CM1H2 - sesion 03

Tercera sesión
Cálculo de Probabilidades - CM1H2
Jonathan Munguia1
José Zamudio2
1,2 Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Ingenierı́a
09 de junio de 2020
Munguia y Zamudio (FC-UNI)
Tercera sesión
Junio 09
1 / 33
Probabilidad
Frecuencia relativa
Outline
1
Probabilidad
Probabilidad: frecuencia relativa
Probabilidad: Subjetiva
Probabilidad: Definición formal
Ejemplos:espacios muestrales finitos
Ejemplos:espacios muestrales infinito numerable
Ejemplos:espacios muestrales continuos
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Probabilidad
Frecuencia relativa
Usando frecuencia relativa
En muchos experimentos aleatorios, no es posible aplicar
equiprobabilidad a sus sucesos.
Ejemplo 1
Considere la selección de un tornillo. Observamos si cumple con las
especificaciones o no. Hay dos resultados posibles: conforme y no
conforme.
Pregunta: ¿Deberı́amos considerar los resultados como igualmente
probables? Si no, ¿cómo podemos asignar cierta probabilidad al suceso de
encontrar un tornillo conforme?
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Probabilidad
Frecuencia relativa
Usando frecuencia relativa
Respuesta:
Seleccione una gran cantidad de tornillos.
Cuente la cantidad de tornillos conformes.
Halle la proporción de tornillos conformes en la muestra.
Use esta proporción como una aproximación de la probabilidad de
encontrar un tornillo conforme.
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Probabilidad
Frecuencia relativa
Usando frecuencia relativa
Definición 1
Sea Ω el espacio muestral de un experimento aleatorio ε y F un espacio
de eventos. Si repetimos n veces ε. Definimos entonces la función
P : F → [0, 1] tal que:
fn (E )
n→∞
n
P(E ) = lı́m
∀E ∈ F ,
donde fn (E ) representa la cantidad de veces (frecuencia) que ocurre el
evento E entre los n ensayos del experimento.
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Probabilidad
Frecuencia relativa
Usando frecuencia relativa
Observación 1
Bajo la hipótesis de equiprobabilidad, se puede encontrar una relación
entre la definición de probabilidad de modelos igualmente probables y la
definición de probabilidad de nuestro modelo de frecuencia relativa:
Esta relación fue encontrada por James Bernoulli y es conocida como:
¡Ley de los grandes números!
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Probabilidad
Frecuencia relativa
Usando frecuencia relativa
Ejemplo 2
La intuición de que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda
es 1/2, se basa en la idea de equiprobabilidad y puede ser verificada
experimentalmente.
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Probabilidad
Apuestas
Outline
1
Probabilidad
Probabilidad: frecuencia relativa
Probabilidad: Subjetiva
Probabilidad: Definición formal
Ejemplos:espacios muestrales finitos
Ejemplos:espacios muestrales infinito numerable
Ejemplos:espacios muestrales continuos
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Probabilidad
Apuestas
Probabilidad: Subjetiva
i) Este tipo de probabilidad es usado en predicciones donde no podemos
aplicar los modelos de equiprobabilidad y frecuencia relativa.
ii) Esta basado en la experiencia que tiene el sujeto que hace la
predicción y en la información histórica que se tenga.
Observación 2
El uso de cierta información para dar una probabilidad subjetiva a un
evento puede vista como actualizar la probabilidad que se tenı́a hasta ese
momento, la que se conoce como probabilidad a posteriori.
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Probabilidad
Apuestas
Probabilidad: Subjetiva
Definición 2 (Apuestas)
Sea E un evento cualquiera. Se dice que las apuestas a : b están a favor
del evento E , en el sentido de que hay a casos favorables (o posibilidades)
de la ocurrencia de E frente a un total de a + b casos. Por lo tanto, se
define
a
P(E ) =
.
a+b
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Probabilidad
Apuestas
Probabilidad: Subjetiva
Ejemplo 3
En una carrera de autos. Se tiene que los corredores del equipo Ferrari
tienen la siguientes apuestas: 6 : 2 y 8 : 4 en contra. Determine la
probabilidad de que gane el equipo Ferrari.
Solución
Supongamos que ambos corredores son mutuamente excluyente. Sea A el
primer corredor y B el segundo. Luego, las probabilidades de ganar son
P[A] =
2
1
4
1
= , P[B ] =
= .
6+2
4
8+4
3
Entonces, la probabilidad de ganar es
P[A ∪ B ] =
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1 1
7
+ = .
4 3
12
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Probabilidad
Definición formal
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1
Probabilidad
Probabilidad: frecuencia relativa
Probabilidad: Subjetiva
Probabilidad: Definición formal
Ejemplos:espacios muestrales finitos
Ejemplos:espacios muestrales infinito numerable
Ejemplos:espacios muestrales continuos
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Probabilidad
Definición formal
Los modelos de equiprobabilidad y frecuencia relativa pueden ser
estudiados como casos particulares del siguiente modelo axiomático:
Definición 3 (Función de probabilidad)
Sea Ω un espacio muestral y F un espacio de eventos. Se dice que,
P : F → [0, 1] es una función de probabilidad, si cumple:
P(Ω) = 1.
Normalización:
No negatividad:
P(A) ≥ 0
∀A ∈ F .
Aditividad: Para cada sucesión, {Ai }i ∈N , de eventos mutuamente
excluyentes de F , se tiene que
P
∞
]
Ai
∞
=
i =1
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∑ P(Ai ).
i =1
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Probabilidad
Definición formal
Observación 3
1 Si un evento tiene probabilidad cero, ese evento no puede ocurrir;
2
si tiene una probabilidad 1, entonces es seguro que ocurrirá.
Observación 4
Se puede obtener funciones de probabilidad al normalizar alguna medida
de una magnitud, ejemplos:
1. Si el espacio muestral (Ω) es finito. Se puede medir sus eventos a
través de la medida de conteo, | · |. Luego su probabilidad
correspondiente será:
|·|
P(·) :=
.
|Ω|
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Probabilidad
Definición formal
Observación (cont...)
2. En el caso de eventos de R, se puede usar una medida de longitud,
long (·). Entonces, la función de probabilidad será:
P(·) :=
long (·)
.
long (Ω)
3. En caso de eventos de R2 , se puede usar una medida de area, area(·).
Luego, se tiene que
area(·)
P(·) :=
.
area(Ω)
4. Finalmente, para eventos de R3 , se puede usar una medida de
volumen, vol (·). Obteniendo,
P(·) :=
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vol (·)
.
vol (Ω)
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Probabilidad
Definición formal
Teorema 1
Dados E , F ∈ F , se cumple las sgtes propiedades sobre P:
(i) P(∅) = 0.
(ii) E ∩ F = ∅ ⇒ P(E ∪ F ) = P(E ) + P(F ).
(iii) P(E c ) = 1 − P(E ).
(iv) E ⊂ F ⇒ P(E ) ≤ P(F ).
(v) 0 ≤ P(E ) ≤ 1.
Demostración
(i) Aplicando el axioma de aditividad a la sucesión de eventos A1 = Ω,
Ai = ∅, para i > 1, se tiene
P( Ω ) = P( Ω ) + ∑ P( ∅ ) ⇒
i >1
∑ P(∅) = 0.
i >1
Luego, necesariamente P(∅) = 0.
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Probabilidad
Definición formal
Demostración (cont...)
(ii) Dada la sucesión de eventos A1 = E , A2 = F , Ai = ∅, para i > 2,
aplicando nuevamente el axioma de aditividad,
P(E ∪ F ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ∑ P(∅)
i >2
| {z }
0
= P(E ) + P(F ),
donde hemos concluido, usando (i).
(iii) Del hecho que Ω = E ∪ E c , usando el axioma de normalización y (ii),
obtenemos que
1 = P(E ) + P(E c ),
de lo cual se concluye inmediatamente.
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Probabilidad
Definición formal
Demostración (cont...)
(iv) De los axiomas de aditividad y no negatividad, y del hecho
F = E ∪ (F − E ), se tiene que
P(F ) = P(E ) + P(F − E ) ≥ P(E ).
| {z }
≥0
(iv) Se sigue del hecho que E ⊂ Ω, de (iv), y del axioma de no
negatividad.
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Probabilidad
Definición formal
Propiedades importantes de la probabilidad
Proposición 1 (Aditividad finita)
Para cada secuencia A1 , . . . , An de eventos de F , mutuamente
excluyentes. Se cumple que
P(A1 ∪ · · · ∪ An ) = P(A1 ) + · · · P(An ).
Proposición 2 (Principio de inclusión-exclusión)
Dados dos eventos cualesquiera A y B de F , se tiene que
P(A ∪ B ) = P(A) + P(B ) − P(A ∩ B )
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Probabilidad
Definición formal
Demostración
Dado que A ∪ B = A ∪ (B − A) y B = (A ∩ B ) ∪ (B − A), se tiene por el
axioma de aditividad:
P(A ∪ B ) = P(A) + P(B − A),
(1)
P(B ) = P(A ∩ B ) + P(B − A).
(2)
Luego, se concluye de (1) y (2).
Proposición 3
El principio de inclusión-exclusión se puede generalizar como
!
P
n
[
l =1
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n
Al
=
∑ (−1)l +1 αl ,
l =1
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Probabilidad
Definición formal
Proposición 3 (Cont...)
donde los αl son las sumas de las probabilidades de todas las posibles
intersecciones de l eventos tomados de los n.
n
α1 =
α2 =
∑ P(Ai ),
i =1
∑ P(Ai ∩ Aj ),
1≤i <j ≤n
α3 =
∑
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ),
1≤i <j <k ≤n
αn
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..
.
= P(A1 ∩ · · · ∩ An ).
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Probabilidad
Definición formal
Proposición 4 (Continuidad)
Si {An }n∈N es una sucesión monótona de eventos de F , es decir:
i) Si A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , entonces P(
S∞
= lı́mn→∞ P(An ).
ii) Si A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , entonces P( n=1 An ) = lı́mn→∞ P(An ).
n=1 An )
T∞
Demostración
Verificaremos solo (i), para lo cual consideremos la nueva sucesión de
eventos mutuamente excluyentes: B1 = A1 , Bj = Aj − Aj −1 si j > 1.
P
∞
[
An =
∞
n
∑ P(Bj ) = nlı́m
∑ P(Bj )
→∞
j =1
n =1
=
j =1
lı́m P
n→∞
n
[
Bj
= lı́m P(An ),
j =1
n→∞
donde hemos aplicado el axioma de aditividad.
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Probabilidad
Ejemplos
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Probabilidad
Probabilidad: frecuencia relativa
Probabilidad: Subjetiva
Probabilidad: Definición formal
Ejemplos:espacios muestrales finitos
Ejemplos:espacios muestrales infinito numerable
Ejemplos:espacios muestrales continuos
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Probabilidad
Ejemplos
Ejemplo 4
Sea el experimento aleatorio de lanzar una moneda. Sean los eventos:
1
H1 : sale cara en el primer lanzamiento,
2
H2 : sale cara en el segundo lanzamiento.
Halle P(H1 ∪ H2 ).
Solución
Si suponemos que son igualmente probable los sucesos, entonces
P ( H 1 ∪ H2 ) = P ( H1 ) + P ( H2 ) − P ( H1 ∩ H 2 ) =
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1 1 1
3
+ − = .
2 2 4
4
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Probabilidad
Ejemplos
Ejemplo 5
Consideremos el experimento de lanzar dos dados distintos (observar los
resultados en orden). El espacio muestral es
Ω = (x, y ) : x, y ∈ {1, 2, . . . , 6} .
Halle la probabilidad de obtener como suma 9 de los resultados de un
lanzamiento.
Solución
Suponiendo equiprobabilidad y |Ω| = 36, se tiene
P(suma = 9) = P {(6, 3), (3, 6), (4, 5), (5, 4)}
|{(6, 3), (3, 6), (4, 5), (5, 4)}|
36
1
= .
9
=
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Ejemplos
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Probabilidad: frecuencia relativa
Probabilidad: Subjetiva
Probabilidad: Definición formal
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Ejemplos:espacios muestrales infinito numerable
Ejemplos:espacios muestrales continuos
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Ejemplos
Ejemplo 6
Lanzamos una moneda repetidamente hasta que aparezca la primera cara.
El resultado del experimento es la cantidad de lanzamientos necesario para
obtener cara por primera vez. Halle la función de probabilidad.
Solución
Espacio muestral Ω = {1, 2, 3, · · · }.
Supongamos que la probabilidad de obtener cara es 1/2.
El evento {2} corresponde al resultado (S, C ), luego por principio de
multiplicación, se puede definir
P({2}) =
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1 1
1
× = .
2 2
4
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Ejemplos
Solución (cont...)
De manera similar, el evento {n } corresponde al resultado
(S, S, · · · , S, C ). Luego, se define la función de probabilidad como
n −1
1
1
1
× = n.
P({n }) =
2
2
2
Verificamos que P(Ω) = 1:
P( Ω ) =
∞
∞
i =1
i =1
1
∑ P({i }) = ∑ 2i
= 1.
La no negatividad es obvia y la aditividad se deja para el lector. Luego
nuestra definición es consistente.
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Ejemplos
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Ejemplos:espacios muestrales infinito numerable
Ejemplos:espacios muestrales continuos
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Ejemplos
Ejemplo 7
En un experimento que mide el peso de los residentes en una región
geográfica determinada, el rango de pesos varı́a de 50 a 200 kilos. Halle La
probabilidad de obtener una medida entre 60 y 90.
1
Espacio muestral: Ω = [50, 200].
2
Evento: E = [60, 90].
3
Si la distribución de probabilidad es uniforme en todo el espacio
muestral, se tiene que:
P(E ) =
4
|90 − 60|
= 0,2.
|200 − 50|
Es importante observar que este modelo es impreciso.
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Probabilidad
Ejemplos
Ejemplo 8
Se tiene un tablero circular de radio 1. Halle la probabilidad de que al
lanzar una flecha esta caiga alrededor del centro en un radio de 0,1.
Suponga que el tirador no busca dar a ningún lugar especı́fico.
Solución
Espacio muestral:
n
o
p
Ω = (x, y ) ∈ R2 : x 2 + y 2 < 1 .
Evento:
n
o
p
A = (x, y ) ∈ Ω : x 2 + y 2 < 0,1 .
De la hipótesis, se puede considerar que la distribución de
probabilidad es uniforme, luego
P(A) =
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π 0,12
= 0,01.
π 12
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Ejemplos
Anexos
1 https://tereom.github.io/est-computacional-2018/
probabilidad-definicion-matematica.html
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Probabilidad
Ejemplos
FIN
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