Generalidades de ondas Sitio: Curso: Libro: Universidad Nacional de Hurlingham Física aplicada | PRIMER CUATRIMESTRE 2021 Generalidades de ondas Imprimido por: Día: CAMILA NAIARA SALOMON Wednesday, 19 de May de 2021, 19:55 Tabla de contenidos 1. Introducción 2. Movimiento Armónico 2.1. Movimiento Armónico Simple 2.2. Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple 2.3. Energía en el Movimiento Armónico SImple 2.4. Movimiento Armónico Amortiguado 2.5. Movimiento Armónico Forzado y Resonancia 3. Movimiento Ondulatorio 3.1. Ecuaciones y parámetros de una onda 3.2. Energía y potencia de una onda 3.3. Fenómentos ondulatorios 3.4. Onda Estacionaria 4. Sonido 4.1. Efecto Doppler 5. Luz 6. Resumen y Repaso 7. Bibliografía 1. Introducción El Bloque Generalidades de Ondas abarca Movimiento Armónico y Ondas. En este Libro analizaremos las características del movimiento armónico simple y las distintas ecuaciones que lo describen. Luego, discutiremos movimiento armónico amortiguado y movimiento armónico forzado, junto al fenómeno de resonancia. Más adelante, cuando analicemos el Modelo Corpuscular de la Luz, retomaremos estos contenidos para analizar oscilaciones de dos cuerpos, discutir el oscilador armónico como modelo para moléculas diatómicas simples y relacionarlos con el fundamento de las espectroscopías. En la segunda parte del Libro, abordaremos la noción de onda, analizando los parámetros espaciales y temporales característicos. Discutiremos los conceptos de ondas viajeras vs estacionarias, ondas longitudinales vs transversales, ondas mecánicas vs electromagnéticas y fenómenos ondulatorios. Discutiremos dos ejemplos paradigmáticos de ondas: la luz como onda electromagnética transversal (cuyo análisis profundizaremos cuando estudiemos Modelo Ondulatorio de la Luz) y el sonido como onda mecánica longitudinal. Finalmente, estudiaremos distintos fenómenos asociados al sonido. ¡Empecemos! 2. Movimiento Armónico Durante la cursada de Biofísica del CBC abordaron, al trabajar los temas relativos a Dinámica, los conceptos de fuerza y movimiento. En los casos analizados la fuerza aplicada a un cuerpo era constante o nula y el trayecto realizado por el cuerpo era rectilíneo. Ahora bien, ¿qué sucede si la fuerza que se aplica a un cuerpo no es constante y es capaz de realizar un determinado trabajo? Imaginemos que tenemos un resorte en estado de equilibrio al que se le aplica una fuerza externa para estirarlo. El resorte realizará una fuerza contraria al desplazamiento, que aumentará a medida que nos alejamos del punto de equilibrio. Algo análogo sucede si aplicamos una fuerza externa para comprimir dicho resorte. Esta fuerza realizada por el resorte se denomina fuerza restauradora. Para la gran mayoría de los resortes, la fuerza restauradora es directamente proporcional al cambio de longitud del resorte respecto a su longitud en equilibrio (que llamaremos, longitud natural). En forma de ecuación, esta relación se expresa de la siguiente manera: donde x representa la distancia que se estiró (o comprimió) el resorte respecto a su longitud natural. k es la constante de proporcionalidad, denominada constante de resorte. Cuanto mayor sea el valor de k, más rígido o mas fuerte será el resorte. El signo menos indica que la fuerza restauradora del resorte actúa en dirección opuesta al desplazamiento. La expresión antes presentada se conoce como Ley de Hooke y se cumple sólo para resortes ideales, esto es, resortes cuyo comportamiento muestra esta relación lineal entre fuerza y desplazamiento, al menos dentro de cierto límite. Si un resorte se estira sobrepasando su límite elástico entonces se deformará y dejará de ser válida la relación lineal. Consideremos que disponemos de un resorte ideal fijo en un extremo y asociado a una masa puntual en el otro y que la energía mecánica del sistema en todo momento se mantiene constante. Si estiramos o comprimimos el resorte y soltamos su extremo libre, la fuerza restauradora que aparece generará un movimiento periódico, que, en el caso del resorte, se denomina Movimiento Armónico. Teniendo en cuenta que el trabajo puede calcularse como la integral de la fuerza aplicada entre dos puntos, el trabajo (W) que puede realizar nuestro sistema, o lo que es equivalente, la energía potencial que posee será: 2.1. Movimiento Armónico Simple Retomemos la idea del capítulo anterior, donde teníamos un resorte fijo en un extremo, con una masa puntual asociada en su extremo libre. Si estiramos o comprimimos el resorte y soltamos su extremo libre, se generará una fuerza restauradora directamente proporcional al desplazamiento. Si no existe fricción y si el resorte no supera los límites de elasticidad, la masa puntual se moverá con un movimiento periódico constante denominado Movimiento Armónico Simple (MAS). Este movimiento se caracteriza por tener la fuerza restauradora más simple y se puede describir con funciones armónicas (seno y coseno). El MAS está caracterizado por una serie de parámetros, por ejemplo: Amplitud (A): Representa la magnitud del desplazamiento máximo, o la distancia máxima de un objeto respecto a su posición de equilibrio. Periodo (T): Cantidad de tiempo necesaria para que el objeto en movimiento logre completar un ciclo de oscilación. Todo ciclo de oscilación está formado por un trayecto igual a cuatro amplitudes. Frecuencia (ƒ): Es el número de ciclos de oscilación que realiza un objeto en una unidad de tiempo. Por lo tanto, podemos decir que la frecuencia es matemáticamente la inversa del periodo. 2.2. Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple La ecuación de movimiento de un objeto que oscila con MAS permite determinar la posición de dicho objeto en función del tiempo. Podemos obtener dicha ecuación relacionando los movimientos armónico simple y circular uniforme: Simulando el MAS con un componente del movimiento circular uniforme. Se define entonces que el objeto oscila con una rapidez o frecuencia angular (también llamada frecuencia natural de oscilación) (ω0) constante en el plano vertical. Anteriormente definimos frecuencia como la cantidad de ciclos que realiza el objeto en una unidad de tiempo. La frecuencia angular es 2π veces la frecuencia. Notar que, a diferencia de la amplitud A o de la fase Φ, ω0 depende sólo de la constante de elasticidad del resorte y de la masa del objeto, es decir, de caracterósticas que son propias del sistema masa-resorte. Esto es muy importante, ya que si podemos averiguar la frecuencia de oscilación de un sistema, podremos caracterizar al mismo. La ecuación de desplazamiento para un objeto que oscila con MAS es: Donde Φ es la Fase, un parámetro que indica el estado de vibración u oscilación (ubicación) del objeto en el instante t=0. Nótese que si el objeto inicia su movimiento desde su amplitud máxima positiva, Φ vale 0, mientras que si inicia su movimiento en la posición de equilibrio (x=0) entonces Φ vale π/2. Para este último caso, utilizando la función seno y Φ =0 en la ecuación de MAS satisfacemos las mismas condiciones. Por lo tanto, vale aclarar que la utilización de seno o coseno y el valor de Φ, son en principio equivalentes y van a depender de las condiciones iniciales que se conozcan o se definan, y de los requerimientos que nuestra ecuación de desplazamiento debe satisfacer. Avancemos en el análisis. Podemos obtener la ecuación de velocidad y aceleración en función del tiempo derivando una o dos veces respectivamente la ecuación de desplazamiento. Noten que las funciones de la velocidad y la aceleración están desfasadas respecto al desplazamiento. La velocidad (desplazada Π/2 o 90°) es máxima cuando el objeto que se desplaza pasa por el punto de equilibrio. Por su parte, la aceleración (desplazada Π o 180°) es máxima cuando el desplazamiento es máximo, pero con signo contrario, coincidiendo en todo momento con el sentido y la dirección del vector de la fuerza restauradora. Se puede observar el desfasaje de 90° y 180° de la velocidad y la aceleración respecto al desplazamiento, respectivamente. 2.3. Energía en el Movimiento Armónico SImple Las consideraciones energéticas de este tipo de movimiento pueden ser muy informativas. Ya sabemos que la fuerza del resorte es la única fuerza que actúa sobre el cuerpo. La fuerza ejercida por un resorte ideal es conservativa, así que se conserva la energía mecánica total del sistema. La energía cinética del cuerpo es y la energía potencial del resorte es Como no hay fuerzas no conservativas que efectúen trabajo, la energía mecánica total se conserva Dado que al llegar al extremo del movimiento (A) la energía potencial es la máxima posible y en ese instante el cuerpo se detiene antes de reiniciar el movimiento, es decir x=A y v=0, en ese momento la energía del sistema es sólo potencial e igual a 1/2.k.A2 Por el contrario, cuando el objeto pasa por la posición de equilibrio, el resorte está relajado (ni estirado ni comprimido) y no posee energía acumulada. En ese momento, cuerpo posee su máxima velocidad y toda la energía del sistema es energía cinética La curva verde representa la enegía potencial del sistema, máxima en los extremos y cuyo "techo" corresponde a la energía máxima que este posee cuando x=A. Por su parte, la curva roja representa la energía cinética, la cual vale cero en los extremos y es máxima en el cnetro, cuando el desplazamiento es cero. Notar que la suma punto a punto es máxima y constante, correspondiendo a la energía total mecánica del sistema conservativo. Vale decir que, si bien la energia total mecánica del sistema es constante (=1/2.k.A2), las energías potencial y cinética se van alternando en el tiempo. Esto significa que la energía del sistema alterna entre el componente elástico (resorte) y el inercial (cuerpo). La siguiente imagen resume todo lo dicho. Los conceptos discutidos hasta acá se discuten como repaso en el siguiente video: . Simple Harmonic Motion: … Recordá activar los subtítulos en español para ver la traducción del video. 2.4. Movimiento Armónico Amortiguado Un movimiento armónico simple mantiene una amplitud constante porque no hay pérdida de energía en el sistema. Pero en las aplicaciones prácticas siempre hay pérdida de energía por presencia de fuerzas no conservativas, como la fuerza de rozamiento. Se observa disminución de la amplitud en la oscilación armónica del cuerpo. Se observa que la amplitud decrece exponencialmente. En sistemas oscilantes no conservativos, la fuerza de rozamiento se opone a la fuerza restauradora que genera el MAS, actuando como fuerza amortiguadora. La presencia de una fuerza de rozamiento determina que la energía del sistema disminuya, disminuyendo consecuentemente la amplitud de las oscilaciones en función del tiempo. El tiempo que las oscilaciones tardan en detenerse depende de la magnitud y del tipo de la fuerza amortiguadora. donde b es la constante de fricción y m la masa del resorte. Observar que la línea punteada que envuelve la amplitud del movimiento sigue una función exponencial decreciente que corresponde al primer factor de la ecuación horaria. Notar también que en presencia de una fuerza amortiguadora, la frecuencia del sistema también disminuye. De todos modos, como dicha disminución es sutil, muchas veces se considera que ω' = ω 2.5. Movimiento Armónico Forzado y Resonancia En el capítulo anterior analizamos oscilaciones armónicas amortiguadas. Si queremos evitar que la amplitud de la oscilación disminuya con el tiempo, podemos entregar al sistema oscilante una cierta cantidad de energía, de modo tal de compensar la pérdida de energía por amortiguación. ¿Cómo? Aplicando una fuerza externa oscilante F. Este tipo de oscilaciones se las denomina oscilaciones forzadas. En todo movimiento oscilador forzado podemos diferenciar dos etapas o regímenes, uno inicial transitorio no armónico, donde la energía mecánica no es constante; y luego un régimen estacionario donde la energía mecánica es constante. En rojo la etapa inicial del movimiento que depende de las condiciones iniciales del sistema, y en verde la etapa estacionaria, ya armónica y que no depende de las condiciones iniciales del sistema, si no de sus características físicas que determinarán los parámetros del movimiento. En un sistema forzado, la oscilación ocurre con la frecuencia de la fuerza externa aplicada (ω') y no con ω0 (es independiente del sistema oscilante). Vale decir que puede hacerse oscilar al sistema con la frecuencia que se desee. con Por su parte, la amplitud de dicha oscilación (F0/G) dependerá no sólo de la magnitud de la fuerza externa (F0) y su frecuencia (ω') sino también de la dispación a la que se encuentre sometido (b) y de las características del sistema (m y ω0). Cuanto más parecidas son ω0 y ω', mayor es la amplitud del movimiento. En dichas condiciones se transmite una mayor cantidad de energía al sistema. En los esquemas de abajo se ejemplifican tres situaciones distintas en las que se hace oscilar un mismo sistema utilizando una fuerza externa de igual magnitud (1 en la escala) pero distinta frecuencia ω'. Cuando la frecuencia ω' es menor que la frecuencia natural del sistema oscilante ω0, la frecuencia de oscilacion del sistema forzado será ω', la amplitud de la oscilación coincidirá con la de la fuerza, y ambas (fuerza en negro y sistema en violeta) estarán fase, es decir sus máximos coincidirán en el tiempo: ω' < ω0 Por otra parte, cuando la frecuencia de la fuerza ω' se asemeje a la frecuencia del sistema ω0, aunque la magnitud de la fuerza sea igual que en el caso anterior, ésta y el sistema se desfasarán Π/2 y sobre todo la amplitud del movimiento se amplificará enormemente (fuerza en negro y sistema en azul): ω' ≈ ω0 Por último, si ω' > ω0 el desfasaje será total (Π) y la amplitud volverá a ser baja, incluso menor que en el primer caso (fuerza en negro y sistema en rojo). ω' > ω0 A la frecuencia ω' a la que la amplitud del desplazamiento se hace máxima se dice que se produce resonancia. Estrictamente la resonancia se alcanza cuando la frecuencia del sistema (ω0) y la frecuencia de oscilación de la fuerza externa oscilante aplicada (ω´) son iguales. Esto se puede apreciar bien en siguiente video: Si observamos las curvas de amplitud del movimiento en función de la relación de las frecuencias oscilantes, podemos apreciar que a frecuencias menores y mayores que la frecuencia natural del sistema (ω0) la amplitud del movimiento es relativamente baja, presentando un pico cuando la frecuencia de oscilación de la fuerza externa oscilante aplicada (ω´) coincide con la frecuencia natural del sistema (ω0). También se observa que aquellos sistemas menos amortiguados (decreasing damping, curva verde) van a presentar curvas más estrechas y mas altas que aquellos mas amortiguados (curva azul), siendo mayor la energía que se transfiere al sistema y mayor la amplitud de oscilación alcanzada. En física, abundan los ejemplos de resonancia; uno es aumentar las oscilaciones de una hamaca, empujando con una frecuencia igual a la frecuencia natural de la hamaca, haciendo fuerza sobre ella cada vez que se acerca a nosotros. Un ruido vibratorio en un auto que se escucha sólo a cierto valor de revoluciones del motor o de rotación de las ruedas es un ejemplo muy conocido. La resonancia también ocurre en los circuitos eléctricos, por ejemplo, un circuito sintonizado para escuchar una emisora de radio responde mucho a las ondas con frecuencias cercanas a su frecuencia de resonancia, y aprovechamos esto para diseñar el circuito de modo tal de seleccionar una estación en particular por sobre las demás. La resonancia en los sistemas mecánicos puede ser destructiva. Se dice que una vez una compañía de soldados destruyó un puente marchando sobre él al paso; la frecuencia de sus pasos era cercana a la frecuencia de vibración natural del puente, y la oscilación resultante tuvo suficiente amplitud para destruir el puente. Desde entonces se ordena a los soldados que rompan el paso antes de cruzar un puente. En el video que sigue vas a poder ver un caso muy conocido de destrucción por resonancia. ¡No te lo pierdas! Puente de Tacoma (efecto… (efecto… 3. Movimiento Ondulatorio Todas las ondas son el resultado de una perturbación generada por una fuente. Un pulso es una perturbación de corta duración generada en un punto de un medio material, que se transmite (viaja) por dicho medio. Podemos generar un pulso, por ejemplo, realizando una rápida sacudida en el extremo de un resorte o de una cuerda, lanzando una piedra al agua de un estanque, dando un golpe a una mesa o produciendo una detonación en el aire. Podemos establecer la siguiente distinción: Ondas no periódicas: la perturbación que las origina se da aisladamente (como en el esquema anterior) o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Ondas periódicas: la perturbación local que las origina se produce en ciclos repetitivos. Son producidas por trenes de pulso de iguales características. En todos los casos, las ondas son situaciones físicas producidas en algún lugar del espacio, propagadas a través del espacio y detectadas posteriormente en algún otro lugar del espacio. Tienen, por tanto, un componente temporal (t=tiempo) y un componente espacial (x=ubicación) característico. Las propagaciones de las perturbaciones transfieren energía progresivamente desde un punto a otro inmediatamente conectado. Este tipo de onda se conoce como onda viajera. Un movimiento ondulatorio continuo, u onda periódica, requiere una perturbación producida por una fuente oscilante. Si la fuerza impulsora de la oscilación es tal que mantiene una amplitud constante (la fuente oscila en movimiento armónico simple), el movimiento resultante de las partículas también es armónico simple. En función de la dirección de propagación de la perturbación y la dirección de propagación de la onda, podemos establecer la siguiente clasificación: Ondas transversales: Son ondas donde la dirección de propagación de la onda es transversal a la dirección de la perturbación. Por ejemplo: luz Ondas longitudinales: Son aquellas ondas donde la dirección de propagación de la onda es paralela a la dirección de la perturbación. Por ejemplo: sonido. Ondas mixtas: presentan un componente transversal y uno longitudinal. Por ejemplo: olas del mar 3.1. Ecuaciones y parámetros de una onda El movimiento ondulatorio periódico posee una doble periodicidad, es decir tiene formas senoidales (seno o coseno) tanto en el tiempo como en el espacio. Un movimiento senoidal en el tiempo (periodicidad temporal) implica que, si analizamos un solo punto en el espacio (fijamos el espacio), veríamos una partícula oscilando (con cierta periodicidad temporal) senoidalmente con el tiempo. Enfocarse en el punto del central del siguiente esquema y observar detenidamente su movimiento: En cambio, si tomamos una fotografía de la onda en cualquier instante (fijamos el tiempo), veremos una forma de onda senoidal a lo largo de su recorrido. Con esto en mente, podemos escribir las siguientes ecuaciones. Para la periodicidad temporal: Para la periodicidad espacial: Combinando ambas situaciones, tenemos que Ya sabemos que podemos definir 2Π/T como ω, es decir la frecuencia del movimiento, que define su periodicidad temporal, la cantidad de ciclos que se realizan en la unidad de tiempo. Análogamente, podemos definir 2Π/λ como k, llamado número de onda, el cual es el parámetro que define la periodicidad espacial, dando cuenta de la cantidad de ciclos que son contenidos en la unidad de distancia. Así podemos reescribir la ecuación como su forma mas conocida: Esta ecuación se conoce como la ecuación de una onda viajera que se desplaza hacia la derecha. Con estas consideraciones, hay que tener claro que cuando se grafica una onda en un par de ejes cartesianos, el eje y normalmente representará la magnitud de la variable perturbada que se propaga (cuyo máximo corresponde a la amplitud A), y el eje x representará alternativamente el tiempo o la distancia. En cualquier caso, la periodicidad será indicada por el período T o por la longitud de onda λ respectivamente Observar que en ambos esquemas la forma de la amplitud es senoidal, pero los parámetros que se obtienen de cada uno de ellos va a depender si evaluamos la evolución espacial o temporal. Cada cuanto tiempo el movimiento se repite es definido por el período T, recíproco de la frecuencia, la cual corresponde a la a la frecuencia de la fuente en MAS que creó a la onda. Por su parte, y análogamente, la distancia entre dos puntos en igual fase se denomina longitud de onda (λ). Como las ondas se mueven, tienen una rapidez de onda o velocidad, determinada por la distancia recorrida (λ) en una unidad de tiempo T, es decir vel = λ/T = λ.f 3.2. Energía y potencia de una onda Todo movimiento ondulatorio tiene energía asociada a él. Para producir cualquiera de los movimientos ondulatorios que vimos, necesitamos aplicar una fuerza a una porción de la onda; y como este punto se mueve, podemos concluir que hacemos trabajo sobre el sistema. Al propagarse la onda, cada porción del medio ejerce una fuerza y realiza trabajo sobre la porción adyacente. Así es que una onda puede transportar energía de una región del espacio a otra. Observen el tirón (hacia arriba) efectuado en el extremo izquierdo de esta cuerda, y cómo ese tirón vertical se desplaza horizontalmente (hacia la derecha) a lo largo de la cuerda. El movimiento finalmente resulta en un último latigazo en el extremo derecho, que copia lo producido en el extremo izquierdo. La fuerza y el trabajo se trasladaron de izquierda a derecha a lo largo de la cuerda. Hubo transporte de energía. Cuando un punto de la cuerda se mueve en la dirección vertical o y, este punto efectúa trabajo sobre el punto inmediatamente a la derecha y, por lo tanto, transfiere energía a la parte de la cuerda que está a su derecha. La potencia correspondiente P (rapidez con que se hace trabajo) en el punto a la derecha es la fuerza transversal Fy(x, t) multiplicada por la velocidad transversal de ese punto: Esta potencia es la razón instantánea con que se transfiere energía por la cuerda; su valor depende de la posición x en la cuerda y del tiempo t. Esta última ecuación es válida para cualquier onda en una cuerda, sea senoidal o no. Para una onda senoidal tenemos: La función sen2 nunca es menor a cero, así que la potencia instantánea de una onda senoidal es positiva (con flujo de energía en la dirección de la onda), o bien cero (donde no hay transferencia de energía). Nunca se transfiere energía en la dirección opuesta a la de propagación de la onda. 3.3. Fenómentos ondulatorios Todas las clases de ondas estás sujetas a los mismos fenómenos: Interferencia: Cuando dos ondas se encuentran, se genera una onda combinada cuyo desplazamiento en cualquier punto es igual a la suma de los desplazamientos de las ondas individuales. La interferencia es, entonces, la suma física de las ondas. Cuando dos pulsaciones de onda de la misma amplitud se encuentran y están en fase, se interfieren constructivamente. Cuando las pulsaciones se superponen exactamente, hay interferencia constructiva total. Cuando las pulsaciones en interferencia tienen amplitudes opuestas y se superponen exactamente, hay interferencia destructiva total. Este fenómeno sirve para explicar distintos comportamientos observados en la naturaleza. Un caso es el patrón de interferencia observado en el experimento de la doble rendija que analizamos en el primer bloque. En ese caso, se determinó que las partículas eran capaces de interferir de manera constructiva y destructiva como si fuesen ondas. De allí se dedujo el comportamiento ondulatorio de las partículas cuánticas. Reflexión: Se da cuando la onda se encuentra con un objeto, o llega a una frontera con otro medio y vuelve sobre sus pasos, al menos en parte, nuevamente al medio original. Si el extremo de la cuerda está fijo, la onda reflejada se invierte. Ello se debe a que la pulsación ascendente hace que la cuerda ejerza una fuerza hacia arriba sobre la fijación en la pared, y ésta ejerce una fuerza igual y opuesta sobre la cuerda. Este tirón hacia abajo genera la pulsación reflejada invertida, que se conoce como inversión de fase. Si por el contrario el extremo donde se produce la reflexión está libre, se genera una pulsación no invertida. Es el extremo suelto, que no continúa en ninguna cuerda quien ejerce el tirón, hacia arriba en este caso, generando el pulso reflejado sin inversión de fase. Refracción: En términos más generales, cuando una onda llega a una frontera donde cambia el medio, la onda no se refleja totalmente. Más bien, una parte de la energía de la onda se refleja y una parte se transmite o absorbe. Cuando una onda cruza una frontera y penetra en otro medio, por lo general su rapidez cambia porque el nuevo medio tiene distintas características. En la imagen siguiente se ve que la onda pasa de una cuerda mas liviana a una mas masiva en el que posee menor velocidad. Oberven que el reflejo se encuentra invertido, ya que la segunda cuerda se comporta como un extremo "fijo" imperfecto. Por su parte, si la onda viaja de una cuerda más masiva a una menos masiva, su velocidad aumenta y el reflejo no se invierte. En este caso, la frontera se comporta como un extremo parcialmente "libre". Estos fenómenos son de gran utilidad para analizar la estructura de los distintos materiales. De acuerdo al comportamiento del reflejo puede obtenerse información acerca del segundo medio. Si asumimos a la luz como una onda electromagnética que interactúa con las partículas cargadas de la materia, el análisis de las características de los reflejos brinda información acerca del comportamiento de los electrones de diversos materiales. Por ejemplo, los metales deben su brillo a que reflejan prácticamente todo el haz luminoso que incide en su superficie con su fase invertida, por lo que se entiende que los electrones de los orbitales más externos se comportan como un extremo rígido para una cuerda. Si la onda transmitida ingresa oblicuamente en el nuevo medio, se moverá en una dirección distinta de la de la onda incidente. Este fenómeno se denomina refracción. Difracción: Se refiere a la flexión de las ondas en torno al borde de un objeto y no está relacionada con la refracción. En general, los efectos de la difracción sólo son evidentes cuando el tamaño del objeto o la abertura que difracta es aproximadamente igual o menor que la longitud de onda. Esto es lo que provoca los patrones de difracción en una pantalla, ya que la onda que dobló en cada borde interfiere con la del otro borde observándose un patrón característico. Es por eso que el experimento de la doble rendija también puede realizarse con una única rendija del tamaño adecuado. Dispersión: Es el proceso por el cual ondas de distinta frecuencia se separan unas de otras. Aunque la luz no se dispersa en el vacío, cuando entra en algún medio sus ondas sí se separan, porque la trayectoria que siguen en un medio depende de su longitud de onda. Es por ello los prismas separan la luz solar para dar un espectro de color. En el Bloque Luz profundizaremos y daremos contexto a algunos de estos fenómenos. El siguiente video presenta un buen resumen de lo visto acá: Traveling Waves: Crash Co… Co… Recordá activar los subtítulos en español para ver la traducción del video. 3.4. Onda Estacionaria Supongamos ahora que tenemos una cuerda estirada y fija en uno de sus extremos. Si sacudimos el extremo libre viajarán ondas a lo largo de la cuerda y se reflejarán en el otro extremo. En esta situación las ondas que van y las que vuelven se interfieren. Si la cuerda se sacude con la frecuencia determinada, puede verse una forma de onda constante, o una serie de curvaturas uniformes que no cambian de lugar en la cuerda. Este fenómeno, denominado onda estacionaria, se debe a interferencia con las ondas reflejadas, que tienen la misma longitud de onda, amplitud y rapidez que las ondas incidentes. En dichas condiciones, el flujo neto de energía por la cuerda es cero, es decir la energía se mantiene estacionaria en las curvas. Aquellos puntos que permanecen inmóviles en todo momento se denominan nodos, y son el producto de la interferencia por superposición de ondas iguales pero opuestas. En todos los demás puntos, la onda estacionaria oscila con la misma frecuencia. Aquellos puntos donde se produce superposición con interferencia constructiva máxima se denominan antinodos. Nodos adyacentes están separados por media longitud de onda, al igual que antinodos adyacentes. Las ondas estacionarias que se generan en una cuerda fija por ambos extremos no pueden tener cualquier frecuencia sino sólo aquellos que satisfagan: Donde v es la velocidad de propagación, L el largo de la cuerda y n son valores enteros positivos. A estas frecuencias se las conoce como frecuencias naturales o armónicos. A la primera de las frecuencias naturales la llamamos frecuencia fundamental de la cuerda, donde n=1. Cuando el sistema oscilante se impulsa con una de sus frecuencias naturales o resonantes, se le transfiere el máximo de energía. Las frecuencias naturales de un sistema son las frecuencias con que el sistema vibra. La condición de impulsar un sistema con una frecuencia natural se denomina resonancia. Este concepto ya lo discutimos en capítulos anteriores. 4. Sonido El sonido es una onda mecánica longitudinal (siendo la oscilación de las partículas es paralela a la dirección de propagación de la onda) que requiere un medio material para propagarse. Las fuentes sonoras generan perturbaciones en el medio (aire, agua, etc), produciendo regiones de alta presión llamadas condensaciones y regiones de baja presión, llamadas rarificaciones o rarefacciones. El sonido es la respuesta fisiológica que se da estas ondas de presión en el aire. Cuando las perturbaciones que viajan a través del aire llegan al oído, el tímpano se pone a vibrar por las variaciones de presión. Al otro lado del tímpano, pequeños huesos (el martillo, el yunque y el estribo) llevan las vibraciones al oído interno donde son recogidas por el nervio auditivo. En general la rapidez con que una perturbación se mueve a través de un medio depende la de elasticidad (cuan incompresible es dicho medio) y la densidad del medio. Los sólidos son, en general, más elásticos que los líquidos, que a la vez son mas elásticos que los gases. En un material altamente elástico, las fuerzas restauradoras entre los átomos o las moléculas ocasionan que una perturbación se propague más rápido. Las características del oído limitan la percepción del sonido. Sólo las ondas de sonido con frecuencias entre aproximadamente 20 Hz y 20 kHz inician impulsos nerviosos que son interpretados como sonidos por el cerebro humano. Este intervalo de frecuencias se conoce como región audible del espectro de frecuencia del sonido. Aquellas frecuencias por debajo o por encima de dicha región corresponden a las regiones infrasónica y ultrasónica respectivamente. Las características audibles del sonido están determinadas por ciertos parámetros de la onda sonora. Así, cuanto mayor sea la amplitud de presión de una onda sonora senoidal, mayor será la intensidad del sonido al cual se le suele llamar, así que mayor será el volumen percibido. Por su parte, la frecuencia de una onda sonora es el factor que determina el tono o altura de un sonido, es decir, la cualidad que nos permite clasificarlo como “agudo” o “grave”. Cuanta más alta sea la frecuencia de un sonido (dentro de la gama audible), más agudo será el tono percibido. Los sonidos musicales tienen funciones de onda más complicadas que una simple función seno. En la figura se muestra la fluctuación de presión en la onda sonora producida por un clarinete. El patrón es tan complejo porque la columna de aire de un instrumento de aliento como el clarinete vibra con la frecuencia fundamental y muchos armónicos al mismo tiempo. La onda sonora producida en el aire circundante tiene la misma cantidad de cada armónico, es decir, un contenido armónico similar. Dos tonos producidos por diferentes instrumentos podrían tener la misma frecuencia fundamental (y por lo tanto el mismo tono), pero sonar distinto por la presencia de diferentes cantidades de los diversos armónicos. La diferencia se llama color de tono, calidad o timbre y a menudo se describe con términos subjetivos como delgado, dorado, redondo, suave y débil. El movimiento ondulatorio implica la propagación de energía. La razón de la transferencia de energía se expresa en términos de intensidad, que es la energía transportada por unidad de tiempo a través de una unidad de área. La intensidad del sonido es percibida por el oído como sonoridad o intensidad sonora. En promedio, a ciertas frecuencias, el oído humano puede detectar ondas sonoras con una intensidad tan baja como 10-12 W/m2, a dicha intensidad se la conoce como umbral de audición. Así para oír un sonido, éste debe no sólo tener una frecuencia en el intervalo audible, sino también ser de intensidad suficiente. En el esquema se observa de color rojo la zona con frecuencias menores a las audibles (infrasonido) y de color verde aquellas mayores (ultrasonido). En el centro (amarillo) el rango de frecuencias audibles y de color blanco, aquellas intensidades que superan el umbral de audición. Notar que dicho umbral es mínimo para frecuencias de entre 1000 y 10000 Hz y que aumenta (es decir, el sonido para ser audible debe ser más intenso) para frecuencias menores y mayores. En el siguiente video vas a ver un repaso de lo discutido hasta acá y una introducción de algunos conceptos nuevos en relación a las escalas musicales: ¿Por qué tenemos 12 nota… nota… 4.1. Efecto Doppler Una variación en la frecuencia del sonido percibido debido al movimiento de la fuente se denomina efecto Doppler. Imaginemos por un instante que estamos al borde de una ruta y por la misma pasa un auto a gran velocidad. El tono (frecuencia percibida) del sonido será mayor cuando el vehículo se acerca y menor cuando se aleja. ¿A qué se debe esto? Las ondas sonoras emitidas por una fuente móvil tienden a juntarse frente a la fuente (provocando una mayor frecuencia por delante) y a espaciarse atrás de ella (provocando una menor frecuencia por detrás). Un ejemplo cotidiano se muestra en el siguiente video: EFECTO DOPPLER . Estrictamente, el fenómeno ocurre cuando hay un desplazamiento relativo entre el emisor y el receptor sea cual fuere el que esté en movimiento (o incluso ambos). Supongamos que la fuente f se mueve hacia el receptor con una velocidad vf. Dado que la longitud de onda es la distancia entre crestas sucesivas, ésta depende del desplazamiento relativo de la fuente y la onda. Como se observa en la animación anterior, la longitud de onda es diferente adelante y atrás de la fuente. Por su parte, la velocidad de propagación de la onda variará en forma relativa al receptor si éste también se desplaza, siendo mayor si se acerca a la fuente y menor si se aleja de ella. En síntesis, la frecuencia percibida por el receptor aumentará si se acerca a la fuente y disminuirá si se aleja de esta. La relación entre la frecuencia emitida ƒ y la frecuencia observada ƒ' viene dada por: donde: c es la velocidad de las ondas en el medio. v0 es la velocidad del receptor con respecto al medio (positiva si el receptor se está moviendo hacia el emisor y negativa en la dirección contraria). vf es la velocidad de la fuente con respecto al medio (positiva si la fuente se aleja del receptor y negativa en la dirección contraria). . Vale aclarar que el efecto Doppler se verifica no sólo para ondas mecánicas, como el sonido, si no también para ondas electromagnéticas. Para deducir la expresión del cambio de frecuencia Doppler para la luz hay que usar la teoría especial de la relatividad. Aunque no la abordaremos en este curso, diremos que cuando hay un alejamiento entre la fuente y el observador se observa un corrimiento de la onda hacia frecuencias menores (el extremo rojo del espectro visible) y cuando hay un acercamiento entre la fuente y el observador se observa un corrimiento de la onda hacia frecuencias mayores (el extremo azul del espectro visible). Una aplicación conocida del efecto Doppler para ondas electromagnéticas de radio es el radar utilizado para verificar la rapidez de los vehículos. La onda electromagnética emitida por el dispositivo se refleja en un auto en movimiento (que actúa como fuente móvil) y la onda reflejada hacia el dispositivo sufre un cambio Doppler aumentando la frecuencia. Las señales transmitida y reflejada se combinan para producir pulsos y la rapidez se puede calcular a partir de la frecuencia de las pulsos. Se usan técnicas similares (“radar Doppler”) para medir velocidades del viento en la atmósfera. Por su parte, el efecto Doppler de la luz visible es importante en astronomía. Los astrónomos comparan las longitudes de onda de la luz de estrellas distantes con las emitidas por los mismos elementos en la Tierra. Así se sabe que la luz de la mayoría de las galaxias está desplazada hacia el extremo rojo del espectro visible, efecto llamado desplazamiento o corrimiento al rojo. Esto se interpreta como el efecto Doppler debido al alejamiento de las galaxias pero, no obstante, desde el punto de vista de la teoría general de la relatividad, es algo mucho más fundamental, asociado a la expansión del espacio mismo. Las galaxias distantes tienen desplazamientos al rojo mayores porque su luz ha estado viajando mucho tiempo y su longitud de onda ha compartido la expansión del espacio por la que se propagó. Una extrapolación de esta expansión hacia atrás 13,700 millones de años nos lleva a la imagen del “Big Bang” como el comienzo del universo como lo conocemos. 5. Luz Como profundizaremos en el Bloque Luz, de acuerdo al Modelo Ondulatorio de la Luz, la luz puede concebirse como una onda electromagnética. En este capítulo analizaremos en profundidad las características de las ondas electromagnéticas, integrando los fenómenos ya analizados en el Bloque de Electromagnetismo. A diferencia de las ondas en una cuerda o las del sonido en un medio (llamadas mecánicas), las ondas electromagnéticas no requieren un medio material para su propagación. Dado que los campos eléctrico y magnético son capaces de establecerse donde no hay materia presente (lo que llamamos vacío) las ondas electromagnéticas viajan sin dificultad a través del espacio vacío. No obstante, las ondas electromagnéticas y las ondas mecánicas tienen mucho en común y se describen en un lenguaje muy similar. En el Bloque anterior se revisaron distintos aspectos de los campos eléctricos y magnéticos. Mostramos que cuando estos campos no varían en el tiempo -como en el caso del campo eléctrico producido por cargas en reposo o el campo magnético de una corriente estable-, podemos analizar los campos eléctricos y magnéticos de forma independiente. Sin embargo, cuando los campos varían con el tiempo, dejan de ser independientes. La ley de Faraday plantea que un campo magnético variable en el tiempo actúa como fuente de campo eléctrico, como lo demuestran las corrientes inducidas en las espiras. Por su parte, la ley de Ampère, incluyendo la corriente de desplazamiento descubierta por Maxwell, afirma que un campo eléctrico que cambia en el tiempo actúa como una fuente de campo magnético. Estas interacciones entre los campos son las que se resumen en las Leyes de Maxwell. Así, cuando un campo, ya sea eléctrico o magnético, cambia con el tiempo, induce un campo del otro tipo (magnético o eléctrico) en las regiones adyacentes del espacio. Esto lleva a considerar la posibilidad de la existencia de una perturbación electromagnética, consistente en campos eléctricos y magnéticos que se modifican con el tiempo, capaces de propagarse a través del espacio de una región a otra, aún cuando no exista materia en la región intermedia. Dicha perturbación tendrá las propiedades de una onda, por lo que el término apropiado para nombrarla es onda electromagnética. De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, una carga puntual en reposo produce un campo E estático, pero no un campo B; mientras que una carga puntual en movimiento con velocidad constante produce los dos campos E y B. Las ecuaciones de Maxwell también se usan para demostrar que para que una carga puntual produzca ondas electromagnéticas, la carga debe acelerar, es decir su velocidad debe variar. Si un campo (E o B) que varía produce el otro tipo de campo (B o E) estático, un campo (E o B) que varía de forma variable producirá el otro tipo de campo (B o E) variable. Este último (B o E), a su vez, en su variación reproducirá el primer tipo de campo considerado (E o B). Así es que una onda electromagnética se autoperpetúa, la variación de un campo produce el segundo, de modo tal que el segundo reproduce al primero. De hecho, un resultado general de las ecuaciones de Maxwell es que toda carga acelerada irradia energía electromagnética. En la imagen de abajo se representa un campo eléctrico variable (rojo, vertical) y el consecuente campo magnético asociado (azul, horizontal), ambos perpendiculares a la dirección de propagación (de izquierda a derecha, onda transversal). Hay que notar como la variación de uno induce al segundo y viceversa. Una manera de conseguir que una carga puntual emita ondas electromagnéticas es haciéndola oscilar en movimiento armónico simple, de manera que tenga una aceleración casi en todo instante (excepto cuando la carga pasa por la posición de equilibrio). La oscilación de la carga hacia arriba y abajo hace que las ondas se propaguen hacia fuera de la carga, lo que puede esquematizarse como ondas en las líneas de campo como si éstas fuesen cuerdas. Observe en la imagen de abajo que la carga no emite ondas en todas direcciones por igual; las ondas son más intensas a 90° con respecto al eje de movimiento de la carga, en tanto que no hay ondas a lo largo del eje de oscilación. Además, por supuesto, hay una perturbación magnética que también se extiende hacia fuera de la carga, pero que no se ilustra en la figura. Puesto que las perturbaciones eléctricas y magnéticas se dispersan o irradian desde la fuente, se utiliza de manera indistinta el nombre de radiación electromagnética o el de ondas electromagnéticas. En la práctica, las ondas se obtienen a partir de la oscilación armónica de dipolos eléctricos en dispositivos conocidos como antenas. En la imagen de abajo se observa como se irradian las líneas de campo eléctrico del dipolo (recordar que son cerradas) en imágenes sucesivas de arriba hacia abajo (a la izquierda), y en una animación (a la derecha). La representación tridimensional y las proyecciones en los distintos planos pueden verse en la siguiente imagen Nuevamente, recordar que en forma perpendicular se propaga la perturbación magnética, aunque no se represente para no complicar la imagen. Aquí abajo hay un esquema simplificado de como se propagan ambos campos E y B Los distintos tipos de ondas electromagnéticas -luz visible, ondas de radio, rayos x y otras- se diferencian únicamente en su frecuencia y longitud de onda. Las propiedades de la luz como onda electromagnética y los fenómenos por los cuales interactúa con la materia se estudiarán en el próximo Bloque. 6. Resumen y Repaso Aprovechá para mirar estas presentaciones a modo de integración, relectura, repaso o ampliación de los temas vistos en este Libro. 1 Para descargar la presentación, seguí el LINK Google Slides 7. Bibliografía Wilson & Buffa. Física. 5ª Edición. Pearson Educación SA. Mexico. Sears & Zemansky, Fisica Universitaria. 13ª Edición Resnick, Halliday & Krane. Física. 4ª Edición. CECSA. Mexico.
