INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMADOR TEMAPACHE Carrera: Ingeniería industrial Grupo: 3”D” Nombre de los Alumnos: Rodolfo Emanuel Blanco Jonguitud Docente: ING. Nicolasa Hernández Investigación: Integración múltiple Fecha de Entrega: 06/12/19 Rodolfo Emanuel Blanco Jonguitud 1 INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMADOR TEMAPACHE Indice Introducción ........................................................................................................................... 3 Integración múltiple .................................................................................................................. 3 Objetivo..................................................................................................................................... 3 Desarrollo ................................................................................................................................ 4 La aplicación de la integración múltiple .................................................................................... 4 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES ............................................................................. 4 Integral triple............................................................................................................................. 6 Conclusión............................................................................................................................... 8 Bibliografía .................................................................................................................................... 9 Rodolfo Emanuel Blanco Jonguitud 2 INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMADOR TEMAPACHE Introducción La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de lasuma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Las integrales se pueden calcular sobre regiones diferentes de los intervalos. En general, una integral sobre un conjunto E de una función f se escribe: Integración múltiple El cálculo de varias variables es una extensión del cálculo bidimensional o de una variable a más de una dimensión. Comúnmente utilizado en el espacio tridimensional. Por eso, así como la derivación tiene su abstracción multidimensional, la integración también la tiene. La integración múltiple es el proceso de encontrar las primitivas de una función de varias variables respecto a todas las variables independientes que dicha función posea. Generalmente la aplicación más directa es la integral definida, utilizada para encontrar áreas de regiones y volúmenes de superficies en el espacio. Objetivo . Registrar datos para la obtención de volumen o área. Identificar una integración doble y triple. Analizar y calcular la integración múltiple y sus dos tipos de integración Mostrar los puntos en un plano cartesiano tridimensional y bidimensional. Localizar la localización de puntos en un plano tridimensional. Rodolfo Emanuel Blanco Jonguitud 3 INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMADOR TEMAPACHE Desarrollo La aplicación de la integración múltiple Una idea de donde se aplican los integrales múltiples son en la localización de puntos u objetos dentro de un plano tridimensional, en la actualidad hasta para realizar aparatos tecnológicos, video juegos, apps entre otras en sus comandos utilizan una integración. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. La doble integral es utilizada en funciones de dos variables independientes, de la forma z = f ( x , y ). La integral de esta función tiene la forma siguiente: A la integral anterior se le llama integral iterada, pues el proceso se realiza por pasos. El orden de integración puede cambiar primero respecto a y y luego respecto a x o viceversa. El proceso consiste en integrar primero la función respecto a la primera variable y volver la otra constante para luego integrar ese resultado respecto a la variable restante. La doble integral definida se usa para encontrar áreas o volúmenes. Para encontrar áreas no es necesario contar con una función. Por ejemplo, el área de una circunferencia con centro en el origen de radio 1. Rodolfo Emanuel Blanco Jonguitud 4 INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMADOR TEMAPACHE Para encontrar el área del círculo, que en este caso es igual a Pi, se pueden usar ambos ordenes de integración. Esto depende de lo siguiente. La ecuación de este círculo es: La ecuación se puede despejar respecto a las dos variables. Lo más importante son los límites de integración. La región tipo I se obtiene al sumar las áreas de rectángulos verticales, como se acostumbra. En este caso, primero se integra respecto a y y luego respecto a x. Los límites de la primera integral son funciones de la forma y = f(x). Entonces, la función se despeja respecto a y para encontrar los límites de integración de esa variable. Los límites de integración de x son siempre constantes y representan el rango en el que x se mueve; en este caso, el radio de la circunferencia. Cuando los límites superior e inferior son idénticos a excepción del signo, se dice que existe simetría. Por ello, el límite inferior puede ser 0 y la integral completa se multiplica por 2. En este caso, por 4 pues los dos pares de límites son simétricos. Rodolfo Emanuel Blanco Jonguitud 5 INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMADOR TEMAPACHE La integral se resuelve de la forma convencional. Se integra y se evalúa, dos veces: Integral triple La integral triple se usa en funciones de la forma w = f ( x, y, z). Puede utilizarse para encontrar volúmenes de superficies o entre superficies e hipervolúmenes, que si bien poseen una magnitud, no tienen una representación física. Encontrar los límites de integración es nuevamente la tarea más compleja. En general, debería ser de la forma siguiente: Este es el orden convencional. Sin embargo si el orden de los diferenciales cambia, también lo hacen los límites de integración. Pero la función siempre se queda intacta. Rodolfo Emanuel Blanco Jonguitud 6 INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMADOR TEMAPACHE Cuando la integral no tiene una función en el argumento, el cálculo corresponde a un volumen. Por ejemplo, se pide encontrar el volumen del primer octante del sólido acotado por las siguientes superficies: El volumen que se pide es solo en el primer octante. De acuerdo a esto, la variable z varía desde 0 hasta el valor correspondiente de la función z (x,y). El primer diferencial es z. Para la variable x y y, es conveniente hacer un despeje para que el diferencial de x vaya primero: De esta forma, y queda como una función de x. Finalmente, la intersección del plano con el cilindro está en y = 1, y se parte desde el origen. Por fin, la integral queda de la siguiente forma: Rodolfo Emanuel Blanco Jonguitud 7 INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMADOR TEMAPACHE La integral se resuelve de la misma forma que en integrales dobles, mediante la iteración hasta encontrar un valor constante que corresponde al volumen de la figura. Conclusión Es de gran importancia el saber realizar las integrales para la resolución de datos, ya que un cálculo erróneo por lo más mínimo por ejemplo un signo podemos tener un gran error. La integración múltiple nos ayuda, analizar, calcular, identificar, áreas y volúmenes, al igual que mediante esta podemos obtener las dimensiones de interiores mediante una secuencia de formulas y al realizar una grafica en la que se muestran los datos obtenidos de las funciones. Rodolfo Emanuel Blanco Jonguitud 8 INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMADOR TEMAPACHE Bibliografía caminos.udc.es. (s.f.). Int_multip_imp.pdf. Obtenido de http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_itop/211/pdf/Int_multip_imp.pdf Cisneros, G. (s.f.). Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones. Obtenido de http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/Aplicaciones.pdf google, s. (s.f.). diario de calculo vectorial . Obtenido de https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/integracion-multiple matematicas, h. d. (15 de Agosto de 2016). historia de las matematicas . Obtenido de http://hdlms.blogspot.com/2015/10/integracion-multiple.html Rodolfo Emanuel Blanco Jonguitud 9 INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMADOR TEMAPACHE Datos Generales Bibliografía Ortografía y redacción Objetivos Introducción Desarrollo de proyecto Resultados Descripción Valor Nombre, matrícula, nombre del profesor, nombre del curso, módulo, actividad, fecha, equipo (en caso de ser un trabajo grupal), título del proyecto. Inclusión apropiada de datos bibliográficos. Consultar con el profesor y/o tutor los lineamientos a seguir para reportar libros u otros materiales escritos, así como otras fuentes de información que hayan sido utilizadas para elaborar el documento. Reportar todas las fuentes correctamente. Ortografía: Sin errores. Redacción: Ideas claras, lógicas y secuenciadas en todos los párrafos Propósito del proyecto. Expresar los objetivos o metas para el caso de avance; antecedentes y contexto para el caso de reporte final. a) Avance de proyecto Entrega de los resultados o logros del avance solicitado en el curso. Incluir información organizada y secuencial sobre el procedimiento respondiendo detalladamente a las preguntas: qué, cómo, dónde y por qué. Realizar una descripción exhaustiva de los alcances del proyecto hasta la fecha del informe. 3 b) Proyecto final Debe incluir todas las etapas del proyecto, incluso las mejoras de la retroalimentación realizadas al avance. Presenta los hallazgos del proyecto. Análisis de las fuentes y la medida en que ayudaron a resolver el proyecto. Qué aporta el proyecto a tu entorno profesional. Conclusión Justificar el cumplimiento de objetivos, mencionar beneficios, limitaciones y utilidad del proyecto. Reflexión personal sobre la actividad de aprendizaje. TOTAL PUNTUACIÓN Rodolfo Emanuel Blanco Jonguitud 10 7 10 5 15 30 20 10 Puntuación
