RAZONES TRIGONOMETRICAS - PROBLEMAS

RAZONES TRIGONOMETRICAS
Definición de las razones trigonométricas
Consideremos un triángulo rectángulo con como unos de sus ángulos interiores. Teniendo
en cuenta la gráfica del triángulo rectángulo y los nombres asignados a cada lado, las
razones trigonométricas se definen como:
Resolución de triángulos rectángulos
Las razones trigonométricas se las puede emplear para calcular un lado desconocido
sabiendo uno de los lados y uno de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo.
Ejemplo 1: Encuentre el lado marcado como .
Tenemos como dato
y que la hipotenusa es igual a , escribimos
. Como
es le cateto opuesto entonces tenemos que emplear la razón trigonométrica seno:
Ejemplo 2: Encuentre el lado marcado como .
Tenemos como dato
y que el cateto opuesto es igual a , escribimos
Como es la hipotenusa entonces tenemos que emplear la razón trigonométrica seno:
1
.
Ejemplo 3: Encuentre el lado marcado como .
Tenemos como dato
y que la hipotenusa es igual a , escribimos
. Como
es le cateto adyacente entonces tenemos que emplear la razón trigonométrica coseno:
Ejemplo 4: Encuentre el lado marcado como .
Tenemos como dato
y que el cateto opuesto es igual a , escribimos
. Como
es el cateto adyacente entonces tenemos que emplear la razón trigonométrica tangente:
2
Resolver un triángulo rectángulo significa determinar todas sus partes a partir de la
información conocida acerca del triangulo, es decir las longitudes de los tres lados y las
medidas de los tres ángulos.
Ejemplo 5: Resuelva el siguiente triangulo rectángulo.
Tenemos como dato
y que el cateto opuesto es igual a , escribimos
Primero podemos encontrar la hipotenusa utilizando la razón trigonométrica seno:
Segundo podemos encontrar el cateo adyacente (
tangente:
.
) utilizando la razón trigonométrica
Y por último, podemos encontrar el otro ángulo interior sabiendo que las suma de los tres
triángulos interiores de un triángulo es igual a
. Si llamamos al angulo desconocido, se
debe cumplir que:
Por lo tanto, la hipotenusa mide
, el cateto adyacente 16 y el ángulo que falta
3
.
Aplicaciones de trigonometría de triángulos rectángulos
La capacidad para resolver triángulos rectángulos con el uso de razones trigonométricas es
fundamental para numerosos problemas en navegación, topografía, astronomía y las
medidas de distancias.
Para examinar los siguientes ejemplos necesitamos alguna terminología. Si un observador
está viendo un objeto, entonces la recta que va de sus ojos al objeto se llama línea de visión.
Si el objeto que es observado está arriba de la
horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión
y la horizontal recibe el nombre de ángulo de
elevación.
Si el objeto que es observado está debajo de la
horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión
y la horizontal se denomina ángulo de depresión.
En algunos ejemplos o ejercicios, los ángulos de elevación y de depresión se darán para un
observador hipotético al nivel del suelo. Si la línea de visión sigue un objeto físico, por
ejemplo un plano inclinado o una ladera, usaremos el término ángulo de inclinación.
Ejemplo 1: Un secoya proyecta una sombra de
árbol si el ángulo de elevación del Sol es
.
Sea
de largo. Encuentre la altura del
la altura del árbol. Ahora graficamos esta situación como muestra en la figura
Entonces de la figura tenemos:
4
Por lo tanto, la altura del árbol es de
metros.
Ejemplo 2: Un biólogo desea saber el ancho de un río de modo que se puedan instalar
debidamente los instrumentos para estudiar los contaminantes del agua. Desde el punto ,
el biólogo camina
aguas abajo y observa el punto al otro lado del río. Desde este
punto de vista, se determina que
¿Cuál es el ancho del río?
Graficamos esta situación como muestra en la figura:
Entonces de la figura tenemos:
Por lo tanto, el ancho del río es de
metros.
Ejemplo 3: Un cable de sujeción (llamado viento) va del suelo a una torre para antenas. El
cable está unido a la torre a
del suelo. El ángulo formado entre el cable y el suelo es
de
. ¿Cuál es la longitud del cable? ¿A qué distancia de la base de la torre está anclado
el cable al suelo?
Sea la longitud del cable y la distancia de la base de la torre hasta donde está anclado el
cable al suelo. Ahora graficamos esta situación como muestra en la figura:
5
Para sacar la longitud del cable de la figura tenemos:
Para sacar la la distancia de la base de la torre hasta donde está anclado el cable al suelo de
la figura tenemos:
Por lo tanto, la longitud del cable es de
de la base de la torre.
metros y el cable esta anclado a
metros
Ejemplo 4: Una torre de agua está situada a 325 metros de un edificio. Desde una ventana
del edificio, un observador ve que el ángulo de elevación a la parte superior de la torre es
45° y que el ángulo de depresión de la parte inferior de la torre es 30°. ¿Cuál es la altura de
la torre? ¿Cuál es la altura de la ventana?
Sea la altura de la torre de agua. Ahora graficamos esta situación como muestra en la
figura:
Claramente se forman dos triángulos rectángulos. Del triángulo con el ángulo de
tenemos que encontrar su cateto opuesto, lo llamaremos , y del triángulo con el ángulo de
también tenemos que encontrar su cateto opuesto, lo llamaremos , y de esa manera
encontraremos ya que
.
Primero encontremos :
6
Luego encontremos
, que también nos brinda la información de la altura de la ventana:
Entonces,
Por lo tanto, la altura de la torres es de
metros y la altura de la ventana es de
metros.
Ejemplo 5: Desde un punto en el suelo a
metros de la base de un edificio, un observador
encuentra que el ángulo de elevación a lo alto de edificio es
y que el ángulo de elevación
a lo alto de un astabandera que está en el edificio es de
. Encuentre la altura del edificio y
la longitud de la astabandera.
Llamemos a la altura del edificio y a la altura desde la base del edificio hasta la parte
superior de la astabandera. La siguiente figura ilustra la situación.
Primero hallamos la altura del edificio:
Para hallar la altura de la astabandera, encontremos primero la altura desde el suelo a lo
alto del asta:
7
Para hallar la longitud de la astabandera, restamos
Por lo tanto la longitud del asta es de
de .
metros.
Ejemplo 6: Viajando por un terreno plano, usted observa una montaña directamente al
frente. Su ángulo de elevación (a la cima) es de
. Después de acercarse en el auto
,
el ángulo de elevación es de
. Aproxime la altura de la montaña.
Llamemos a la altura de la montaña y llamemos a la distancia del auto hasta la base de la
montaña, después de acercare
. La siguiente figura ilustra la situación.
Primero, encontremos la relación entre estas distancias en el triángulo rectángulo que tiene
el ángulo de 45°:
Luego, encontremos la otra relación entre estas distancias en el triángulo rectángulo que
tiene el ángulo de 30°:
Ahora relacionamos estas dos expresiones de la siguiente manera:
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Entonces reemplazando en la primera relación tenemos:
Por lo tanto, la altura de la montaña es de
kilómetros.
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