FACULTAD DE NEGOCIOS, GESTIÓN Y SOSTENIBILIDAD Unidad 1 / Escenario 1 Lectura fundamental Tasas de interés Contenido 1 Tasas de interés Palabras clave: tasas de interés, interés vencido, interés anticipado, tasas indexadas. 1. Tasas de interés Las tasas de interés representan el precio que tiene el dinero en una economía y son el principio básico que origina las matemáticas financieras. Del mismo modo que la papa tiene un precio de intercambio en una plaza de mercado, el dinero se intercambia en los mercados financieros intermediados y no intermediados a cambio de una tasa de interés. Cuando se habla de mercados intermediados, una entidad financiera es el puente entre oferentes y demandantes de dinero, las tasas de interés manejadas por los intermediarios financieros se pueden diferenciar entre tasas de colocación que son las tasas que cobran por los préstamos otorgados y las tasas de captación que son las tasas que pagan por los depósitos en cuentas de ahorro, CDTs y otros productos financieros. La tasa de captación es la tasa de interés que pagan las entidades financieras a los depositantes de dinero o ahorradores que llevan recursos a estas entidades a cambio de un rendimiento financiero. El indicador de referencia para medir el costo promedio de las tasas de captación del sistema financiero es la tasa DTF; mientras que la tasa de colocación es la tasa a la cual las entidades financieras prestan dinero a los clientes que buscan alternativas para sus necesidades de liquidez. La tasa máxima que una entidad financiera puede cobrar al momento de otorgar un crédito se denomina tasa de usura y se calcula como el 150% del interés bancario corriente reportado por las entidades a la superintendencia financiera de Colombia. Según sus características, las tasas de interés se pueden clasificar por su forma de capitalización de los intereses, por el momento de liquidación de intereses y por la forma de liquidación de intereses. »» Por la forma de capitalización de los intereses se puede clasificar en los siguientes: • interés simple: en este tipo de interés no existe capitalización de intereses y, por lo tanto, la liquidación de los rendimientos financieros se hace siempre sobre el capital inicial; esta forma de liquidación es común en los préstamos informales por fuera del sistema financiero o dentro de este se presenta en los CDT que pagan intereses varias veces hasta el vencimiento del título o cuando se da la renovación de un CDT. • Interés compuesto: se caracteriza por la capitalización de intereses de tal manera que el capital base para el pago de rendimientos financieros crece en cada período de liquidación. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 2 ¿Sabía que...? En algunas entidades financieras ya existen CDT capitalizables que operan bajo la figura de interés compuesto. »» Por el momento de liquidación de intereses se puede clasificar en los siguientes: • intereses anticipados: si se pagan al inicio de cada periodo de liquidación • Intereses vencidos: si se pagan al final de cada periodo. Cabe resaltar, que en Colombia los productos de captación no pueden generar intereses anticipados, mientras que los productos de colocación como los créditos si lo pueden hacer. Por la forma de liquidación de intereses se puede clasificar en los siguientes: • tasa de interés nominal: es una tasa de interés de referencia que como su nombre lo indica es una tasa de nombre y no se puede aplicar directamente en una operación de matemáticas financieras. Para aplicar la tasa de interés nominal en un hecho económico, se requiere convertirla a su tasa efectiva equivalente o a su tasa periódica. • Tasa de interés efectivo: es la tasa de interés cierta del hecho económico, es decir, que es la • Tasa de interés periódico: es una tasa de interés cierta para un periodo de tiempo distinto a tasa de interés realmente pagada en una operación financiera. un año, es decir, es una tasa para periodos que pueden ser diarios, mensuales, bimestrales, trimestrales y semestrales, entre otros. Normalmente, en el sistema financiero, estas tasas no tienen la denominación periódica. Es decir, que, por ejemplo, para una tasa del 3% Periódica Mensual Vencida, simplemente se dice 3% Mensual Vencida ante lo cual se entiende que es una tasa periódica. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 3 Cómo mejorar... Una tasa de interés nominal no se puede aplicar en una operación financiera, para ser utilizada debe convertirse a una tasa efectiva o a una tasa periódica. 1.1. Conversión de tasas de interés El proceso de conversión de tasas de interés es fundamental para el correcto desarrollo de operaciones de matemáticas financieras, ya que la aplicación inadecuada de una tasa de interés implica resultados equivocados en el análisis de un hecho económico. La operación de conversión de tasas más básica se da al convertir tasas periódicas a nominales o tasas nominales a periódicas cuando están denominadas en la misma periodicidad. Se dice que: In = Ip * n Donde: In = Tasa de interés nominal Ip = Tasa de interés periódica n = Veces al año que se encuentra la periodicidad de la tasa de interés A su vez, al despejar la fórmula anterior se encentra que: Ip = In n POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 4 Por ejemplo, suponga que requiere convertir una tasa de interés del 24% nominal mensual vencida (NMV) a periódica mensual vencida (PMV). Al aplicar la ecuación correspondiente, se llega al siguiente resultado: = Ip 24% = 2% 12 Donde n es igual a 12 periodos debido a que la tasa de interés es mensual y un año está compuesto por 12 meses. Al resolver el ejercicio, se encuentra que una tasa de interés del 24% NMV es equivalente a una tasa del 2% PMV. 1.1.1. Conversión a tasas efectivas Llegar a una tasa de interés efectiva anual se puede hacer desde una tasa periódica o desde una tasa nominal. Para hacerlo desde una tasa de interés periódica, se debe aplicar la siguiente ecuación: Ie = (1 + Ip ) n − 1 Donde Ie es la tasa de interés efectivo que se desea conocer. Suponga que se debe hallar una tasa de interés efectiva anual a partir de una tasa del 4% periódica trimestral vencida (PTV). Entonces, se debe hacer la siguiente operación: Ie = (1 + 4%) 4 − 1 = 16, 99% EA De manera similar aplica cuando lo que se conoce es la tasa nominal, en este caso en la ecuación anterior se remplaza Ip por su equivalente nominal que es In/n como se observa a continuación: Ie = (1 + In n ) −1 n POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 5 Por ejemplo, si desea convertir una tasa de interés del 20% nominal bimestral vencido (NBV) a efectivo anual, se tendría el siguiente resultado: Ie = (1 + 20% 6 ) − 1 = 21, 74% EA 6 Ahora bien, ¿qué sucede cuando la tasa de origen es una tasa de interés anticipada? Los principales elementos de la función cambian de signo de la siguiente manera: Ie = (1 − Ipa ) − n − 1 De tal modo, que al convertir una tasa del 30% nominal bimestral anticipada (NBA) a efectiva anual se obtiene el siguiente resultado: Ie = (1 − 1.1.2. 30% −6 ) − 1 = 36, 04% EA 6 Conversión a tasas periódicas Para convertir una tasa de interés efectiva anual a una tasa periódica, se aplica la siguiente función: 1 Ip = (1 + Ie) n − 1 Por ejemplo, al convertir una tasa del 10% efectiva anual (EA) a periódica mensual vencida se realiza la siguiente operación: 1 12 Ip = (1 + 10%) − 1 = 0, 80% PMV Ahora, cuando la tasa de interés que se desea calcular es una tasa anticipada, entonces, se aplica la siguiente fórmula: Ipa = 1 − (1 + Ie) 1 −n POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 6 Es decir, que para el ejemplo anterior si lo que se deseara calcular fuera la tasa de interés periódica mensual anticipada, entonces, se llegaría al siguiente resultado: 1 Ipa = 1 − (1 + 10%) −12 = 0, 79% PMA Al comparar los resultados de los ejemplos anteriores, es posible deducir que las tasas de interés anticipadas siempre serán menores a sus tasas equivalentes vencidas, como se observa para una tasa de interés del 10% efectivo anual (EA). Su tasa mensual anticipada equivalente (0,79%) es menor a su tasa mensual vencida equivalente (0,80%). 1.1.3. Conversión a tasas nominales La conversión de una tasa de interés efectiva en una tasa nominal parte del principio que dice: la tasa de interés nominal es igual a la tasa de interés periódica multiplicada por la periodicidad de la tasa, es decir, que la función de la tasa nominal se deprende de la fórmula vista en el punto 1.1.2. de la siguiente manera: 1 In = ((1 + ie) n − 1) * n Suponga que tiene una tasa de interés del 18% efectiva anual (EA), y la desea convertir a su tasa equivalente nominal semestral vencida (NSV). Al aplicar las variables sobre la fórmula llegaría al siguiente resultado: 1 In = ((1 + 18%) 2 − 1) * 2 = 17, 26% NSV Del mismo modo que con las tasas de interés periódicas anticipadas, la función de conversión de tasas nominales anticipadas sufre algunas modificaciones con respecto a la forma de cálculo aplicada para tasas vencidas. 1 Ina = (1 − (1 + Ie) − n ) * n Ahora bien, ¿qué sucede cuando la conversión de tasas de interés contempla periodicidades distintas en la tasa de origen y de destino? En este caso es necesario aplicar una ecuación distinta a las ya utilizadas. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 7 1.1.4. Conversión de tasas con diferente periodicidad La conversión de tasas con distinta periodicidad hace referencia a la búsqueda de la tasa equivalente, ya sea periódica o nominal de una tasa de interés que también se encuentra expresada de forma periódica o nominal, pero con distinta periodicidad. Para hacer esta conversión, se requiere trabajar desde la base de las tasas de interés periódicas vencidas para luego llegar a la tasa deseada a partir de la siguiente fórmula: norigen Ip destino = (1+ Ip origen) ndestino − 1 Suponga que desea conocer la tasa de interés periódica semestral vencida equivalente a una tasa del 5% periódica mensual vencida (PMV). En este caso n origen seria de 12 meses y n destino seria de 2 semestres. De tal modo que se llegaría al siguiente resultado: 12 Ip destino = (1 + 5%) 2 − 1 = 34, 01% PSV Ahora, suponiendo que la tasa que se desea calcular en realidad es la nominal semestral vencida (NSV) se procede a multiplicar el resultado por n destino partiendo del principio que dice que interés nominal es igual a interés periódico multiplicado por el tiempo. De tal modo que: = In 34 = , 01% * 2 68, 02% NSV ¿Pero qué sucede si lo que se desea calcular es la tasa de interés periódica semestral anticipada? En este caso, se debe aplicar la siguiente ecuación que convierte tasas periódicas vencidas en anticipadas: ipa = ipv 1 + ipv POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 8 Con lo cual, una tasa del 34,01% periódica semestral vencida (PSV), al transformarla en periódica semestral anticipada, daría el siguiente resultado: ipa = 34, 01% = 25, 38% PSA 1 + 34, 01% Ahora bien, si la tasa conocida fuera la tasa periódica anticipada y se deseara calcular la tasa periódica vencida se aplicaría la siguiente ecuación: ipv = ipa 1 − ipa Con el siguiente ejemplo, es posible aplicar toda la formulación vista en el numeral 1.1.4. Convertir una tasa de interés del 20% NSA a su tasa equivalente NTA. En primer lugar, la tasa nominal anticipada se convierte a su equivalente periódica anticipada así: = Ip 20% = 10% PSA 2 Luego, la tasa periódica anticipada se transforma en una tasa periódica vencida con la ecuación respectiva. Ipv = 10% = 11,11% PSV 1 − 10% A continuación, se aplica la función de conversión de tasas con distintas periodicidades teniendo en cuenta un n origen de 2 semestres y un n destino de 4 trimestres. 2 Ip destino = (1 + 11,11%) 4 − 1 = 5, 41% PTV POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 9 Posteriormente, se procede a convertir la tasa periódica trimestral vencida a su equivalente anticipada. ipa = 5, 41% = 5,13% PTA 1 + 5, 41% Finalmente, la tasa periódica anticipada se lleva a nominal anticipada con el principio que dice que interés nominal es igual a la tasa periódica multiplicada por el tiempo. = In 5= ,13% * 4 20, 53% NTV Es decir, que una tasa de interés del 20% nominal semestral anticipada (NSA) es equivalente a una tasa del 20,53% nominal trimestral anticipada (NTA). ¿Sabía que...? Las tasas de interés nominales siempre serán menores a su tasa de interés equivalente efectiva anual, y que las tasas anticipadas siempre serán menores a sus tasas vencidas equivalentes. 1.2. Indexación y deflactación de tasas de interés Las tasas de interés indexadas son tasas que combinan una tasa base o de referencia con un spread o tasa complemento. Las tasas de interés más utilizadas con este fin en los mercados financieros son las siguientes: »» DTF: esta tasa es calculada semanalmente por la superintendencia financiera y se obtiene promediando la tasa de interés de captación de CDTs a 90 días en el sistema financiero. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 10 La tasa DTF es la tasa de referencia para determinar el precio promedio que están pagando los bancos por el dinero que captan del público, y está directamente relacionada con la tasa de intervención con la que el Banco de la Republica ejecuta su política monetaria, es decir, que ante una política monetaria expansionista, la tasa DTF tiende a bajar y, ante una política monetaria contraccionista, la tasa DTF tiende a subir. »» El Índice de Precios al Consumidor (IPC): mide la variación mensual de los precios de una canasta básica de bienes y servicios conocida como la canasta familiar. Este índice es muy utilizado tanto en productos de inversión, como en productos de financiación, ya que permite que los intereses generados en un hecho económico no pierdan valor ante un incremento en la inflación. En esta línea, cuando las expectativas inflacionarias son crecientes una deuda indexada al IPC podría elevar el costo de la deuda de la compañía y por el contrario una expectativa de baja inflación podría reducir el costo del endeudamiento. »» El Indicador Bancario de Referencia (IBR): es la tasa de interés interbancaria, es decir, es la tasa utilizada por las entidades financieras para realizar préstamos de corto plazo entre sí. Esta tasa también tiene relación directa con la tasa de intervención del Banco de la República por lo que sus cambios futuros dependen en gran medida de la política monetaria de esta entidad (Banco de la República). »» La Unidad de Valor Real (UVR): es una unidad de cuenta distinta del peso colombiano que varía todos los días en función del Índice de Precios al Consumidor (IPC). El objetivo de la UVR consiste en que las operaciones financieras denominadas en esta unidad no pierdan poder adquisitivo en el tiempo. Si bien es cierto que su uso más común se presenta en la colocación de créditos de vivienda, también es ampliamente utilizado en la emisión de bonos en el mercado de capitales. 1.2.1. Indexación de tasas Como ya se mencionó, la indexación de tasa de interés es la combinación de una tasa base más un spread. La forma de cálculo de una tasa indexada depende del modo como esté expresada la tasa base. Es decir, que existe una metodología diferente cuando esta tasa se encuentra en términos nominales, que cuando se encuentra en términos efectivos. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 11 Cuando la tasa base es una tasa nominal solamente, se procede a hacer una suma de tasas, por ejemplo, suponga que va a indexar una tasa DTF trimestre anticipada + 5 puntos de spread; así mismo, suponga que la DTF para el momento del cálculo es del 4,5% NTA. Es decir, que la tasa de interés de la operación es igual a: Tasa Indexada = 4, 5% NTA + +5% = 9, 5% NTA ahora, cuando la tasa base es una tasa de interés efectiva anual es necesario aplicar la siguiente ecuación: Tasa Indexada = (1 + TasaBase) *(1 + Spread ) − 1 Supongamos, entonces, que para el ejercicio anterior la DTF era del 5,7% EA, de tal modo que la indexación de tasas arrojaría el siguiente resultado: Tasa Indexada = (1 + 5, 7%) *(1 + 5%) − 1 = 10, 99% EA 1.2.2. Deflactación de tasas La deflactación de tasas es el proceso inverso a la indexación y consiste en quitarle un componente a una tasa de interés. Por lo generar cuando se deflacta una tasa, se hace para quitarle el componente inflacionario y de este modo conocer la tasa de interés real que genera una operación financiera. La ecuación para la deflactación de una tasa de interés es la siguiente: Tasa Indexada = (1 + TasaADeflactar ) −1 (1 + TasaBase ) Por ejemplo, suponga que se desea conocer la tasa de interés real descontando inflación para una inversión que tuvo una rentabilidad del 12,5% EA, teniendo en cuenta que el IPC del periodo fue del 5,2%. Tasa deflactada = (1 + 12, 5%) − 1 = 6, 94% EA (1 + 5, 2% ) POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 12 Lo que significa que la tasa de interés real de dicha operación fue del 6,94%, ya que el resto de la rentabilidad correspondía al componente inflacionario. En síntesis... Las tasas de interés se clasifican en nominales, efectivas y periódicas, a su vez, estas pueden ser anticipadas o vencidas. Cuando las tasas de liquidan con interés compuesto, existe capitalización de intereses a diferencia de la liquidación con interés simple. Las tasas indexadas hacen referencia a tasas que combinan en su cálculo un componente variable que es la tasa base con un componente fijo denominado spread. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 13 Referencias de imágenes Díaz, A. (2013). Matemáticas financieras. (5a. ed.). México: McGraw-Hill Interamericana. Recuperado de http://www.ebooks7-24.com Flórez, J. (2011). Matemáticas financieras empresariales - SIL. (2a. ed.) México: Ecoe Ediciones. Recuperado de http://www.ebooks7-24.com Villalobos, J. (2017). Matemáticas financieras. (5a. ed.). México Pearson Educación. Recuperado de http://www.ebooks7-24.com POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 14 INFORMACIÓN TÉCNICA Módulo: Matemáticas de las Inversiones Unidad 1: Tasas de interés e interés compuesto Escenario 1: Tasas de interés Autor: Ronald Mauricio Martínez Contreras Asesor Pedagógico: Manuel Fernando Gevara Diseñador Gráfico: Diego Alejandro Torres Asistente: Daniela Mejía Ulloa Este material pertenece al Politécnico Grancolombiano. Prohibida su reproducción total o parcial. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 15
