n)
n
sx
2. (D – r) y = e Qp (x), r  s. yp = erx eax (b0 + b1x + … +
bp xp )

1 x.R(x) = x 1 R(x) – L' (D) R(x),
L(D)
L(D)
[L(D)] 2
1 b(x) 
1
b(x) = 1
L1 ( D ) L 2 ( D )
L1 ( D ) . L 2 ( D)
yp =
Definición. Dada la E.D. L(D)y = f(x) de coeficientes
4
Lic. Enrrique Guzmán A
e-3t
=
d 3 y d 2 y dy
 3 −3 2 + 2 
dt
dt 
 dt
8.
9.
10.
11.
También son ecuaciones diferenciales de Euler las
ecuaciones de la forma siguiente:
12. y” = sec2 y.tgy, y’ = -1, x = ln2, y =
Para obtener la solución de la ecuación diferencial (P) se
transforma en forma similar al caso anterior mediante la
sustitución:
et
ax + b = et => t = ln(ax + b), además dx =
a
dt
dy dy
dy
dy
También
= dt = dtt = ae-t
dx
e
dt
dx
dt
a
dy'
d ( y' )
d2y
 dy 
d
d
•
= d   = (y') = dt = dt t = ae-t ( y' )
2
dx
e
dt
dx  dx  dx
dx
dt
a
20. 1 − x 2 , x
21. x2 , x4 , x8
22. Resolver:
a) 2y” – 5y’ – 3y =0
b) y” – 10y’ + 25y = 0
c) y” + 4y’ + 7y = 0
23. Resolver: 4y” + 4y’ + 17y = 0, y(0) = -1, y’(0) = 2
24. Resolver: y”’ + 3y” – 4y = 0
d4y
d2y
+
2
+y=0
dx 4
dx 2
Determine la solución homogénea de cada una de las
ecuaciones diferenciales:
26. 4y” + y’ = 0
27. y” – y’ – 6y = 0
28. y” + 8y’ + 16y = 0
29. 12y” – 5y’ – 2y = 0
30. y” + 9y = 0
31. y” – 4y’ + 5y = 0
32. 3y” + 2y’ + y = 0
33. y”’ – 4y” – 5y’ = 0
34. y”’ – 5y” + 3y’ + 9y = 0
25. Resolver
d2y
dy
d (ae − t dy)
= a2 e-t (e − t 2 − e − t )
dt
dt
dt
dt
= a2 e-2t (
d 2 y dy
− )
dt 2 dt
Ejemplos: Resolver
1. x2 y” – 3xy’ + 7y = 0
4
3
2. y” + y’ + 2 y = 0
x
x
3. x2 y’’ – xy’ – 3y = − 16 ln x
x
d 3u d 2 u
+ 2 – 2u = 0
dt 3
dt
36. y”’ + 3y” + 3y’ + y = 0
37. y(4) + y”’ + y” = 0
4. x2 y” + xy’ – y = xm, |m|  1
5. x2 y2 – 4xy’ + 4y = 0, y(1) = 4, y’(1) = 13
6. (x – 2)2 y” + 5(x – 2)y’ + 8y = 0
7. x2 y” + xy’ + 4y = sen(Lnx)
8. x3 y”’ – 3x2 y” + 6xy’ – 6y = 0
9. (2x – 3)2 y” – 6(2x – 3)y’ + 12y = 0
10. x3 y”’ + 4x2 y” – 5xy’ – 15y = x3
35.
38. 16
d5u
d 4u
d 3u
d 2 u du
+
5
–
2
–
10
+
+ 5u = 0
dt 5
dt 4
dt 3
dt 2
dt
Resuelva los siguientes problemas de valor inicial:
40. y” + 16y = 0, y(0) = 2, y’(0) = -2
y” =2senx.cos2 x – sen3 x
y”’ = x.e-x , y(0) = 0, y’(0) = 2, y”(0) = 2
y”2 + y”’2 = 1
y”’(x – 1) – y” = 0, y(2) = 2, y’(2) = 1, y” = 1
x4 y”’ + 2x3 y” = 1
y”(2y + 3) – 2y’2 = 0
yy” – y’2 = 0, y(0) = 1, y’(0) = 2
IC. 2016- II-UAP
d4y
d2y
+
24
+ 9y = 0
dx 4
dx 2
39.
PROBLEMAS PROPUESTOS N° 03
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

4
Hallar el Wronskiano de las siguientes funciones:
13. f1 (x) = x, f 2 (x) = x2 , f2(x) = 4x – 3x2
14. f1 (x) = 5, f 2 (x) = cos2 x, f2(x) = sen2 x
15. f1 (x) = x, f2 (x) = x – 1, f2 (x) = x + 3.
16. f1 (x) = 1 + x, f 2 (x) = x, f 2(x) = x2
17. 1, e-x , 2e2x
18. x1/2 , x1/3
19. 1, sen2 x, 1 – cosx
an(ax + b) ny(n) + an-1 (ax + b) n-1 y(n-1) +…+ a1 (ax + b)y’ +
a0 y=0
= ae-t
x2 y”2 – x2 y’y”’ – y’2 = 0
y”’(x – 1) – y” = 0, y(2) = 2, y’(2) = 1, y” = 1
(1 – x2 )y” – xy’ = 2
2y” = ey , y(0) = 0, y’(0) = -1
41.
42.
43.
44.
45.
5
dy
d2y
–4
– 5y = 0, y(1) = 0, y’(0) = 2
2
dt
dt
y” + y’ + 2y = 0, y(0) = y’(0) = 0
y”’ + 12y” + 36y´= 0, y(0) = 0, y’(0) = 1, y”(0) = -7
y” – 10y’ + 25y = 0, y(0) = 1, y(1) = 0
y” + y = 0, y’(0) = 0, y’(/2) = 2
Lic. Enrrique Guzmán A
46. y”’ + y” + y’ + y = x2 + 2x – 2
47. y” + y’ + y = x4 + 4x3 + 12x2
48. y”’ + y” = 1
49. yv + y”’ = x2 – 1
50. y” – 6y’ + 9y = ex
51. y”’ + 2y” = (4x2 + 6x – 1)e2x
52. y” – 4y’ + 4y = xe2x
53. yiv – 2y”’ + 2y’ – y = ex
54. y” + 4y’ + 3y = 4senx + 8cosx
55. 4y” + 8y’ = xsenx
56. y” + y = x2 senx
57. y” + 4y = 4(sen2x + cos2x), y() = y’() ) = 2
58. y” – 3y’ = 2e2x senx
59. y” + y = ctgx
60. y” + y = sec2 x.cscx
61. y” – 3y’ + 2y = cos(e-x )
62. y”’ – 7y’ – 6y = 26e-2x cosx
63. y” + 4y’ + 4y = x-2 e-2x
64. y” + y = xcosx
65. y”’ – 7y’ + 6y = 2senx
66. y”’ – 3y” + 3y’ – y = ex + 1
67. y” – 4y’ + 4y = (3x2 + 2)ex
68. y” + y’ – 2y = 2x – 40 cos2x
69. y”’ + 2y” – y’ = coshx
Hallar la solución general de (D − 3)2 y = 48xe3x
70. D2 (D – 2)2 y = 18x e-x
71. Resolver: y’’’ – y = xex
Hallar la solución particular de
72. (D4 − 5D2 +4)y = sen3x
73. (D2 + 16)y = x cos4x
74. (D2 + 4)y = x ex senx
75. y”’ – 5y” + 6y’ = 2senx + 8
76. (D2 + 9)y = 36sen3x
77. (D3 + 1)y = cos2x + 2 sen3x
78. (D2 + 2D + 2)y = ex senx
79. (D – 1)3 (D + 1)y = -2ex
80. x2 y’’ – xy’ + y = 2x
81. x2 y’’ + 4xy’ + 2y = 2lnx
82. x2 y’’ + xy’ + 9y = sen(lnx3 )
83. x3 y’’’ + 4x2 y’’ + xy’ + y = x
84. x2 y’’ + 4xy’ + 2y = 2ln2 x + 12x
IC. 2016- II-UAP
6
Lic. Enrrique Guzmán A
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